【七上】专题2一元一次方程的解法【十大题型】（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
一元一次方程的解法【十大题型】
【知识点1 一元一次方程的解法】
解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的
一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．
【知识点2 一元一次方程的解】
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
【题型1 一元一次方程的整数解问题】
【例1】（2022·北京·首都师范大学附属中学七年级期中）若关于的方程的解是整数，则整数的取值个数是（ ）
A．5 B．3 C．6 D．2
【变式1-1】（2022·全国·课时练习）当整数k为何值时，方程有正整数解．求出这些解．
【变式1-2】（2022·内蒙古通辽·七年级期末）若关于x的方程的解为整数，则正整数m的值为______．
【变式1-3】（2022·北京石景山·七年级期末）设为整数，且关于的一元一次方程.
（1）当时，求方程的解；
（2）若该方程有整数解，求的值.
【题型2 换元法解一元一次方程】
【例2】（2022·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（　　）
A．2013 B． C．2023 D．
【变式2-1】（2022·河南·南阳市宛城区官庄镇第一初级中学七年级阶段练习）如果关于x的方程x＋2021＝2x＋m的解是x＝2023，则关于y的方程（y＋1）＋2021＝2（y＋1）＋m的解是y＝___．
【变式2-2】（2022·江西景德镇·七年级期末）若是关于的方程的解，则关于的方程的解为______．
【变式2-3】（2022·山西临汾·七年级阶段练习）如果关于x的一元一次方程的解是，则关于y的一元一次方程的解是______．
【题型3 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】
【例3】（2022·全国·七年级单元测试）关于x的方程的解是的解的2倍，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2022·山东菏泽·七年级期末）若方程的解与关于x的方程的解互为倒数，则k的值是_________．
【变式3-2】（2022·全国·七年级课时练习）若关于的方程与关于的方程的解互为相反数，则____．
【变式3-3】（2022·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）已知方程的解与关于的方程的解互为倒数，求的值．
【题型4 错解一元一次方程问题】
【例4】（2022·全国·七年级专题练习）在解关于x的方程时，小颖在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母15，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2022·河南·上蔡县第一初级中学七年级阶段练习）将方程=1去分母，得到3x+3-2x-3=6，错在（ ）
A．最简公分母找错 B．去分母时，漏掉乘不含分母的项
C．去分母时，分子部分没有加括号 D．去分母时，各项所乘的数不同
【变式4-2】（2022·江苏·兴化市周庄初级中学七年级期中）小王在解关于x的方程2﹣＝3a﹣2x时，误将﹣2x看作+2x，得方程的解x＝1．
（1）求a的值；
（2）求此方程正确的解．
【变式4-3】（2022·四川·威远县凤翔中学七年级期中）小李在解方程（x为未知数）时，误将看作，解得方程的解，则a＝________，原方程的解为________．
【题型5 解一元一次方程】
【例5】（2022·全国·七年级课时练习）方程的解是x=(　)
A． B．- C． D．-
【变式5-1】（2022·山东威海·期末）解方程：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式5-2】（2022·全国·七年级单元测试）解方程：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
【变式5-3】（2022·全国·七年级课时练习）方程的解是____.
【题型6 探究一元一次方程解的情况】
【例6】（2022·全国·七年级课时练习）若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（　　）
A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解
C．只有一个解 D．无解
【变式6-1】（2022·全国·七年级专题练习）阅读：关于x方程ax=b在不同的条件下解的情况如下：（1）当a≠0时，有唯一解x=；（2）当a=0，b=0时有无数解；（3）当a=0，b≠0时无解．请你根据以上知识作答：已知关于x的方程 a= ﹣ （x﹣6）无解，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．a≠1
【变式6-2】（2022·全国·八年级课时练习）关于的方程，分别求为何值时，原方程：
（1）有唯一解
（2）有无数多解
（3）无解
【变式6-3】（2022·全国·七年级单元测试）已知关于x的方程4+3ax=2a﹣7有唯一解，关于y的方程2+y=（b+1）y无解，判断关于z的方程az=b的解的情况．
【题型7 同解问题】
【例7】（2022·全国·七年级课时练习）已知关于x的方程：与有相同的解，求关于y的方程的解．
【变式7-1】（2022·四川·仁寿县文宫镇古佛九年制学校七年级期中）若方程2x－m＝1和方程3x＝2(x－1)的解相同，则m的值为__________．
【变式7-2】（2022·全国·七年级课时练习）关于x的方程的解与的解相同，则a的值为______．
【变式7-3】（2022·黑龙江·哈尔滨美加外国语学校七年级阶段练习）若关于的方程的解与方程的解相同，求的值．
【题型8 一元一次方程的解与参数无关】
【例8】（2022·北京·首都师范大学附属中学七年级期中）若关于的方程，无论为何值，它的解总是，则代数式_________．
【变式8-1】（2022·全国·七年级课时练习）已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是x＝2，则_________．
【变式8-2】（2022·全国·七年级单元测试）若a，b为常数，无论k为何值时，关于x的一元一次方程，它的解总是1，则a，b的值分别是_______．
