2.3 三角形的内切圆(3) 课件（共18张PPT）
文档属性
| 名称 | 2.3 三角形的内切圆(3) 课件（共18张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-24 18:58:37 | ||
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文档简介
(共18张PPT)
浙教版九年级下册
2.3 三角形的内切圆
第二章 直线与圆的位置关系
问题1：如图，是一块三角形的铁皮余料，如何在它上面截下一块圆形的用料，使得剪得的圆面积最大？
圆与已知三角形的三边都相切
膨胀的爆米花
温故知新
A
B
C
D
E
F
3.经过切点且垂直于切线的直线必过圆心
2.圆的切线垂直于过切点的半径
切线的主要性质：
1.切线和圆有且只有一个公共点
I
问题2： 圆心在哪里
Rt△OBD
.
（HL)
∠ABO=∠CBO
圆心O在△ABC的内角∠ABC的角平分线上
A
B
C
I
已知： △ABC（如图）
求作：和△ABC的各边都相切的圆
圆心的位置：
（作两条角平分线，其交点就是圆心的位置）
圆的半径：
（过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长就是圆的半径）
任何一个三角形都只有一个内切圆
∟
D
A
B
C
I
∟
D
三角形内切圆的圆心叫三角形的内心
①三角形的内心是三角形角平分线的交点
②三角形的内心到三边的距离相等
③三角形的内心一定在三角形的内部
三角形内心的性质
名称 确定 方法 图形 性质
外心
内心
三角形三边中垂线的交点
三角形三条角平分线的交点
（三角形外接圆的圆心）
（三角形内切圆的圆心）
1.OA=OB=OC；
2.外心不一定在三角形的内部．
1.到三边的距离相等；
2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
3.内心在三角形内部．
例1 如图，等边三角形ABC的边长为3cm， 求△ABC的内切圆的半径.
解 :设⊙I 切 AB 于点 D， 连结 IA， IB， ID.
∵ ⊙I 是△ABC 的内切圆，
∴AI， BI 是∠BAC， ∠ABC 的角平分线,
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠IAB＝∠IBA＝30°
∵ID⊥AB， AB＝3cm，
∴ AD＝BD＝ AB＝1.5 （cm） ，
∴I D＝ADtan 30 ° ＝ （cm）
答： △ABC 的内切圆的半径为 cm
I
A
B
C
D
∟
300
300
学以致用：
A
B
C
D
E
F
例2 已知： 如图 ， ⊙O 是△ABC 的内切圆， 切点分别为 C， E， F, 设△ABC 的周长为 l，求证： AE＋BC＝ l，
证明 ∵ ⊙O 是△ABC的内切圆，
E， F 为切点，
∴ AE＝AF（切线长定理） .
同理， BD＝BF， CD＝CE,
∴ AE＋BC＝AE＋BD＋CD
＝ （AE＋AF＋BD＋BF＋CD＋CE）
＝ l
.
x
x
y
y
z
z
夯实基础。稳扎稳打
A
B
C
O
．
图1
I
D
E
F
．
图2
1、 如图1，△ABC是⊙O的 三角形。
⊙ O是△ABC的 圆，点O叫△ABC的 ，
它是三角形 的交点。
内接
外接
外心
三边中垂线
如图2，△DEF是⊙I的 三角形， ⊙I是
△DEF的 圆，点I是 △DEF的 心，它是三角
形 的交点。
圆的外切
内切
内
三条内角平分线
三角形的内心到三角形各边的距离相等；
三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等；
2.如图，△ABC中，∠B=43°，∠C=61 °，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数.
A
B
C
I
解：连接IB，IC.
∵点I是△ABC的内心，
∴BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB.
在△IBC 中，
D
E
F
G
.O
定义：和多边形各边都相切的叫做 ，
这个多边形叫做 。
多边形的内切 圆
圆的外切多边形
3.已知： 四边形DEFG是⊙O的 四边形，
⊙O是四边形DEFG的 圆，
外切
内切
求证: EF+DG=ED+GF
x
x
y
y
m
m
n
n
EF+DG
ED+GF
x+y+m+n
x+y+m+n
EF+DG=ED+GF
4、证明：圆内接平行四边形是矩形
圆外切平行四边形是菱形
A
C
B
D
·
O
·
A
B
C
D
∠A=∠D
平行四边形ABCD
圆内接四边形ABCD
∠A+∠D=1800
∠A=900
平行四边形ABCD
圆内接平行四边形是矩形
E
G
F
H
x
x
y
y
m
m
n
n
x+y=m+n
x+n=y+m
m+n-x=x+n-m
x=m
m+n-y=y+m-n
y=n
连续递推，豁然开朗
.
5.已知△ABC的三边BC,AB,AC分别为a,b,c,I为内心，内切圆半径为r,
求△ABC的面积(用a,b,c,r表示）
证明：连结AI,BI,CI
Ｓ△ABC ＝Ｓ△ABI + Ｓ△BCI + Ｓ△ACI
＝
a·r
2
+
b·r
2
+
c·r
2
＝
(a+b+c）·r
2
A
B
C
D
E
F
I
∟
r
若△ABC为Rt△,∠C=Rt∠
则 r=
6.求等边三角形内切圆r和外接圆半径R之比
·
·
r
R
300
∟
7.在Rt△ABC中，∠C=90 ，AC=4，BC=3，
求Rt△ABC的内切圆的半径r.
B
A
┛
C
D
r
r
4-r
3-r
4-r
3-r
4-r+3-r=5
r=1
r=1
S△ABC=S△AoB+S△AoC+S△BoC ,
8.设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，内切圆的半径为 r
r
r
a-r
a-r
b-r
b-r
思维拓展，更上一层
内切圆的半径 r的两种表达，你想到了什么？
勾股定理：a2+b2=c2
r=
.
