2.3三角形的内切圆 浙教版初中数学九年级下册同步练习（含解析）

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2.3三角形的内切圆浙教版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若是的内切圆，则是( )
A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三条中线的交点 D. 三条高线的交点
2.如图，是等边的内切圆，分别切，，于点，，，是上一点，则的度数是( )
A. B. C. D.
3.如图，为直径，为圆上一点，为内心，交于，于，若，则为( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，是等腰的外接圆，为弧上一点，为的内心，过作，垂足为，若，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
5.下列命题中，正确的有( )
平分弦的直径垂直于弦；
三角形的内心到三边的距离相等；
用反证法证明命题：“同位角相等，两直线平行”时，第一步应假设“同位角不相等，两直线平行”；
圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；
垂直于半径的直线是圆的切线．
A. B. C. D.
6.如图，在平面直角坐标系中，，，，是的内心，将绕原点逆时针旋转后，的对应点的坐标为( )
A. B. C. D.
7.如图，的内切圆分别与，，相切于点，，，且，，则的周长为( )
A. B. C. D.
8.如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与点重合，则图中阴影部分的周长为( )
A. B. C. D.
9.如图，等腰的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，则的长是( )
A. B. C. D.
10.如图，在四边形材料中，，，，，现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，中，，，，为的内心，，，则的周长为( )
A.
B.
C.
D.
12.如图，点为的内心，，，点，分别为，上的点，且甲、乙两人有如下判断：甲：：乙：当时，的周长有最小值则下列说法正确的是( )
A. 只有甲正确 B. 只有乙正确 C. 甲、乙都正确 D. 甲、乙都错误
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13.如图，的内切圆与斜边相切于点，，，则的面积为 ．
14.如图，是等边的内切圆，切点分别为、、，若等边的边长为，则阴影部分的面积是 ．
15.如图，在中，，，，为的内切圆，则图中阴影部分的面积为结果保留 ．
16.如图，在边长为的等边中，，分别在边，上，连结的平分线经过的内心，交于点，连结，若为直角三角形，则 ______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图，在中，，，为的中点，点在射线上，与直线相切，切点为．
求证：与直线相切．
当是内切圆时，求的半径．
18.本小题分
如图，在中，，于点，请用尺规作图法作出的内心保留作图痕迹，不写作法
19.本小题分
如图，点是的内心，的延长线和的外接圆交于点．
如图，连接，求证：；
如图，若，求证：．
20.本小题分
如图，已知为的内切圆，切点分别为，，，且，，．
求的长；
求的半径．
21.本小题分
如图，四边形是的内接四边形，，，点是的中点，且．
求证：直线是的切线；
若，，求的长；
在的条件下，若，求的内心与外心之间的距离。
22.本小题分
如图，点是的内心，的延长线交边于点，交的外接圆于点，连结．
求证：．
若，，求的长．
23.本小题分
如图，已知为的内切圆，切点分别为，，，且，，．
求的长；
求的半径．
24.本小题分
如图，是的内切圆，，的延长线交于点若，求的半径．
25.本小题分
如图，点是的内心，的延长线与的外接圆交于点，与交于点，连接，，．
求证：；
若，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】若是的内切圆，则点到三边的距离相等,∴点是的三条角平分线的交点
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角形的内切圆与内心，等边三角形的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
如图，连接，，求出的度数即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接，．
是的内切圆，，是切点，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：连接、、，
为内心，
，，
，
，
，
，
，
，
，
连接交于点，则，
设，则，
，
，
解得：，
，
，
为直径，
，
，
故选：．
连接、、，由已知可得，进而可证，勾股定理计算，连接交于点，则，设，利用求，再利用勾股定理求即可．
本题考查了三角形的内切圆和内心，三垂径定理，圆周角定理，三角形外角性质，等知识点的应用，正确作出辅助线后求出是解此题的关键，有一定的难度．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角形的内心，三角形外接圆与外心，等腰直角三角形，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，关键是通过辅助线构造全等三角形，并掌握三角形内心的性质．作于，于，连接，在上截取，连接，可以证明≌，得到，，推出是等腰直角三角形，得到，由是的内心，推出．
【解答】
解：作于，于，连接，在上截取，连接，
是等腰直角三角形，
，，
，
≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是的内心，
