(共35张PPT)
4.5.2 相似三角形周长和面积的性质
浙教版九年级上册
内容总览
教学目标
01
复习回顾/新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
学习目标
1.理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.
2.初步掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系以及关于它们之间关系的两条定理的证明方法，并会运用定理进行有关简单的计算.
3.运用相似三角形的周长比，面积比解决实际问题，增强对知识的应用意识.
复习回顾
1.想一想：如果两个相似三角形的相似比为3：5，则这两个三角形对应中线的比为_______，对应角平分线的比为_______.
3：5
3：5
2.相似三角形的对应线段有什么性质？
如果两个三角形相似，则它们对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
新知导入
在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的边长、周长、角、面积这些量中，哪些被放大了10倍
新知讲解
【动手画一画】在练习本上画两个相似三角形，用直尺量一量这两个三角形的边长，计算这两个三角形的相似比。
用直尺量出这两个三角形的三边长，计算这两个三角形的周长比是多少？
你有什么猜想？
新知讲解
观察下面两个等边三角形。
3
1
这两个三角形的相似比是多少？
这两个三角形的面积比是多少？
你有什么猜想？
新知讲解
（1）两个相似三角形的周长之比与相似比有什么关系
（2）两个相似三角形的面积之比与相似比有什么关系
相似三角形的周长之比等于相似比；
相似三角形的面积之比等于相似比的平方.
试着证明一下吧！
新知讲解
已知：如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k.
新知讲解
新知讲解
如图，分别作△ABC，△A'B'C'的 BC，B'C'边上的高线AD，A'D'.
∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B=∠B'(相似三角形的对应角相等).
∵AD，A'D'分别是BC，B'C'边上的高线，
∴∠ADB=∠A'D'B'=90°，
∴△ABD∽△A'B'D'(有两个角对应相等
的两个三角形相似)，
新知讲解
新知讲解
相似三角形的周长和面积有以下的性质：
相似三角形的周长之比等于相似比；
相似三角形的面积之比等于相似比的平方.
由上述证明过程可以看到，两个相似三角形的对应高线长之比也等于相似比.
新知讲解
【例3】下图是某市部分街道图，比例尺为1：100000. 请估计三条道
路围成的三角形地块ABC的实际周长和面积.
解：地图上的比例尺为1：100000，就是地图上的△ABC与实际三角形地块的相似比为 ，量得地图上AB=2.7cm，BC=3.0cm，AC=2.0cm，则地图上△ABC的周长为2.7十3.0+2.0=7.7(cm).
新知讲解
∴ 三角形地块的实际周长为7.7×105cm，即 7.7km. 量得BC边上的高线长为1.8cm，
∴ 地图上△ABC的面积为 ×3.0×1.8=2.7(cm2).
∴ 三角形地块的实际面积为2.7×1010cm2，即 2.7km2.
答：估计这个三角形地块的实际周长为7.7km，实际面积为2.7 km2.
新知讲解
【例4】如图，在△ABC中，作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.
若要使△ADE与四边形DBCE的面积相等，问AD与AB的比应取多少
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，则△BCD与△ABC的周长之比为( ).
A．1∶2
B．1∶3
C．1∶4
D．1∶5
A
2.已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中线，若AD＝10，A′D′＝6，则△ABC与△A′B′C′的周长比是( ).
A．3：5
B．9：25
C．5：3
D．25：9
课堂练习
C
课堂练习
3.如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的中点，则△ADE与△ABC的面积之比是( ).
A．1：4
B．1：3
C．1：2
D．2：1
A
课堂练习
4.如图，已知在□ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F，则下列选项中的结论错误的是( )
A．FA∶FB＝1∶2
B．AE∶BC＝1∶2
C．BE∶CF＝1∶2
D．S△ABE∶S△FBC＝1∶4
C
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
B
课堂练习
6. 如图，将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF，DE交AC于点G.若BC∶EC＝3∶1. S△ADG＝16，则S△CEG的值为( ) .