【变式8-3】（2022·山东滨州·七年级期末）若关于x的方程，无论k为任何数时，它的解总是x＝2，那么m+n＝_____．
【题型9 一元一次方程的解法在新定义中的运用】
【例9】（2022·全国·七年级专题练习）已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．
(1)已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为 　 　；
(2)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值；
(3)已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．
【变式9-1】（2022·吉林·长春外国语学校七年级期末）新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程和为“友好方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值．
(2)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的解．
【变式9-2】（2022·全国·七年级专题练习）我们规定：若关于x的一元一次方程a＋x＝b（a≠0）的解为，则称该方程为“商解方程”．例如：2＋x＝4的解为x＝2且，则方程2＋x＝4是“商解方程”．请回答下列问题：
(1)判断3＋x＝5是不是“商解方程”．
(2)若关于x的一元一次方程6＋x＝3（m﹣3）是“商解方程”，求m的值．
【变式9-3】（2022·四川成都·七年级期末）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：m＝n＝0．我们称使得成立的一对数m，n为“神奇数对”，记为（m，n）．若（8，n）是“神奇数对”，且关于x的方程3x﹣6＝n与2x﹣1＝3k的解相等，则k的值为_____．
【题型10 含绝对值的一元一次方程】
【例10】（2022·全国·七年级课时练习）根据绝对值定义，若有|x|＝4，则x＝4或﹣4，若|y|＝a，则y＝±a，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：|2x+4|＝5
解：方程|2x+4|＝5可化为：2x+4＝5或2x+4＝﹣5
当2x+4＝5时，则有：2x＝1，所以x＝
当2x+4＝﹣5时，则有：2x＝﹣9；所以x＝﹣
故，方程|2x+4|＝5的解为x＝或x＝﹣
(1)解方程：|3x﹣2|＝4；
(2)已知|a+b+4|＝16，求|a+b|的值；
(3)在（2）的条件下，若a，b都是整数，则a b的最大值是　 　（直接写出结果）．
【变式10-1】（2022·广东广州·七年级期末）解关于x的方程：||x＋3|－k|＝2．
【变式10-2】（2022·河北·武邑宏达实验学校八年级阶段练习）先阅读下列的解题过程，然后回答下列问题.
例：解绝对值方程：.
解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是；
②当时，原方程可化为，它的解是.
原方程的解为或.
（1）依例题的解法，方程算的解是_______；
（2）尝试解绝对值方程：；
（3）在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：.
【变式10-3】（2022·河南周口·七年级期中）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．
解方程：|x-3|=2．
解：当x-3≥0时，原方程可化为x-3=2，解得x=5；
当x-3＜0时，原方程可化为x-3=-2，解得x=1．
所以原方程的解是x=5或x=1．
（1）解方程：|3x-2|-4=0．
（2）解关于x的方程：|x-2|=b+1
一元一次方程的解法【十大题型】
【知识点1 一元一次方程的解法】
解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的
一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．
【知识点2 一元一次方程的解】
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
【题型1 一元一次方程的整数解问题】
【例1】（2022·北京·首都师范大学附属中学七年级期中）若关于的方程的解是整数，则整数的取值个数是（ ）
A．5 B．3 C．6 D．2
【答案】C
【分析】先求出此方程的解，再利用方程的解是整数，k也是整数，即可判断k的取值．
【详解】解：，
，
，
，
解得：，
∵方程的解是整数，k也是整数，
∴k可以为-4或-2或-1或1或2或4，共有6个数，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是方程的解，根据方程的解为整数和k为整数，求出当k为整数，也是整数时，k的值，是解决此题的关键．
【变式1-1】（2022·全国·课时练习）当整数k为何值时，方程有正整数解．求出这些解．
【答案】时，方程的正整数解为；时，方程的正整数解为；时，方程的正整数解为；时，方程的正整数解为；时方程的正整数解为；时，方程的正整数解为．
【分析】先求出方程的解，再根据正整数的特性进行分析即可得．
【详解】，
，
因为方程有正整数解，
所以，即，
所以，
要使方程有正整数解，则为正整数即可，
因此，k的所有可能取值为，
当时，方程的正整数解为；
当时，方程的正整数解为；
当时，方程的正整数解为；
当时，方程的正整数解为；
当时方程的正整数解为；
当时，方程的正整数解为．
【点睛】本题考查了求一元一次方程的特殊解，正确求出方程的解为是解题关键．
【变式1-2】（2022·内蒙古通辽·七年级期末）若关于x的方程的解为整数，则正整数m的值为______．
【答案】2
【分析】先方程得x=，再由方程的解为整数，则有m+1=±3或m+1=±1，求得m=2或m=-4或m=0或m=-2，根据题意，m是正整数，即可求m的值为2．
【详解】解：mx=3-x，
移项，合并同类项，得（m+1）x=3，
解得x=，
∵方程的解为整数，
∴m+1=±3或m+1=±1，
∴m=2或m=-4或m=0或m=-2，
∵m+1≠0，
∴m≠-1，
∵m是正整数，
∴m=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法，根据m值的限定条件对m的值进行取舍是解题的关键．
【变式1-3】（2022·北京石景山·七年级期末）设为整数，且关于的一元一次方程.
