【七上】专题8 一元一次方程章末题型过关卷（含解析）

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一元一次方程章末题型过关卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022·全国·七年级单元测试）如果关于x的方程ax＝b无解，那么a、b满足的条件（ ）
A．a＝0，b＝0 B．a≠0，b≠0 C．a≠0，b＝0 D．a＝0，b≠0
2．（3分）（2022·全国·七年级课时练习）下列方程中：①x﹣2＝；②x＝6；③；④x2﹣4x＝3；⑤0.3x＝1；⑥x＋2y＝0，其中一元一次方程的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（3分）（2022·浙江·九年级专题练习）定义a*b=ab+a+b，若3*x=27，则x的值是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
4．（3分）（2022·全国·七年级课时练习）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．（3分）（2022·吉林·中考真题）古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，若设这个数是，则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）（2022·全国·七年级课时练习）符合条件|a＋5|＋|a－3|＝8的整数a的值有（ ）．
A．4个 B．5个 C．7个 D．9个
7．（3分）（2022·全国·七年级专题练习）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（2022·全国·七年级单元测试）已知a为正整数，且关于x的一元一次方程ax﹣14＝x+7的解为整数，则满足条件的所有a的值之和为（　　）
A．36 B．10 C．8 D．4
9．（3分）（2022·四川·岳池县兴隆中学七年级阶段练习）下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，其中，第1个图形中面积为1的正方形有9个，第2个图形中面积为1的正方形有14个，……，按此规律，则第几个图形中面积为1的正方形的个数为2019个（ ）
A．402 B．403 C．404 D．405
10．（3分）（2022·重庆·七年级期末）对于任意一个正整数可以按规则生成无穷数串：，，，…，，，…（其中为正整数），规则为：．
下列说法：
①若，则生成的这数串中必有（为正整数）；
②若，生成的前2022个数之和为55；
③若生成的数中有一个，则它的前一个数应为32；
④若，则的值只能是9．其中正确的个数是（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022·全国·七年级专题练习）在解方程的过程中，①去分母，得；②去括号，得；③移项，得；④合并同类项，得；⑤系数化为1，得．其中开始出错的步骤是________．
12．（3分）（2022·山东菏泽·七年级阶段练习）当________时，整式与互为相反数；
13．（3分）（2022·山东·夏津县万隆实验中学七年级期中）小红在解关于的一元一次方程时，误将看作，得方程的解为，则原方程的解为________．
14．（3分）（2022·全国·七年级课时练习）若方程与方程的解相同，则_______．
15．（3分）（2022·全国·七年级专题练习）在边长为的正方形中，放置两张大小相同的正方形纸板，边在上，点，分别在，上，若区域的周长比区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和还大，则正方形纸板的边长为______．