A．2
B．4
C．6
D．8
B
课堂练习
【综合实践类作业】
7.如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD.
（1）求证：△ABC∽△DEC；
证明：∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE＋∠ACE＝∠ACD＋∠ACE，即∠ACB＝∠DCE，
又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEC；
课堂练习
【综合实践类作业】
7.如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD.
（2）若S△ABC∶S△DEC＝4∶9，BC＝6，求EC的长．
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
1.相似三角形周长之比等于相似比
2.相似三角形面积之比等于相似比的平方
板书设计
课题：4.5.2 相似三角形周长和面积的性质
教师板演区
学生展示区
一、相似三角形周长之比等于相似比
二、相似三角形面积之比等于相似比的平方
作业布置
【知识技能类作业】必做题
1.两个相似三角形的周长比为1∶4，那么它们的对应边上的高的比为
( ) .
A．1∶4
B．1∶2
C．1∶16
D．4∶1
A
作业布置
2.已知△ABC∽△DEF，相似比为3∶1，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为( ) .
A．2
B．3
C．6
D．54
C
作业布置
选做题：
3.如图，已知每个小方格的边长均为1，那么△ABC与△CDE的周长比为________．
2：1
作业布置
选做题：
4.已知△ABC的各边长分别为2、5、6，与其相似的△A′B′C′的最长边为18，则△ABC与△A′B′C′的面积比等于( ) .
A．1∶3
B．1∶6
C．1∶9
D．4∶9
C
作业布置
【综合实践类作业】
5.如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E是BC的中点，DF⊥AE，F是垂足．(1)求证：△ABE∽△DFA；
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BE，∴∠1＝∠2.
又∵∠AFD＝∠B＝90°，
∴△ABE∽△DFA.
作业布置
【综合实践类作业】
5.如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E是BC的中点，DF⊥AE，F是垂足．(2)求S△DFA和S四边形CDFE.
作业布置
【综合实践类作业】
5.如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E是BC的中点，DF⊥AE，F是垂足．(2)求S△DFA和S四边形CDFE.
谢谢
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4.5.2 相似三角形周长和面积的性质 教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 相似三角形的周长与面积的性质是浙教版九年级上册第4章第5节的第2课时。这节课是在学会相似三角形的判定方法及相似的应用的基础上学习相似三角形的周长与面积的性质，使学生进一步体会图形相似的应用价值。相似图形是现实生活中广泛存在的现象，探索并证明相似图形的一些重要性质，不仅可以使学生更好的认识和描述物体的形状，体会图形相似性质在现实世界中的作用，还可以提高学生应用数学的能力。
学习者分析 在相似三角形的概念及判定方法以及应用学习以后，探索相似三角形性质周长的比等于相似比、面积比是对相似三角形的全面研究必须面对的，也是实际应用中较为广泛的内容，学生容易探究得出结论，应用起来较为灵活。
教学目标 1.理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.2.初步掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系以及关于它们之间关系的两条定理的证明方法，并会运用定理进行有关简单的计算.3.运用相似三角形的周长比，面积比解决实际问题，增强对知识的应用意识.
教学重点 理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.