（1）当时，求方程的解；
（2）若该方程有整数解，求的值.
【答案】（1）；（2）或，或．
【分析】(1)将m=2代入方程(m-5)x+m-3=0，求出x即可；
(2)首先将方程变形为x=，由方程有整数解，可知m-5≠0，m-5=1或m-5=2，从而求出m的值.
【详解】解：(1)当时，原方程为．
解得，．
(2)当时，方程有解．
．
∵方程有整数解，且是整数．
∴，．
解得，或，或．
故答案为(1)x=-；(2)m=3或4或6或7.
【点睛】本题考查了方程的特殊解，难度较大．
【题型2 换元法解一元一次方程】
【例2】（2022·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（　　）
A．2013 B． C．2023 D．
【答案】C
【分析】首先由方程可得，，由方程可得，，设n=y-5，可得，再由方程的解为，可得方程的解为n=2018，据此即可解得．
【详解】解：由方程，得，
由方程可得，，
得，
设n=y-5，则可得，
方程的解为，
方程的解为n=2018，
，
解得y=2023，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和利用换元法解一元一次方程，正确掌握和利用换元法的转化思想是解题的关键．
【变式2-1】（2022·河南·南阳市宛城区官庄镇第一初级中学七年级阶段练习）如果关于x的方程x＋2021＝2x＋m的解是x＝2023，则关于y的方程（y＋1）＋2021＝2（y＋1）＋m的解是y＝___．
【答案】2022
【分析】根据题意得到y+1＝2023，即可求出y的值．
【详解】解：∵关于x的方程x+2021＝2x+m的解是x＝2023，
∴关于y的方程（y+1）+2021＝2（y+1）+m中的y+1＝2023，
解得：y＝2022，
故答案为：2022．
【点睛】此题考查了一元一次方程解的含义以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握一元一次方程解的含义．
【变式2-2】（2022·江西景德镇·七年级期末）若是关于的方程的解，则关于的方程的解为______．
【答案】
【分析】将代入方程 可得，进而代入即可得到，根据等式的性质即可求得答案．
【详解】解：将代入方程，
，整理得，
则，
，解得，
故答案为．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解及等式的性质，熟练掌握等式两边相同未知数前面系数相等是解题的关键．
【变式2-3】（2022·山西临汾·七年级阶段练习）如果关于x的一元一次方程的解是，则关于y的一元一次方程的解是______．
【答案】－1
【分析】根据题中两个方程的关系，可知y-1=-2，即可求出y的值．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程ax+b=0的解是x=-2，
∴-2a+b=0，
∴b=2a，
把b=2a代入关于y的一元一次方程a（y-1）+b=0得，
a（y-1）+2a=0，
∵a≠0，
∴（y-1）+2=0，
解得，y=-1．
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义，熟记使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解是解题的关键．
【题型3 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】
【例3】（2022·全国·七年级单元测试）关于x的方程的解是的解的2倍，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别表示出两个方程的解，根据解的关系列出方程，求出方程的解即可得到m的值．
【详解】解：方程4x-2m=3x-1，
解得：x=2m-1，
方程x=2x-3m，
解得：x=3m，
根据题意得：2m-1=6m，
解得：m=-．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【变式3-1】（2022·山东菏泽·七年级期末）若方程的解与关于x的方程的解互为倒数，则k的值是_________．
【答案】-3
【分析】求出第一个方程的解，利用倒数定义求出第二个方程的解，代入第二个方程计算即可求出k的值．
【详解】解：，
解得：x=1，
1的倒数为1，
把x=1代入，
得：，
解得：，
故答案为：-3．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【变式3-2】（2022·全国·七年级课时练习）若关于的方程与关于的方程的解互为相反数，则____．
【答案】4
【分析】先解出x的值，再根据相反数的定义得到y的值，最后代入方程求出m的值．
【详解】解：解方程，解得，
∵这两个方程的解互为相反数，
∴是方程的解，
将代入原方程，得到，解得．
故答案是：4．
【点睛】本题考查一元一次方程的解和相反数的定义，掌握方程的解和解一元一次方程是解答本题的关键．
【变式3-3】（2022·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）已知方程的解与关于的方程的解互为倒数，求的值．
【答案】
【分析】先求出第一个方程的解是，把x=-3代入第二个方程得出，求出k的值即可．
【详解】解方程得：，
∵方程的解与关于的方程的解互为倒数，
∴关于的方程的解是，
把代入方程得：，
解得 ．
