【七上】专题7专项复习之 一元一次方程十六大必考点（含解析）

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一元一次方程十六大考点
【考点1 方程、一元一次方程的概念】
【例1】（2022·湖南·七年级单元测试）下列方程中，一元一次方程共有（ ）个
①4x﹣3＝5x﹣2；②3x﹣4y；③3x＋1＝；④＋＝0； ⑤；⑥x﹣1＝12
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】（2022·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）若方程是关于的一元一次方程，则这个方程的解是（ ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
【变式1-2】（2022·山东·泰安市泰山区大津口中学阶段练习）下列式子中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦是方程的有_________，是一元一次方程的有________（填序号）．
【变式1-3】（2022·湖北·公安县教学研究中心七年级期中）关于x的方程a-3x=bx+2是一元一次方程，则b的取值情况是（　　）
A．b≠-3 B．b=-3 C．b=-2 D．b为任意数
【考点2 方程、一元一次方程的解】
【例2】（2022·江苏·南通第一初中七年级阶段练习）下列方程中，解是x＝2的方程是（　　）
A．2x＝5x+14 B． C．2（x﹣1）＝1 D．2x﹣5＝1
【变式2-1】（2022·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级阶段练习）下列方程后所列出的解不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2022·江苏扬州·七年级期末）整式mx+n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值：
x ﹣2 ﹣1 0 1 2
mx+n ﹣12 ﹣8 ﹣4 0 4
则关于x的方程﹣mx﹣n＝8的解为_____．
【变式2-3】（2022·江西抚州·七年级期中）若方程的解是，则关于未知数的方程的解是______．
【考点3 同解方程】
【例3】（2022·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级期中）方程3x＋6＝0与关于x的方程3x＝2﹣2m的解相同，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．3 D．4
【变式3-2】（2022·四川·内江市市中区全安镇初级中学校七年级期中）已知关于x的方程2x=8与x+2＝－k的解相同，则代数式　的值是（ ）
A．－ B． C．－ D．
【变式3-3】（2022·广东惠州·七年级期末）若方程与的解相同，求a的值．（解方程要有详细步骤）．
【考点4 根据方程的解情况求值】
【例4】（2022·上海市奉贤区青溪中学八年级期末）如果关于x的方程（a+1）x＝+1无解，那么a的取值范围是（　　）
A．a＝ 1 B．a＞ 1 C．a≠ 1 D．任意实数
【变式4-1】（2022·全国·七年级专题练习）关于x的方程有无穷多个解，则______．
【变式4-2】（2022·全国·七年级专题练习）已知．当时，；当时，．则方程的解可能是（ ）
A．1.45 B．1.64 C．1.92 D．2.05
【变式4-3】（2022·内蒙古通辽·七年级期末）若关于x的方程的解为整数，则正整数m的值为______．
【考点5 方程遮挡问题】
【例5】（2022·重庆黔江·七年级期末）方程中被阴影盖住的是一个常数．已知此方程的解是．则这个常数是( )
A． B． C． D．
【变式5-1】（2022·河南开封·七年级期末）某书中一道方程题，处印刷时被墨盖住了，查后面答案，这道题的解为，那么处的数字为______．
【变式5-2】（2022·全国·七年级单元测试）小磊在解方程时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，于是他推算确定被染了的数字“■”应该是________．
【变式5-3】（2022·浙江杭州·中考真题）计算：．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是，请计算．
(2)如果计算结果等于6，求被污染的数字．
【考点6 判断方程解的情况】
【例6】（2022·江西抚州·七年级期中）若，则方程的解有（ ）
A．只有一个解 B．只有一个解或无解
C．只有一个解或无数个解 D．无解
【变式6-1】（2022春 嵩县期中）当a＝1时，方程（a﹣1）x+b＝0（其中x是未知数，b是已知数（　　）
A．有且只有一个解 B．无解
C．有无限多个解 D．无解或有无限多个解
【变式6-2】（2022 顺德区模拟）已知关于x的方程（a﹣2）x＝b+3．
（1）若原方程只有一个解，则a　　，b　　．
（2）若原方程无解，则a　　，b　　．
（3）若原方程有无数多个解，则a　　，b　　．
【变式6-3】（2022·全国·七年级课时练习）若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（　　）
A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解
C．只有一个解 D．无解
【考点7 等式的基本性质】
【例7】（2022·辽宁·葫芦岛市实验中学七年级阶段练习）下列各式运用等式的性质变形，错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式7-1】（2022·河南·西峡县城区二中七年级阶段练习）、、为有理数，下列变形不正确的是（ ）
A．如果，那么； B．如果，那么；
C．如果，那么； D．如果，那么．
【变式7-2】（2022·河南·南阳市宛城区官庄镇第一初级中学七年级阶段练习）如图是方程的求解过程，其中依据等式的基本性质的步骤有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①④⑤
【变式7-3】（2022·广东广州·七年级期末）四个数w、x、y、z满足x－2021＝y+2022＝z－2023＝w+2024，那么其中最小的数是_____，最大的数是______．
【考点8 一元一次方程的解法】
【例8】（2022·江苏·南通第一初中七年级阶段练习）解方程：
(1)0.5x-0.7=6.5-1.3x；
(2)5(x+6)=6(2x-7)+9；
(3)；
(4)．
【变式8-1】（2022·上海市罗南中学阶段练习）解方程：14%x﹣9%（x+10）＝7%x﹣0.2．
【变式8-2】（2022·湖南·邵阳市第十六中学七年级期末）解下列方程：
(1)
(2)
【考点9 换元法、整体代入法解一元一次方程】
【例9】（2022·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（　　）
A．2013 B． C．2023 D．
【变式9-1】（2022·江苏·南通第一初中七年级阶段练习）当x＝1时，式子ax3+bx+1的值是2，则方程的解是 _____．
【变式9-2】（2022·山东德州·七年级阶段练习）用整体思想解方程
3（2x－3）- （3－2x）=5（3－2x）+（2x－3）
【变式9-3】（2022·浙江杭州·七年级期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为________．
【考点10 一元一次方程中的错看问题】
【例10】（2022·全国·七年级专题练习）某同学解方程时，把“”处的系数看错了，解得，他把“”处的系数看成了（ ）
A．3 B． C．4 D．
【变式10-1】（2022·四川·威远县凤翔中学七年级期中）小李在解方程（x为未知数）时，误将看作，解得方程的解，则a＝________，原方程的解为________．
【变式10-2】（2023·河北·九年级专题练习）已知关于x的方程的解为，则a的值为______；嘉琪在解该方程去分母时等式右边的-1忘记乘6，则嘉琪解得方程的解为______．
【变式10-3】（2022·山东枣庄东方国际学校七年级阶段练习）嘉淇解方程+1＝时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此得到方程的解为x＝﹣1．
(1)试求a的值；
(2)求原方程的解．
【考点11 一元一次方程中的新定义问题】
【例11】（2022·全国·七年级专题练习）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a、b两数中较小的数，例如min{2，-4}＝-4，则方程min{x，-x}＝3x＋4的解为（ ）
A．x＝－1 B．x＝－2 C．x＝－1或x＝－2 D．x＝1或x＝2
【变式11-1】（2022·江苏·苏州市相城区阳澄湖中学七年级阶段练习）已知，对于任意的有理数a、b、c、d，我们规定了一种运算：＝ad﹣bc，例如＝1×（﹣2）﹣0×2＝﹣2，那么当＝19时，求x的值．
【考点12 一元一次方程中的动点问题】