16．（3分）（2022·重庆渝北·七年级期中）陶行知老校长曾经说过：“教育不能创造什么，但它能启发解放儿童创造力以从事于我们创造之工作．”“创造节”是育才的三大传统节日之一，而其中的美食街活动一直都是同学们最期待的环节．今年的美食街活动中，初一（1）班摊位推出了A、B、C三种食品，每种食品的成本分别为10.5元．13.5元．7元．在八点至九点期间．A、B、C三种食品的单价之比为3∶4∶2，销量之比为1∶1∶3；由于味道太好，供不应求、故在九点到十点期间，初一（1）班摊位适当调整了价格，A、B、C三种食品的单价均有所上调，其中B食品的单价上调50%，但三种食品的销量之比不变，同时三种食品的销售额比之前有所增加，其中A、C增加的销售额之比为1∶2，且A、B食品在九点到十点期间的销售额之比为2∶3．若九点到十点三种食品的单价之和比八点到九点的单价之和多9.9元，则九点到十点期间初一（1）班摊位的利润率为__________．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2022·全国·七年级单元测试）解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
18．（6分）（2022·全国·七年级专题练习）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．
(1)若“立信方程”的解也是关于x的方程的解，则_____；
(2)若关于x的方程的解也是“立信方程”的解，则_______；
(3)若关于x的方程的解也是关于x的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数a和正整数k的值．
19．（8分）（2022·山东临沂·七年级期末）“阶梯水价”充分发挥市场、价格因素在水资源配置、水需求调节等方面的作用，拓展了水价上调的空间，增强了企业和居民的节水意识，避免了水资源的浪费．阶梯式计量水价将水价分为两段或者多段，每一分段都有一个保持不变的单位水价，但是单位水价会随着耗水量分段而增加．某地“阶梯水价”收费标准如下表（按月计算）：
用水量 (单位：m3 ) 单价（元/m3 ）
不超出m3 2
超出m3，不超出m3的部分 3
超出m3的部分 5
例如：该地区某户居民3月份用水m3，则应交水费为（元．
根据上表的内容解答下列问题：
（1）用户甲5月份用水16 m3，则该用户5月份应交水费多少元？
（2）用户乙5月份交水费50元，则该用户5月份的用水量为多少m3？
（3） 用户丙5、6两个月共用水m3，其中6月份用水量超过了m3，设5月份用水m3，请用含的式子表示该户居民5、6两个月共交的水费．
20．（8分）（2022·全国·七年级专题练习）2022年是共青团建团100周年．1922年5月5日，中国社会主义青年团第一次全国代表大会在广州召开，标志中国青年团组织的正式成立．从此，青年团作为中国共产党的助手和后备军，在党的领导下团结带领全国各族青年，积极投身到振兴中华，实现中华民族伟大复兴的事业中．在5月日历表上随意用一个正方形方框圈出4个数（如图所示），若圈出的这四个数的和是64，求这个最小数（请用方程知识解答）．
21．（8分）（2022·江苏·盐城市初级中学七年级期末）阅读理解题：无限循环小数与分数
如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定的顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数。例如，0.666…的循环节是“6”，它可以写作0.，像这样的循环小数称为纯循环小数，又如，0.1333…、0.03456456456…的循环节分别是“3”，“456”，它们可分别写作0.1、0.5，像这样的循环小数称为混循环小数．
（1）任何一个分数都可以化成有限小数或无限循环小数．
请将下列分数化成小数：=______；=_______．
（2）无限小数化成分数，可有两种方法：
方法一：如果小数是纯循环小数，化为分数时，分数的分子是它的一个循环节的数字所组成的数，分母则由若干个9组成，9的个数为一个循环节的数字的个数．
例如：0.==；0.1==．
请将纯循环小数化为分数：0.=_______．
如果小数是混循环小数，可以先化为纯循环小数然后再化为分数．请将混循环小数化为分数：0.1=_______．
方法二：应用一元一次方程来解：
例如：将循环小数0.化成分数
设x=0.，则100x=23+0.
100x=23+x， 99x=23
x=
所以0.
