第5章一元一次方程专题 一元一次方程的四种特殊解问题（含解析）

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专题 一元一次方程的四种特殊解问题
类型一、整数解问题
例.若关于x的一元一次方程的解是整数，则所有满足条件的整数m取值之和是（ ）
A．－16 B．－12 C．－10 D．－8
【变式训练1】使得关于的方程的解是正整数的所有整数的积为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2】从，，，1，2，4中选一个数作为的值，使得关于的方程的解为整数，则所有满足条件的的值的积为（ ）
A． B． C．32 D．64
【变式训练3】已知关于x的方程x﹣5＝﹣mx有整数解，则正整数m的值为__．
类型二、含绝对值型
例.有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程，
解：当时，方程可化为：，解得，符合题意；
当时，方程可化为：，解得，符合题意．
所以，原方程的解为或．
请根据上述解法，完成以下两个问题：
（1）解方程：；
（2）试说明关于的方程解的情况．
【变式训练1】若，则____．
【变式训练2】已知关于x的方程只有一个解，那么的值为_______．
【变式训练3】已知方程的解是负数，则值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4】如果，那么的值为（ ）
A． B．或1 C．或－2 D．或－4
类型三、相同解的问题
例.若关于的方程和方程的解相同，求的值．
【变式训练1】已知m，n为整数，关于x的一元一次方程的解相同，则_________．
【变式训练2】若关于的方程的解与方程的解相同，则的值为______．
类型四、解的情况
例.已知关于x的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于x的方程的解相同．
（1）求m，n的值；
（2）在（1）的条件下，若关于y的方程|a|y+a＝m+1﹣2ny无解，求a的值．
【变式训练1】．（1）当取何值时，关于的方程和的解相同．
（2）已知关于的方程无解，求的值．
【变式训练2】解关于x的方程：
课后作业
1．若是关于x，y的二元一次方程，则a的值（ ）
A．－2 B．3 C．3或－3 D．2或－2
2．关于x的方程的解为负数，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．若整数a使得关于x的不等式组有且仅有6个整数解，且使关于y的一元一次方程﹣＝1的解满足y＞21．则所有满足条件的整数a的值之和为（　　）
A．31 B．48 C．17 D．33
4．已知为非负整数，且关于的方程的解为正整数，则的所有可能取值为（ ）
A．2，0 B．4，6 C．4，6，12 D．2，0，6
5．如果关于的方程是一元一次方程．那么其解为__________________．
6．已知关于x的方程2（x﹣1）＝3m﹣1与3x﹣2＝﹣4的解相同，求m的值．
7．解方程：
8．已知关于的方程中，、、为常数．
（1）若方程的解与的值都是最大的负整数，求的值．
（2）若无论为何值，方程的解总是1，求的值．
专题 一元一次方程的四种特殊解问题
类型一、整数解问题
例.若关于x的一元一次方程的解是整数，则所有满足条件的整数m取值之和是（ ）
A．－16 B．－12 C．－10 D．－8
【答案】D
【解析】，∴，
若m=-1，则原方程可整理得：0=8（不成立，舍去）；
若m≠-1，则，
∵解是整数，∴x=1或-1或2或-2或4或-4或8或-8，
可得：m=7或-9或3或-5或1或-3或0或-2，∴7-9+3-5+1-3+0-2=-8，
故选D．
【变式训练1】使得关于的方程的解是正整数的所有整数的积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
去分母得，；去括号得，
整理得，，∴，
当时，当时，当时，当时，
这些整数的积为，
故选：B．
【变式训练2】从，，，1，2，4中选一个数作为的值，使得关于的方程的解为整数，则所有满足条件的的值的积为（ ）
A． B． C．32 D．64
【答案】D
【解析】由，解得：，
∵关于的方程的解为整数，
∴满足条件的的值可以为：，，2，4，∴()×()×2×4=64，
故选D．
【变式训练3】已知关于x的方程x﹣5＝﹣mx有整数解，则正整数m的值为__．
【答案】
【解析】整理得（1+m）x＝5，∴，
∵x为整数，m为正整数， ∴m＝4，
故答案为：4．
类型二、含绝对值型
例.有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程，
解：当时，方程可化为：，解得，符合题意；
当时，方程可化为：，解得，符合题意．
所以，原方程的解为或．
请根据上述解法，完成以下两个问题：
（1）解方程：；
（2）试说明关于的方程解的情况．
【答案】（1）x=-1或x=；（2）当a＞4时，方程有两个解；当a=4时，方程有无数个解；当a＜4时，方程无解
【解析】（1）当x＜1时，方程可化为：，解得x=-1，符合题意．
当x≥1时，方程可化为：，解得x=，符合题意．
所以，原方程的解为：x=-1或x=；
（2）当x＜-3时，方程可化为：，，
解得：，
则，解得：，
当-3≤x≤1时，方程可化为： ，
当x＞1时，方程可化为：，解得：，
则，解得：，
综上：当a＞4时，方程有两个解；当a=4时，方程有无数个解；当a＜4时，方程无解．
【变式训练1】若，则____．
【答案】或
【解析】
①当时，
∵，∴，解得：；
②当时，∵，∴，
解得：（舍去）；
③当时，∵，∴，解得：．
故答案为：或．
【变式训练2】已知关于x的方程只有一个解，那么的值为_______．
【答案】40
【解析】∵方程只有一个解，∴a+2=0，∴a=-2，∴x=-1，
∴==，故答案为：40．
【变式训练3】已知方程的解是负数，则值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当x-3≥0时，即x≥3，，解得：x=-12，不符合；
当x-3≤0时，即x≤3，，解得：x=-2，符合；
将x=-2代入，=，
故选B．
【变式训练4】如果，那么的值为（ ）
A． B．或1 C．或－2 D．或－4
【答案】D
【解析】由绝对值的性质化简，
可得或，
解得：或，
故选D．
类型三、相同解的问题
例.若关于的方程和方程的解相同，求的值．
【答案】
【解析】方程，
去分母得：，
移项合并得：，解得：，
把代入中得：，解得：．
故答案为：
【变式训练1】已知m，n为整数，关于x的一元一次方程的解相同，则_________．
【答案】0或-6
【解析】，，
又，，由题可得：，
．
m，n为整数，或，
当时，，代入可得：，
当时，，代入可得：，
或．故答案为0或．
【变式训练2】若关于的方程的解与方程的解相同，则的值为______．
【答案】.
