第5章 一次函数专题 一次函数与方程、不等式的综合问题（含解析）

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专题 一次函数与方程、不等式的综合问题
类型一、一次函数与方程综合
例．如图，一次函数的图像与轴的交点坐标为，则下列说法正确的有（ ）．
A．随的增大而减小 B．，
C．当时， D．关于的方程的解为
【变式训练1】直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，2），B（1，0），则关于x的方程ax+b＝0的解为（　　）
A．x＝0 B．x＝2 C．x＝1 D．x＝3
【变式训练2】如图，直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣5，0），下列说法正确的是（　　）
A．k＞0，b＜0 B．直线y＝bx+k经过第四象限
C．关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣5 D．若（x1，y1），（x2，y2）是直线y＝kx+b上的两点，若x1＜x2，则y1＞y2
【变式训练3】如图，一次函数的图象经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．图像经过一、二、三象限 B．关于方程的解是
C． D．随的增大而减小
【变式训练4】一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
类型二、一次函数与不等式综合
例．如图，已知函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．﹣2＜x＜0 D．x＞0
【变式训练1】如图，一次函数y＝kx＋b（k＞0）的图像过点，则不等式的解集是（ ）
A．x＞－3 B．x＞－2 C．x＞1 D．x＞2
【变式训练2】如图，一次函数y=kx+b的图象经过点(4，0)，(0，4)，那么关于x的不等式0【变式训练3】如图，一次函数y=kx+b与y=x+2的图象交于点P(m，5)，则关于x的不等式kx+b>x+2的解集是______．
【变式训练4】如图，直线y1＝x＋b与y2＝kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式kx﹣1＜x＋b的解集为______．
课后训练
1．已知不等式的解是，下列有可能是函数的图像的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图所示为两个一次函数的图象，则关于，的方程的解为________．
3．函数和的图象相交于点，则方程的解为______．
4．已知一次函数（k、b为常数，且，）与的图象相交于点，则关于x的方程的解为____________．
5．如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为______．
6．如图，直线与直线交于点，由图象可知，不等式的解为______．
7．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是______
8．如图，直线l1：y1＝ax+b经过（﹣3，0），（0，1）两点，直线l2：y2＝kx﹣2；①若l1∥l2，则k的值为 _____；②当x＜1时，总有y1＞y2，则k的取值范围是 ________．
9．如图，一次函数的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，4），与正比例函数的图象交于点C，且点C的横坐标为2，则不等式的解集为______．
10．直线y＝kx+b与直线y＝5﹣4x平行，且与直线y＝﹣3（x﹣6）相交，交点在y轴上，求直线y＝kx+b对应的函数解析式．
专题 一次函数与方程、不等式的综合问题
类型一、一次函数与方程综合
例．如图，一次函数的图像与轴的交点坐标为，则下列说法正确的有（ ）．
A．随的增大而减小 B．，
C．当时， D．关于的方程的解为
【答案】D
【详解】解:∵图象过第一、二、三象限，∴，，随的增大而增大，故A，B错误；
又∵图象与轴交于，∴的解为，故D正确；
当时，图象在轴上方，，故C错误；
故选D．
【变式训练1】直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，2），B（1，0），则关于x的方程ax+b＝0的解为（　　）
A．x＝0 B．x＝2 C．x＝1 D．x＝3
【答案】C
【详解】解：方程ax+b＝0的解，即为函数y＝ax+b图象与x轴交点的横坐标，
∵直线y＝ax+b过B（1，0），∴方程ax+b＝0的解是x＝1，
故选：C．
【变式训练2】如图，直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣5，0），下列说法正确的是（　　）
A．k＞0，b＜0 B．直线y＝bx+k经过第四象限
C．关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣5 D．若（x1，y1），（x2，y2）是直线y＝kx+b上的两点，若x1＜x2，则y1＞y2
【答案】C
【详解】解：由一次函数的图象经过一，二，三象限，所以 故A不符合题意；
直线y＝bx+k经过一，二，三象限，故B不符合题意；
直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣5，0）， 关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣5，故C符合题意；
若（x1，y1），（x2，y2）是直线y＝kx+b上的两点，而 随的增大而增大，
若x1＜x2，则y1＜y2，故D不符合题意；
