2.1直线与圆的位置关系 浙教版初中数学九年级下册同步练习（含答案）

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2.1直线与圆的位置关系浙教版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，中，，，，以点为圆心的圆与相切，则的半径为( )
A. B. C. D.
2.如图，线段经过的圆心，，分别与相切于点，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
3.如图，与相切于点，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
4.如图，菱形的顶点，，在上，过点作的切线，交的延长线于点若的半径为，则的长为( )
A. B. C. D.
5.如图，已知上三点，，，半径，，切线交延长线于点，则的长为( )
A. B. C. D.
6.如图，、分别与相切于、两点，点为上一点，连接、，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知：如图，是的直径，点在的延长线上，弦交于，连接、、，，，过作弦交圆与、两点，连接、则下列结论：；是的切线；；弦的弦心距等于则其中正确的是
( )
A. B. C. D.
8.如图所示，为的直径，，是上的点，，垂足为点，，过点作的切线交延长线于点，在不添加辅助线的情况下，角度为的角的个数为( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
9.如图，正五边形内接于，与相切于点，连接并延长，交于点，则的度数是( )
A. B. C. D.
10.如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与相交于点若的半径为，点的坐标是则点的坐标是
( )
A. B. C. D.
11.如图，是的切线，切点为，的延长线交于点，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
12.如图，在边长为的菱形中，，以点为圆心画弧，且与，边相切，则图中阴影部分的面积是( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13.抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一如图，，分别与相切于点，，延长，交于点若，的半径为，则图中的长为______ 结果保留
14.如图，，分别切于点，，是劣弧上一点，若，则 ．
15.如图，中，，，，为边的中点，以上一点为圆心的和、均相切，则的半径为 ．
16.如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在射线上，开始时，如果以秒的速度沿由向的方向移动，那么当的运动时间秒满足条件______ 时，与直线相交．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图，在中，，以为直径的半圆交于点，过点作半圆的切线，交于点．
求证：；
若，，求的长．
18.本小题分
如图，在中，，以为直径的交边于点，交边于点过点作的切线，交于点，交的延长线于点，连接．
求证：；
若，求的度数．
若，，求的半径．
19.本小题分
如图，在中，，平分交于点，点在上，以为直径的经过点．
求证：是的切线；
若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积．
20.本小题分
如图，是半圆的直径，点圆外一点，垂直于弦，垂足为点，交于点，连接，．
判断与的位置关系，并证明你的结论；
是否存在平分的情況？如果存在，求此时的度数；如果不存在，说明理由．
21.本小题分
如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且，过点作于点，延长和的延长线交于点．
证明：是的切线；
若，，求的面积．
22.本小题分
如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作交于点，连接．
求证：直线与相切．
若，，求的长．
23.本小题分
如图，是的直径，弦，垂足为，为延长线上一点，连接，．
若，，求的长；
若与相切，求证与相切．
24.本小题分
如图所示，是的直径，与相切，切点为，与相交于点，点是上任一点．
求证：；
已知：，求图中阴影部分的面积结果保留
25.本小题分
如图，以为直径的经过的中点，于点．
求证：是的切线；
当，时，求图中阴影部分的面积结果保留根号和．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了圆的切线的性质，勾股定理，以及直角三角形斜边上的高的求解方法．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用，设切点为，连接，由是的切线，即可得，又由在直角中，，，，根据勾股定理求得的长，然后由三角形的面积公式，即可求得以为圆心与相切的圆的半径的长．
【解答】
解：在中，，，，
，
，
设切点为，连结，
是的切线，
，
，
，
即，
的半径为．
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】略
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了切线的性质和圆周角定理、解直角三角形等知识点，能熟记切线的性质是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．
