【七上】专题1一元一次方程及等式的性质【十大题型】（含解析）

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一元一次方程及等式的性质【十大题型】
【知识点1 方程及一元一次方程的定义】
（1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程．
方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．
（2）一元一次方程的定义：
只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．
【题型1 方程及一元一次方程的定义】
【例1】（2022 顺德区模拟）下列等式中不是一元一次方程的是（　　）
A．2x﹣5＝21 B．40+5x＝100
C．（1+147.30%）x＝8930 D．x（x+25）＝5850
【变式1-1】（2022秋 博白县期末）下列式子中是方程的是（　　）
A．5x+4 B．3x﹣5＜7 C．x﹣2＝6 D．3×2﹣1＝5
【变式1-2】（2022秋 盐城校级期中）下列方程（1）2；（2）5x﹣2＝2x﹣（3﹣2x）；（3）xy＝5；（4）2；（5）x2﹣x＝1；（6）x＝0中一元一次方程有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1-3】（2022 江东区质检）在初中数学中，我们学习了各种各样的方程．以下给出了6个方程，请你把属于一元方程的序号填入圆圈（1）中，属于一次方程的序号填入圆圈（2）中，既属于一元方程又属于一次方程的序号填入两个圆圈的公共部分．
①3x+5＝9：②x2+4x+4＝0；③2x+3y＝5：④x2+y＝0；⑤x﹣y+z＝8：⑥xy＝﹣1．
【题型2 利用一元一次方程的定义求值】
【例2】（2022 市中区模拟）若方程（m2﹣1）x2﹣mx﹣x+2＝0是关于x的一元一次方程，则代数式|m﹣1|的值为（　　）
A．0 B．2 C．0或2 D．﹣2
【变式2-1】（2022秋 婺源县期末）已知方程x2k-1+k＝0是关于x的一元一次方程，则方程的解等于（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．
【变式2-2】（2022 江阴市校级期末）如果（a﹣2）x|a|-1﹣2＝0是一元一次方程，那么a是　　．
【变式2-3】（2022秋 鄂州月考）（3a+2b）x2+ax+b＝0是关于x的一元一次方程，且x有唯一解，则x＝　　．
【知识点2 方程的解】
方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．
【题型3 方程的解】
【例3】（2022 温州期末）若关于x的方程mx＝4﹣x的解是整数，则非负整数m的值为　　　　．
【变式3-1】（2022 番禺区期末）已知关于x的方程4ax+5＝﹣3﹣a的解为，则3a+5的值为　　　．
【变式3-2】（2022秋 锦江区校级期末）对于正整数n，阶乘符号n!表示从n到1的整数的乘积（例如：6!＝6×5×4×3×2×1），则满足方程5! 9!＝N！ 12的N的值为 　　　．
【变式3-3】（2022春 黔江区期末）已知关于x的方程2x﹣3x的解满足|x|＝1，则m的值是（　　）
A．﹣6 B．﹣12 C．﹣6或﹣12 D．6或12
【题型4 列方程】
【例4】（2022秋 泗水县期末）一根细铁丝用去后还剩2m，若设铁丝的原长为xm，可列方程为　　　　　．
【变式4-1】（2022秋 南岗区期末）列等式表示“x的三分之一减y的差等于6”是　　　　　　　．
【变式4-2】（2022秋 雨花区校级期末）某校长方形的操场周长为210m，长与宽之差为15m，设宽为xm，列方程为 　　　　　　　　　．
【变式4-3】（2022秋 越秀区校级月考）一件衣服打八折后，售价为88元，设原价为x元，可列方程为 　　　　　　　　　．
【知识点3 等式的性质】
性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
【题型5 利用等式的性质变形】
【例5】（2022 青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（　　）
A．若，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b
C．若a2＝b2，则a＝b D．若x＝6，则x＝﹣2
【变式5-1】（2022 杭州）设x，y，c是有理数，正确的是（　　）
A．若x＝y，则x+c＝y﹣c B．若x＝y，则xc＝yc
C．若x＝y，则 D．若，则2x＝3y