试一试，请你用一元一次方程仿照上述方法将0.1化成分数．
22．（8分）（2022·全国·七年级专题练习）
(1)如图1：正方形ABCD边长为5，点P、点Q在正方形的边上．点P从点A以每秒3个单位长度的速度沿A→B→C→D→A折线循环运动，同时点Q从点C以每秒1个单位长度的速度沿C→D→A→B→C折线循环运动．
设点P运动时间为x秒．
①当x为何值时，点P和点Q第一次相遇．
②当x为何值时，点P和点Q第二次相遇．
(2)如图2：是长为6，宽为4的长方形ABCD，点E为边CD的中点，点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→E折线运动，到达点E停止．设点M运动时间为t秒，当三角形AME的面积等于9时，请求出t的值．
23．（8分）（2022·全国·七年级单元测试）【探索新知】
如图1，点将线段分成和两部分，若，则称点是线段的圆周率点，线段、称作互为圆周率伴侣线段．
（1）若，求的值（用含的代数式表示）；
（2）若点也是图1中线段的圆周率点（不同于点），求与的数量关系．
【深入研究】
如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点的位置．
（3）若点、均为线段的圆周率点，求线段的长度；
（4）在图2中，点、分别从点、位置同时出发，分别以每秒2个单位长度、每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为秒．点追上点时，停止运动，当、、三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点时，请求出的值．
一元一次方程章末题型过关卷
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022·全国·七年级单元测试）如果关于x的方程ax＝b无解，那么a、b满足的条件（ ）
A．a＝0，b＝0 B．a≠0，b≠0 C．a≠0，b＝0 D．a＝0，b≠0
【答案】D
【分析】根据方程无解，可知含x的系数为0，常数不为0，据此求解．
【详解】解：∵关于x的方程ax=b无解，
∴a=0，b≠0，
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，理解方程无解时含x的系数为0，常数项不为0是解题关键．
2．（3分）（2022·全国·七年级课时练习）下列方程中：①x﹣2＝；②x＝6；③；④x2﹣4x＝3；⑤0.3x＝1；⑥x＋2y＝0，其中一元一次方程的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的定义：一元一次方程只含有1个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程，进行逐一判断即可．
【详解】解：①x﹣2＝不是整式方程，不是一元一次方程，故不符合题意：
②x=6是一元一次方程，故符合题意：
③和⑤0.3x＝1符合一元一次方程的定义，故符合题意；
④x2﹣4x＝3未知数的最高次不是1，不是一元一次方程，故不符合题意；
⑥x+2y＝0含有两个未知数，不是一元一次方程，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的定义，需注意定义里的每一个条件都要满足，理解掌握定义是解答关键．
3．（3分）（2022·浙江·九年级专题练习）定义a*b=ab+a+b，若3*x=27，则x的值是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】C
【分析】根据运算规则转化为一元一次方程，然后求解即可．
【详解】解：根据运算规则可知：3*x=27可化为3x+3+x=27，
移项可得：4x=24，
即x=6．
故选C．
【点睛】本题考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的思路有通分，移项，左右同乘除等．
4．（3分）（2022·全国·七年级课时练习）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】根据等式的性质，逐项判断即可．
【详解】解：A、根据等式性质2，a（x2+1）=b（x2+1）两边同时除以（x2+1）得a=b，原变形正确，故这个选项不符合题意；
B、根据等式性质2，a=b两边都乘c，即可得到ac=bc，原变形正确，故这个选项不符合题意；
C、根据等式性质2，c可能为0，等式两边同时除以c2，原变形错误，故这个选项符合题意；
D、根据等式性质1，x=y两边同时减去3应得x-3=y-3，原变形正确，故这个选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了等式的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）等式两边加同一个数（或式子），结果仍得等式．（2）等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
5．（3分）（2022·吉林·中考真题）古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，若设这个数是，则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意列方程．
【详解】解：由题意可得．
故选C
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找等量关系是解题的关键．
6．（3分）（2022·全国·七年级课时练习）符合条件|a＋5|＋|a－3|＝8的整数a的值有（ ）．
A．4个 B．5个 C．7个 D．9个
【答案】D
