1.2锐角三角函数的计算 浙教版初中数学九年级下册同步练习（含答案）

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1.2锐角三角函数的计算浙教版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若是锐角，且，则( )
A. B. C. D.
2.在中，已知，，，则的长为( )
A. B. C. D.
3.如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则( )
A. B. C. D.
4.已知，则锐角的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.在中，若，满足，则是( )
A. 等腰非等边三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形
6.已知，则下列结论正确的是
．( )
A. B. C. D.
7.如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所含的圆周角，船在航行时，为保证不进入暗礁区，则船到两个灯塔，的张角应满足的条件是( )
A. B.
C. D.
8.若锐角满足且，则的范围是
( )
A. B. C. D.
9.已知，，，则，，的大小为
( )
A. B.
C. D.
10.若为锐角，且，则的范围是( )
A. B. C. D.
11.如图，轮船沿正南方向以海里时的速度匀速航行，在处观测到灯塔在西偏南方向上，航行小时后到达处，观测灯塔在西偏南方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为由科学计算器得到，，，( )
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
12.在中，，，运用计算器计算的度数约为精确到( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13.在直角三角形中，若，则______．
14.如图所示的网格是正方形网格，则 填“”“”或“”
15.已知为锐角，且，则的取值范围是 ．
16.如图，已知点，点为直线上的一动点，点，，于点，连接若直线与正半轴所夹的锐角为，那么当的值最大时，的值为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图，在中，，，求的周长和面积周长精确到，面积精确到
18.
用计算器计算并确定与之间的大小关系
若，，都是锐角，猜想与的大小关系不需要证明
请借助如图所示的图形证明上述猜想．
19.本小题分
如图，已知和射线上一点点与点不重合，且点到、的距离为、．
若，，，试比较、的大小；
若，，，都是锐角，且试判断、的大小，并给出证明．
20.本小题分
某河道上要建造一座公路桥，为了使船只能顺利通过．桥面离水面的高度不小于如果要求引桥的坡角不超过，那么引桥的水平距离至少要多长精确到？
21.本小题分
如图，是的高，，，求可以使用计算器，精确到．
22.本小题分
从一个半径为的圆片中裁下一个垫片，如图中阴影部分已知，求垫片的面积精确到
23.本小题分
如图，已知和射线上一点点与点不重合，且点到，的距离分别为，的长．
若，，试比较，的大小；
若，，，都是锐角，且，请比较，的大小．
24.本小题分
如图是嘉琪在练习本上画的三角形，已知，，，不使用测量工具，请你利用计算器帮她求出边上的高和的度数长度精确到，角度精确到
25.本小题分
已知在中，，，且，求出的长和的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】解：如图，在中，，，，
，
故选：．
利用的正切函数求解即可．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3.【答案】
【解析】略
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了锐角三角函数的增减性，属于基础题．
根据题意，可得，即可得解．
【解答】
解：，，
，
，
故选B．
5.【答案】
【解析】略
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了锐角的余弦，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键，根据特殊角的三角函数值及余弦函数随角增大而减小解答即可．
【解答】
解：，，，
又，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了锐角三角函数，圆周角定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．本题利用三角形外角与内角的关系和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得出是解题的关键．
【解答】
解：如图，交圆于点，连接，
由圆周角定理知，，而是的一个外角，由，即当时船不进入暗礁区．
所以，两个灯塔的张角应满足的条件是．
，
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了余弦函数、正切函数的增减性与特殊角的余弦值、正切值，熟练掌握特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性是解题的关键．
先由特殊角的三角函数值及余弦函数随锐角的增大而减小，得出；再由特殊角的三角函数值及正切函数随锐角的增大而增大，得出；从而得出．
【解答】
解：是锐角，
，
又，
且余弦值随锐角的增大而减小，
；
是锐角，
，
又，且正切值随锐角的增大而增大，
；
综上所述：．
故选B．
9.【答案】
【解析】解：由科学计算器可得，，
，故选D．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角的余弦值随着角度的增大而减小是解题的关键，是基础题，比较简单．
根据锐角的余弦值随着角度的增大而减小进行解答．
【解答】
解：，，且，且锐角的正切值随角度增大而增大，
．
故选C．
11.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了方向角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．过点作于点，则若该船继续向南航行至离灯塔距离最近的位置为的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可．
【解答】解：如图，过点作于点，
海里，
，，
，
，
，
，
，
海里，
，
，
海里
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查在直角三角形中解题，根据角的正弦值求出三角形的角度．根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长，然后求出．
【解答】
解：：：，
设，，
由勾股定理知，
，
运用计算器得，．
故选B．
13.【答案】或
【解析】解：若，设，则，所以，所以；
若，设，则，所以，所以；
综上所述，的值为或．
故答案为或．
若，设，则，利用勾股定理计算出，然后根据余弦的定义求的值；若，设，则，利用勾股定理计算出，然后根据余弦的定义求的值．
本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用它们进行几何计算．
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】
【解析】，，锐角的正切值随角度的增大而增大，，故答案为．
16.【答案】
【解析】解：过点作轴于点，作交于点，
直线与轴平行，故，
当的值最大时，则值最大，
故B最小，即最大时，最大，
即当最大时，的值最大，
设，
则，，，
，，
，
，
，即，
，
，
故当时，取得最大值，
故，
故答案为：．
当的值最大时，则值最大，即当最大时，的值最大，设，由，得到，进而求解．
本题考查了一次函数和二次函数的性质，解直角三角形等，解题的关键是确定的值最大时，即最大，题目综合性强，难度适中．
17.【答案】解 在中，
，，
，．
的周长
；
的面积
．
答：的周长约为，面积约为．