【变式12-1】（2022·全国·七年级专题练习）如图，在中，cm，射线，动点E从点A出发沿射线的AG方向以每秒2cm的速度运动，点E出发1秒后，动点F从点B出发在线段BC上以每秒4cm的速度向点C运动．当点F运动到点C时，点E随之停止运动．连接AF，CE．设点E的运动时间为t（秒），当的面积等于的面积时，t的值为______（秒）
【变式12-2】（2022·全国·七年级专题练习）如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E为CD的中点，动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，则当△APE的面积为5cm2时，x的值为__________．
【变式12-3】（2022·上海理工大学附属初级中学期中）已知：中，，，，是最小的合数，、满足等式：，点是的边上一动点，点从点开始沿着的边按顺序顺时针移动一周，回到点后停止，移动的路径为，移动的速度为每秒3个单位长度．如图1所示．
(1)试求出的周长；
(2)当点移动到边上时，化简：；
(3)如图2所示，若点是边上一动点，、两点分别从、同时出发，即当点开始移动的时候，点从点开始沿着的边顺时针移动，移动的速度为每秒5个单位，试问：当为何值时，， 两点的路径(在三角形边上的距离）相差3？此时点在哪条边上？
【考点13 绝对值方程】
【例13】（2022·四川·安岳县九韶初级中学七年级阶段练习）方程的解是，那么______．
【变式13-1】（2022·全国·七年级专题练习）已知方程是关于x的一元一次方程．
(1)求代数式的值；
(2)求关于y的方程m|y－2|＝x的解．
【变式13-2】（2022·江苏·南通市新桥中学七年级阶段练习）有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值号，转化为一元一次方程求解．
例如：解方程x+2|x|＝3．
解：当x≥0时，原方程可化为x+2x＝3，解得x＝1，符合题意；
当x＜0时，原方程可化为x-2x＝3，解得x＝-3，符合题意．
所以，原方程的解为x＝1或x＝-3．
仿照上面的解法，解方程 - 8＝－．
【变式13-3】（2022·全国·七年级专题练习）有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程，
解：当时，方程可化为：，解得，符合题意；
当时，方程可化为：，解得，符合题意．
所以，原方程的解为或．
请根据上述解法，完成以下两个问题：
（1）解方程：；
（2）试说明关于的方程解的情况．
【考点14 列一元一次方程并求解】
【例14】（2022·江苏·南通第一初中七年级阶段练习）已知关于x的代数式2x﹣5和5x﹣2互为相反数，则x的值为 _____．
【变式14-1】（2022·黑龙江·绥芬河市第三中学七年级期中）已知与的常数项相同，则__________．
【变式14-2】（2022·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）等于什么数时，代数式的值比的值小1．
【变式14-3】（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级阶段练习）若与8之和的2倍等于与1之差的3倍，则______．
【考点15 一元一次方程的应用】
【例15】（2022·山东滨州·七年级期末）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2：5．某厂每天生产这种消毒液22.5t，则这些消毒液分装成的这两种产品中有______瓶大瓶产品．
【变式15-1】（2022·福建泉州·七年级期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道数学题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人几何？其大意是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，剩余2辆车没人乘坐；若每2人共乘一车，剩余9个人没有车可乘坐．问共有多少人？
【变式15-2】（2022·河北承德·七年级期末）小韩和同学们在一家快餐店吃饭，下表为快餐店的菜单：
种类 配餐 价格（元） 优惠活动
A餐 1份盖饭 20 消费满150元，减24元 消费满300元，减48元 ……
B餐 1份盖饭＋1杯饮料 28
C餐 1份盖饭＋1杯饮料＋1份小菜 32
小韩记录大家的点餐种类，并根据菜单一次点好，已知他们所点的餐共有11份盖饭，杯饮料和5份小菜．
(1)他们共点了______份B餐；（用含x的式子表示）
(2)若他们套餐共买6杯饮料，求实际花费多少元；
(3)若他们点餐优惠后一共花费了256元，请通过计算分析他们点的套餐是如何搭配的．
【变式15-3】（2022·江苏镇江·七年级期末）某快递公司规定每件体积不超标的普通小件物品的收费标准如表：
寄往本省内 寄往周边省份
首重 续重 首重 续重
8元/千克 5元/千克 12元/千克 6元/千克
说明：①每件快递按送达地（省内，省外）分别计算运费． ②运费计算方式：首重价格+续重×续重运费． 首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以千克为一个计重单位（不足克按千克计算）．
例如：寄往省内一件千克的物品，运费总额为：元．
寄往省外一件千克的物品，运费总额为：元．
（下面问题涉及的寄件按上表收费标准计费）
(1)小明同时寄往省内一件3千克的物品和省外一件千克的物品，各需付运费多少元？
(2)小明寄往省内一件重千克，其中m是大于1的正整数，n为大于0且不超过的小数（即），则用含字母m的代数式表示小明这次寄件的运费为________；
(3)小明一次向省外寄了一件物品，用了36元，你能知道小明这次寄件物品的重量范围吗？
【考点16 一元一次方程中的数形结合问题】
【例16】（2022·全国·七年级课时练习）如图，在数轴上点 O是原点，点 A、B．、C．表示的数分别是﹣12、8、14．若 点 P从点 A出发以 2 个单位/秒的速度向右运动，其中由点 O运动到点 B．期间速度变为原来的 2 倍，之后立刻恢复原速，点 Q从点 C．出发，以 1 个单位/秒的速度向左运动，若点 P、Q同时出发，则经过__秒后，P、Q两点到点 B的距离相等．
【变式16-1】（2022·湖南岳阳·七年级期末）如图，点A与点D在单位长度为1的数轴上，且表示的数互为相反数．
(1)请填写：点B表示的有理数为________，点C表示的有理数为________；
(2)若数轴上点P到点B、点C的距离之和等于7，则点P表示的数是________；
(3)数轴上动点M从点B出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时另一动点N从点C出发以每秒2个单位长度的速度也向左运动．运动t秒后M、N两点间的距离为1，求出t的值，并求此时点M的位置．
【变式16-2】（2022·河南平顶山·七年级期末）阅读下面材料：点、在数轴上分别表示实数、，、两点之间的距离表示为．当、两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图1，，当、两点都不在原点时，
①如图2，点、都在原点的右边，；
②如图3，点、都在原点的左边，；
③如图4，点、在原点的两边，；
综上，数轴上、两点之间的距离．
回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示和的两点之间的距离是______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______；
(2)数轴上表示和的两点A和之间的距离是______，如果，那么______；
(3)解方程．
【变式16-3】（2022·山东烟台·期末）如图所示，已知数轴上点A表示的数为140，B是数轴上一点，且AB=210．动点M从A出发，以（单位长度∕秒）的速度沿数轴向左匀速运动．
(1)如图1，数轴上点B表示的数是　 ；运动4秒时动点M表示的数是　 　（用含的代数式表示）；
(2)如图2，在点M从A向左运动的同时，动点P、N同时从B、A出发向右运动，已知点P的速度是M速度的2倍，点N的速度是M速度的3倍，经过y秒，点P、N之间的距离为　 　，点M、N之间的距离为　 　
(3)如图2，若经过6秒时，点P、N之间的距离是点M、N之间的距离的2倍，求动点M的速度．
一元一次方程十六大考点
【考点1 方程、一元一次方程的概念】
【例1】（2022·湖南·七年级单元测试）下列方程中，一元一次方程共有（ ）个
①4x﹣3＝5x﹣2；②3x﹣4y；③3x＋1＝；④＋＝0； ⑤；⑥x﹣1＝12
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据一元一次方程的定义得出即可．
【详解】解：①4x 3＝5x 2，是一元一次方程，符合题意；
②3x﹣4y，不是等式，更不是一元一次方程，不合题意；
③3x＋1＝，分母含有字母，不是一元一次方程，不合题意；
④+=0，是一元一次方程，符合题意；
⑤，未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，不合题意；
⑥x 1＝12，是一元一次方程，符合题意．
一元一次方程有：①④⑥，共有三个.