【分析】此方程可理解为a到 5和3的距离的和，由此可得出a的值，继而可得出答案．
【详解】解：|a＋5|表示a到 5点的距离，
|a 3|表示a到3点的距离，
由 5到3点的距离为8，
故 5到3之间的所有点均满足条件，
即 5≤a≤3，
又由a为整数，
故满足条件的a有： 5， 4， 3， 2， 1，0，1，2，3共9个，
故选：D．
【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程，关键是利用数轴进行解答．
7．（3分）（2022·全国·七年级专题练习）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用整体思想，得到方程中，有，即可答案．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为，
∴关于y的一元一次方程中，有，
∴；
即方程的解为；
故选：D
【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出一元一次方程是解此题的关键．
8．（3分）（2022·全国·七年级单元测试）已知a为正整数，且关于x的一元一次方程ax﹣14＝x+7的解为整数，则满足条件的所有a的值之和为（　　）
A．36 B．10 C．8 D．4
【答案】A
【分析】根据题意可知，解原方程可得，再由“方程解为整数”，即可求出a的值，最后再由a为正整数即可求出满足条件的所有a的值的和．
【详解】解：，
移项得： ，
合并同类项得：，
若a＝1，则原方程可整理得：-14＝7（无意义，舍去），
若a≠1，则，
∵解为整数，
∴x＝1或-1或3或-3或7或-7或21或-21，
则a-1＝21或-21或7或-7或3或-3或1或-1，
解得：a＝22或-20或8或-6或4或-2或2或0，
又∵a为正整数，
∴a＝22或8或4或2，
∴满足条件的所有a的值的和=22+8+4+2＝36，
故选：A．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，正确掌握一元一次方程的解法是解答本题的关键．
9．（3分）（2022·四川·岳池县兴隆中学七年级阶段练习）下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，其中，第1个图形中面积为1的正方形有9个，第2个图形中面积为1的正方形有14个，……，按此规律，则第几个图形中面积为1的正方形的个数为2019个（ ）
A．402 B．403 C．404 D．405
【答案】B
【分析】由第1个图形有9个面积为1的小正方形，第2个图形有9+5＝14个面积为1的小正方形，第3个图形有9+5×2＝19个面积为1的小正方形，…由此得出第n个图形有9+5×（n﹣1）＝5n+4个面积为1的小正方形，由此求得答案即可．
【详解】解：第1个图形面积为1的小正方形有9个，
第2个图形面积为1的小正方形有9+5＝14个，
第3个图形面积为1的小正方形有9+5×2＝19个，
…
第n个图形面积为1的小正方形有9+5×（n﹣1）＝5n+4个，
根据题意得：5n+4＝2019，
解得：n＝403．
故选：B．
【点睛】本题考查了图形的变化规律，找出图形之间的变化规律，利用规律建立方程是解题关键．
10．（3分）（2022·重庆·七年级期末）对于任意一个正整数可以按规则生成无穷数串：，，，…，，，…（其中为正整数），规则为：．
下列说法：
①若，则生成的这数串中必有（为正整数）；
②若，生成的前2022个数之和为55；
③若生成的数中有一个，则它的前一个数应为32；
④若，则的值只能是9．其中正确的个数是（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据规则分别求出的值，再归纳类推出一般规律即可判断①；先分别求出的值，再归纳类推出一般规律，然后求和即可判断②；分为偶数和为奇数两种情况，分别根据规则建立方程，解方程求出的值即可判断③；根据规则分别建立方程，解方程求出的值即可判断④．
【详解】解：当时，，
，
，
由此可知，的值是以循环往复的，
所以若，则生成的这数串中必有（为正整数），说法①正确；
当时，，
，
，
，
，
，
则从开始，的值是以循环往复的，
因为，
所以若，生成的前2022个数之和为
，说法②错误；
若为偶数，则，解得，符合题设，
若为奇数，则，解得，符合题设，
所以若生成的数中有一个，则它的前一个数应为32或5，说法③错误；
当时，因为7为奇数，
所以，解得为偶数，
所以或，
解得或（舍去），
所以或，
解得或，均符合题意，
即若，则的值是9或56，说法④错误；
综上，正确的个数是1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了数字类规律探索、一元一次方程的应用，理解规则，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022·全国·七年级专题练习）在解方程的过程中，①去分母，得；②去括号，得；③移项，得；④合并同类项，得；⑤系数化为1，得．其中开始出错的步骤是________．
【答案】①
【分析】根据等式的性质方程两边同时乘以各个分母的最小公倍数即可去分母，然后依据去括号法则，移项、合并同类项求解，从而判断．
【详解】去分母应得， ，
故开始出错的步骤是①．
【点睛】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意分数线起到括号的作用，去分母时要注意加括号．
12．（3分）（2022·山东菏泽·七年级阶段练习）当________时，整式与互为相反数；
【答案】0
【分析】利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【详解】解：∵代数式与2x +1互为相反数，
∴+2x +1=0，
解得x=0.