【点睛】本题考查了倒数的定义，解一元一次方程和一元一次方程的解等知识点，能得出关于k的一元一次方程是解此题的关键．
【题型4 错解一元一次方程问题】
【例4】（2022·全国·七年级专题练习）在解关于x的方程时，小颖在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母15，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据小颖解方程的过程求出a的值，然后正确求出原方程的解即可．
【详解】解：由题意得的解为，
∴，
解得，
∴，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：，
故选A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键．
【变式4-1】（2022·河南·上蔡县第一初级中学七年级阶段练习）将方程=1去分母，得到3x+3-2x-3=6，错在（ ）
A．最简公分母找错 B．去分母时，漏掉乘不含分母的项
C．去分母时，分子部分没有加括号 D．去分母时，各项所乘的数不同
【答案】C
【分析】去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，分子如果是多项式，需要将这个多项式作为整体加括号．
【详解】解：方程去分母得：，
去括号得：，
故选：C．
【点睛】本题考查解带分母的方程，先找出分母的最小公倍数，然后去分母求解.需要特别注意：分子如果是多项式，需要将这个多项式作为整体加括号.
【变式4-2】（2022·江苏·兴化市周庄初级中学七年级期中）小王在解关于x的方程2﹣＝3a﹣2x时，误将﹣2x看作+2x，得方程的解x＝1．
（1）求a的值；
（2）求此方程正确的解．
【答案】（1） （2）
【分析】（1）1）把x=1代入错误方程中计算即可求出a的值；
（2）把a的值代入原方程，求出解即可．
【详解】（1）把x＝1代入2﹣＝3a+2x
得：2+＝3a+2，
解得：a＝；
（2）把a＝代入原方程得：2﹣＝﹣2x，
去分母得：6﹣（2x﹣4）＝2﹣6x，
去括号得：6﹣2x+4＝2﹣6x，
移项得：﹣2x+6x＝﹣10+2，
合并同类项得：4x＝﹣8，
解得：x＝﹣2．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
【变式4-3】（2022·四川·威远县凤翔中学七年级期中）小李在解方程（x为未知数）时，误将看作，解得方程的解，则a＝________，原方程的解为________．
【答案】 5
【分析】根据看作，解得方程的解，得，解出的值，再计算方程．
【详解】∵看作，解得方程的解
∴
解得
∴原方程为：
解得．
故答案为：；．
【点睛】本题考查一元一次方程，解题的关键是理解方程的解的定义，以及解一元一次方程．
【题型5 解一元一次方程】
【例5】（2022·全国·七年级课时练习）方程的解是x=(　)
A． B．- C． D．-
【答案】D
【详解】方程两边同乘以24可得-8[]-2=-1，去括号，可得-8（）-2=-1，即-4-4x+-2=-1，4x=-5+，解得x=- .
故选D.
【变式5-1】（2022·山东威海·期末）解方程：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）按照去括号，移项，合并，系数化为1的步骤解方程即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并，系数化为1的步骤解方程即可；
（3）按照去分母，移项，合并，系数化为1的步骤解方程即可．
（1）
解：
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得；
（2）
解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得；
（3）
解：
整理得
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键．
【变式5-2】（2022·全国·七年级单元测试）解方程：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
【答案】(1)x=1
(2)x=
(3)y=
(4)x=-1
【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可；
（3）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可；
（4）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可．
（1）
解：
6-3x=4-x
-3x+x=4-6
-2x=-2
x=1；
（2）
解：
3（x+1）-6=2（3x-2）
3x+3-6=6x-4
3x-6x=-4+6-3
-3x=-1
x=；
（3）
解：
-3y-5y=5-9
-8y=-4
y=；
（4）
解：
3（3x-1）-12=2（5x-7）
9x-3-12=10x-14
9x-10x=-14+3+12
-x=1
x=-1．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次方程的基本步骤为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
【变式5-3】（2022·全国·七年级课时练习）方程的解是____.