【变式5-2】（2022 安徽）设a，b，c为互不相等的实数，且bac，则下列结论正确的是（　　）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a﹣b＝4（b﹣c） D．a﹣c＝5（a﹣b）
【变式5-3】（2022 镇海区校级二模）下列等式变形：（1）如果ax＝ay，那么x＝y；（2）如果a+b＝0，那么a2＝b2；（3）如果|a|＝|b|，那么a＝b；（4）如果4a＝7b，那么，其中正确的有（　　）
A．（1）（4） B．（1）（2）（4） C．（1）（3） D．（2）（4）
【题型6 等式的性质的应用】
【例6】（2022 石家庄模拟）能运用等式的性质说明如图事实的是（　　）
A．如果a+c＝b+c，那么a＝b（a，b，c均不为0）
B．如果a＝b，那么a+c＝b+c（a，b，c均不为0）
C．如果a﹣c＝b﹣c，那么a＝b（a，b，c均不为0）
D．如果a＝b，那么ac＝bc（a，b，c均不为0）
【变式6-1】（2022 河北）有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（　　）
A．
B．
C．
D．
【变式6-2】（2022 芦淞区模拟）有质量分别为11克和17克的砝码若干个，在天平上称出质量为3克的物体，至少要用 　　个这样的砝码．
【变式6-3】（2022 利津县一模）如图，“●、■、▲”分别表示三种不同的物体，已知前两架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡，如果在？处只放“■”那么应放“■”（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【题型7 利用等式的性质解方程】
【例7】（2022秋 饶平县校级期末）利用等式的性质解方程：
（1）5+x＝﹣2
（2）3x+6＝31﹣2x．
【变式7-1】（2022秋 柳江区期中）利用等式的性质解方程并检验：．
【变式7-2】（2022秋 盂县期中）用等式性质解下列方程：
（1）4x﹣7＝13
（2）3x+2＝x+1．
【变式7-3】（2022秋 三门县期中）利用等式的性质解方程：
（1）5﹣x＝﹣2
（2）3x﹣6＝﹣31﹣2x．
【题型8 方程的解中的遮挡问题】
【例8】（2022秋 玉田县期末）小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了x＝1，他翻阅了答案知道这个方程的解为x＝1，于是他判断●应该是　　　．
【变式8-1】（2022秋 红河州期末）方程2+▲＝3x，▲处被墨水盖住了，已知方程的解是x＝2，那么▲处的数字是 　　　．
【变式8-2】（2022秋 巴彦县期末）小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式8-3】（2022秋 郫都区期末）小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了﹣2x+●＝3x，他翻阅了答案知道这个方程的解为x＝﹣1，于是他判断●的值应为　　　．
【题型9 利用等式的性质检验方程的解】
【例9】（2022秋 雨花区期末）x＝2是方程ax﹣4＝0的解，检验x＝3是不是方程2ax﹣5＝3x﹣4a的解．
【变式9-1】（2022春 崇明区期末）x＝1 　　　方程x2+3＝3x+1的解．（填“是”或“不是”）
【变式9-2】（2022秋 雨花区校级期末）判断括号内未知数的值是不是方程的根：
（1）x2﹣3x﹣4＝0（x1＝﹣1，x2＝1）；
（2）（2a+1）2＝a2+1（a1＝﹣2，a2）．
【变式9-3】（2022秋 莱山区期末）有下列方程：①x＝1；②2x﹣3＝1；③x；④（x+1）（x+2）＝12；⑤2x3；⑥2[3x﹣（x﹣3）]﹣3＝11．其中，x＝2是其解的方程有 　　　　．（填序号）
【题型10 方程的解的规律问题】
【例10】（2022春 卫辉市期中）一列方程如下排列：
1的解是x＝2，
1的解是x＝3，
1的解是x＝4，
…
根据观察得到的规律，写出其中解是x＝2017的方程：　　　　　　．
【变式10-1】先阅读下列一段文字，然后解答问题．
已知：方程的解是x1＝2，x2；方程的解是x1＝3，x2；
方程的解是x1＝4，x2；方程的解是x1＝5，x2．
问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程的解，并写出检验．
【变式10-2】（2022秋 莘县校级月考）有一系列方程，第1个方程是（x﹣2）＝1，解为x；第2个方程是（x﹣3）＝1，解为x；第3个方程是（x﹣4）＝1，解为x，…，根据规律第7个方程（x﹣8）＝1，解为 　　　　．