故答案为：0.
【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及相反数，熟练掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．
13．（3分）（2022·山东·夏津县万隆实验中学七年级期中）小红在解关于的一元一次方程时，误将看作，得方程的解为，则原方程的解为________．
【答案】
【分析】先根据“错误方程”的解求出a的值，从而可得原方程，再解一元一次方程即可．
【详解】解：由题意得：是方程的解
则，
解得，
因此，原方程为
解得
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，理解题意，求出原方程中a的值是解题关键．
14．（3分）（2022·全国·七年级课时练习）若方程与方程的解相同，则_______．
【答案】2
【分析】求出方程的解，把的值代入方程 ，求出解即可．
【详解】解：解方程得，
∵方程与方程的解相同，
∴也是方程的解，
把代入方程，
得
解之得．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了同解方程，先求出方程的解，把的值代入方程是解题关键．
15．（3分）（2022·全国·七年级专题练习）在边长为的正方形中，放置两张大小相同的正方形纸板，边在上，点，分别在，上，若区域的周长比区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和还大，则正方形纸板的边长为______．
【答案】5
【分析】设正方形纸板的边长为，则，，根据区域Ⅰ的周长比区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和还大列方程即可得到答案．
【详解】解：设正方形纸板的边长为，则，，
区域Ⅰ的周长比区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和还大，
，
解得，
正方形纸板的边长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键．
16．（3分）（2022·重庆渝北·七年级期中）陶行知老校长曾经说过：“教育不能创造什么，但它能启发解放儿童创造力以从事于我们创造之工作．”“创造节”是育才的三大传统节日之一，而其中的美食街活动一直都是同学们最期待的环节．今年的美食街活动中，初一（1）班摊位推出了A、B、C三种食品，每种食品的成本分别为10.5元．13.5元．7元．在八点至九点期间．A、B、C三种食品的单价之比为3∶4∶2，销量之比为1∶1∶3；由于味道太好，供不应求、故在九点到十点期间，初一（1）班摊位适当调整了价格，A、B、C三种食品的单价均有所上调，其中B食品的单价上调50%，但三种食品的销量之比不变，同时三种食品的销售额比之前有所增加，其中A、C增加的销售额之比为1∶2，且A、B食品在九点到十点期间的销售额之比为2∶3．若九点到十点三种食品的单价之和比八点到九点的单价之和多9.9元，则九点到十点期间初一（1）班摊位的利润率为__________．
【答案】8%
【分析】根据题意设出在八点至九点期间，A，B，C三种食品的单价分别为3x元，4x元，2x元，销量分别为m，m，3m，在九点到十点期间的三种食品的销量分别为n，n，3n，把这两天三种食品的单价、销量均表示出来，根据3月8日三种食品的单价之和比3月7日三种食品的单价之和多9.9元，列出方程求出x，再用整体法求出利润率即可．
【详解】解：设在八点至九点期间，A，B，C三种食品的单价分别为3x元，4x元，2x元，销量分别为m，m，3m，
∵在九点到十点期间的三种食品的销量之比不变，
∴设在九点到十点期间的A，B，C三种食品的销量分别为n，n，3n，
∵在九点到十点期间B食品的单价上调50%，
∴在九点到十点期间B食品的单价为4x×（1 + 50%）= 6x（元）
∵在九点到十点期间A，B食品的销售额之比为2：3，
∴在九点到十点期间B食品的销售额为6nx元，A食品的销售额为4nx元，
∴在九点到十点期间A食品的单价为（元），
∵在九点到十点期间A，C食品增加的销售额之比为1：2，