，
，
四边形是正方形，
，
，，
≌，
，
同理：，
，
，
．
5.【答案】
【解析】解：平分不是直径的弦的直径垂直于弦，故错误；
三角形的内心到三边的距离相等，故正确；
用反证法证明命题：“同位角相等，两直线平行”时，第一步应假设“同位角不相等，两直线平行”，故正确；
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故错误；
垂直于半径且经过半径外端点的直线是圆的切线，故错误；
综上所述，正确的有，共个，
故选：．
根据反证法的概念和圆的相关性质逐项分析判断求解即可．
此题考查了反证法的概念和圆的相关性质，解题的关键是熟练掌握反证法的概念和圆的相关性质．
6.【答案】
【解析】【分析】
根据三角形内心的概念，以及三角形的面积得出其内切圆半径，进而得出点坐标，再利用旋转的性质得出对应点的坐标即可．
此题主要考查了旋转的性质，三角形的内心以及直角三角形的性质，得出其内切圆半径是解题关键．
【解答】
解：过点作于点，于点，于点，于点，
连接，，，如图所示：
，，，
，，
则，
是的内心，
到各边距离相等，等于其内切圆的半径，
设，
，
，故I到，的距离都为，
则，，
故IE，
，
则，
绕原点逆时针旋转，
的对应点的坐标为：．
故选A．
7.【答案】
【解析】【分析】根据切线长定理得到，，，根据即可得到的周长．
【详解】解：的内切圆分别与，，相切于点，，，且，
，，，
，
，
的周长，
故选：．
【点睛】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：连接、，
点为的内心，
平分，
，
由平移得：，
，
，
，
同理可得：，
的周长，
即图中阴影部分的周长为，
故选：．
连接、，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以是的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：，同理，所以图中阴影部分的周长就是边的长．
本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．
连接、、、，交于，利用切线的性质和切线长定理得到平分，，，，再根据等腰三角形的性质判断点、、共线，，利用勾股定理计算出，则，设的半径为，则，，利用勾股定理得到，解得，于是可计算出，然后证明垂直平分，利用面积法求出，从而得到的长．
【解答】
解：连接、、、，交于，如图，
等腰的内切圆与，，分别相切于点，，，
平分，，，，
，
，
点、、共线，即，
，
在中，，
，
，
设的半径为，则，，
在中，，解得，
在中，，
，，
垂直平分，
，，
，
，
．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：，，
，
如图所示，过点作于，
是直角三角形，四边形是矩形，
，，，
，
在中，，
，
如图所示，延长，交于点，作的内切圆，则此圆的面积最大，
，
，
∽，
，
，
解得：，，
，，
设的半径为，则，
即，
解得：．
故选：．
过点作于，勾股定理得出，延长，交于点，作的内切圆，则此圆的面积最大，证明∽，求得，，进而根据等面积法求得半径即可求解．
本题主要考查了三角形内切圆半径与三角形三边的关系，相似三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，，，
，
连接、，如图，
为的内心，
平分，
即，
，
，
，
，
同理可得，
的周长．
故选：．
先解直角三角形得到，连接、，如图，利用三角形的内心的性质得到，再证明得到，同理可得，所以的周长．
本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
12.【答案】
【解析】解：连接，过点作于，于，
点为的内心，
是的平分线，
又，，
，
在和中，
，
≌，
，
在四边形中，，
，
又，
，
即：，
，
即：，
故甲的说法正确；
过点作于点，
，
是的平分线，，
，
又甲的说法正确；
，
，
在中，，
，
，
的周长为：，
当最小时，的周长为最小，
根据“垂线段最短”可知：当时，的周长为最小，
，
与一定不垂直，
不是最小，
的周长不是最小，
故乙的说法不正确．
故选：．
连接，过点作于，于，依据“”判定和全等，从而得出，然后再根据四边形的内角和等于即可对甲的说法进行判断；
过点作于点，则，根据得，进而得，据此得的周长为，只有当最小时，的周长为最小，然后根据“垂线段最短”可对乙的说法进行判断．
此题主要考查了三角形的内心，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键正确的作出辅助线构造全等三角形，难点是在解答的周长最小时，将三角形的各边都用表示，并根据垂线段最短来判断．
13.【答案】
【解析】解：设
根据切线长定理，得，，
根据勾股定理，得
整理，得
；
故答案为：
由切线长定理得出，，根据勾股定理，得整理得再由三角形面积公式即可得出答案．
本题考查了三角形的内切圆、切线长定理、勾股定理以及三角形面积公式等知识；熟练掌握切线长定理和勾股定理是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：如图，连接、、，
为等边三角形，
，，
是等边的内切圆，
，平分，平分，
，
，，
，
在中，，
故答案为：
连接、、，根据等边三角形的性质得，，再利用切线的性质和内心性质得到，平分，平分，从而得到，再计算，然后根据扇形的面积公式，利用进行计算即可．
本题考查了三角形的内切圆与内心，等边三角形的性质，切线的性质，解决本题的关键是掌握内心定义．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角形的内切圆、勾股定理等知识点，解答本题的关键是求出内切圆的半径．
根据题意，先作出相应的辅助线，然后求出内切圆的半径，再根据图形可知：阴影部分的面积的面积正方形的面积面积的，代入数据计算即可．
【解答】
解：如图，
作于点，作于点，作于点，连接、、，