教学难点 运用相似三角形的周长比，面积比解决实际问题，增强对知识的应用意识.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1：教师出示问题：1.想一想：如果两个相似三角形的相似比为3：5，则这两个三角形对应中线的比为3：5，对应角平分线的比为3：5.2.相似三角形的对应线段有什么性质？如果两个三角形相似，它们对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的边长、周长、角、面积这些量中，哪些被放大了10倍 学生活动1：学生复习上节课所学知识，回答教师提出的问题。学生思考导入中的问题。活动意图说明：通过复习，以及导入中的问题，感受数学就在我们的身边，进而出示实际生活中的问题，引发学生的思考与分析，激励学生自主的提出要研究的问题.环节二：探究相似三角形的周长比和相似比教师活动2：教师出示课本问题：【动手画一画】在练习本上画两个相似三角形，用直尺量一量这两个三角形的边长，计算这两个三角形的相似比。用直尺量出这两个三角形的三边长，计算这两个三角形的周长比是多少？你有什么猜想？观察下面两个等边三角形。这两个三角形的相似比是多少？这两个三角形的面积比是多少？你有什么猜想？（1）两个相似三角形的周长之比与相似比有什么关系 （2）两个相似三角形的面积之比与相似比有什么关系 相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积之比等于相似比的平方.试着证明一下吧！已知：如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k.如图，分别作△ABC，△A'B'C'的 BC，B'C'边上的高线AD，A'D'.∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B=∠B'(相似三角形的对应角相等).∵AD，A'D'分别是BC，B'C'边上的高线，∴∠ADB=∠A'D'B'=90°，∴△ABD∽△A'B'D'(有两个角对应相等的两个三角形相似)，相似三角形的周长和面积有以下的性质：相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积之比等于相似比的平方.由上述证明过程可以看到，两个相似三角形的对应高线长之比也等于相似比.学生活动2：学生通过画图，思考两个三角形的周长比是多少？学生观察三角形，思考两个三角形的面积比是多少？学生提出猜想。学生在教师的引导下证明提出的猜想。学生总结相似三角形的周长和面积的性质。活动意图说明：学生在教师引导下探索相似三角形的周长和面积的性质，经历了公式的形成过程，坚持新课程的理念转换教师的角色，以引导者、参与者的形象介入到学生的学习之中，能有效的调动学习积极性。环节三：例题讲解教师活动3：【例3】下图是某市部分街道图，比例尺为1：100000. 请估计三条道路围成的三角形地块ABC的实际周长和面积.解：地图上的比例尺为1：100000，就是地图上的△ABC与实际三角形地块的相似比为，量得地图上AB=2.7cm，BC=3.0cm，AC=2.0cm，则地图上△ABC的周长为2.7十3.0+2.0=7.7(cm).∴ 三角形地块的实际周长为7.7×105cm，即 7.7km. 量得BC边上的高线长为1.8cm，∴ 地图上△ABC的面积为×3.0×1.8=2.7(cm2).∴ 三角形地块的实际面积为2.7×1010cm2，即 2.7km2.答：估计这个三角形地块的实际周长为7.7km，实际面积为2.7 km2.【例4】如图，在△ABC中，作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若要使△ADE与四边形DBCE的面积相等，问AD与AB的比应取多少 学生活动3：学生在教师的指导下完成课本问题。师生共同完成解题过程。活动意图说明：学生能够运用已学知识解决问题，这样既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题、逻辑理解的能力。
板书设计 课题：4.5.2 相似三角形周长和面积的性质一、相似三角形周长之比等于相似比二、相似三角形面积之比等于相似比的平方
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题：1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，则△BCD与△ABC的周长之比为( A ).A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶52.已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中线，若AD＝10，A′D′＝6，则△ABC与△A′B′C′的周长比是( C ).A．3：5 B．9：25 C．5：3 D．25：93.如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的中点，则△ADE与△ABC的面积之比是( A ).A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．2：14.如图，已知在□ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F，则下列选项中的结论错误的是( C )A．FA∶FB＝1∶2 B．AE∶BC＝1∶2C．BE∶CF＝1∶2 D．S△ABE∶S△FBC＝1∶4选做题：5.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则△DEO与△BCD的面积的比等于( B )A. B． C. D．6. 如图，将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF，DE交AC于点G.若BC∶EC＝3∶1. S△ADG＝16，则S△CEG的值为( B ) .A．2 B．4 C．6 D．8【综合实践类作业】7.如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD.（1）求证：△ABC∽△DEC；证明：∵∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE＋∠ACE＝∠ACD＋∠ACE，即∠ACB＝∠DCE，又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEC；（2）若S△ABC∶S△DEC＝4∶9，BC＝6，求EC的长．
作业布置 【知识技能类作业】必做题1.两个相似三角形的周长比为1∶4，那么它们的对应边上的高的比为( A ) .A．1∶4 B．1∶2 C．1∶16 D．4∶12.已知△ABC∽△DEF，相似比为3∶1，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为( C ) .A．2 B．3 C．6 D．54选做题：3.如图，已知每个小方格的边长均为1，那么△ABC与△CDE的周长比为_2:1__．4.已知△ABC的各边长分别为2、5、6，与其相似的△A′B′C′的最长边为18，则△ABC与△A′B′C′的面积比等于( C ) .A．1∶3 B．1∶6 C．1∶9 D．4∶9【综合实践类作业】5.如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E是BC的中点，DF⊥AE，F是垂足．(1)求证：△ABE∽△DFA；证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BE，∴∠1＝∠2.又∵∠AFD＝∠B＝90°，∴△ABE∽△DFA.(2)求S△DFA和S四边形CDFE.