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），未知数的次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键．
【变式1-1】（2022·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）若方程是关于的一元一次方程，则这个方程的解是（ ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的定义可得，可得出a的值，在解方程即可．
【详解】解：因为是关于的一元一次方程，
所以，
所以．
所以原方程为，
解得．
故选A
【点睛】本题考查一元一次方程的定义，一元一次方程的解，属于基础题，理解一元一次方程的定义是解题的关键．
【变式1-2】（2022·山东·泰安市泰山区大津口中学阶段练习）下列式子中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦是方程的有_________，是一元一次方程的有________（填序号）．
【答案】 ①④⑤⑥⑦ ⑤⑦
【分析】含有未知数的等式叫做方程，只含有一个未知数，含未知数的项的次数都是1，两边都是整式的方程，叫做一元一次方程，根据方程的定义和一元一次方程的定义进行解答即可．
【详解】解：按照方程的定义，可知，①，④，⑤，⑥，⑦是方程，⑤，⑦是一元一次方程，
∴是方程的有①④⑤⑥⑦，是一元一次方程的有⑤⑦，
故答案为：①④⑤⑥⑦，⑤⑦
【点睛】此题考查了方程和一元一次方程，熟练掌握定义是解题的关键．
【变式1-3】（2022·湖北·公安县教学研究中心七年级期中）关于x的方程a-3x=bx+2是一元一次方程，则b的取值情况是（　　）
A．b≠-3 B．b=-3 C．b=-2 D．b为任意数
【答案】A
【分析】先把方程整理为一元一次方程的一般形式，再根据一元一次方程的定义求出b的值即可．
【详解】解：a-3x=bx+2，
移项得a-3x-bx-2=0，
合并同类项得-（3+b）x+a-2=0，
∴b+3≠0，
b≠-3，
故选：A．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解答此题的关键．
【考点2 方程、一元一次方程的解】
【例2】（2022·江苏·南通第一初中七年级阶段练习）下列方程中，解是x＝2的方程是（　　）
A．2x＝5x+14 B． C．2（x﹣1）＝1 D．2x﹣5＝1
【答案】B
【分析】将x＝2分别代入选项，使方程成立的即为所求．
【详解】解：A．将x＝2代入2x＝5x+14，可得2×2≠5×2+4，故A不符合题意；
B．将x＝2代入﹣1＝0，可得﹣1＝0，故B符合题意；
C．将x＝2代入2（x﹣1）＝1，可得 2×（2﹣1）≠1，故C不符合题意；
D．将x＝2代入2x﹣5＝1，可得2×2﹣5≠1，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解与一元一次方程的关系是解题的关键．
【变式2-1】（2022·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级阶段练习）下列方程后所列出的解不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】要知道所列出的解是不是前面方程的解，只需要代入验证是否能取等号．
【详解】解：A．当时，方程左边右边，所以A正确，不符合题意；
B．当时，方程左边，右边，左边=右边，所以B正确，不符合题意；
C．当时，方程左边右边，所以C不正确，符合题意；
D．当时，方程左边右边，所以D正确，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查方程的根的概念，利用验证的方法比直接求解速度更快，效率更高，掌握验根的方法是解题的关键．
【变式2-2】（2022·江苏扬州·七年级期末）整式mx+n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值：
x ﹣2 ﹣1 0 1 2
mx+n ﹣12 ﹣8 ﹣4 0 4
则关于x的方程﹣mx﹣n＝8的解为_____．
【答案】-1
【分析】理解代数式的值是由x确定的，计算的时候把m,n当常数处理，将等式变形后，结合表格的数据即可解题.
【详解】﹣mx﹣n＝8变形为：mx+n=-8，
查表可得：x=-1
【点睛】本题考查方程解的概念，当方程里面有多个字母时，要明确未知数是哪个字母，这是解题关键．
【变式2-3】（2022·江西抚州·七年级期中）若方程的解是，则关于未知数的方程的解是______．
【答案】
【分析】使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．将方程的解代入方程可得，代入关于的方程进而解方程即可求解．
【详解】解：把代入得：，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，求得是解题的关键．
【考点3 同解方程】
【例3】（2022·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级期中）方程3x＋6＝0与关于x的方程3x＝2﹣2m的解相同，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】先求解关于x的一元一次方程，然后代入求解即可．
【详解】解：3x+6=0，
解得：x=-2，
将x=-2代入3x=2-2m中，得，
-6=2-2m，
解得：m=4，
故选：D．
【点睛】题目主要考查解一元一次方程及一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程是解题关键．
【变式3-1】（2022·河南·西峡县城区二中七年级阶段练习）如果方程的解也是方程的解，那么是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【分析】求出第一个方程的解，代入第二个方程计算即可求出a的值．
【详解】解：方程2x﹣1＝3x，
解得：x＝﹣1，
把x＝﹣1代入得：20，
解得：a＝5，
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【变式3-2】（2022·四川·内江市市中区全安镇初级中学校七年级期中）已知关于x的方程2x=8与x+2＝－k的解相同，则代数式　的值是（ ）
A．－ B． C．－ D．
【答案】C
【分析】解方程可得，把代入可得，再把代入即可求值.
【详解】解：解方程，
得，
∵关于x的方程与的解相同，
∴，
解得，
∴=.
故选C.
【点睛】本题考查了一元一次方程解的定义，根据方程与的解相同求得k的值是解决问题的关键.
【变式3-3】（2022·广东惠州·七年级期末）若方程与的解相同，求a的值．（解方程要有详细步骤）．
【答案】a的值为1．
【分析】先求出第一个方程的解，把x=3代入第二个方程，求出方程的解即可．
【详解】解：解方程2x 5=x 2，
移项得2x x= 2+5，
解得x=3，
把x=3代入方程：，
得：，
去分母得30a 5（3 a）=10a 2（a 6），
去括号得30a 15+5a=10a 2a+12，
移项得30a+5a 10a+2a=12+15，
合并同类项得27a=27，
系数化为1得a=1，
∴ a的值为1．
【点睛】本题考查了同解方程，本题解决的关键是能够求解关于x的方程，要正确理解方程解的含义．解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
【考点4 根据方程的解情况求值】
【例4】（2022·上海市奉贤区青溪中学八年级期末）如果关于x的方程（a+1）x＝+1无解，那么a的取值范围是（　　）
A．a＝ 1 B．a＞ 1 C．a≠ 1 D．任意实数
【答案】A
【分析】根据一元一次方程无解，令未知数的系数为0，进而确定出a的范围即可．
【详解】解：∵关于x的方程（a+1）x＝+1无解，
∴a+1＝0，
解得：a＝﹣1．
故选：A．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【变式4-1】（2022·全国·七年级专题练习）关于x的方程有无穷多个解，则______．
【答案】
【分析】方程整理后，根据有无穷多个解，确定出a与b的值，即可求出所求．
【详解】解：方程整理得：（3a﹣5）x＝2a+3b，
∵方程有无穷多个解，
∴3a﹣5＝0，2a+3b＝0，
解得：a＝，b＝﹣，
则a﹣b＝+ ＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【变式4-2】（2022·全国·七年级专题练习）已知．当时，；当时，．则方程的解可能是（ ）
A．1.45 B．1.64 C．1.92 D．2.05
【答案】B
【分析】由题意估算得出方程的解的取值范围在1.5与1.8之间，据此即可求解．
【详解】解：对于来说，
∵当x=1.5时，＞0；
当x=1.8时，＜0；
∴方程的解的取值范围在1.5与1.8之间，
观察四个选项，1.64在此范围之内，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，关键是根据题意得出方程的解的取值范围在1.5与1.8之间．
【变式4-3】（2022·内蒙古通辽·七年级期末）若关于x的方程的解为整数，则正整数m的值为______．
【答案】2
【分析】先方程得x=，再由方程的解为整数，则有m+1=±3或m+1=±1，求得m=2或m=-4或m=0或m=-2，根据题意，m是正整数，即可求m的值为2．
【详解】解：mx=3-x，
移项，合并同类项，得（m+1）x=3，
解得x=，
∵方程的解为整数，
∴m+1=±3或m+1=±1，