【变式10-3】（2022春 方城县期中）已知关于x的方程的两个解是；
又已知关于x的方程的两个解是；
又已知关于x的方程的两个解是；
…，
小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想．
关于x的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题．
（1）关于x的方程的两个解是x1＝　　　　和x2＝　　　；
（2）已知关于x的方程，则x的两个解是多少？
一元一次方程及等式的性质【十大题型】
【知识点1 方程及一元一次方程的定义】
（1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程．
方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．
（2）一元一次方程的定义：
只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．
【题型1 方程及一元一次方程的定义】
【例1】（2022 顺德区模拟）下列等式中不是一元一次方程的是（　　）
A．2x﹣5＝21 B．40+5x＝100
C．（1+147.30%）x＝8930 D．x（x+25）＝5850
【分析】利用一元一次方程方程的定义判断即可．
【详解】解：x（x+25）＝5850是一元二次方程，
故选：D．
【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
【变式1-1】（2022秋 博白县期末）下列式子中是方程的是（　　）
A．5x+4 B．3x﹣5＜7 C．x﹣2＝6 D．3×2﹣1＝5
【分析】根据方程的定义，含有未知数的等式是方程，判断即可．
【详解】解：A.5x+4，不是方程，故A不符合题意；
B.3x﹣5＜7是一元一次不等式，故B不符合题意，
C．x﹣2＝6，是方程，故C符合题意；
D.3×2﹣1＝5，不是方程，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了方程的定义，熟练掌握方程的定义是解题的关键．
【变式1-2】（2022秋 盐城校级期中）下列方程（1）2；（2）5x﹣2＝2x﹣（3﹣2x）；（3）xy＝5；（4）2；（5）x2﹣x＝1；（6）x＝0中一元一次方程有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．
【详解】解：（1）2、（6）x＝0符合一元一次方程的定义，属于一元一次方程；
（2）由5x﹣2＝2x﹣（3﹣2x）得到：x+1＝0，符合一元一次方程的定义，属于一元一次方程；
（3）xy＝5中含有2个未知数，属于二元二次方程；
（4）2不是整式方程；
（5）x2﹣x＝1的未知数的最高次数是2，属于一元二次方程．
综上所述，属于一元一次方程的个数是3．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
【变式1-3】（2022 江东区质检）在初中数学中，我们学习了各种各样的方程．以下给出了6个方程，请你把属于一元方程的序号填入圆圈（1）中，属于一次方程的序号填入圆圈（2）中，既属于一元方程又属于一次方程的序号填入两个圆圈的公共部分．
①3x+5＝9：②x2+4x+4＝0；③2x+3y＝5：④x2+y＝0；⑤x﹣y+z＝8：⑥xy＝﹣1．
【分析】根据一次方程与一元一次方程的定义即可解答．
【详解】解：（1）一元方程，①3x+5＝9②x2+4x+4＝0；
（2）一次方程①3x+5＝9⑤x﹣y+z＝8③2x+3y＝5；
（3）既属于一元方程又属于一次方程的是①3x+5＝9．
【点睛】此题很简单，关键是熟知一次方程与一元一次方程的定义即可解答．
【题型2 利用一元一次方程的定义求值】
【例2】（2022 市中区模拟）若方程（m2﹣1）x2﹣mx﹣x+2＝0是关于x的一元一次方程，则代数式|m﹣1|的值为（　　）
A．0 B．2 C．0或2 D．﹣2
【分析】根据一元一次方程的定义知m2﹣1＝0，且﹣m﹣1≠0，据此可以求得代数式|m﹣1|的值．
【详解】解：由已知方程，得
（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+2＝0．
∵方程（m2﹣1）x2﹣mx﹣x+2＝0是关于x的一元一次方程，
∴m2﹣1＝0，且﹣m﹣1≠0，
解得，m＝1，
则|m﹣1|＝0．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的概念和解法．一元一次方程的未知数的指数为1．