【答案】1010
【分析】方程左边整理后，利用折项法变形，计算即可求出解.
【详解】∵
∴方程整理为：
即
即
化简得，，即
整理得，
解得，
故答案为：1010.
【点睛】此题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a的形式转化.
【题型6 探究一元一次方程解的情况】
【例6】（2022·全国·七年级课时练习）若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（　　）
A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解
C．只有一个解 D．无解
【答案】D
【分析】首先解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x，可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n，再根据方程有两个解的条件可得到m，n的值，然后代入方程（m+n）x+3＝4x+m中即可知道其解的情况．
【详解】解：解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x
可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n
∵有至少两个不同的解，
∴6m+3n﹣6＝3m+n＝0，
即m＝﹣2，n＝6，
把m＝﹣2，n＝6代入（m+n）x+3＝4x+m中得：4x+3＝4x+m，
∴方程（m+n）x+3＝4x+m无解．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了解含字母系数的一元一次方程，关键是根据解的情况判断字母系数的值．
【变式6-1】（2022·全国·七年级专题练习）阅读：关于x方程ax=b在不同的条件下解的情况如下：（1）当a≠0时，有唯一解x=；（2）当a=0，b=0时有无数解；（3）当a=0，b≠0时无解．请你根据以上知识作答：已知关于x的方程 a= ﹣ （x﹣6）无解，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．a≠1
【答案】A
【详解】解：去分母得：2ax=3x﹣（x﹣6），
去括号得：2ax=2x+6，
移项，合并得，（2a-2）x=6，
因为无解，所以2a﹣2=0，即a=1．
故选A．
【点睛】本题考查了一元一次方程无解，解题关键是准确理解题意，列出关于字母a的方程．
【变式6-2】（2022·全国·八年级课时练习）关于的方程，分别求为何值时，原方程：
（1）有唯一解
（2）有无数多解
（3）无解
【答案】（1）m≠3时方程有唯一解；
（2）当m=3,n=-4时方程有无数多解；
（3）当m=3, n≠-4时方程无解．
【分析】方程ax=b的解有三种情况：当a=0,b≠0方程无解；当a=0,b=0方程有无数解；当a≠0方程有唯一解.根据以上三条可解本题.
【详解】解： ，
（3-m）x=n+4，
（1）当3-m≠0时，即m≠3时方程有唯一解；
（2）当3-m=0且n+4=0时，即m=3,n=-4时方程有无数多解；
（3）当3-m=0且n+4≠0时，即m=3, n≠-4时方程无解．
【点睛】本题考查了一元一次方程三种解的情况，熟知当a=0,b≠0方程ax=b无解；当a=0,b=0方程有无数解；当a≠0方程有唯一解是解此题的关键．
【变式6-3】（2022·全国·七年级单元测试）已知关于x的方程4+3ax=2a﹣7有唯一解，关于y的方程2+y=（b+1）y无解，判断关于z的方程az=b的解的情况．
【答案】z=0
【分析】根据题意，化简关于x、y的方程，推断出a、b情况，将条件代入关于z的方程，得出结果．
【详解】关于x的方程4+3ax=2a﹣7可以简化为：x=，
∵关于x的方程4+3ax=2a﹣7有唯一解，
∴a≠0，
∵2+y=（b+1）y，
∴2+y=by+y，
∴by=2，
∴y=，
∵关于y的方程2+y=（b+1）y无解，
∴b=0，
关于z的方程az=b可以简化为：z=，
∵a≠0，b=0，
∴z=0．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程的应用，需要一步步化简，综合所给条件，讨论得出结果．
【题型7 同解问题】
【例7】（2022·全国·七年级课时练习）已知关于x的方程：与有相同的解，求关于y的方程的解．
【答案】
【分析】先求出方程的解，将解代入求出m，将m的值代入求得方程的解.
【详解】解方程：，得x=1，
∵方程与有相同的解，
∴将x=1代入，得3（1+m）=m-1，
解得m=-2，
将m=-2代入，
得
2（3+2y）=3（-2-3y）
解得.
【点睛】此题考查同解方程，解一元一次方程，正确掌握解方程的方法是解题的关键.