∴m=2或m=-4或m=0或m=-2，
∵m+1≠0，
∴m≠-1，
∵m是正整数，
∴m=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法，根据m值的限定条件对m的值进行取舍是解题的关键．
【考点5 方程遮挡问题】
【例5】（2022·重庆黔江·七年级期末）方程中被阴影盖住的是一个常数．已知此方程的解是．则这个常数是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设这个常数为a，将y的值代入方程计算即可求出a的值．
【详解】解：设这个常数是a，根据题意得：
，
解得：．
故选：B
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，熟练掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
【变式5-1】（2022·河南开封·七年级期末）某书中一道方程题，处印刷时被墨盖住了，查后面答案，这道题的解为，那么处的数字为______．
【答案】
【分析】设处数字为a，把x= 25代入方程，解方程即可求得．
【详解】解：设处数字为a，把x= 25代入方程得：，
去分母得：2 25a+3= 75，
移项合并得：25a=80，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【变式5-2】（2022·全国·七年级单元测试）小磊在解方程时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，于是他推算确定被染了的数字“■”应该是________．
【答案】3
【分析】设“■”表示的数为a，将一元一次方程的解代入求解即可得出结果．
【详解】解：设“■”表示的数为a，
将x=代入方程得：
，
解得a=3，
即“■”表示的数为3，
故答案为：3．
【点睛】题目主要考查一元一次方程的解及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题关键．
【变式5-3】（2022·浙江杭州·中考真题）计算：．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是，请计算．
(2)如果计算结果等于6，求被污染的数字．
【答案】(1)-9
(2)3
【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可；
（2）设被污染的数字为x，由题意，得，解方程即可；
（1）
解： ；
（2）
设被污染的数字为x，
由题意，得，解得，
所以被污染的数字是3．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，掌握相关运算法则和步骤是接替的关键．
【考点6 判断方程解的情况】
【例6】（2022·江西抚州·七年级期中）若，则方程的解有（ ）
A．只有一个解 B．只有一个解或无解
C．只有一个解或无数个解 D．无解
【答案】C
【分析】需要对的取值进行分类讨论：和两种情况．
【详解】解：当，时，方程有无数个解；
当，时，方程只有一个解．
综上所述，方程的解有一个解或无数个解．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义．此题属于易错题，学生往往忽略了这一情况．
【变式6-1】（2022春 嵩县期中）当a＝1时，方程（a﹣1）x+b＝0（其中x是未知数，b是已知数（　　）
A．有且只有一个解 B．无解
C．有无限多个解 D．无解或有无限多个解
【答案】D．
【分析】解：当a＝1，b＝0时，方程有无限多个解；
当a＝1，而b≠0时，方程无解．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的情况，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
【变式6-2】（2022 顺德区模拟）已知关于x的方程（a﹣2）x＝b+3．
（1）若原方程只有一个解，则a　a≠2　，b　为任何值　．
（2）若原方程无解，则a　＝2　，b　≠3　．
（3）若原方程有无数多个解，则a　＝2　，b　＝﹣3　．
【答案】（1）≠2，为任何值；（2）＝2，b≠﹣3；（3）＝2，＝﹣3．
【分析】解：（1）当a﹣2≠0，即a≠2，b为任何值时，方程有唯一解：x＝；
（2）当a﹣2＝0，b+3≠0，即a＝2，b≠﹣3时，方程有无解；
（3）当a﹣2＝0，b+3＝0，即a＝2，b＝﹣3时，方程有无数解，
故答案为：（1）≠2，为任何值；（2）＝2，b≠﹣3；（3）＝2，＝﹣3．
【变式6-3】（2022·全国·七年级课时练习）若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（　　）
A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解
C．只有一个解 D．无解
【答案】D
【分析】首先解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x，可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n，再根据方程有两个解的条件可得到m，n的值，然后代入方程（m+n）x+3＝4x+m中即可知道其解的情况．
【详解】解：解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x
可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n
∵有至少两个不同的解，
∴6m+3n﹣6＝3m+n＝0，
即m＝﹣2，n＝6，
把m＝﹣2，n＝6代入（m+n）x+3＝4x+m中得：4x+3＝4x+m，
∴方程（m+n）x+3＝4x+m无解．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了解含字母系数的一元一次方程，关键是根据解的情况判断字母系数的值．
【考点7 等式的基本性质】
【例7】（2022·辽宁·葫芦岛市实验中学七年级阶段练习）下列各式运用等式的性质变形，错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】根据等式的基本性质逐项判断即可．
【详解】A．两边都乘以，结果不变，故A正确，不符合题意；
B．两边都乘以，结果不变，故B正确，不符合题意；
C．当等于零时，除以无意义，故C错误，符合题意；
D．因为，故等式两边可都除以，结果不变，故D正确，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查等式的基本性质．掌握等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立是解题关键．
【变式7-1】（2022·河南·西峡县城区二中七年级阶段练习）、、为有理数，下列变形不正确的是（ ）
A．如果，那么； B．如果，那么；
C．如果，那么； D．如果，那么．
【答案】D
【分析】根据等式的基本性质，即等式两边同时加上、减去、乘以、除以（除数不为0）同一个整式，等式仍然成立分别判断即可．
【详解】A.如果a＝b，那么a＋2＝b＋2，故A正确，不符合题意；
B.如果，那么，故B正确，不符合题意；
C.如果a＝b，那么，故C正确，不符合题意；
D.如果a＝b，那么，当c为0时不成立，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，准确分析判断是解题的关键．
【变式7-2】（2022·河南·南阳市宛城区官庄镇第一初级中学七年级阶段练习）如图是方程的求解过程，其中依据等式的基本性质的步骤有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①④⑤
【答案】C
【分析】等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，依据性质进行判断即可．
【详解】解：
方程两边同时乘以4，去分母得：①，
去括号得：②，
移项得：③，
合并同类项得：④，
方程的两边同时除以-5得：⑤．
∴依据等式的基本性质的步骤有①③⑤．
故选：C
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．解题的关键是掌握等式的基本性质，等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
【变式7-3】（2022·广东广州·七年级期末）四个数w、x、y、z满足x－2021＝y+2022＝z－2023＝w+2024，那么其中最小的数是_____，最大的数是______．
【答案】 w z
【分析】根据已知等式，分别求x﹣y、x﹣z、y﹣w的值，然后用这些值与0比较大小，即可求得z＞x＞y＞w．
【详解】解：由x﹣2021＝y+2022＝z﹣2023＝w+2024，得
x﹣y＝2021+2022＝4043＞0，∴x＞y，①
x﹣z＝2021﹣2023＝﹣2＜0，∴z＞x，②
y﹣w＝2024﹣2022＝2＞0，∴y＞w，③
由①②③，得
z＞x＞y＞w；
∴四个数w、x、y、z中最小的数是w，最大的数是z；
故答案为：w；z．
【点睛】本题考查等式的性质，根据等式的性质，移项得到x﹣y、x﹣z、y﹣w的值是解题的关键．
【考点8 一元一次方程的解法】
【例8】（2022·江苏·南通第一初中七年级阶段练习）解方程：
(1)0.5x-0.7=6.5-1.3x；
(2)5(x+6)=6(2x-7)+9；
(3)；
(4)．
【答案】(1)x=4
(2)x=9
(3)x=13
(4)