【变式2-1】（2022秋 婺源县期末）已知方程x2k-1+k＝0是关于x的一元一次方程，则方程的解等于（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．根据定义可列出关于k的方程，求解即可．
【详解】解：由一元一次方程的特点得，2k﹣1＝1，
解得：k＝1，
∴一元一次方程是：x+1＝0
解得：x＝﹣1．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
【变式2-2】（2022 江阴市校级期末）如果（a﹣2）x|a|-1﹣2＝0是一元一次方程，那么a是　﹣2　．
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．据此可得出关于a的式子，进而求出a的值．
【详解】解：由题意，得，
解得：m＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的次数是1，一次项系数不等于0，这是这类题目考查的重点．
【变式2-3】（2022秋 鄂州月考）（3a+2b）x2+ax+b＝0是关于x的一元一次方程，且x有唯一解，则x＝　1.5　．
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．高于一次的项系数是0，据此可得出3a+2b＝0且a≠0，再用b表示a，代入原方程，即可得出x的值．
【详解】解：方程（3a+2b）x2+ax+b＝0是关于x的一元一次方程，且有唯一解，
则3a+2b＝0且a≠0，
因为a，b≠0，
把a代入ax+b＝0，得
bx+b＝0，
所以，x+1＝0，
解得x＝1.5．
故答案为：1.5．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
【知识点2 方程的解】
方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．
【题型3 方程的解】
【例3】（2022 温州期末）若关于x的方程mx＝4﹣x的解是整数，则非负整数m的值为　0或1或3　．
【分析】先用m的代数式表示x的值，再根据方程的解是整数，求非负整数m的值即可．
【详解】解：由方程mx＝4﹣x，得：x，
∵方程的解是整数，
∴非负整数m的值为0或1或3．
故答案为：0或1或3．
【点睛】本题主要考查了方程解的定义，关键会用m的代数式表示方程的解．
【变式3-1】（2022 番禺区期末）已知关于x的方程4ax+5＝﹣3﹣a的解为，则3a+5的值为　﹣3　．
【分析】根据方程解的定义，将方程的解代入方程可得关于字母系数a的一元一次方程，从而可求出a的值，然后将其代入求值式即可得到答案．
【详解】解：方法1：把x代入方程，得：4a+5＝﹣3﹣a，
解得：a．
∴3a+5＝3×（）+5＝﹣3．
方法2：把x代入方程，得：4a+5＝﹣3﹣a，即2a+5＝﹣3﹣a，3a+5＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点睛】已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母系数的方程进行求解．可把它叫做“有解就代入”．
【变式3-2】（2022秋 锦江区校级期末）对于正整数n，阶乘符号n!表示从n到1的整数的乘积（例如：6!＝6×5×4×3×2×1），则满足方程5! 9!＝N！ 12的N的值为 　10　．
【分析】根据阶乘符号n!表示从n到1的整数的乘积，进行计算即可．
【详解】解：∵5! 9!＝N！ 12，
∴5×4×3×2×1 9!＝N！ 12，
∴12×10 9!＝N！ 12，
∴10!＝N!，
∴N＝10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了方程的解，有理数的混合运算，熟练掌握阶乘符号n!表示从n到1的整数的乘积，进行计算是解题的关键．
【变式3-3】（2022春 黔江区期末）已知关于x的方程2x﹣3x的解满足|x|＝1，则m的值是（　　）
A．﹣6 B．﹣12 C．﹣6或﹣12 D．6或12
【分析】方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右两边相等．就得到一个关于m的方程，解方程就可求出m．
【详解】解：∵|x|＝1∴x＝±1
当x＝1时，代入方程得：2﹣31，
解得：m＝﹣6；
当x＝﹣1时，代入方程得：﹣2﹣31，
解得：m＝﹣12
∴m＝﹣6或﹣12
故选：C．
【点睛】本题主要考查了方程解的定义，已知|x|＝1即已知方程的解是±1，方程的解实际就是得到了两个关于m的方程．
【题型4 列方程】
【例4】（2022秋 泗水县期末）一根细铁丝用去后还剩2m，若设铁丝的原长为xm，可列方程为　xx＝2　．