【变式7-1】（2022·四川·仁寿县文宫镇古佛九年制学校七年级期中）若方程2x－m＝1和方程3x＝2(x－1)的解相同，则m的值为__________．
【答案】-5
【分析】根据同解方程的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】解：由3x=2（x-1）解得x=-2，
将x=-2代入2x-m=1，得
-4-m=1，
解得m=-5，
故答案为：-5．
【点睛】本题考查了同解方程，利用同解方程得出关于m的方程是解题关键．
【变式7-2】（2022·全国·七年级课时练习）关于x的方程的解与的解相同，则a的值为______．
【答案】8
【分析】先求出的解，然后代入，即可求出答案．
【详解】解：∵，
解得：；
把代入中，得
，
解得：；
故答案为：8；
【点睛】本题考查的是同解方程的概念，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
【变式7-3】（2022·黑龙江·哈尔滨美加外国语学校七年级阶段练习）若关于的方程的解与方程的解相同，求的值．
【答案】25
【分析】先解方程得x＝1，把x＝1代入求得a的值，把a的值代入即可得到答案．
【详解】解：由解得：x＝1，
∵关于的方程的解与方程的解相同，
∴把x＝1代入得，
3×1－7＝2×1＋a，
解得a＝﹣6，
∴＝，
即的值是25．
【点睛】此题考查了一元一次方程得解、一元一次方程的解法、同解方程等知识，正确解一元一次方程是解答此题的关键．
【题型8 一元一次方程的解与参数无关】
【例8】（2022·北京·首都师范大学附属中学七年级期中）若关于的方程，无论为何值，它的解总是，则代数式_________．
【答案】9
【分析】将代入，化简得：，再根据方程有无数解的条件求解即可．
【详解】将代入，得：
，
，
，
，
由题意可知：，，
，，
，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查方程解的定义，由k可以取任何值得到a和b的值是解题的关键．
【变式8-1】（2022·全国·七年级课时练习）已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是x＝2，则_________．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的解法，去分母并把方程整理成关于a、b的形式，然后根据方程的解与k无关分别列出方程求解即可．
【详解】解：方程两边都乘6，去分母得2（kx-a）=6-3（2x+bk），
∴2kx-2a=6-6x-3bk，
整理得（2x+3b）k+6x=2a+6，
∵无论k为何值，方程的解总是2，
∴2a+6=6×2，2×2+3b=0，
解得a=3，，
∴-4．
故答案为：-4．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，根据方程的解与k无关，则k的系数为0列出方程是解题的关键．
【变式8-2】（2022·全国·七年级单元测试）若a，b为常数，无论k为何值时，关于x的一元一次方程，它的解总是1，则a，b的值分别是_______．
【答案】
【分析】将方程的解代入原方程，并化简．因为无论k为何值，它的解总是1，即可列出 ，解出a和b即可．
【详解】把代入方程得，
化简得，
∵k的值为全体实数，
∴，且，
∴，．
【点睛】本题考查一元一次方程的解．理解方程的解的定义“能够使方程左右两边相等的未知数的值”是解答本题的关键．
【变式8-3】（2022·山东滨州·七年级期末）若关于x的方程，无论k为任何数时，它的解总是x＝2，那么m+n＝_____．
【答案】﹣1
【分析】将x=2代入原方程即可求出答案
【详解】解：将x=2代入，
，
∴（8+n）k=14-2m，
由题意可知：无论k为任何数时（8+n）k=14-2m恒成立，
∴n+8=0，14-2m=0，
∴n=-8，m=7，
∴m+n=-8+7=-1，
故答案为：-1．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【题型9 一元一次方程的解法在新定义中的运用】
【例9】（2022·全国·七年级专题练习）已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．
(1)已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为 　 　；
(2)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值；
(3)已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．
【答案】(1)
(2)m＝﹣3，n＝﹣
(3)-9
【分析】（1 ）利用“恰解方程”的定义，得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出k的值；
（2 ）解方程﹣2x＝mn+n得出x＝﹣（mn+n），由﹣2x＝mn+n是“恰解方程”得出x＝﹣2+mn+n，再结合x＝n，即可求出m，n的值；
（ 3）根据“恰解方程”的定义得出mn+n＝，把3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n化简后代入计算即可．