【分析】（1）方程移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解；
（3）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解；
（4）方程整理后，去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．
（1）
解：0.5x-0.7=6.5-1.3x
0.5x+1.3x=6.5+0.7，
1.8x=7.2，
x=4；
（2）
解：5(x+6)=6(2x-7)+9
5x+30=12x-42+9，
-7x=-63，
x=9；
（3）
解：
12-2(2x-5)=3(3-x)，
12-4x+10=9-3x，
-x=-13，
x=13；
（4）
解：
3x=4，
x=．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，解决本题的关键是明确解方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1，求出解．
【变式8-1】（2022·上海市罗南中学阶段练习）解方程：14%x﹣9%（x+10）＝7%x﹣0.2．
【答案】x＝﹣35
【分析】根据解一元一次方程的方法步骤直接求解即可得到答案．
【详解】解：14%x﹣9%（x+10）＝7%x﹣0.2，
去分母得14x﹣9（x+10）＝7x﹣20，
去括号得14x﹣9x﹣90＝7x﹣20，
移项得14x﹣9x﹣7x＝90﹣20，
合并同类项得﹣2x＝70，
系数化为1得x＝﹣35．
【点睛】本题考查解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等，熟练掌握方法步骤是解决问题的关键．
【变式8-2】（2022·湖南·邵阳市第十六中学七年级期末）解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)x＝2；
(2)x=1
【分析】（1）根据移项，合并，系数化为1的步骤解方程即可；
（2）根据去分母，去括号，移项，合并，系数化为1的步骤解方程即可．
（1）
解：
移项得：，
合并得：，
系数化为1得：；
（2）
解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
系数化为1得：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键．
【变式8-3】（2022·湖北省麻城市华英学校七年级阶段练习）解方程：
(1)﹣2x+3＝4x﹣9；
(2)3（x+2）﹣2（x+2）＝2x+4；
(3)；
(4)．
【答案】(1)x＝2
(2)x＝-2
(3)x＝-9
(4)x＝-1.5
【分析】（1）移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．
（2）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可，
（3）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．
（4）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．
（1）
解：移项，可得：﹣2x﹣4x＝﹣9﹣3，
合并同类项，可得：﹣6x＝﹣12，
系数化为1，可得：x＝2．
（2）
解：去括号，可得：3x+6﹣2x﹣4＝2x+4，
移项，可得：3x﹣2x﹣2x＝4﹣6+4，
合并同类项，可得：﹣x＝2，
系数化为1，可得：x＝﹣2．
（3）
解：去分母，可得：5（x﹣3）﹣2（4x+1）＝10，
去括号，可得：5x﹣15﹣8x﹣2＝10，
移项，可得：5x﹣8x＝10+15+2，
合并同类项，可得：﹣3x＝27，
系数化为1，可得：x＝﹣9．
（4）
解：去分母，可得：3x﹣（5x+11）＝6+2（2x﹣4），
去括号，可得：3x﹣5x﹣11＝6+4x﹣8，
移项，可得：3x﹣5x﹣4x＝6﹣8+11，
合并同类项，可得：﹣6x＝9，
系数化为1，可得：x＝﹣1.5．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
【考点9 换元法、整体代入法解一元一次方程】
【例9】（2022·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（　　）
A．2013 B． C．2023 D．
【答案】C
【分析】首先由方程可得，，由方程可得，，设n=y-5，可得，再由方程的解为，可得方程的解为n=2018，据此即可解得．
【详解】解：由方程，得，
由方程可得，，
得，
设n=y-5，则可得，
方程的解为，
方程的解为n=2018，
，
解得y=2023，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和利用换元法解一元一次方程，正确掌握和利用换元法的转化思想是解题的关键．
【变式9-1】（2022·江苏·南通第一初中七年级阶段练习）当x＝1时，式子ax3+bx+1的值是2，则方程的解是 _____．
【答案】x＝1
【分析】把x＝1代入代数式，使其值为2，求出a+b的值，方程变形后代入计算即可求出解．
【详解】解：把x＝1代入得：a+b+1＝2，即a+b＝1，
方程去分母得：2ax+2+2bx﹣3＝x，
整理得：（2a+2b﹣1）x＝1，
即[2（a+b）﹣1]x＝1，
把a+b＝1代入得：x＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式9-2】（2022·山东德州·七年级阶段练习）用整体思想解方程
3（2x－3）- （3－2x）=5（3－2x）+（2x－3）
【答案】x=
【详解】试题分析：本题首先将2x－3看作一个整体，然后进行解方程，得出答案．
试题解析：∵3－2x=－（2x－3）
∴原方程可化为：3（2x－3）+（2x－3）=－5（2x－3）+（2x－3）
移项合并同类项，得：（3++5－）（2x－3）=0
∴2x－3=0
解得：x=
【变式9-3】（2022·浙江杭州·七年级期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为________．
【答案】
【分析】观察两个方程，令，关于y的方程可变为，再根据关于x的方程的解可得t的值，从而可得出y的值．
【详解】令，则关于y的方程可变为
由方程的定义可知，关于t的一元一次方程的解为
即
解得
则关于的一元一次方程的解为
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义和解法，观察两个方程，利用换元法是解题关键．
【考点10 一元一次方程中的错看问题】
【例10】（2022·全国·七年级专题练习）某同学解方程时，把“”处的系数看错了，解得，他把“”处的系数看成了（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】首先根据题意，设“□”处的系数是y，则4y+1=4×4-3，然后根据解一元一次方程的方法，求出他把“□”处的系数看成了多少即可．
【详解】解：设“□”处的系数是y，
则4y+1=4×4-3，
∴4y+1=13，
移项得
4y=13-1，
合并同类项得
4y=12，
系数化为1得y=3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
【变式10-1】（2022·四川·威远县凤翔中学七年级期中）小李在解方程（x为未知数）时，误将看作，解得方程的解，则a＝________，原方程的解为________．
【答案】 5
【分析】根据看作，解得方程的解，得，解出的值，再计算方程．
【详解】∵看作，解得方程的解
∴
解得
∴原方程为：
解得．
故答案为：；．
【点睛】本题考查一元一次方程，解题的关键是理解方程的解的定义，以及解一元一次方程．
【变式10-2】（2023·河北·九年级专题练习）已知关于x的方程的解为，则a的值为______；嘉琪在解该方程去分母时等式右边的-1忘记乘6，则嘉琪解得方程的解为______．
【答案】 2 -5
【分析】把x=-10代入方程求出a的值；再根据嘉琪的方法求出x的值即可．
【详解】解：把x=-10代入方程，得：
解得，a=2
当a=2时，方程为
根据嘉琪的方法得：
解得，
故答案为：2；-5
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解答本题的关键．
【变式10-3】（2022·山东枣庄东方国际学校七年级阶段练习）嘉淇解方程+1＝时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此得到方程的解为x＝﹣1．
(1)试求a的值；
(2)求原方程的解．
【答案】(1)a＝﹣2
(2)x＝8
【分析】（1）先根据错误的做法：“方程左边的1没有乘以10”而得到x＝﹣1，代入错误方程，求出a的值；
（2）把a的值代入原方程，求出正确的解．
（1）
解：按方程左边的1没有乘以10，去分母得：2（2x﹣6）+1＝5（x+a），
把x＝﹣1代入得：2×（﹣8）+1＝﹣5+5a，
解得：a＝﹣2．
（2）
解：把a＝﹣2代入原方程，得+1＝，
去分母得：2（2x﹣6）+10＝5（x﹣2），
去括号得：4x﹣12+10＝5x﹣10，
移项合并得：﹣x＝﹣8，
解得：x＝8．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程注意两边相等的未知数的值．
【考点11 一元一次方程中的新定义问题】
【例11】（2022·全国·七年级专题练习）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a、b两数中较小的数，例如min{2，-4}＝-4，则方程min{x，-x}＝3x＋4的解为（ ）