课堂总结 本节课你学到了哪些知识？1.相似三角形周长之比等于相似比2.相似三角形面积之比等于相似比的平方
教学反思 在已有知识的基础上用类比化归的思想去探究新知，让学生充分体会数学知识之间的内在联系，以此激发学生的学习兴趣，学生在得出相似三角形周长比等于相似比后，就及时提出由相似比如何求面积比，让他们又讨论、探究，最后得出了结论，整个课堂气氛活跃。
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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 上册第四章
课标要求 了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 2.通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。 3.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 4.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。*了解相似三角形判定定理的证明。 5.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 6.了解三角形中心的概念 7.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。 8.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。
内容分析 相似图形是指两个在外形、大小方面具有某种关系的图形，它以全等三角形和相似变换为根底，是全等三角形在边上的推广，是相似变换的延续和深化，它是空间与图形范围中的首要内容，对前后各部分常识起到纽带的作用。本章内容主要包含比例线段，相似三角形，相似三角形的性质及其应用，相似多边形，图形的位似等。这些内容是以比例线段为根底，以相似三角形为中心展开并探究的，并且在物理学、工程设计、测量、绘图等许多方面，都要用到相似三角形的知识，相似三角形有关知识的考查在中考中也占有重要地位，因此学好相似三角形既是进一步学习的需要，也是工作实践的需要。
学情分析 九年级学生已经具有自主学习意识，由于七年级时学过全等三角形，学生在学习过程中容易将全等三角形的定义和相似三角形的定义混在一起，学习时应强调对应角相等、对应边成比例的三角形叫相似三角形。在学习过程中，对应角和对应边这个概念容易出错，作为教师应该耐心说明。在记两个三角形相似时，跟记两个三角形全等一样，通常把表示对应点的字母写在对应的位置上，这样就比较容易地找出相似三角形的对应角和对应边。
单元目标 （一）教学目标 1.理解比例的基本性质，会应用比例的基本性质进行简单的比例式的变形。 2.了解线段比和成比例线段的概念 理解比例中项的概念。 3.了解相似三角形的概念，探索两个三角形相似的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似，会在简单情况下判定两个三角形相似。 4.了解相似三角形的对应角相等，对应边成比例，了解三角形的重心的概念和性质，会利用相似三角形的性质解决有关测量等的简单实际问题。 5.了解相似多边形的概念，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长之比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 6.了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。 （二）教学重点、难点 重点： 1.理解比例的基本性质。 2.了解相似三角形的概念，掌握两个三角形相似的判定定理。 3.了解相似三角形的性质。 4.了解相似多边形的概念和图形的位似。 难点： 1.会应用比例的基本性质进行简单的比例式的变形，掌握基本事实：两条直线被一组平行线（不少于 3 条）所截，所得对应线段成比例。 2.了解黄金分割，会进行有关黄金分割的简单计算。 3.会判定两个三角形相似。 4.了解三角形的重心的概念和性质，会利用相似三角形的性质解决有关测量等的简单实际问题。 5.知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长之比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数4.1比例线段34.2由平行线截得的比例线段14.3相似三角形14.4两个三角形相似的判定34.5相似三角形的性质及其应用34.6相似多边形14.7图形的位似1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务 比例线段31.掌握比例的基本性质及其简单应用。 2.能灵活运用比例的基本性质进行比例式的变形。培养用方程的观点解决问题的思想方法和思维习惯。理解掌握比例的基本性质，能运用比例的基本性质进行简单应用。1.知道线段的比的概念，会计算两条线段的比。 2.理解成比例线段的概念，掌握成比例线段的判定方法。1．会求两条线段的比。 2.会判断几条线段是否成比例。从丰富的实例入手,引导学生进行观察、发现和概括，在自主探究和合作交流过程中,适时引入新知识。