，，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
解得，
图中阴影部分的面积的面积正方形的面积面积的
16.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查等边三角形的性质，等边三角形的内心的应用，角平分线的性质应用，正方形的判定与性质，以及含角的直角的性质，属较综合的题分时，时两种情况，过作的两边的垂线，构造正方形，解直角三角形即可得解．
【解答】
解：当时，
过作于，于，于，连接，
为等边三角形的内心，
，，且为中点，为中点，
等边三角形的边长为，
，在中，可得．
为的平分线，且，
又，，
，
又，
四边形为正方形，
，
．
当时，
过作于，于，于，连接，
为等边三角形的内心，
，，且为中点，为中点，
等边三角形的边长为，
，在中，可得．
为的平分线，
又，，
，
，
，
四边形为正方形，
，
，
中，，．
综上，或．
17.【答案】证明：连接，过点作，垂足为．
与直线相切，切点为，
．
在中，，
为的中点，
平分．
，，
，
与直线相切；
解：连接，，
，，为的中点，
，，
在中根据勾股定理得．
设半径为，
则运用面积法可得：，
．
，
即的半径为．
【解析】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理，三角形的面积，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．
连接过点作，垂足为根据切线的性质可得再根据角平分线的性质可得进而可以证明与直线相切；
连接，，设半径为，则根据三角形面积列出等式，即可求出的半径．
18.【答案】解：如图，点即为所求．

【解析】作平分，交于点，点即为所求．
本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】证明：如图，连接
点是的内心，
，，
，
，
．
证明：连接、、，延长至，使得，连接，过作于点．
，，
，
，点是的内心，
，，
，
，
，，
，，
，，，
，
，
即．
【解析】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性质，三角形的内心等知识点，
根据内心的性质得出，，进一步结合圆周角定理得出，即可得证；
先根据圆内接四边形性质得到，再根据判定，得出，，进一步得出，即可证明结论．
20.【答案】解：在中，，，，
，
为的内切圆，切点分别为，，，
，，，
设，则，，
，
，
，
．
连接，，
，，
，
四边形是矩形，
．
即．
【解析】本题考查三角形的内心，勾股定理，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
设，利用切线长定理，构建方程解决问题即可．
证明四边形是矩形，推出即可解决问题．
21.【答案】解：证明：连接并延长交于，如图：
是的中点，过圆心，
于，
，
，
又是的半径，
是是的切线；
连接，过点作于，如图：
则，
是的中点，
，
，
根据圆周角定理可得，，
在和中，
≌，
，，
在和中，
≌，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
是的直径，过圆心，如图：
则为的外心，
设为的内心，过点作于，于，于，连接、、、，则，平分，平分，
，，
，
，
又，
是等边三角形，
，
在和中，
≌，
，
在中，，，
，
，
，
在中，，，，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
．
【解析】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的内心与外心，解答本题的关键是通过作辅助线，构造全等三角形．
连接并延长交于，根据垂径定理及其推论得出于，根据，得出，再根据是的半径，即可证明结论成立；
连接，过点作于，证明≌，得出，，进一步证明≌，得出，求出，即可求解；
首先证明是的直径，过圆心，则为的外心，设为的内心，过点作于，于，于，连接、、、，则，平分，平分，进一步得出，，证明是等边三角形，得出，然后证明≌，得出，，求出，利用含角的直角三角形的性质得出，，利用勾股定理求出，进一步得出，根据，求出，进而得出，即可求解．
22.【答案】【小题】
解：证明：如图，连结．
点是的内心，
，．
又，
，．
【小题】
在和中，
，，
∽，．
，．，．

【解析】 见答案
见答案
23.【答案】解：在中，，，，
，
为的内切圆，切点分别为，，，
，，，
设，则，，
，
，
，
．
连接，，
，，
，
四边形是矩形，
．
即．
【解析】本题考查三角形的内心，勾股定理，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．
设，利用切线长定理，构建方程解决问题即可．
证明四边形是矩形，推出即可解决问题．
24.【答案】解：设，分别和圆相切于点，，连接，，
是的内切圆，
，，，
又，
四边形是正方形．
设圆的半径为，则，．
四边形是正方形，
，
∽．
，即．
解得：．
的半径为．
【解析】设，分别和圆相切于点，，连接，，首先证明四边形是正方形．设圆的半径为，则，，然后证明∽，最后依据相似三角形的性质列方程求解即可．
本题主要考查的是三角形的内心的性质、相似三角形的性质和判定、正方形的判定、切线的性质，依据相似三角形的性质列出关于的方程是解题的关键．
25.【答案】证明：点是的内心，
平分，平分，
，，
，，，
，
；
解：平分，
，
又，
，
，
∽，
，
即，
，
．
【解析】利用角平分线的定义，圆周角定理以及三角形内角和定理可得出，再根据等腰三角形的判定方法可得；
根据角平分线的定义，圆周角定理可证出∽，利用相似三角形的对应边成比例，可求出，再根据线段的和差关系可求出答案．
本题考查角平分线的定义，圆周角定理、三角形内角和定理以及相似三角形的判定和性质，掌握角平分线的定义，圆周角定理、三角形内角和是以及相似三角形的判定和性质是解决问题的前提．
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