（1）
解：（1 ）解方程3x+k＝0得：
x＝﹣，
∵3x+k＝0是“恰解方程”，
∴x＝3﹣k，
∴﹣＝3﹣k，
解得：k＝；
（2）
解：解方程﹣2x＝mn+n得：
x＝﹣（mn+n），
∵﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，
∴x＝﹣2+mn+n，
∴﹣（mn+n）＝﹣2+mn+n，
∴3mn+3n＝4，
∵x＝n，
∴﹣2+mn+n＝n，
∴mn＝2，
∴3×2+3n＝4，
解得：n＝﹣，
把n＝﹣代入mn＝2得：m×（﹣）＝2，
解得：m＝﹣3；
（3）
解：解方程3x＝mn+n得：
x＝，
∵方程3x＝mn+n是“恰解方程”，
∴x＝3+mn+n，
∴＝3+mn+n，
∴mn+n＝，
∴3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n
＝3mn+6m2﹣3n﹣6m2﹣mn+5n
＝2mn+2n
＝2（mn+n）
＝2×（）
＝﹣9．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，理解“恰解方程”的定义是解题的关键．
【变式9-1】（2022·吉林·长春外国语学校七年级期末）新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程和为“友好方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值．
(2)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的解．
【答案】(1)15
(2)±3
【分析】（1）解方程，可得，根据“友好方程”的定义可知，方程的解为，将代入到方程中并求解即可；
（2）设该“友好方程”的一个解为n，则另一个解为-n，根据题意，分两种情况讨论，当时和当时，分别求解即可．
（1）解：解方程，可得，若关于x的方程与方程是“友好方程”，则有方程的解为，将代入到方程中，可得，解得；
（2）设该“友好方程”的一个解为n，则另一个解为-n，根据题意，该“友好方程”的两个解的差为6，当时，解得，当时，解得，综上所述，可得．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是读懂题意，理解“友好方程”的定义．
【变式9-2】（2022·全国·七年级专题练习）我们规定：若关于x的一元一次方程a＋x＝b（a≠0）的解为，则称该方程为“商解方程”．例如：2＋x＝4的解为x＝2且，则方程2＋x＝4是“商解方程”．请回答下列问题：
(1)判断3＋x＝5是不是“商解方程”．
(2)若关于x的一元一次方程6＋x＝3（m﹣3）是“商解方程”，求m的值．
【答案】(1)不是
(2)m＝
【分析】（1）求出方程的解是，再进行判断即可；
（2）先求出方程的解，再根据题意得出关于的方程，最后求出方程的解即可．
（1）
，
，
而，
所以不是“商解方程”；
（2）
，
，
，
关于的一元一次方程是“商解方程”，
，
解得：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解）是解此题的关键．
【变式9-3】（2022·四川成都·七年级期末）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：m＝n＝0．我们称使得成立的一对数m，n为“神奇数对”，记为（m，n）．若（8，n）是“神奇数对”，且关于x的方程3x﹣6＝n与2x﹣1＝3k的解相等，则k的值为_____．
【答案】3
【分析】由题意可得，求出n的值，即可求方程3x-6=n的解为x=5，再将x=5代入方程2x-1=3k，即可求k的值．
【详解】解：∵（8，n）是“神奇数对”，
∴，
∴n=9，
∴3x-6=9，
∴x=5，
∵方程3x-6=n与2x-1=3k的解相等，
∴10-1=3k，
∴k=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法，理解同解方程的定义是解题的关键．
【题型10 含绝对值的一元一次方程】
【例10】（2022·全国·七年级课时练习）根据绝对值定义，若有|x|＝4，则x＝4或﹣4，若|y|＝a，则y＝±a，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：|2x+4|＝5
解：方程|2x+4|＝5可化为：2x+4＝5或2x+4＝﹣5
当2x+4＝5时，则有：2x＝1，所以x＝
当2x+4＝﹣5时，则有：2x＝﹣9；所以x＝﹣
故，方程|2x+4|＝5的解为x＝或x＝﹣
(1)解方程：|3x﹣2|＝4；
(2)已知|a+b+4|＝16，求|a+b|的值；
(3)在（2）的条件下，若a，b都是整数，则a b的最大值是　 　（直接写出结果）．
【答案】(1)x=2或x=
(2)12或20
(3)100
【分析】（1）根据题干步骤解方程|3x﹣2|＝4即可；
（2）将a+b看作一个整体，根据题干步骤解方程|a+b+4|＝16即可求解；
（3）再（2）的条件下，根据有理数的乘法法则即可求解；
（1）
解：方程|3x﹣2|=4可化为：3x﹣2=4或3x﹣2=-4
当3x﹣2＝4时，则有：3x=6，所以x=2