故选C
【变式训练3】如图，一次函数的图象经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．图像经过一、二、三象限 B．关于方程的解是
C． D．随的增大而减小
【答案】A
【详解】A. 图像经过一、二、三象限,故该选项正确，符合题意；
B. 关于方程的解不一定是，不正确，不符合题意
C. 根据图象与轴的交点，可知，则，故该选项不正确，不符合题意；
D. 图象经过一、二、三象限，，随的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；
故选A
【变式训练4】一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由图象可知：函数过点，
把代入得：，即，
，，，
由图象可知：，除以得：，故选：．
类型二、一次函数与不等式综合
例．如图，已知函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．﹣2＜x＜0 D．x＞0
【答案】A
【详解】从图象得到，当x＞﹣2时，y＝3x+b的图象对应的点在函数y＝ax﹣3的图象上面，
∴不等式3x+b＞ax﹣3的解集为：x＞﹣2．
故选：A．
【变式训练1】如图，一次函数y＝kx＋b（k＞0）的图像过点，则不等式的解集是（ ）
A．x＞－3 B．x＞－2 C．x＞1 D．x＞2
【答案】C
【详解】解：将（－1，0）代入y＝kx＋b中得：－k+b=0，解得：k=b，
则不等式化为，∵k＞0，∴（x－2）+1＞0，解得：x＞1，故选：C．
【变式训练2】如图，一次函数y=kx+b的图象经过点(4，0)，(0，4)，那么关于x的不等式0【答案】0【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过点(4，0)，(0，4)，
∴由图象可知，不等式0故答案为：0【变式训练3】如图，一次函数y=kx+b与y=x+2的图象交于点P(m，5)，则关于x的不等式kx+b>x+2的解集是______．
【答案】x＜3
【详解】解：把P（m，5）代入y=x+2得m+2=5，解得m=3，则P（3，5），
观察图象，当x＜3时，一次函数y=kx+b的图象在一次函数y=x+2的图象上方，即当x＜3时，kx+b>-x-2，
所以关于x的不等式kx+b>-x-2的解集为x＜3．
故答案为：x＜3．
【变式训练4】如图，直线y1＝x＋b与y2＝kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式kx﹣1＜x＋b的解集为______．
【答案】
【详解】解：观察图象得：当时，直线y1＝x＋b在y2＝kx﹣1的上方，
∴关于x的不等式kx﹣1＜x＋b的解集为．故答案为：
课后训练
1．已知不等式的解是，下列有可能是函数的图像的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】根据题意，不等式的解是，
则当时，函数图象位于轴下方，据此只有D选项符合题意，故选D
2．如图所示为两个一次函数的图象，则关于，的方程的解为________．
【答案】
【详解】解如图所示：函数与函数，交于点（2，4），则一次函数交点的横纵坐标就是方程组的解，故答案为：．
3．函数和的图象相交于点，则方程的解为______．
【答案】
【详解】解：由题意知的解为两直线交点的横坐标
故答案为：．
4．已知一次函数（k、b为常数，且，）与的图象相交于点，则关于x的方程的解为____________．
【答案】
【详解】解：把代入得：，解得a＝，∴，
∵可化为，∴根据图象信息可得关于x的方程的解为，
∴关于x的方程的解为x＝．故答案为：．
5．如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为______．
【答案】
【详解】根据图像可知，当时，直线在直线上方，所以的解集为
故答案为：
6．如图，直线与直线交于点，由图象可知，不等式的解为______．
【答案】
【详解】由图象知：不等式的解为
故答案为：
7．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是______
【答案】x >2
【详解】由图象知，当x>2时，函数的图象位于函数的图形上方
所以关于的不等式的解集是x >2，故答案为：x >2
8．如图，直线l1：y1＝ax+b经过（﹣3，0），（0，1）两点，直线l2：y2＝kx﹣2；①若l1∥l2，则k的值为 _____；②当x＜1时，总有y1＞y2，则k的取值范围是 ________．
【答案】 ≤k≤
【详解】①将点(-3，0)、( 0，1)代入 ，得：，解得：，
∴直线的解析式为：，∵，∴，
②将x=1代入，得：，∴直线l1经过(1，)，
将(1，)代入，得：，解得，
∵直线l2经过定点(0，-2)，
当直线l2绕着点(0，-2)顺时针旋转至两直线平行之间任意位置时都满足题意，
∴，
故答案为： ，．
9．如图，一次函数的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，4），与正比例函数的图象交于点C，且点C的横坐标为2，则不等式的解集为______．
【答案】x＜2
【详解】解：由图象可得：当x＜2时，ax＜kx+b，所以不等式ax＜kx+b的解集为x＜2，
故答案为：x＜2．
10．直线y＝kx+b与直线y＝5﹣4x平行，且与直线y＝﹣3（x﹣6）相交，交点在y轴上，求直线y＝kx+b对应的函数解析式．
【答案】．
【详解】解：∵直线与直线平行，∴，
对于函数，
当时，，
将点代入得：，解得，
则直线对应的函数解析式为．
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