A．x＝－1 B．x＝－2 C．x＝－1或x＝－2 D．x＝1或x＝2
【答案】B
【分析】根据题意可得：min{x，-x}或，所以或，据此求出的值即可．
【详解】规定符号min{a，b}表示a、b两数中较小的数，
当min{x，-x}表示为时，
则，
解得，
当min{x，-x}表示为时，
则，
解得，
时，最小值应为，与min{x，-x}相矛盾，故舍去，
方程min{x，-x}＝3x＋4的解为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解法，能根据题意正确列出一元一次方程是解题的关键．
【变式11-1】（2022·江苏·苏州市相城区阳澄湖中学七年级阶段练习）已知，对于任意的有理数a、b、c、d，我们规定了一种运算：＝ad﹣bc，例如＝1×（﹣2）﹣0×2＝﹣2，那么当＝19时，求x的值．
【答案】2
【分析】由新定义得3（2x+1）﹣（﹣4）（x﹣1）＝19，解一元一次方程即可．
【详解】解：∵＝ad﹣bc，＝19，
∴3（2x+1）﹣（﹣4）（x﹣1）＝19，
∴6x+3+4x﹣4＝19，
∴10x＝20，
∴x＝2．
【点睛】本题考查解一元一次方程，根据新定义得出一元一次方程是解决问题的关键．
【变式11-2】（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）若，则；若，则．例：，
(1)求的值
(2)已知有理数，且满足，试求代数式的值
(3)解方程：
【答案】(1)3
(2)
(3)x＝
【分析】（1）根据对称数的定义求得即可；
（2）由对称数的定义化简得，m-n=4，然后代入代数式确定即可；
（3）分三种情况化简方程，然后解方程即可．
（1）
[]×[-4]＝==3
（2）
∵m＞0，n＜0，[m]＝[n]
∴m﹣2＝n+2
整理得：m﹣n＝4
∴
（3）
①当x≥时，方程为：
解得：x＝
②当-≤x＜时，方程为：
解得：x＝（舍）
③当x≤-时，方程为：
解得：x＝（舍）
综上：x＝
【点睛】本题考查了新定义下的有理数运算，代数式求值以及解一元一次方程，能够根据对称数的概念化简是解题的关键．
【变式11-3】（2022·全国·七年级专题练习）已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．
(1)已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为 　 　；
(2)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值；
(3)已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．
【答案】(1)
(2)m＝﹣3，n＝﹣
(3)-9
【分析】（1 ）利用“恰解方程”的定义，得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出k的值；
（2 ）解方程﹣2x＝mn+n得出x＝﹣（mn+n），由﹣2x＝mn+n是“恰解方程”得出x＝﹣2+mn+n，再结合x＝n，即可求出m，n的值；
（ 3）根据“恰解方程”的定义得出mn+n＝，把3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n化简后代入计算即可．
（1）
解：（1 ）解方程3x+k＝0得：
x＝﹣，
∵3x+k＝0是“恰解方程”，
∴x＝3﹣k，
∴﹣＝3﹣k，
解得：k＝；
（2）
解：解方程﹣2x＝mn+n得：
x＝﹣（mn+n），
∵﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，
∴x＝﹣2+mn+n，
∴﹣（mn+n）＝﹣2+mn+n，
∴3mn+3n＝4，
∵x＝n，
∴﹣2+mn+n＝n，
∴mn＝2，
∴3×2+3n＝4，
解得：n＝﹣，
把n＝﹣代入mn＝2得：m×（﹣）＝2，
解得：m＝﹣3；
（3）
解：解方程3x＝mn+n得：
x＝，
∵方程3x＝mn+n是“恰解方程”，
∴x＝3+mn+n，
∴＝3+mn+n，
∴mn+n＝，
∴3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n
＝3mn+6m2﹣3n﹣6m2﹣mn+5n
＝2mn+2n
＝2（mn+n）
＝2×（）
＝﹣9．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，理解“恰解方程”的定义是解题的关键．
【考点12 一元一次方程中的动点问题】
【例12】（2022·江苏无锡·七年级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发，先以每秒2cm的速度沿A→C运动，然后以1cm/s的速度沿C→B运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当t＝（　　），△APE的面积等于8cm2．
A．2秒 B．2或秒 C．秒 D．2或或秒
【答案】D
【分析】分两种情况：当点P在AC上，已知△APE的面积等于8，根据三角形面积公式求得AP，即可求出t．当点P在BC上， 已知△APE的面积等于8， 根据三角形面积公式求得EP，分P在E左边和右边两种情况，分别求出t．
【详解】解：分两种情况：
①如图1，当点P在AC上，
由题意得：AP＝2t，
∵BC＝8，点E是BC的中点，
∴CE＝4，
∵△APE的面积等于8，
∴AP CE＝AP×4＝8，
∵AP＝4，
∴t＝2；
②如图2，当点P在BC上，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE＝4，
∴EP AC＝EP×6＝8，
∴EP＝，
∴t＝3+4﹣＝，或t＝3+4+＝；
综上所述，当t＝2或或时，△APE的面积等于8，
故选：D．
【点睛】此题考查了速度路程问题，解题的关键是分情况构造三角形，利用三角形的面积求出对应的边长和时间．
【变式12-1】（2022·全国·七年级专题练习）如图，在中，cm，射线，动点E从点A出发沿射线的AG方向以每秒2cm的速度运动，点E出发1秒后，动点F从点B出发在线段BC上以每秒4cm的速度向点C运动．当点F运动到点C时，点E随之停止运动．连接AF，CE．设点E的运动时间为t（秒），当的面积等于的面积时，t的值为______（秒）
【答案】5
【分析】过点A作AH⊥BC于H，分别写出两个三角形面积关系式，得出AE=FC，然后列出方程求解即可．
【详解】解：过点A作AH⊥BC于H，如图：
AE=2t，FC=BC–BF=26-4（t-1），
∴，
∵△AEC的面积等于△AFC的面积，
∴，
即AE=FC，
∴2t=26-4(t-1)
解得：t=5
故答案为：5．
【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用及动点问题，理解题意列出方程是解题关键．
【变式12-2】（2022·全国·七年级专题练习）如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E为CD的中点，动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，则当△APE的面积为5cm2时，x的值为__________．
【答案】或5
【分析】分P在AB上、P在BC上、P在CE上三种情况，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：①当P在AB上时，
∵△APE的面积等于5cm2，
∴x 3=5，
解得：x=；
当P在BC上时，
∵△APE的面积等于5cm2，
∴S矩形ABCD-S△CPE-S△ADE-S△ABP=5，
∴3×4-（3+4-x）×2-×2×3-×4×（x-4）=5，
解得：x=5；
③当P在CE上时，
∵△APE的面积为5cm2，
∴（4+3+2-x）×3=5，
解得：x=（不合题意舍去），
综上所述，x的值为或5，
故答案为：或5．
【点睛】本题考查了矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握矩形的性质，分情况讨论是解题的关键．
【变式12-3】（2022·上海理工大学附属初级中学期中）已知：中，，，，是最小的合数，、满足等式：，点是的边上一动点，点从点开始沿着的边按顺序顺时针移动一周，回到点后停止，移动的路径为，移动的速度为每秒3个单位长度．如图1所示．
(1)试求出的周长；
(2)当点移动到边上时，化简：；
(3)如图2所示，若点是边上一动点，、两点分别从、同时出发，即当点开始移动的时候，点从点开始沿着的边顺时针移动，移动的速度为每秒5个单位，试问：当为何值时，， 两点的路径(在三角形边上的距离）相差3？此时点在哪条边上？
【答案】(1)15；
(2)35．
(3)t为s或s
【分析】（1）a是最小的合数，则a=4，根据非负数的性质得到b=5，c=6，则△ABC的周长可求出；
（2）由题意知S的取值范围，由绝对值的意义化简即可；
（3）分两种情况，当P在Q前面，当P在Q后面，列出方程解出t即可．
（1）
∵a是最小的合数，
∴a=4，
∵，
∴b-5=0，c-6=0，
∴b=5，c=6，
∴BC=4，AC=5，AB=6，
∴△ABC的周长=BC+AC+AB=4+5+6=15；
（2）
∵点P移动到AC边上，AB+AC=6+5=11，
∴6≤S≤11，
∴S-4＞0，3S-6＞0，4S-45＜0，
∴|S-4|+|3S-6|+|4S-45|=S-4+3S-6+45-4S=35．
（3）
①按顺时针方向移动，若P在Q的前面，
∴3t+4-5t=3，
解得：t=．
此时点P在AB上．
②按顺时针方向移动，若Q在P的前面，
∴5t-4-3t=3，
解得：t=．
此时点P在AC上．
