1.3解直角三角形 浙教版初中数学九年级下册同步练习（含答案）

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1.3解直角三角形浙教版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.在如图所示的网格中，小正方形的边长为，点、、、都在格点上，与相交于点，则的正切值是
( )
A. B. C. D.
2.如图，的半径为，为弦，点为的中点，若，则弦的长为( )
A. B. C. D.
3.如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距米的、两点分别测定对岸一棵树的位置，在的正北方向，且在的北偏西方向，则河宽的长可以表示为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
4.如图，是的内接正三角形，弦经过边的中点，且，若的半径为，则的长为
( )
A. B. C. D.
5.在中，，，，那么的度数是
( )
A. B. C. D.
6.我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角如图，在中，，互为半余角，且，则的值为( )
A. B. C. D.
7.如图，中，，，的中垂线交于点，连接，若，则( )
A. B. C. D.
8.如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏东方向上，则，两港之间的距离( )
A. B. C. D.
9.在中，，是高，如果，，那么的长为
( )
A. ； B. ；
C. ； D. ．
10.如图，在中，，，于点，若，分别为，的中点，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，一科珍贵的乌稔树被台风“山竹”吹歪了，处于对它的保护，需要测量它的高度．现采取以下措施：在地面选取一点，测得，米，，则这棵乌稔树的高约为参考数据：，( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
12.已知点，，，以为斜边按如图所示作三点按顺时针方向排列，使，，连接，当线段的长最短时，点的横坐标为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13.如图，中，，，，，则的长为 ．
14.如图，中，，，，，则的长为 ．
15. 如图，在中，，，，则的长为 ．
16.如图，在中，，是的中点，过点作的垂线交于点，，，则 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图，是的中线，，，求：
的长
的正弦值．
18.本小题分
如图，在处的正东方向有一港口某巡逻艇从处沿着北偏东方向巡逻，到达处时接到命令，立刻在处沿东南方向以海里小时的速度行驶小时到达港口求，间的距离．，结果保留一位小数．
19.本小题分
如图，一艘轮船在处测得灯塔位于的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行海里到达处，测得灯塔位于的北偏东方向上，测得港口位于的北偏东方向上已知港口在灯塔的正北方向上．
填空： ______ 度， ______ 度；
求灯塔到轮船航线的距离结果保留根号；
求港口与灯塔的距离结果保留根号．
20.本小题分
如图，在处的正东方向有一港口某巡逻艇从处沿着北偏东方向巡逻，到达处时接到命令，立刻在处沿东南方向以海里小时的速度行驶小时到达港口求，间的距离，结果保留一位小数
21.本小题分
如图，在港口处的正东方向有两个相距的观测点、一艘轮船从处出发，沿北偏东方向航行至处，在、处分别测得、求轮船航行的距离参考数据：，，，，，
22.本小题分
如下图，某校教学楼的后面有一建筑物，当光线与地面的夹角是时，教学楼在建筑物的墙上留下高的影子；而当光线与地面的夹角是时，教学楼顶在地面上的影子与墙角有的距离、、在一条直线上
求教学楼的高度；
学校要在、之间挂一些彩旗，请你求出、之间的距离结果保留整数参考数据：，，
23.本小题分
如图是一台电脑支架，图是其侧面示意图，，可分别绕，转动，测量知，，当，转动到时，时，求点到的距离参考数据：，，
24.本小题分
如图，小华利用标杆和等腰直角三角尺测量楼高，他先在处竖立一根高米的标杆，发现地面上的点、标杆顶端与楼顶在一条直线上，测得米；然后他站在处利用等腰直角三角形测得视线与水平面的夹角，小华的眼睛到地面的距离米，米已知点、、、在同一直线上，，，请根据以上所测数据，计算楼高．
25.本小题分
北京中考真题如图，在四边形中，，点在上，，垂足为．
求证：四边形是平行四边形；
若平分，求和的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：如图，取格点，连接，．
观察图象可知，，，
，
，
故选：．
如图，取格点，连接，观察图象可知，，，推出，求出即可．
本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
2.【答案】
【解析】【分析】
此题考查圆周角定理，垂径定理，关键是利用圆周角定理得出连接、，利用圆周角定理得出，再利用垂径定理得出即可．
【解答】
解：连接交于点，连接，
，
，
点为的中点，
，
，
在中，，
，
，
故选D．
3.【答案】
【解析】解：在中，
，，
，
，
，
即河宽米，
故选：．
在直角三角形中，利用的长，以及的度数，进而得到的度数，根据三角函数即可求得的长．
此题考查了解直角三角形的应用方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了勾股定理以及垂径定理，等边三角形的性质，解直角三角形，三角形的中位线定理，利用垂径定理正确求得的长是解题的关键．根据等边三角形的性质求得圆的半径，然后根据中位线定理求得的长，利用勾股定理求得，即可求得的长，根据即可求解．
【解答】
解：连接交于，延长交于点连接，连接．
在直角中，，
，
又弦经过边的中点，且．
，
在直角中，，
，，
，
在直角中，，
，
．
故选C．
5.【答案】
【解析】【分析】
考查直角三角形的边角关系，特殊锐角的三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是正确解答的前提．根据直角三角形的边角关系，求出的值，再根据特殊锐角的三角函数值得出答案．
【解答】
解：在中，，
，
，
故选D．
6.【答案】
【解析】解：过点作，交的延长线于点，
，
设，，
，互为半余角，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，．
要求的值，想到构造直角三角形，根据已知可得的补角为，所以过点作，交的延长线于点，分别在和中利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了余角和补角，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理，考查了锐角三角函数的定义．根据垂直平分线性质可知，所以；根据可求出和，从而根据勾股定理求出．
【解答】
解：为的中垂线，
．
设，
，，
，
．
在中，，，
．
故选C．
8.【答案】
【解析】由题意，得，
，．
如图，过作于，
在中，
，，
．
在中，
，
，
，
，两港之间的距离为故选B．
9.【答案】
【解析】略
10.【答案】
【解析】解：，
，
，，
，
，
，
，
，分别为，的中点，
．
故选：．
由等腰直角三角形的性质求出，由锐角三角函数的定义求出，由三角形的中位线定理可求出答案．
本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，锐角三角函数，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：如图，作于．
，，
，
，设，
，
，
，
，
故选：．
如图，作于设，构建方程即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用，勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
12.【答案】
【解析】解：如图，在中，，
，
设由题意知，
过点作轴于，轴于，
，，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
时，最短，最短值为，
，
，
故选：．
先确定出，进而求出，利用最短，求出的值．
本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质等，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
13.【答案】
【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似证明三角形相似是解题的关键．证明 ，得到 ，结合已知代入计算即可．
【详解】 ， ，
， ，
，
，
， ，