【分析】设铁丝的原长为xm，用去全长的后还剩2m，根据题意可得出数量关系式：铁丝的全长﹣铁丝全长剩下铁丝的长度，据此可列出方程．
【详解】解：设铁丝的原长为xm，
由题意，得：xx＝2．
故答案为：xx＝2．
【点睛】本题考查学生利用数量关系式列方程，培养学生的分析能力．
【变式4-1】（2022秋 南岗区期末）列等式表示“x的三分之一减y的差等于6”是　　．
【分析】本题需先根据已知条件“x的三分之一减y的差等于6”，列出等式，即可求出答案．
【详解】解：根据已知条件：“x的三分之一减y的差等于6”，
得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，在解题时要根据已知条件列出等式是本题的关键．
【变式4-2】（2022秋 雨花区校级期末）某校长方形的操场周长为210m，长与宽之差为15m，设宽为xm，列方程为 　2（x+x+15）＝210　．
【分析】先表示出长，再根据长方形的周长公式列出方程即可．
【详解】解：设宽为xm，则长为（x+15）m，
根据题意得，2（x+x+15）＝210．
故答案为：2（x+x+15）＝210．
【点睛】本题考查了一元一次方程，主要利用了长方形的周长公式．
【变式4-3】（2022秋 越秀区校级月考）一件衣服打八折后，售价为88元，设原价为x元，可列方程为 　0.8x＝88　．
【分析】根据打八折后售价等于88元列式即可．
【详解】解：设原价为x元，
根据题意得，0.8x＝88．
故答案为：0.8x＝88．
【点睛】本题考查了方程的定义，理解打折的意义是解题的关键．
【知识点3 等式的性质】
性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
【题型5 利用等式的性质变形】
【例5】（2022 青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（　　）
A．若，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b
C．若a2＝b2，则a＝b D．若x＝6，则x＝﹣2
【分析】根据等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：A、若，则a＝b，故A符合题意；
B、若ac＝bc（c≠0），则a＝b，故B不符合题意；
C、若a2＝b2，则a＝±b，故C不符合题意；
D、x＝6，则x＝﹣18，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
【变式5-1】（2022 杭州）设x，y，c是有理数，正确的是（　　）
A．若x＝y，则x+c＝y﹣c B．若x＝y，则xc＝yc
C．若x＝y，则 D．若，则2x＝3y
【分析】根据等式的性质，可得答案．
【详解】解：A、两边加不同的数，故A不符合题意；
B、两边都乘以c，故B符合题意；
C、c＝0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意；
D、两边乘6c，得到，3x＝2y，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟记等式的性质并根据等式的性质求解是解题关键．
【变式5-2】（2022 安徽）设a，b，c为互不相等的实数，且bac，则下列结论正确的是（　　）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a﹣b＝4（b﹣c） D．a﹣c＝5（a﹣b）
【分析】根据等式的基本性质，对已知等式进行变形即可．
【详解】解：∵bac，
∴5b＝4a+c，
在等式的两边同时减去5a，得到5（b﹣a）＝c﹣a，
在等式的两边同时乘﹣1，则5（a﹣b）＝a﹣c．
故选：D．
【点睛】本题主要考查等式的基本性质，结合已知条件及选项，对等式进行合适的变形是解题关键．
【变式5-3】（2022 镇海区校级二模）下列等式变形：（1）如果ax＝ay，那么x＝y；（2）如果a+b＝0，那么a2＝b2；（3）如果|a|＝|b|，那么a＝b；（4）如果4a＝7b，那么，其中正确的有（　　）
A．（1）（4） B．（1）（2）（4） C．（1）（3） D．（2）（4）
【分析】根据等式的性质以及绝对值的性质即可判断．
【详解】解：（1）∵ax＝ay，
当a≠0时，x＝y，
故（1）选项不符合题意；
（2）∵a+b＝0，
∴a＝﹣b，
∴a2＝（﹣b）2，
即a2＝b2，
故（2）选项符合题意；
（3）∵|a|＝|b|，
∴a＝±b，
故（3）选项不符合题意；
（4）∵4a＝7b，
两边同时除以28，可得，