谢谢
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浙教版九年级下册
2.3 三角形的内切圆
第二章 直线与圆的位置关系
问题1：如图，是一块三角形的铁皮余料，如何在它上面截下一块圆形的用料，使得剪得的圆面积最大？
圆与已知三角形的三边都相切
膨胀的爆米花
温故知新
A
B
C
D
E
F
3.经过切点且垂直于切线的直线必过圆心
2.圆的切线垂直于过切点的半径
切线的主要性质：
1.切线和圆有且只有一个公共点
I
问题2： 圆心在哪里
Rt△OBD
.
（HL)
∠ABO=∠CBO
圆心O在△ABC的内角∠ABC的角平分线上
A
B
C
I
已知： △ABC（如图）
求作：和△ABC的各边都相切的圆
圆心的位置：
（作两条角平分线，其交点就是圆心的位置）
圆的半径：
（过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长就是圆的半径）
任何一个三角形都只有一个内切圆
∟
D
A
B
C
I
∟
D
三角形内切圆的圆心叫三角形的内心
①三角形的内心是三角形角平分线的交点
②三角形的内心到三边的距离相等
③三角形的内心一定在三角形的内部
三角形内心的性质
名称 确定 方法 图形 性质
外心
内心
三角形三边中垂线的交点
三角形三条角平分线的交点
（三角形外接圆的圆心）
（三角形内切圆的圆心）
1.OA=OB=OC；
2.外心不一定在三角形的内部．
1.到三边的距离相等；
2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
3.内心在三角形内部．
例1 如图，等边三角形ABC的边长为3cm， 求△ABC的内切圆的半径.
解 :设⊙I 切 AB 于点 D， 连结 IA， IB， ID.
∵ ⊙I 是△ABC 的内切圆，
∴AI， BI 是∠BAC， ∠ABC 的角平分线,
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠IAB＝∠IBA＝30°
∵ID⊥AB， AB＝3cm，
∴ AD＝BD＝ AB＝1.5 （cm） ，
∴I D＝ADtan 30 ° ＝ （cm）
答： △ABC 的内切圆的半径为 cm
I
A
B
C
D
∟
300
300
学以致用：
A
B
C
D
E
F
例2 已知： 如图 ， ⊙O 是△ABC 的内切圆， 切点分别为 C， E， F, 设△ABC 的周长为 l，求证： AE＋BC＝ l，
证明 ∵ ⊙O 是△ABC的内切圆，
E， F 为切点，
∴ AE＝AF（切线长定理） .
同理， BD＝BF， CD＝CE,
∴ AE＋BC＝AE＋BD＋CD
＝ （AE＋AF＋BD＋BF＋CD＋CE）
＝ l
.
x
x
y
y
z
z
夯实基础。稳扎稳打
A
B
C
O
．
图1
I
D
E
F
．
图2
1、 如图1，△ABC是⊙O的 三角形。
⊙ O是△ABC的 圆，点O叫△ABC的 ，
它是三角形 的交点。
内接
外接
外心
三边中垂线
如图2，△DEF是⊙I的 三角形， ⊙I是
△DEF的 圆，点I是 △DEF的 心，它是三角
形 的交点。
圆的外切
内切
内
三条内角平分线
三角形的内心到三角形各边的距离相等；
三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等；
2.如图，△ABC中，∠B=43°，∠C=61 °，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数.
A
B
C
I
解：连接IB，IC.
∵点I是△ABC的内心，
∴BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB.
在△IBC 中，
D
E
F
G
.O
定义：和多边形各边都相切的叫做 ，
这个多边形叫做 。
多边形的内切 圆
圆的外切多边形
3.已知： 四边形DEFG是⊙O的 四边形，
⊙O是四边形DEFG的 圆，
外切
内切
求证: EF+DG=ED+GF
x
x
y
y
m
m
n
n
EF+DG
ED+GF
x+y+m+n
x+y+m+n
EF+DG=ED+GF
4、证明：圆内接平行四边形是矩形
圆外切平行四边形是菱形
A
C
B
D
·
O
·
A
B
C
D
∠A=∠D
平行四边形ABCD
圆内接四边形ABCD
∠A+∠D=1800
∠A=900
平行四边形ABCD
圆内接平行四边形是矩形
E
G
F
H
x
x
y
y
m
m
n
n
x+y=m+n
x+n=y+m
m+n-x=x+n-m
x=m
m+n-y=y+m-n
y=n
连续递推，豁然开朗
.
5.已知△ABC的三边BC,AB,AC分别为a,b,c,I为内心，内切圆半径为r,
求△ABC的面积(用a,b,c,r表示）
证明：连结AI,BI,CI
Ｓ△ABC ＝Ｓ△ABI + Ｓ△BCI + Ｓ△ACI
＝
a·r
2
+
b·r
2
+
c·r
2
＝
(a+b+c）·r
2
A
B
C
D
E
F
I
∟
r
若△ABC为Rt△,∠C=Rt∠
则 r=
6.求等边三角形内切圆r和外接圆半径R之比
·
·
r
R
300
∟
7.在Rt△ABC中，∠C=90 ，AC=4，BC=3，
求Rt△ABC的内切圆的半径r.
B
A
┛
C
D
r
r
4-r
3-r
4-r
3-r
4-r+3-r=5
r=1
r=1
S△ABC=S△AoB+S△AoC+S△BoC ,
8.设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，内切圆的半径为 r
r
r
a-r
a-r
b-r
b-r
思维拓展，更上一层
内切圆的半径 r的两种表达，你想到了什么？
勾股定理：a2+b2=c2
r=
.
谢谢
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