1.1锐角三角函数 浙教版初中数学九年级下册同步练习（含答案）

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1.1锐角三角函数 浙教版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知为锐角，且，则等于( )
A. B. C. D.
2.如图，是的直径，弦于点，连结，若的半径为，，则下列结论一定成立的是( )
A.
B.
C.
D.
3.在中，、都是锐角，且，则的形状是( )
A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定
4.已知中，，，，则的值为
A. B. C. D.
5.如图，已知的三个顶点均在格点上，则的值为( )
A. B. C. D.
6.如图，在矩形中，点在上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知为锐角，且，则的度数为( )
A. B. C. D.
8.若，则的值为( )
A. ． B. C. D.
9.若放在正方形网格纸的位置如图所示，则的值为
( )
A. B. C. D.
10.如图，在正方形中，为对角线、的交点，、分别为边、上一点，且，连接若，，则的长为
( )
A. B. C. D.
11.如图在梯形中，，，，是上一点，，则的值等于( )
A.
B.
C.
D.
12.如图，在中，，于，若，，则的值为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13.如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上，则的值为 ．
14.如图，在中，，点在的延长线上，连接，若，，则的值为 ．
15.如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么的值是______．
16.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，，，，四点均在正方形网格的格点上，线段，相交于点，则 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
已知等腰三角形的两边长分别是和求这个等腰三角形底角的正弦．
19.本小题分
如图，每个小方格都是边长为个单位的小正方形，、、三点都是格点每个小方格的顶点叫格点，其中，，．
若，请在网格图中画一个格点，使∽，且相似比为；
求的正弦值；
若外接圆的圆心为，则点的坐标为_________．
20.本小题分
如图，的半径，于点，．
求弦的长．
求的长．
21.本小题分
如图，将矩形沿折叠，使点恰好落在边上的点处，若，求的值．
22.本小题分
如图，在直角梯形中，，，，，，点沿线段从点向点运动，设．
求的长：
点在运动过程中，是否存在以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似若存在，求出的值：若不存在，请说明理由
设与的外接圆的面积分别为、，若，求的最小值．
23.本小题分
如图，在中，为钝角，，，，求和的长．
24.本小题分
如图，在中，，、分别是边、的中点，过点作交的延长线于点，连接．
求证：四边形是菱形；
若四边形的面积为，，求的长．
25.本小题分
如图，是的直径，点在上，且，．
尺规作图：过点作的垂线，交劣弧于点，连接保留作图痕迹，不写作法；
在所作的图形中，求点到的距离及的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】解：是的直径，，
，
的半径为，，
，
，
故选：．
根据垂径定理和锐角三角函数计算则可进行判断．
本题考查了垂径定理，锐角三角函数的定义，解决本题的关键是掌握垂径定理，锐角三角函数的定义等知识．
3.【答案】
【解析】解：由题意得，，，
则，，
则，
故为钝角三角形．
故选：．
根据非负数的性质可得，，求出和的度数，继而可判断的形状．
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是根据非负数的性质得出和的值，根据特殊角的三角函数值得出和的度数．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是锐角三角函数的定义，根据题意画出图形，由数形结合及锐角三角函数的定义可直观解答根据题意画出图形，由三角函数的定义直接解答即可．【解答】
解：如图中，，，，
由锐角三角函数的定义可知：
故选D．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了锐角三角函数和勾股定理，作出适当的辅助线构建直角三角形是解答此题的关键 连接，根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】
解：设每个小正方形的边长为连结，如图，
，，，
，
是直角三角形，且，
，，
所以，
故选D．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了锐角三角函数的定义，翻折变换，矩形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到，进一步得到的长，再根据正切的定义即可求解．
【解答】
解：四边形为矩形，
，，
矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处，
，，
在中，，
，
设，则，
在中，
，
，
解得，
，
，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：为锐角，，，
．
故选：．
根据解答即可．
此题比较简单，只要熟知特殊角度的三角函数值即可．
8.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
直接利用特殊角的三角函数值求解即可．
【解答】
解：，
，
，
则．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理以及锐角三角函数定义，关键是证明．
连接，再利用勾股定理分别计算出、、的长，然后再根据勾股定理逆定理证明，再利用三角函数定义可得答案．
【解答】
解：连接，设小正方形的边长为，
则，
，，
，
，
．
故选D．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是等腰直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定与性质有关知识，由题意证明≌，所以，则是等腰直角三角形；过点作，解三角形即可得出的长，进而可求出的长．
【解答】
解：在正方形中，和为对角线，
，，，
，
；
，
，
，
≌，
，
是等腰直角三角形；
过点作，如图，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
11.【答案】
【解析】解：过作的平行线交的延长线于，在的延长线上取．
则四边形为正方形，易得≌，
．
，，
≌．
设，，则，，，
，
，
．
故选：．
过作的平行线交的延长线于，在的延长线上取．
根据全等三角形及直角三角形的性质求出两直角边的比，即可解答．
本题考查的是锐角三角函数的定义，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用数形结合解答．
12.【答案】
【解析】由勾股定理知，根据同角的余角相等，得A.故选B．
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了锐角三角函数定义，相似三角形的性质和判定，掌握直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提，作垂线构造直角三角形是常用的方法．
通过作垂线，构造直角三角形，利用相似三角形的性质可求出，再根据，设参数表示、即可求出答案．
【解答】
解：过点作，交的延长线于点，
，，
∽，
，
，
，
在中，
由于，
设，则，
又，
，，
，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是翻折变换的性质、余弦的概念，掌握翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
根据翻折变换的性质得到，，根据矩形的性质得到，根据余弦的概念计算即可．
【解答】
解：由翻折变换的性质可知，，，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
16.【答案】
【解析】略
17.【答案】解：原式
．