故（4）选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了等式的基本性质以及绝对值的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
【题型6 等式的性质的应用】
【例6】（2022 石家庄模拟）能运用等式的性质说明如图事实的是（　　）
A．如果a+c＝b+c，那么a＝b（a，b，c均不为0）
B．如果a＝b，那么a+c＝b+c（a，b，c均不为0）
C．如果a﹣c＝b﹣c，那么a＝b（a，b，c均不为0）
D．如果a＝b，那么ac＝bc（a，b，c均不为0）
【分析】根据等式的性质解答即可．
【详解】解：观察图形，是等式a+c＝b+c的两边都减去c（a，b，c均不为0），利用等式性质1，得到a＝b，
即如果a+c＝b+c，那么a＝b（a，b，c均不为0）．
故选：A．
【点睛】本题考查了等式的性质，掌握等式两边加或减去同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键．
【变式6-1】（2022 河北）有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用已知盘子上的物体得出物体之间的重量关系进而得出答案．
【详解】解：设的质量为x，的质量为y，的质量为：a，
假设A正确，则，x＝1.5y，此时B，C，D选项中都是x＝2y，
故A选项错误，符合题意．
故选：A．
【变式6-2】（2022 芦淞区模拟）有质量分别为11克和17克的砝码若干个，在天平上称出质量为3克的物体，至少要用 　13　个这样的砝码．
【分析】由11×8﹣17×5＝3，则可知用11g的砝码8个，17g的砝码5个，即可求解．
【详解】解：∵11×8＝88，17×5＝85，
∴88﹣85＝3，
∴用11g的砝码8个，17g的砝码5个，
∴至少用13个，
故答案为13．
【点睛】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．
【变式6-3】（2022 利津县一模）如图，“●、■、▲”分别表示三种不同的物体，已知前两架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡，如果在？处只放“■”那么应放“■”（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】首先根据图示可知，2×〇＝△+□（1），〇+□＝△（2），据此判断出〇、△与□的关系，然后判断出结果．
【详解】解：根据图示可得，
2×〇＝△+□①，
〇+□＝△②，
由①、②可得，
〇＝2□，△＝3□，
∴〇+△＝2□+3□＝5□，
故选：A．
【题型7 利用等式的性质解方程】
【例7】（2022秋 饶平县校级期末）利用等式的性质解方程：
（1）5+x＝﹣2
（2）3x+6＝31﹣2x．
【分析】（1）在等式的两边同时减去5；
（2）在等式的两边同时加上（2x﹣6），然后再除以5．
【详解】（1）5+x＝﹣2
5+x﹣5＝﹣2﹣5
x＝﹣7；
（2）3x+6＝31﹣2x
3x+6+2x﹣6＝31﹣2x+2x﹣6
5x＝25
x＝5．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．
等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；
2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
【变式7-1】（2022秋 柳江区期中）利用等式的性质解方程并检验：．
【分析】1、根据等式的基本性质解题；
2、检验时，把所求的未知数的值代入原方程，使方程左右两边相等的值才是方程的解．
【详解】解：根据等式性质1，方程两边都减去2，
得：，
根据等式性质2，方程两边都乘以﹣4，
得：x＝﹣4，
检验：将x＝﹣4代入原方程，得：左边，右边＝3，
所以方程的左右两边相等，故x＝﹣4是方程的解．
【点睛】本题主要考查了利用等式的基本性质解方程．
等式性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；
等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式．
【变式7-2】（2022秋 盂县期中）用等式性质解下列方程：
（1）4x﹣7＝13
（2）3x+2＝x+1．
【分析】（1）利用等式的基本性质分别化简得出即可；
（2）利用等式的基本性质分别化简得出即可．
【详解】解：（1）4x﹣7＝13
移项得：4x＝20，
方程两边同时除以4得：
x＝5；
（2）3x+2＝x+1
移项得：3x﹣x＝﹣2+1，