连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质求出，解直角三角形求出即可．
【解答】
解：连接，
，
，
是的切线，
，
，
，
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
连接、，先利用切线的性质得，再利用四边形的内角和计算出的度数，然后根据圆周角定理计算的度数．
【解答】
解：连接、，
、分别与相切于、两点，
，，
，
，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：连接、、，过作于，于，
，
，
，
，
，
，
是直径，
，故正确；
，
，
，
，
，
，
是切线，正确；
假设，则，
，
，
已知没有给出，错误；
是直径，
，
，
，
，
，
，，
，，，
，
，，
≌，
，故正确．
故选：．
连接、、，过作于，于，求出，求出，根据垂径定理求出即可；求出和即可求出是圆的切线；采用反证法求出，但已知没有给出此条件，即可判断；求出，推出，证≌，推出，即可判断．
本题考查了切线的判定、全等三角形的性质和判定、圆周角定理、垂径定理、三角形的中位线等知识点的运用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，但有一定的难度．
8.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
即在不添加辅助线的情况下，角度为的角的个数为个．
故选：．
根据圆周角定理和等腰三角形的性质得，从而得再根据，即可得，最后根据是的切线，得，从而得，即可得出答案．
本题考查圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理和切线的性质上解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：如图，连接．
是的切线，
，
五边形是正五边形，
，
．
故选：．
连接，利用切线的性质证明，再利用正五边形的性质求出，可得结论．
本题考查正多边形与圆，切线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握正五边形的性质，切线的性质，属于中考常考题型．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，圆的切线的性质，垂径定理，勾股定理，关键是求出的长度．
设与、轴相切的切点分别是、点，连接、、，延长与交于点，证明四边形为正方形，求得，再根据垂径定理求得，进而得、，便可得点坐标．
【解答】
解：设与、轴相切的切点分别是、点，连接、、，延长与交于点，
则轴，轴，
，
四边形是矩形，
，，
四边形为正方形，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，，，
，
四边形为矩形，四边形为矩形，
，，，
，
，
，，
，
，
．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：连接，如图，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，如图，根据切线的性质得，再利用互余计算出，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，得出垂直关系．
12.【答案】
【解析】解：以点为圆心画弧，弧与相切的切点为点，连接，如图：
四边形是菱形且边长为，，
，，，
以点为圆心画弧，弧与相切，
，
，
图中阴影部分的面积
菱形的面积扇形的面积
．
故选：．
由菱形的性质得出，，由三角函数求出菱形的高，图中阴影部分的面积菱形的面积扇形的面积，根据面积公式计算即可．
本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算．由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．
13.【答案】
【解析】【分析】
连接，，，可利用证明≌，从而可得出的度数，最后利用弧长公式求解答案即可．
本题考查了切线的性质、全等三角形的判定、弧长的计算，求出的度数是解题的关键．
【解答】
解：如图所示，连接，，，
，分别与相切于点，，
故，
又，，
在和中
则≌．
，
，
，
．
的长为．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
由切线的性质得出，由，得出，再由四边形内角和等于，即可得出答案．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和，掌握切线的性质和圆周角定理是解决问题的关键．
【解答】
解：如图，连接，，
，分别切于点，，
，
，
，
，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：过点作于点，于点．
、是的切线，
点、是切点，
、是的半径；
；
在中，，，，
由勾股定理，得；
又是边的中点，
，
又，
，即，
解得，
的半径是，
故答案为．
过点作于点，于点，根据切线的性质，知、是的半径；然后由三角形的面积间的关系列出关于圆的半径的等式，求得圆的半径．
本题考查了切线的性质与三角形的面积．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
16.【答案】
【解析】解：，
当点在上圆与相切时，需要运动秒，
当点与重合时，与圆相交，需要运动秒，
在这两个点之间的都是相交，