【解析】见答案．
18.【答案】【小题】
，，．
【小题】
【小题】
证明：，，
，
，
．
，
，

【解析】 见答案
见答案
见答案
19.【答案】解：在中，，
在中，，
又
；
根据得：
，，
又，且，都是锐角，
，
．
【解析】此题主要考查了锐角的正弦值的变化规律：在锐角的范围内，正弦值随着角的增大而增大．
利用三角函数的定义，根据两个角的正弦的大小进行比较即可得到结果；
运用两个角的正弦，根据正弦值的变化规律进行比较．
20.【答案】解：如图，为坡角，，
当，坡角时，
过作，
则，．
在中，，
，，
米．
答：引桥的水平距离至少要米长．
【解析】过作，在中，已知了铅直高度的长及角的度数，可求出、的长，再由，求得水平宽度的长即可．
此题考查了三角函数定义，解答本题需要正确的作出辅助线，将实际问题转化为特殊角度三角函数的知识．
21.【答案】解：，
，
在中，，
在中，，
．
【解析】本题考查计算器三角函数，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于基础题型．
在中，求出，再在中，利用正切函数的定义求出．
22.【答案】解：设圆心为，连接、，作于，如图：
由题意得：，
则圆的面积，
，，
，
，，
解得：，
，
扇形的面积，的面积，
垫片的面积
答：垫片的面积约．

【解析】本题考查了垂径定理、勾股定理、扇形面积公式、三角函数定义等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
设圆心为，连接、，作于，由垂径定理得出，由勾股定理得出，由三角函数定义求出，得出，求出扇形和的面积，进而得出答案．
23.【答案】解：，，
，
又，，．
根据得
，
，都是锐角，且， ．
，．
【解析】利用三角函数的定义，根据两个角的正弦的大小进行比较即可得到结果；
运用两个角的正弦函数，根据正弦值的变化规律进行比较．
此题主要考查了锐角的正弦值的变化规律：在锐角的范围内，正弦值随着角的增大而增大．
24.【答案】解：如图，过点作，垂足为，
在中，，
，
则，
在中，，
．
故BC边上的高约是，的度数约为．

【解析】本题考查锐角三角函数和利用计算器求角的度数，
过点作，垂足为，利用和锐角三角函数，即可求出和的长，进而求出，再求出的值，再利用计算器求出的大小即可．
25.【答案】解：如图，
在中，，
，
．
，
．
，
，
．
【解析】见答案
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