1.知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比。 2.能对黄金分割进行简单运用。体会数形结合思想在解决数学问题中的作用，在现实情境中体会黄金分割的文化价值，感受数学之美。通过一些具体的例子让学生感受黄金分割的作用，并通过作图让学生感受到黄金分割点的存在。由平行线截得的比例线段1 1.探究基本事实：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例。 2.能应用定理证明线段成比例、平行等问题，并会进行有关的计算。1.理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。 2.通过应用，培养识图能力和推理论证能力。 利用换线段、换中间比及分析法探求解题思路方法，培养学生分解根本图形的能力，并利用特殊形式研究问题的方法。 相似三角形1 1.理解掌握相似三角形的定义。 2.掌握相似三角形的性质定理的内容及证明，使学生进一步理解相似三角形的概念。1.了解对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 2.根据相似三角形的定义，得到相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 本节的重点与难点是相似三角形的定义，解决这一难点的关键是正确理解相似三角形的定义，区分全等形与相似形的相同点不同点。 两个三角形相似的判定3 1.掌握三角形相似的判定定理1：有两个角对应相等的两个三角形相似。 2.学会从题设或结论出发寻求论证思路的分析方法，提高分析问题，解决问题的能力。 经历过探索全等三角形判定，通过类比得到相似三角形的判定方法。 掌握判定定理1：有两个角对应相等的两个三角形相似，会运用判定定理判定两个三角形相似。1.掌握三角形相似的判定定理2：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。 2.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。1.掌握判定方法2，会运用判定方法判定两个三角形相似. 2会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似。通过画图、度量等操作，经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程。1.复习已经学过的三角形相似的两个判定定理。 2.掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算。1.掌握三角形相似的第3个判定方法：三边对应成比例的两个三角形相似。 2会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似。类似于判定三角形全等的SSS 方法，探索通过三边关系来判定两个三角形相似。 相似三角形的性质及其应用31.进一步理解相似比的概念，掌握相似三角形的性质定理。 2.掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理来解决问题.通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美，进一步培养学生类比的教学思想。 掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理来解决问题.1.理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 2.运用相似三角形的周长比，面积比解决实际问题，增强学生对知识的应用意识.初步掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系以及关于它们之间关系的两条定理的证明方法，并会运用定理进行有关简单的计算。通过画图，探索相似三角形的周长与面积的性质。能够运用相似三角形的周长与面积的性质解决相关问题，1.能运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题. 2.进一步检验数学的应用价值.运用相似三角形的性质解决简单的实际问题.建立相关的相似三角形的模型，然后根据相似三角形的性质以及比例关系解决实际问题。 相似多边形11.通过图形的收集、思考、归纳出相似多边形及相似比的概念，并能用语言叙述。 2.能够依据定义准确判断出两个多边形是否相似，并能依据相似解决相似多边形的边角问题。 1.类比相似三角形的概念得出相似多边形的概念及表示方法。 2.掌握相似多边形的周长、面积的性质。通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形的定义和相似比。 图形的位似11.理解图形的位似概念，掌握位似图形的性质。 2.会利用作位似图形的方法把一个图形进行放大或缩小。经历位似图形性质的探索过程，发展学生的探究、交流能力，培养学生动手、动脑、手脑和谐一致的习惯。通过画图一一观察一一操作一一思考的活动过程，认识位似图形。
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