当3x﹣2=-4时，则有：3x＝﹣2；所以x=
故，方程|3x﹣2|=4的解为x=2或x=
（2）
方程|a+b+4|＝16可化为：a+b+4＝16或a+b+4=-16
当a+b+4＝16时，则有：a+b＝12，所以|a+b|＝12
当a+b+4=-16时，则有：a+b=-20；所以|a+b|＝20
故，方程|a+b|的值为12或20
（3）
在（2）的条件下，若a，b都是整数，a+b＝12或a+b=-20；
根据有理数乘法法则可知：当a=-10，b=-10时，
取最大值，最大值为100；
故答案为：100．
【点睛】本题主要考查含绝对值符号的一元一次方程、等式的性质，解决本题的关键是理解绝对值的含义．
【变式10-1】（2022·广东广州·七年级期末）解关于x的方程：||x＋3|－k|＝2．
【答案】当k≥2时，x = －3±(k + 2)或x = －3±(k－2)；当－2≤k <2时，x=－3±(k+2)；当k<－2时，原方程无解．
【分析】将原方程拆成两个绝对值方程，然后再分别讨论求解即可．
【详解】解：∵| | x + 3 | －k | = 2
∴ | x + 3 |－k = ±2．
①当 | x + 3 | －k = 2时，| x + 3 | = k + 2，
若 k + 2≥0，即 k≥－2 时，x + 3 = ±(k + 2)，即 x = －3±(k + 2)，
若 k + 2 < 0，即 k < －2 时，方程无解．
②当 | x + 3 | －k = －2时，| x + 3 | = k－2，
若 k－2≥0，即 k≥2 时，x + 3 = ±(k－2) ，即x = －3±(k－2)，
若 k + 2 < 0，即 k < 2 时，方程无解．
综上所述，当k≥2 时，原方程的解为 x = －3±(k + 2)或x = －3±(k－2)；
当－2≤k < 2 时，原方程的解为 x = －3±(k + 2)；
当k < －2 时，原方程无解．
【点睛】本题考查解绝对值方程，掌握绝对值方程讨论的技巧是解题的关键．
【变式10-2】（2022·河北·武邑宏达实验学校八年级阶段练习）先阅读下列的解题过程，然后回答下列问题.
例：解绝对值方程：.
解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是；
②当时，原方程可化为，它的解是.
原方程的解为或.
（1）依例题的解法，方程算的解是_______；
（2）尝试解绝对值方程：；
（3）在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：.
【答案】（1）x=6或x=-6；（2）x=5或x=-1；（3）x=0或x=3.
【分析】(1)分两种情况 ：、时，去绝对值符号解方程即可；
(2)分两种情况：、时，去掉绝对值符号得到关于x的方程，解方程即可；
(3)分三种情况：、、、x＞2时，去绝对值符号解方程即可.
【详解】(1)分两种情况：①当时，原方程可化为，它的解是x=6；
②当时，原方程可化为，它的解是x=-6.
∴原方程的解为x=6或x=-6.
(2)①当时，原方程可化为2（x-2）=6，它的解是x=5；
②当时，原方程可化为-2（x-2）=6，它的解是x=-1；
∴原方程的解为x=5或x=-1.
(3)①当时，原方程可化为2-x+1-x=3，它的解是x=0；
②当时，原方程可化为2-x+x-1=3，此时方程无解；
③当x＞2时，原方程可化为x-2+x-1=3，它的解是x=3；
∴原方程的解为x=0或x=3.
【点睛】此题考查含有绝对值符号的一元一次方程的解法，先根据未知数的取值范围去掉绝对值符号得到方程，依次解方程即可得到原方程的解.
【变式10-3】（2022·河南周口·七年级期中）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．
解方程：|x-3|=2．
解：当x-3≥0时，原方程可化为x-3=2，解得x=5；
当x-3＜0时，原方程可化为x-3=-2，解得x=1．
所以原方程的解是x=5或x=1．
（1）解方程：|3x-2|-4=0．
（2）解关于x的方程：|x-2|=b+1
【答案】（1）x=2或x=-；（2）b＜-1时，原方程无解；b=-1时，x=2；当x-2≥0时，x=b+3；当x-2＜0时，x=-b+1
【分析】（1）首先要认真审题，解此题时要理解绝对值的意义，要会去绝对值，然后化为一元一次方程即可求得．
（2）根据绝对值的性质分类讨论进行解答．
【详解】解：（1）当3x-2≥0时，原方程可化为3x-2-4=0，解得x=2；
当3x-2＜0时，原方程可化为-(3x-2)-4=0，解得x=-．
所以原方程的解是x=2或x=-．
（2）①当b+1＜0，即b＜-1时，原方程无解，
②当b+1=0，即b=-1时：
原方程可化为：x-2=0，解得x=2；
③当b+1＞0，即b＞-1时：
当x-2≥0时，原方程可化为x-2=b+1，解得x=b+3；
当x-2＜0时，原方程可化为x-2=-(b+1)，解得x=-b+1．
【点睛】本题主要考查含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是根据绝对值的性质将绝对值符号去掉，从而化为一般的一元一次方程求解．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)