合并同类项得：
2x＝﹣1，
解得：x．
【点睛】此题主要考查了等式的性质，熟练利用等式的性质得出是解题关键．
【变式7-3】（2022秋 三门县期中）利用等式的性质解方程：
（1）5﹣x＝﹣2
（2）3x﹣6＝﹣31﹣2x．
【分析】（1）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案；
（2）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案．
【详解】解：（1）两边都减5，得﹣x＝﹣7，
两边都除以﹣1，得
x＝7；
（2）两边都加（2x+6），得
5x＝﹣25，
两边都除以5，得
x＝﹣5．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立．
【题型8 方程的解中的遮挡问题】
【例8】（2022秋 玉田县期末）小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了x＝1，他翻阅了答案知道这个方程的解为x＝1，于是他判断●应该是　1　．
【分析】●用a表示，把x＝1代入方程得到一个关于a的方程，解方程求得a的值．
【详解】解：●用a表示，把x＝1代入方程得1＝1，
解得：a＝1．
故答案是：1．
【点睛】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，理解定义是关键．
【变式8-1】（2022秋 红河州期末）方程2+▲＝3x，▲处被墨水盖住了，已知方程的解是x＝2，那么▲处的数字是 　4　．
【分析】把x＝2代入已知方程，可以列出关于▲的方程，通过解该方程可以求得▲处的数字．
【详解】解：把x＝2代入方程，得2+▲＝6，
解得▲＝4．
故答案为：4．
【点睛】此题考查的是一元一次方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
【变式8-2】（2022秋 巴彦县期末）小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据方程的解是x＝9，把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，解出方程即可．
【详解】解：把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，得
2×（9﹣3）﹣■＝9+1，
解得■＝2；
故选：C．
【点睛】本题考查了方程的解，掌握代入计算法是解题关键．
【变式8-3】（2022秋 郫都区期末）小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了﹣2x+●＝3x，他翻阅了答案知道这个方程的解为x＝﹣1，于是他判断●的值应为　﹣5　．
【分析】●用a表示，把x＝1代入方程得到一个关于a的方程，解方程求得a的值．
【详解】解：●用a表示，
把x＝﹣1入方程得：2+a＝﹣3，
解得：a＝﹣5．
故答案是：﹣5．
【点睛】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，理解定义是关键．
【题型9 利用等式的性质检验方程的解】
【例9】（2022秋 雨花区期末）x＝2是方程ax﹣4＝0的解，检验x＝3是不是方程2ax﹣5＝3x﹣4a的解．
【分析】x＝3不是方程2ax﹣5＝3x﹣4a的解，理由为：由x＝2为已知方程的解，把x＝2代入已知方程求出a的值，再将a的值代入所求方程，检验即可．
【详解】解：x＝3不是方程2ax﹣5＝3x﹣4a的解，理由为：
∵x＝2是方程ax﹣4＝0的解，
∴把x＝2代入得：2a﹣4＝0，
解得：a＝2，
将a＝2代入方程2ax﹣5＝3x﹣4a，得4x﹣5＝3x﹣8，
将x＝3代入该方程左边，则左边＝7，
代入右边，则右边＝1，
左边≠右边，
则x＝3不是方程4x﹣5＝3x﹣8的解．
【点睛】此题考查了方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【变式9-1】（2022春 崇明区期末）x＝1 　是　方程x2+3＝3x+1的解．（填“是”或“不是”）
【分析】将x＝1代入到方程的左右两边，看是否相等，即可得出答案．
【详解】解：当x＝1时，
x2+3＝12+3＝4，
3x+1＝3+1＝4，
∴x＝1是方程的解，
故答案为：是．
【变式9-2】（2022秋 雨花区校级期末）判断括号内未知数的值是不是方程的根：
（1）x2﹣3x﹣4＝0（x1＝﹣1，x2＝1）；
（2）（2a+1）2＝a2+1（a1＝﹣2，a2）．
【分析】利用方程解的定义找到相等关系．即将未知数分别代入方程式看是否成立．