∴A食品增加的销售额为：（4nx-3mx）元，
∴C食品增加的销售额为：（8nx-6mx）元，
∴在九点到十点期间C食品的单价为：（元），
∵在九点到十点期间三种食品的单价之和比在八点至九点期间三种食品的单价之和多9.9元，
∴，
∴，
∴在九点到十点期间A、B、C三种食品的销售单价分别为10.8元，16.2元，7.2元，
∴在九点到十点期间的利润率为： ，
∴在九点到十点期间初一（1）班摊位的利润率为8%．
故答案为：8%
【点睛】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，掌握用代数式表示每个参数，并用整体法解题是关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2022·全国·七年级单元测试）解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解；
（2）方程移项合并，把系数化为1，即可求出解；
（3）方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解；
（4）方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解．
【详解】解：（1）去分母得：，
移项合并得：，
解得：；
（2）移项合并得：，
解得：；
（3）去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：；
（4）去分母得：，
移项合并得：，
解得：．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解方程的基本步骤．
18．（6分）（2022·全国·七年级专题练习）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．
(1)若“立信方程”的解也是关于x的方程的解，则_____；
(2)若关于x的方程的解也是“立信方程”的解，则_______；
(3)若关于x的方程的解也是关于x的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数a和正整数k的值．
【答案】(1)1
(2)5
(3)，
【分析】（1）根据“立信方程”的定义解答即可；
（2）根据x2+3x-4=0，可得2x2+6x =8，再代入，即可求解；
（3）先求出方程的解，可得，再由x的值为整数，可得为整数，从而得到a的值，进而得到x的值，同理求出方程的解，再利用“立信方程”以及a和k为正整数，即可求解．
（1）
解：2x+1=1，解得x=0；
把x=0代入1-2（x-m）=3，得：
1-2（0-m）=3，即1+2m=3，
解得：m=1．
故答案为：1．
（2）
解： ∵x2+3x-4=0，
∴x2+3x=4，
∴2（x2+3x）= 2x2+6x =8，
∵关于x的方程的解也是“立信方程”的解，
∴8-3-n=0，解得：n=5．
故答案为：5．
（3）
解：∵a为正整数，则a≠0，
∵，
∴，
∵该方程为“立信方程”，
∴x的值为整数，
∴为整数，
∴a可取1，4，2，-1，-4，-2，
∴x=-2，16，-1，-4，38，7，
同理9x-3=kx+14，
∴（9-k）x=17，
根据题意得：9-k≠0，
∴，
∴9-k可取8，-8，10，26，
∴此时x=17，1，-17，-1，
∴两方程相同的解为x=-1，
此时对应的a=2，k=26，
∴符合要求的正整数a的值为2，k的值为26．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解立信方程的意义是解此题的关键．
19．（8分）（2022·山东临沂·七年级期末）“阶梯水价”充分发挥市场、价格因素在水资源配置、水需求调节等方面的作用，拓展了水价上调的空间，增强了企业和居民的节水意识，避免了水资源的浪费．阶梯式计量水价将水价分为两段或者多段，每一分段都有一个保持不变的单位水价，但是单位水价会随着耗水量分段而增加．某地“阶梯水价”收费标准如下表（按月计算）：
用水量 (单位：m3 ) 单价（元/m3 ）
不超出m3 2
超出m3，不超出m3的部分 3