．
首先分析相切时的数量关系，则点到的距离应是，根据所对的直角边是斜边的一半，得；那么当点在上时，需要运动秒；当点与重合时，需要运动秒．所以．
此类题注意应考虑相交的临界条件，并注意点在射线上．
17.【答案】证明：连接，，
是的切线，
，
，
为直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：由知，，，
，
，，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
的长为．
【解析】连接，，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
根据勾股定理得到，，求得，推出是等边三角形，得到，，根据弧长公式即可得到结论．
本题考查了切线的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
18.【答案】【解答】证明：连接，
为直径，
，
，
，
；
解：连接，
是切线，是半径，
，
，
，
，
，
，
点、、、都在上，
，
；
解：，
，
，
，
，
，
∽，
，
设的半径是，则，
，
，
，
即的半径是．

【解析】【分析】连接，根据圆周角定理得出，根据等腰三角形的性质得出即可；
连接，根据切线的性质求出，求出、，根据圆内接四边形求出即可；
求出∽，得出比例式，即可求出圆的半径．
【点评】本题考查了切线的性质，圆内接四边形，相似三角形的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
19.【答案】证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又是半径，
是的切线；
解：如图，连接，，，
点是劣弧的中点，
，
，，
，
，
，
，
又，
，
又，
，
是等边三角形，
，
又，
，
，
．
【解析】利用角平分线和等腰三角形的性质可得，从而得出，即可证明结论；
连接，，，利用圆周角定理可得，则，将阴影部分面积转化为扇形的面积．
本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，将阴影部分面积转化为扇形的面积是解题的关键．
20.【答案】解：与相切．
理由：，
．
又，
．
，
与相切．
存在．，
，
，，
，
，
，
．
【解析】由于，那么，又，且，于是，从而有，再利用三角形内角和定理，可求，即是的切线．
证明，再利用三角形内角和定理即可解决问题．
此题主要考查了切线的判定定理以及圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21.【答案】解：证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
设，
在中，，，
由可得，
解得：，
即，
则．
【解析】本题主要考查了切线的判定，弧与圆心角的关系，关键是熟练掌握切线的判定方法．
先添加辅助线，然后利用平行线的性质，弧相等，则对的圆周角相等，从而可得垂直，得出切线的结论；
根据勾股定理先求半径，然后根据三角形的面积公式计算可得结果．
22.【答案】证明：如图，连接，
是的切线，是切点，
，
即，
，
，，
又，
，
，
又，，
≌，
，
即，
是半径，
是的切线；
解：设半径为，则，在中由勾股定理得，
，
即，
解得，
，，
∽，
，
即，
解得．
【解析】根据平行线的性质，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定方法可得≌，进而得到即可；
根据勾股定理和相似三角形的性质可得答案．
本题考查切线的判定，直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
23.【答案】解：连接，
，
，
，
在中，，
由勾股定理得：，
，
，
；
证明：连接，
与相切，
，
，，
，
又，，
≌，
，即，
又是的半径，
与相切．
【解析】连接，根据勾股定理得到，于是得到；
连接，根据切线的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，即，根据切线的判定定理即可得到结论．
本题考查了切线的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
24.【答案】证明：是的直径，
，
，
与相切，切点为，
，
，
即，
，
，
；
解：连接，如图，
，
，
为等腰直角三角形，，
，
，
．
【解析】利用圆周角定理得到，则，再根据切线的性质得，加上，于是可得；
连接，如图，利用直角三角形斜边上的中线性质得到，则可判断为等腰直角三角形，所以，，再利用圆周角定理得到，然后根据扇形面积公式，利用进行计算即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质和不规则几何图形面积的计算方法．
25.【答案】证明：连接，如图所示：
是的直径，是的中点，
是的中位线，
，
，
，
点在圆上，
为的切线；
解：过点作，垂足为，如图所示：
则，
，，
，
，
，
，
，
，，，
，，
，
阴影部分面积．
【解析】连接，先证是的中位线，得，再利用平行线的性质可以得到，从而判断是圆的切线；
过点作，垂足为，根据等腰三角形的性质得到，然后由扇形面积减去三角形面积求得阴影部分面积即可．
本题考查了切线的判定与性质、垂径定理、三角形中位线定理、等腰三角形的判定及性质、圆周角定理及扇形面积公式，熟练掌握切线的判定与性质和垂径定理是解题的关键．
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