，
解得 舍去．
故答案为： ．
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
过作垂直于，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出的长，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出的长，再利用勾股定理求出的长即可．
【解答】
解：过作，
在中，，，
，
在中，，
，即，
根据勾股定理得：，
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了解直角三角形的知识，勾股定理，相似三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握三角函数的定义及勾股定理的表达式．
在中，先求出，继而得出，再由∽，利用对应边成比例可求出．
【解答】
解：，，
，
，
是的中点，
，
∽，
，即，
解得：．
故答案为．
17.【答案】【小题】
如图，作于．
在中，，，
，，在中，
，，
【小题】
，，，，在中，．的正弦值为．

【解析】 见答案
见答案
18.【答案】解：过点作，垂足为点，则，，如图所示．
在中，，，
，；
在中，，
．
．
，间的距离约为海里．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，通过解直角三角形，求出，的长是解题的关键．过点作，垂足为点，则，，通过解直角三角形可求出，的长，将其相加即可求出的长．
19.【答案】
【解析】解：分别过点、，作，，垂足分别为、．
，，
．
、都是正北方向，
．
，
．
故答案为：，．
由知，
海里．
在中，
，
海里．
答：灯塔到轮船航线的距离为海里．
，，、都是正北方向，
四边形是矩形．
海里，．
在中，
，
．
海里．
在中，
，
海里．
海里．
答：港口与灯塔的距离为海里．
先说明，再利用外角与内角的关系、平行线的性质得结论；
先利用等腰三角形的性质先说明与的关系，再在中利用直角三角形的边角间关系得结论；
先说明四边形是矩形，再利用等腰三角形的性质、直角三角形的边角间关系得结论．
本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质是解决本题的关键．
20.【答案】解：过点作，垂足为点，则，，如图所示．
在中，，，
，；
在中，，
．
．
，间的距离约为海里．
【解析】过点作，垂足为点，则，，通过解直角三角形可求出，的长，将其相加即可求出的长．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，通过解直角三角形，求出，的长是解题的关键．
21.【答案】解：如图，过点作于点，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得，
在中，，
．
答：轮船航行的距离约为．
【解析】过点作于点，根据锐角三角函数即可求出轮船航行的距离．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
22.【答案】解：过点作，垂足为．
设为中，，
，
，
在中，，，
，
则，
解得：．
即教学楼的高为．
由可得．
在中，．
，
即、之间的距离约为．
【解析】本题考查解三角形的应用，属于中档题．
首先构造直角三角形，利用，求出即可；
利用中，，求出即可．
23.【答案】解：过点作，交的延长线于点．
过点作，，垂足分别为、．
，，，
四边形是矩形，．
，．
．
在中，
，
．
在中，．
，
．
．
答：点到的距离为．
【解析】过点作，过点作，，构造矩形和直角、，在直角三角形中利用直角三角形的边角间关系分别求出、，最后利用线段的和差关系得结论．
本题主要考查了解直角三角形，构造矩形和直角三角形，利用直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
24.【答案】解：如图，连接并延长交于点，则，
米，米，米，
米，
设米，则米，
，
米，米，
，
∽，
，
即，
解得，
即米，
答：楼高为米．
【解析】通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系列方程求解即可．
本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质，掌握直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
25.【答案】见详解； ，
【解析】【分析】由题意易得 ，然后问题可求证；
由及题意易得，然后由 可进行求解问题．
【详解】证明： ，
，
，
四边形 是平行四边形；
解：由可得四边形 是平行四边形，
，
， 平分 ， ，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数，熟练掌握平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数是解题的关键．
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