综合以上可得，当t为s或s时，P、Q两点的路径（在三角形的边上的距离）相差为3，此时点P分别在AB，AC上．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形的周长，非负数的性质，绝对值的化简，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键．
【考点13 绝对值方程】
【例13】（2022·四川·安岳县九韶初级中学七年级阶段练习）方程的解是，那么______．
【答案】或
【分析】把x=2代入得，再根据绝对值意义得2-k=或2-k=-，再分别求解即可．
【详解】解：把x=2代入得，
由绝对值意义，得2-k=或2-k=-，
解得：k=或k=，
故答案为：或．
【点睛】本题考查方程的解，解绝对值方程，熟练掌握绝对值意义是解题的关键．
【变式13-1】（2022·全国·七年级专题练习）已知方程是关于x的一元一次方程．
(1)求代数式的值；
(2)求关于y的方程m|y－2|＝x的解．
【答案】(1) 2
(2)y＝6或y＝ 2
【分析】（1）根据一元一次方程的定义得到|m|＝1且m＋1≠0，解得m＝1，再解原方程得到x＝4，把代数式化简得到原式＝，然后把x＝4代入计算即可；
（2）方程化为|y 2|＝4，根据绝对值的意义得到y 2＝4或y 2＝ 4，然后分别解两个一次方程即可．
（1）
解：∵方程是关于x的一元一次方程，
∴|m|＝1且m＋1≠0，
∴m＝1，
原一元一次方程化为：2x 8＝0，解得x＝4，
＝
＝，
当x＝4时，原式＝＝ 2；
（2）
解：方程化为|y 2|＝4，
∴y 2＝4或y 2＝ 4，
∴y＝6或y＝ 2．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．也考查了一元一次方程的定义．掌握相关定义和一元一次方程的解法是解题的关键．
【变式13-2】（2022·江苏·南通市新桥中学七年级阶段练习）有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值号，转化为一元一次方程求解．
例如：解方程x+2|x|＝3．
解：当x≥0时，原方程可化为x+2x＝3，解得x＝1，符合题意；
当x＜0时，原方程可化为x-2x＝3，解得x＝-3，符合题意．
所以，原方程的解为x＝1或x＝-3．
仿照上面的解法，解方程 - 8＝－．
【答案】x＝10
【分析】根据例题，分与两种情形化简原方程，进而解一元一次方程即可
【详解】解：当时，原方程可化为，
解得x＝10，符合题意；
当时，原方程可化为，
（舍去）
所以，原方程的解为x＝10．
【点睛】本题考查了解绝对值方程，解一元一次方程，分类讨论是解题的关键．
【变式13-3】（2022·全国·七年级专题练习）有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程，
解：当时，方程可化为：，解得，符合题意；
当时，方程可化为：，解得，符合题意．
所以，原方程的解为或．
请根据上述解法，完成以下两个问题：
（1）解方程：；
（2）试说明关于的方程解的情况．
【答案】（1）x=-1或x=；（2）当a＞4时，方程有两个解；当a=4时，方程有无数个解；当a＜4时，方程无解
【分析】（1）分类讨论：x＜1，x≥1，根据绝对值的意义，可化简绝对值，根据解方程，可得答案．
（2）分类讨论：x＜-3，-3≤x≤1，x＞1，分别求解方程，再根据x的范围算出a的取值，从而分类讨论得出解的情况．
【详解】解：（1）当x＜1时，方程可化为：，
解得x=-1，符合题意．
当x≥1时，方程可化为：，
解得x=，符合题意．
所以，原方程的解为：x=-1或x=；
（2）当x＜-3时，方程可化为：
，
解得：，
则，解得：，
当-3≤x≤1时，方程可化为： ，
当x＞1时，方程可化为：，
解得：，
则，解得：，
综上：当a＞4时，方程有两个解；当a=4时，方程有无数个解；当a＜4时，方程无解．
【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论是解题关键，以防遗漏．
【考点14 列一元一次方程并求解】
【例14】（2022·江苏·南通第一初中七年级阶段练习）已知关于x的代数式2x﹣5和5x﹣2互为相反数，则x的值为 _____．
【答案】1
【分析】利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【详解】解：根据题意得：2x﹣5+5x﹣2＝0，
移项合并得：7x＝7，
解得：x＝1，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
【变式14-1】（2022·黑龙江·绥芬河市第三中学七年级期中）已知与的常数项相同，则__________．
【答案】-7
【分析】根据题意可得，即可求解．
【详解】解：∵与的常数项相同，
∴，
解得：．
故答案为：-7
【点睛】本题主要考查了多项式的项，解一元一次方程，熟练掌握多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项是解题的关键．
【变式14-2】（2022·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）等于什么数时，代数式的值比的值小1．
【答案】
【分析】根据题意列出一元一次方程，再按照一元一次方程的解法解答即可求出答案．
【详解】由题知，，
去分母得，，
去括号得，，
移项合并得，，
解得，．
所以当满足题意．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
【变式14-3】（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级阶段练习）若与8之和的2倍等于与1之差的3倍，则______．
【答案】19
【分析】由题意列出方程进而解方程得出答案．
【详解】解：根据题意，得
2 (x+8)=3(x-1)，
解这个方程，得x=19．
故答案为：19．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，正确掌握解方程步骤是解题的关键．
【考点15 一元一次方程的应用】
【例15】（2022·山东滨州·七年级期末）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2：5．某厂每天生产这种消毒液22.5t，则这些消毒液分装成的这两种产品中有______瓶大瓶产品．
【答案】20000
【分析】设大瓶有2x瓶，小瓶有5x瓶，根据题意列方程求出x，则可知大瓶的数量
【详解】换算单位：22.5t=22.5×1000×1000g
设大瓶有2x瓶，小瓶有5x瓶，
根据题意列方程，得
500·2x+250·5x=22.5×1000×1000，
解得x=10000
2x=20000
∴大瓶有20000瓶．
故答案为：20000
【点睛】本题考查了列一元一次方程解应用题，一般情况下题目中出现比值问题，通常设每份为x，掌握以上方法是解题的关键．
【变式15-1】（2022·福建泉州·七年级期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道数学题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人几何？其大意是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，剩余2辆车没人乘坐；若每2人共乘一车，剩余9个人没有车可乘坐．问共有多少人？
【答案】39人
【分析】设共有x人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设共有x人，依题意得，
解得
答：共有39人．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意找到等量关系是解本题的关键．
【变式15-2】（2022·河北承德·七年级期末）小韩和同学们在一家快餐店吃饭，下表为快餐店的菜单：
种类 配餐 价格（元） 优惠活动
A餐 1份盖饭 20 消费满150元，减24元 消费满300元，减48元 ……
B餐 1份盖饭＋1杯饮料 28
C餐 1份盖饭＋1杯饮料＋1份小菜 32
小韩记录大家的点餐种类，并根据菜单一次点好，已知他们所点的餐共有11份盖饭，杯饮料和5份小菜．
(1)他们共点了______份B餐；（用含x的式子表示）
(2)若他们套餐共买6杯饮料，求实际花费多少元；
(3)若他们点餐优惠后一共花费了256元，请通过计算分析他们点的套餐是如何搭配的．
【答案】(1)
(2)264元
(3)A套餐6份，套餐5份或套餐3份，套餐3份，套餐5份，见解析
【分析】(1)由三种套餐中均包含盖饭且只有C套餐中含小菜，即可得出他们点了(x 5)份B套餐；
(2)依题意知：套餐5份，套餐1份，A套餐5份，据此即可解答；
(3)依题意知：套餐5份，套餐份，A套餐份，再分两种情况，列方程即可分别求得．
（1）
解：因为三种套餐中均包含盖饭且只有C套餐中含小菜，有5份小菜，
所以共点了5份C套餐，
因为只有B和C套餐中有饮料，一共点了x杯饮料，C套餐有5份，
所以他们点了(x 5)份B套餐．
故答案为：(x 5)；
（2）
解：依题意：套餐5份，套餐1份，A套餐5份，
所以(元)，
因为满150元，减24元，
所以实际花费为：(元)；
（3）
解：因为只有套餐含小菜，所以依题意套餐点了5份；
因为有份饮料，所以套餐共份，
因为共11份盖饭，
所以A套餐份．
当满150优惠时：，
解得：，
故A套餐6份，套餐5份；
当满300优惠时：，
解得：，
故A套餐3份，套餐3份，套餐5份．
综上，他们点的套餐是A套餐6份，套餐5份或A套餐3份，套餐3份，套餐5份．