【详解】解：（1）当x1＝﹣1时，左边＝1+3﹣4＝0＝右边，则它是该方程的根；
当x2＝1时，左边＝1﹣3﹣4＝﹣6≠右边，则它不是该方程的根；
（2）当a1＝﹣2时，左边＝（﹣4+1）2＝9，右边＝4+1＝5，左边≠右边，则它不是该方程的根；
当a2时，左边＝（2+1）2，右边＝（）2+1，左边＝右边，则它是该方程的根．
【点睛】本题主要考查了方程的解的定义．无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法．
【变式9-3】（2022秋 莱山区期末）有下列方程：①x＝1；②2x﹣3＝1；③x；④（x+1）（x+2）＝12；⑤2x3；⑥2[3x﹣（x﹣3）]﹣3＝11．其中，x＝2是其解的方程有 　②④⑤⑥　．（填序号）
【分析】根据方程的解是使方程成立的未知数的值，可得答案．
【详解】解：当x＝2时，①的左边，右边＝1，左边≠右边，所以x＝2不是①的解；
当x＝2时，②的左边＝2×2﹣3＝1，右边＝1，左边＝右边，所以x＝2是②的解；
当x＝2时，③的左边，右边，左边≠右边，所以x＝2不是③的解；
当x＝2时，④的左边＝3×4＝12，右边＝12，左边＝右边，所以x＝2是④的解；
当x＝2时，⑤的左边＝2×2﹣1＝3，右边＝3，左边＝右边，所以x＝2是⑤的解；
当x＝2时，⑥的左边＝2[3×2﹣（2﹣3）]﹣3＝11，左边＝右边，所以x＝2是⑥的解；
故答案为：②④⑤⑥．
【点睛】本题考查了方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键．
【题型10 方程的解的规律问题】
【例10】（2022春 卫辉市期中）一列方程如下排列：
1的解是x＝2，
1的解是x＝3，
1的解是x＝4，
…
根据观察得到的规律，写出其中解是x＝2017的方程：　1　．
【分析】根据观察，可发现规律：第一个的分子是x分母是解的二倍，第二个分子是x减比解小1的数，分母是2，可得答案．
【详解】解：由一列方程如下排列：
1的解是x＝2，
1的解是x＝3，
1的解是x＝4，
得第一个的分子是x分母是解的二倍，第二个分子是x减比解小1的数，分母是2，
解是x＝2017的方程：1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了方程的解，观察方程得出规律是解题的关键．
【变式10-1】先阅读下列一段文字，然后解答问题．
已知：方程的解是x1＝2，x2；方程的解是x1＝3，x2；
方程的解是x1＝4，x2；方程的解是x1＝5，x2．
问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程的解，并写出检验．
【分析】认真观察题中的式子，找出规律，再做猜想．
【详解】解：猜想：方程的解是x1＝11，x2．
检验：当x＝11时，左边＝1110右边，
当x时，左边11＝10右边．
【点睛】此题是探求规律题，读懂题意，寻找规律是关键．
【变式10-2】（2022秋 莘县校级月考）有一系列方程，第1个方程是（x﹣2）＝1，解为x；第2个方程是（x﹣3）＝1，解为x；第3个方程是（x﹣4）＝1，解为x，…，根据规律第7个方程（x﹣8）＝1，解为 　x　．
【分析】根据已知三个方程的特点及解的特点得到一般性规律，即可确定出第7个方程的解．
【详解】解：根据题意得到第n个方程为，解为：x（n为正整数），
∴第7个方程（x﹣8）＝1，解为．
故答案为：x．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键．
【变式10-3】（2022春 方城县期中）已知关于x的方程的两个解是；
又已知关于x的方程的两个解是；
又已知关于x的方程的两个解是；
…，
小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想．
关于x的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题．
（1）关于x的方程的两个解是x1＝　11　和x2＝　　；
（2）已知关于x的方程，则x的两个解是多少？
【分析】（1）根据上述的结论方程的两个解是，即可猜想得到答案；
（2）可以把x﹣1看作一个整体，即方程两边同时减去1，得x﹣111，然后根据猜想得到x﹣1＝11，x﹣1，进一步求得方程的解．
【详解】解：（1）根据猜想的结论，则x1＝11，x2；
（2）原方程可以变形为x﹣111，
则x﹣1＝11，x﹣1．
则x1＝12，x2．
【点睛】此题要能够根据探索得到的结论进行分析求解，能够运用换元法进行求解，有一定难度．
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