【解析】∵，∴x=m-1；
∵，∴x=4-m，
∵关于的方程的解与方程的解相同，
∴4-m=m-1,解得m=.
故填.
类型四、解的情况
例.已知关于x的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于x的方程的解相同．
（1）求m，n的值；
（2）在（1）的条件下，若关于y的方程|a|y+a＝m+1﹣2ny无解，求a的值．
【答案】（1） ；（2）．
【解析】（1）∵关于x的方程（m+3）x|m|﹣2+6n＝0是一元一次方程，
∴|m|﹣2＝1，m+3≠0，解得：m＝3，
当m＝3时，方程为：6x+6n＝0，解得：x＝﹣n，
，2（2x+1）﹣10＝5（x+n），解得：x＝﹣5n﹣8，
∴﹣5n﹣8＝﹣n，∴n＝﹣2；
（2）把m＝3，n＝﹣2代入|a|y+a＝m+1﹣2ny，得：|a|y+a＝4+4y，∴y＝，
∵y的方程|a|y+a＝4+4y无解，∴，∴a＝﹣4．
故答案为：（1） ；（2）
【变式训练1】．（1）当取何值时，关于的方程和的解相同．
（2）已知关于的方程无解，求的值．
【答案】（1）k=；（2）a=3
【解析】（1）解，得：x=1，
把x=1代入，得：，解得：k=；
（2）方程a（2x-1）=6x-4，整理得：（2a-6）x=a-4，
由方程无解，得到2a-6=0，即a=3．
故答案为：（1）k=；（2）a=3
【变式训练2】解关于x的方程：
【答案】当时，方程有唯一解为；当时，方程无解．
【解析】，移项、整理得：，
当，即时，方程有唯一解为：；
当，即时，方程无解．
故答案为：当时，方程有唯一解为；当时，方程无解．
课后作业
1．若是关于x，y的二元一次方程，则a的值（ ）
A．－2 B．3 C．3或－3 D．2或－2
【答案】A
【详解】解：由题意得：|a|-1=1，且a-2≠0，解得：a=-2，
故选：A．
2．关于x的方程的解为负数，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，整理得：，
∵关于x的方程的解为负数，∴，解得：．
故选：B．
3．若整数a使得关于x的不等式组有且仅有6个整数解，且使关于y的一元一次方程﹣＝1的解满足y＞21．则所有满足条件的整数a的值之和为（　　）
A．31 B．48 C．17 D．33
【答案】D
【详解】解：，
解不等式①，得x≤9，解不等式②，得x≥，所以不等式组的解集是≤x≤9，
∵a为整数，不等式组有且仅有6个整数解，∴3＜≤4，解得：13＜a≤17，
解方程﹣＝1得：y＝6+a，
∵y＞21，∴6+a＞21，得：a＞15，∴15＜a≤17，
∵a为整数，∴a为16或17，16+17＝33，
故选：D．
4．已知为非负整数，且关于的方程的解为正整数，则的所有可能取值为（ ）
A．2，0 B．4，6 C．4，6，12 D．2，0，6
【答案】A
【详解】解：方程去括号得：3x 9＝kx，移项合并得：（3 k）x＝9，解得：x＝，
由x为正整数，k 为非负整数，得到k＝2，0，
故选：A．
5．如果关于的方程是一元一次方程．那么其解为__________________．
【答案】或2或-2．
【详解】解：当m=0时，原方程是一元一次方程，即为，解得，；
当m=1时，原方程是一元一次方程，即为，解得，；
当m=-1时，原方程是一元一次方程，即为，解得，；
故答案为：或2或-2．
6．已知关于x的方程2（x﹣1）＝3m﹣1与3x﹣2＝﹣4的解相同，求m的值．
【答案】－
【详解】解：因为关于x的方程2（x﹣1）＝3m﹣1与3x﹣2＝﹣4的解相同，
所以解方程3x﹣2＝﹣4，得x＝﹣，把x＝﹣代入2（x﹣1）＝3m﹣1，得
2（﹣﹣1）＝3m﹣1，解得m＝﹣．
7．解方程：
【答案】
【详解】解：，当时，原方程可化为：
，解得：x=2不合题意，舍去；
当时，原方程可化为：，解得：；
当时，原方程可化为：，解得：x=0不合题意，舍去，
所以，这方程的解是．
8．已知关于的方程中，、、为常数．
（1）若方程的解与的值都是最大的负整数，求的值．
（2）若无论为何值，方程的解总是1，求的值．
【答案】（1）1． （2）3
【详解】解：（1）由题意知：．
∴，即，
∴，∴，∴．
（2）由题意知：，
代入，则，∴，∴，
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