【解析】【分析】代入特殊角三角函数值，利用负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质化简即可．
18.【答案】或
【解析】略
19.【答案】解：如下图所示，即为所求；
如图，作于，
在中，，，
，
；
．
【解析】【分析】
本题考查了作图相似变换，锐角三角函数的定义，勾股定理，三角形的外接圆与外心，难度适中．
根据网格结构，作出，，的三角形即可；
作于，在中利用正弦函数的定义即可求解；
利用网格图作、的垂直平分线，交点即为点．
【解答】
解：见答案；
见答案；
如图：分别作和的垂直平分线，两条垂直平分线交于点，
故答案为．
20.【答案】解：的半径，于点，，
，
；
，，
，
，
的长是：．
【解析】本题考查弧长的计算以及锐角三角函数的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据锐角三角函数的定义，可以求得的长，然后即可得到的长；
根据，可以得到的度数，然后根据弧长公式计算即可．
21.【答案】由题意，得，，，设，则，，．
【解析】见答案
22.【答案】解：过点作于，
在中，
，，
，
．
存在．若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，
则必有一个角是直角．
当时，在中，，，，
．
又由知，在中，，
，
，
∽，
存在与相似，此时．
当时，在中，，，
，，
．
则且，此时与不相似．
综上，满足条件的的值为；
如图，因为外接圆的直径为斜边，则，
当时，作的垂直平分线交于，交于；
作的垂直平分线交于，交于，连结则为外接圆的半径．
在中，，，
，
，
．
在中，．
在中，，
当时，也成立，
，
，
，
当时，取得最小值
【解析】此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的性质与判定、锐角三角函数定义、非负数的性质、勾股定理，关键是根据题意画出图形构造相似三角形，注意分类讨论．
过点作于，根据求出，再根据即可求出；
若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则必有一个角是直角．分两种情况讨论：当时，求出，再根据在中，得出，从而得到∽，此时；当时，求出，根据且，得出与不相似．
先求出，再分两种情况讨论：当时，作的垂直平分线交于，交于；作的垂直平分线交于，交于，连结，在中求出、、，在中，求出，在中，求出，最后根据代入计算即可．当时，，最后根据即可得出的最小值．
23.【答案】过点作于，如图所示在中，，，，，在中，，在中，，．

【解析】见答案
24.【答案】证明：点是中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
又是斜边上的中线，
，
四边形是菱形；
由知，四边形是菱形，
，
在中，，
设，，
则，，由题意可得：，
解得：，
，
，分别是，的中点，
是的中位线，
．
【解析】本题考查了菱形的判定方法、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
由证明≌，得出对应边相等，证出四边形是平行四边形，即可得出四边形是菱形；
由菱形的性质得出，再利用三角函数解答即可．
25.【答案】解：如图，作的垂直平分线，交圆于点，
是的直径，
，
在中，且，．
，
，
，
又，
是的中位线，
，
即点到的距离为，
，，
，
．
【解析】本题考查尺规作图，三角形中位线定理，垂径定理，锐角三角函数定义等知识点．
利用尺规作图，作线段的垂直平分线即可；
根据垂径定理、勾股定理可求出直径，，由三角形中位线定理可求出，即点到的距离，在直角三角形中，求出，由勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义可求出答案．
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