超出m3的部分 5
例如：该地区某户居民3月份用水m3，则应交水费为（元．
根据上表的内容解答下列问题：
（1）用户甲5月份用水16 m3，则该用户5月份应交水费多少元？
（2）用户乙5月份交水费50元，则该用户5月份的用水量为多少m3？
（3） 用户丙5、6两个月共用水m3，其中6月份用水量超过了m3，设5月份用水m3，请用含的式子表示该户居民5、6两个月共交的水费．
【答案】（1）40元；（2）18 ；（3）当x不超过时，共交水费元；当x超过，不超出m3时，共交水费元．
【分析】（1）不超过10m3，单价为2元，超出10m3不超出15m3的部分，单价为3元/m3，超出15m3的部分，单价为5元/m3，根据水费=单价×数量即可求得应收水费；
（2）可以首先求出当用水15m3时的费用为2×10+3×5=35元，根据该户居民5月份交水费50元，即可得出该户5月份用水超过15m3，设该用户5月份的用水量为 ，进而列出方程即可；
（3）结合题意分情况讨论：当x不超过10m3；或x超过10m3，但不超过15m3，分别分析即可得出答案．
【详解】解：（1）（元），
答：该用户5月份应交水费40元；
（2）当用水量为15时，交水费 （元）；
因为50，所以用水量超过，
设该用户5月份的用水量为 ，
依题意得：
解得．
故5月份的用水量为18 ．
（3）分两种情况：分类讨论
①当x不超过时，
此时共交水费费用为：元，
②当x超过时，
又因为用户丙5、6两个月共用水m3，其中6月份用水量超过了m3，
可知x不超出m3，
∴此时共交水费费用为：元．
答：当x不超过时，共交水费元；当x超过，不超出m3时，共交水费元．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，本题（3）并没有限定5月份的具体用水量，因此本题的答案要分析具体情况才能得出．需注意分类讨论思想的应用．
20．（8分）（2022·全国·七年级专题练习）2022年是共青团建团100周年．1922年5月5日，中国社会主义青年团第一次全国代表大会在广州召开，标志中国青年团组织的正式成立．从此，青年团作为中国共产党的助手和后备军，在党的领导下团结带领全国各族青年，积极投身到振兴中华，实现中华民族伟大复兴的事业中．在5月日历表上随意用一个正方形方框圈出4个数（如图所示），若圈出的这四个数的和是64，求这个最小数（请用方程知识解答）．
【答案】这个最小数是12
【分析】设这个最小数为x，则四个数分别为x，x+1，x+7，x+8，根据圈出的这四个数的和是64，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设这个最小的数是.
根据题意，得.
解，得.
答：这个最小数是12.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
21．（8分）（2022·江苏·盐城市初级中学七年级期末）阅读理解题：无限循环小数与分数
如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定的顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数。例如，0.666…的循环节是“6”，它可以写作0.，像这样的循环小数称为纯循环小数，又如，0.1333…、0.03456456456…的循环节分别是“3”，“456”，它们可分别写作0.1、0.5，像这样的循环小数称为混循环小数．
（1）任何一个分数都可以化成有限小数或无限循环小数．
请将下列分数化成小数：=______；=_______．
（2）无限小数化成分数，可有两种方法：
方法一：如果小数是纯循环小数，化为分数时，分数的分子是它的一个循环节的数字所组成的数，分母则由若干个9组成，9的个数为一个循环节的数字的个数．
例如：0.==；0.1==．
请将纯循环小数化为分数：0.=_______．
如果小数是混循环小数，可以先化为纯循环小数然后再化为分数．请将混循环小数化为分数：0.1=_______．
方法二：应用一元一次方程来解：
例如：将循环小数0.化成分数
设x=0.，则100x=23+0.
100x=23+x， 99x=23
x=
所以0.