【点睛】本题考查了应用类问题，列代数式，一元一次方程的实际应用，根据各数量之间的关系，正确列出一共的花费及方程是解题的关键．
【变式15-3】（2022·江苏镇江·七年级期末）某快递公司规定每件体积不超标的普通小件物品的收费标准如表：
寄往本省内 寄往周边省份
首重 续重 首重 续重
8元/千克 5元/千克 12元/千克 6元/千克
说明：①每件快递按送达地（省内，省外）分别计算运费． ②运费计算方式：首重价格+续重×续重运费． 首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以千克为一个计重单位（不足克按千克计算）．
例如：寄往省内一件千克的物品，运费总额为：元．
寄往省外一件千克的物品，运费总额为：元．
（下面问题涉及的寄件按上表收费标准计费）
(1)小明同时寄往省内一件3千克的物品和省外一件千克的物品，各需付运费多少元？
(2)小明寄往省内一件重千克，其中m是大于1的正整数，n为大于0且不超过的小数（即），则用含字母m的代数式表示小明这次寄件的运费为________；
(3)小明一次向省外寄了一件物品，用了36元，你能知道小明这次寄件物品的重量范围吗？
【答案】(1)18元，24元
(2)（5m+5.5）元
(3)大于4.5kg但不超过5kg
【分析】（1）根据表中给出的运费计算方式分别计算运费即可；
（2）根据表中给出的运费计算方式计算运费即可；
（3）设小明寄件的物品重（m+n）千克，分三种情况列出方程，解之即可．
【小题1】解：寄往省内一件3千克的物品需付运费:
8+5×（3-1）=18 （元），
寄往省外一件2.8千克的物品需付运费:
12+6×（1+0.5+0.5）=24（元）；
【小题2】小明这次寄件的运费为：8+5（m-1+0.5）=5m+5.5；
【小题3】设小明寄件的物品重（m+n）千克，m为正整数，n为大于等于0而小于1的数（即），
①当n=0时，12+6（m-1）=36，
解得：m=5；
②当0解得：m=4.5（不是正整数，舍去）；
③0.5解得：m=4，
∴小明这次寄件物品的重量范围为大于4.5kg但不超过5kg．
【点睛】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，理解表中给出的运费计算方式．
【考点16 一元一次方程中的数形结合问题】
【例16】（2022·全国·七年级课时练习）如图，在数轴上点 O是原点，点 A、B．、C．表示的数分别是﹣12、8、14．若 点 P从点 A出发以 2 个单位/秒的速度向右运动，其中由点 O运动到点 B．期间速度变为原来的 2 倍，之后立刻恢复原速，点 Q从点 C．出发，以 1 个单位/秒的速度向左运动，若点 P、Q同时出发，则经过__秒后，P、Q两点到点 B的距离相等．
【答案】7.6或10##10或7.6
【分析】设经过t秒后，P、Q两点到点 B的距离相等，先分别求出点P、Q经过t秒后点P、Q表示的数，再分P在点B的左边和在点B的右边，由P、Q两点到点 B的距离相等列方程求解即可．
【详解】解： 设经过t秒后，P、Q两点到点 B的距离相等，
由题意，AO=12，OB=8，BC=14－8=6，点P到达O点的时间为12÷2=6秒，此时点C到达B点，故t＞6，即Q在B的左边，
当P在点B的左边时，P表示的数为4（t－6）=4t－24，C表示的数为14－t，
由PB=CB得：4t－24=14－t，解得：t=7.6；
当P在B的右边时，由于点P到达点B的时间为6+8÷4=8秒，故点P表示的数为8+2（t－8）=2t－8，C表示的数为14－t，
由PB=CB得：（2t－8）－8=8－（14－t），解得：t=10，
综上，经过7.6或10秒后，P、Q两点到点 B的距离相等，
故答案为：7.6或10．
【点睛】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、解一元一次方程，熟练掌握数轴上的动点问题是解答的关键．
【变式16-1】（2022·湖南岳阳·七年级期末）如图，点A与点D在单位长度为1的数轴上，且表示的数互为相反数．
(1)请填写：点B表示的有理数为________，点C表示的有理数为________；
(2)若数轴上点P到点B、点C的距离之和等于7，则点P表示的数是________；
(3)数轴上动点M从点B出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时另一动点N从点C出发以每秒2个单位长度的速度也向左运动．运动t秒后M、N两点间的距离为1，求出t的值，并求此时点M的位置．
【答案】(1)；2
(2)或4
(3)或，点M的位置为或
【分析】（1）点A，D表示的数互为相反数，可知坐标原点位于二者正中间，据此可解；
（2）设点P表示的数为x，由点P到点B， C的距离和等于7可知，点P可能位于点B左侧或者位于点C右侧，分类讨论求解即可；
（3）x秒后点N的所表示的数为，点M所表示的数为 ，由题意可知
，解方程即可得答案．
（1）
解：∵点A，D表示的数互为相反数，且点A、D相距6个单位长度，
∴数轴的原点位于点B右侧一个单位，
∴点B表示的数是-1，点C表示的数是2；
（2）
解：设点P表示的数为x，
∵点B、C的距离为3，
∴若点P到点B、C的距离和等于7，则点P可能位于点B左侧或者位于点C右侧，
∴当点P位于点B左侧时：
，
∴，
当点P位于点C右侧时：
，
∴，
∴点P表示的数是 或4；
（3）
解：由题意得：，整理得．
∴或，
解得：或，
当时，点M的位置为，
当时，点M的位置为，
综上所述：点M的位置为或．
【点睛】本题考查了一元一次方程、绝对值方程的列式及求解，会正确地根据数轴表示相关线段长，明确相关点在数轴上如何表示是解题的关键．
【变式16-2】（2022·河南平顶山·七年级期末）阅读下面材料：点、在数轴上分别表示实数、，、两点之间的距离表示为．当、两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图1，，当、两点都不在原点时，
①如图2，点、都在原点的右边，；
②如图3，点、都在原点的左边，；
③如图4，点、在原点的两边，；
综上，数轴上、两点之间的距离．
回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示和的两点之间的距离是______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______；
(2)数轴上表示和的两点A和之间的距离是______，如果，那么______；
(3)解方程．
【答案】(1)3；3；4
(2)；或
(3)或
【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解；
（2）根据两点间的距离公式可求数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离，再根据两点间的距离公式列出方程可求x；
（3）根据提示列出算式计算即可求解．
（1）
数轴上表示2和5两点之间的距离是：|2-5|=3，
数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是：|-2-(-5)|=3，
数轴上表示1和-3的两点之间的距离是：|1-(-3)|=4．
故答案为：3；3；4．
（2）
数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是：|x+1|，
当|AB|=2，即|x+1|=3，
解得x=-4或2．
故答案为：；或．
（3）
表示的意思是到和5的距离之和为9，
∵和5的距离为7，
∴位于的左侧或者5的右侧，
则或，
或．
【点睛】本题考查了数轴，涉及的知识点为：数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值，绝对值是正数的数有2个．
【变式16-3】（2022·山东烟台·期末）如图所示，已知数轴上点A表示的数为140，B是数轴上一点，且AB=210．动点M从A出发，以（单位长度∕秒）的速度沿数轴向左匀速运动．
(1)如图1，数轴上点B表示的数是　 ；运动4秒时动点M表示的数是　 　（用含的代数式表示）；
(2)如图2，在点M从A向左运动的同时，动点P、N同时从B、A出发向右运动，已知点P的速度是M速度的2倍，点N的速度是M速度的3倍，经过y秒，点P、N之间的距离为　 　，点M、N之间的距离为　 　
(3)如图2，若经过6秒时，点P、N之间的距离是点M、N之间的距离的2倍，求动点M的速度．
【答案】(1)－70，140－4
(2)210+xy 4xy
(3)5单位长度/秒
【分析】（1）将140-210=-70，可求点B表示的数，将140减去动点M运动4秒时走了4，即可求点M表示的数；
（2）先求出点P、N的速度，再求出y秒P、N、M运动的距离，即可得答案；
（3）根据（2）的结果，经过6秒时，点P、N之间的距离是点M、N之间的距离的2倍，得210+6x=2×6×4x，即可得答案．
(1)
解：∵点A表示的数为140，AB=210，点B为负数，
∴点B为140-210=-70，
∵运动4秒时动点M走了4，且负方向移动，
∴点M表示的数是140－4；
(2)
∵动点M的速度是x（单位长度∕秒），点P的速度是M速度的2倍，点N的速度是M速度的3倍，
∴点P的速度是：2x（单位长度∕秒），点N的速度是3x（单位长度∕秒），
∴经过y秒后，点P、N之间的距离为：y×3x+(210－y×2x)=210+xy，点M、N之间的距离为：y（x+3x）=4xy ；
(3)
∵经过6秒时，点P、N之间的距离是点M、N之间的距离的2倍，
∴210+6x=2×6×4x，
解得x=5，
∴动点M的速度为5（单位长度/秒）．
【点睛】本题考查了数轴与动点运动的问题，一元一次方程的解法，列代数式，解题的关键是弄清动点运动的方向和距离．
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