试一试，请你用一元一次方程仿照上述方法将0.1化成分数．
【答案】（1）0.375；0.4；（2）； ；0.1
【分析】（1）根据分式的意义即可化为小数；
（2）根据提供的方式一、二进行求值即可求解．
【详解】（1）=0.375，=0.4；
故答案为：0.375；0.4；
（2）：0.= ；
；
故答案为：； ；
设：x=0.1，
则1000x=12+0.1，
即1000x=12+x，
999x=12，
x =，
所以 0.1．
【点睛】本题为阅读理解题，考查了循环小数和分数的互化，一元一次方程的应用等知识，认真读题，理解题意是解题关键．
22．（8分）（2022·全国·七年级专题练习）
(1)如图1：正方形ABCD边长为5，点P、点Q在正方形的边上．点P从点A以每秒3个单位长度的速度沿A→B→C→D→A折线循环运动，同时点Q从点C以每秒1个单位长度的速度沿C→D→A→B→C折线循环运动．
设点P运动时间为x秒．
①当x为何值时，点P和点Q第一次相遇．
②当x为何值时，点P和点Q第二次相遇．
(2)如图2：是长为6，宽为4的长方形ABCD，点E为边CD的中点，点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→E折线运动，到达点E停止．设点M运动时间为t秒，当三角形AME的面积等于9时，请求出t的值．
【答案】(1)①；②
(2)或
【分析】（1）①点和点第一次相遇，比多运动10个单位，可得，即可解得答案；
②点和点第二次相遇，比多运动30个单位，列方程即可解得答案；
（2）由已知可得，分三种情况分别列方程：①当在上，即时，，②当在上，即时，，③当在上，即时，，即可解得答案．
（1）
①根据题意得：，
解得，
答：当为5时，点和点第一次相遇，
②根据题意得：，
解得，
答：当为15时，点和点第二次相遇；
（2）
由已知可得，
①当在上，即时，如图：
根据题意得：，
解得，
②当在上，即时，如图：
根据题意得：，
解得，
③当在上，即时，如图：
根据题意得：，
解得（不符合题意，舍去），
综上所述，当的面积等于9时，的值为秒或秒．
【点睛】本题考查一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
23．（8分）（2022·全国·七年级单元测试）【探索新知】
如图1，点将线段分成和两部分，若，则称点是线段的圆周率点，线段、称作互为圆周率伴侣线段．
（1）若，求的值（用含的代数式表示）；
（2）若点也是图1中线段的圆周率点（不同于点），求与的数量关系．
【深入研究】
如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点的位置．
（3）若点、均为线段的圆周率点，求线段的长度；
（4）在图2中，点、分别从点、位置同时出发，分别以每秒2个单位长度、每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为秒．点追上点时，停止运动，当、、三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点时，请求出的值．
【答案】（1）AB的值为；（2）；（3）线段MN的长度为；（4）或或或．
【分析】(1)根据线段之间的数量关系代入解答即可；
(2)根据线段的圆周率点的定义及相关线段的大小比较即可解题；
(3)由题意可知，点C表示的数是π+1，设M点离O点近，且OM=x，根据题意可得关于x的一元一次方程，求解即可；
(4)根据题意分类讨论计算即可：①点P在点C左侧，PC=πCQ；②点P在点C左侧，πPC=CQ；③点P在点C、点Q之间，且πPC=PQ；④点P在点C、点Q之间，且PC=πPQ．
【详解】解：（1） ，，
，
；
（2）如图， ，
当BD=AC时，BC=AD，
，
即点也是图1中线段的圆周率点，
与的数量关系是相等；
（3）由题意可知，点C表示的数是π+ 1，
若点M、N均为线段OC的圆周率点，
不妨设M点离O点近，且OM= x，
，
则x + πx = π+ 1
解得：x= 1，
，
MN = =π + 1 - 1 - 1 = π – 1；
（4）由题意可知，点P、C、Q所表示的数分别为：
2t、π + 1、π + 1 +t，
当P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点时，
有以下四种情况：
①如图①，点P在点C左侧，
PC= πCQ，
，
；
②如图②，点P在点C左侧，
πPC = CQ，
，
；
③如图③，点P在点C、点Q之间，
πPC= PQ，
，
；
④如图④，点P在点C、点Q之间，
PC =πPQ，
，
，
符合题意的有或或或．
【点睛】本题考查了一元一次方程在新定义类动点问题中的应用，有一定综合性，通过数形结合并分类讨论，是解题的关键．
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