浙江版初二数学期末复习专题-坐标几何与三角形-浙教版(浙江省温州市瑞安市)

浙江版初二数学期末复习专题——坐标几何与三角形
坐标几何
重点、难点：
1. 在生活和生产实践中，人们常利用一对有序实数来确定物体的位置。
2. 平面直角坐标系是常用的一种坐标系，它由坐标平面、坐标轴以及原点组成。
3. 平面直角坐标系中，图形的变换本质上是点的变换。比如点的对称以及点的平移；今后还会学到由点面组成的平面图形的旋转。
【典型例题】
例1. 到x轴的距离等于2的点能组成一个怎样的图形？
解：由题意，所有到x轴的距离均等于2的点，组成的图形是直线
若设这个距离为d，则|d|＝2，∴d＝－2或2
∴题设要求的图形是：与x轴平行，且与x轴相距为2的两条直线。
例2. 已知点P到x轴的距离是3，它到原点的距离是5，求点P的坐标。
解：P到原点的距离为5
∴点P在以O为圆心，半径为5的圆上
又点P与x轴相距为3
∴点P在以5为斜边长，一条直角边为3的直角三角形顶点上（如图）
∴容易求得点P共有4个：P1（4，3），P2（4，－3），P3（－4，－3），P4（－4，3）
例3. 已知点M既在过A（3，－2），且与x轴平行的直线上，又在过点B（2，－3），且平行于y轴的直线上，求点M的坐标。
解：过点A（3，－2），且与x轴平行的直线上的所有点，均有纵坐标等于－2的特征……①；同理，过点B（2，－3），且与y轴平行的直线上的所有点，均有横坐标等于2的特征……②；又点M既要满足条件①，又要满足条件②，∴点M一定是M（2，－2）。
例4. 已知点A（－5，0），B（3，0），且点C在第二象限内。若AC＝5，△ABC的面积，求点C的坐标。
解：设点C为（x，y），其中x<0，y>0
则由题意，得
但A（－5，0），B（3，0）
∴
∴
∴ ∴y＝3
（如图）
又AC＝5，CD＝3
∴在Rt△ACD中，AD＝4
∴
∴C（－1，3）
例5. 已知O为坐标原点和A（1，1），试在坐标轴上找到一点P使△AOP为等腰三角形，你能找到多少满足条件的点P？求出P的坐标。
解：∵△AOP为等腰三角形
∴它的三条边AO，PO和AP中应该有两条边相等
又∵
∴
因此讨论如下：
（1）若为等腰△AOP的底边时，设OA的中垂线交x轴于P1，交y轴于P2
∵可知等腰Rt△OMP1和等腰Rt△OMP2
∴易求得P1（1，0），P2（0，1）
（2）若为等腰△AOP的腰时
以O为圆心，OA长为半径的圆与坐标轴交于P3，P4，P5，P6
∵，易求得P3（0，），，和
以A为圆心，OA长为半径的圆与坐标轴交于
∴易求得
∴满足题意的点P共有八个
【模拟试题】
1. 若点P（a，b）在第四象限，则点Q（－1－a，3－b）在第_________象限。
2. 若点M（x，y）的坐标满足条件，则点M在坐标平面上的位置是______。
3. 直角坐标系中，点A（2，－4）与B（－3，－2）的距离是多少？
4. 已知点A（－a，b）关于y轴的对称点为B，点B关于原点对称的点为C。你有几种方法来求出点C的坐标？点C的坐标是多少？
5. 若，则点M（a，b）关于y轴对称的点的坐标是多少？
6. 设以A（－3，7）和B（－3，－2）为端点的线段向左平移了5个长度，请你求出平移后的线段上任意一点的坐标。
7. △ABC中，顶点A、B、C的坐标分别为A（2，－1），B（1，－3）和C（5，－5）。
（1）判断这个三角形的形状。
（2）求△ABC的面积。
8. 已知A（5，－2），B（0，－3），在x,y轴上各找一点P，使得PA＝PB。求点P的坐标。

三角形

重点、难点：
1. 等腰三角形的判定与性质
2. 直角三角形的判定与性质
3. 全等三角形的判定与性质

【典型例题】
例1. 如图所示，已知，求A的度数。
解：应当把与所在的三角形一起作联想，然后求A。
∴提示通过三角形的外角定理求解
延长BE交AC于点D

例2. 如图所示，△ABC中，AD平分，在AB上任取一点E，作，交AD于点H，交BC的延长线于点G。求证：
证明：△ABC中，
为等腰三角形

例3. 如图所示，点F为Rt△ABC的斜边AB上的中点，CD=FB，DF的延长线与CB的延长线相交于点E，求证：2E=A。
证明：∵F为Rt△ABC的斜边AB上的中点
∴容易想到“斜中线定理”
∴连CF
∴AF=CF=FB=CD

例4. △ABC中，AD平分，AB+BD=AC，求与C的度数的比值。
解：如图所示，
∴可有两种解法
若
则可在AC上截取AE=AB，连结ED
又AD平分A
但
注：在证明三角形中，已知线段的和，差关系时，常常可运用“截长补短”方法来证明。

例5. Rt△ABC中，AB=AC，A=90°，点D在BC上，；M为BC中点，请判断的形状，并说明你的理由。
解：∵Rt△ABC为等腰直角三角形，且M为BC的中点
∴提示作出底边BC上的高
∴连结AM，则
又AM平分BAC，∴B=EAM
∴FM=EM，∴△MFE为等腰三角形
但注意到FMB=AME
∴可证FME=90°
∴△MEF为等腰直角三角形

例6. 已知一直角三角形两条直角边上的中线长分别为AE=5，，求其斜边AB的长。
解：直角三角形中，求边长或线段长，常常提示运用勾股定理。
如图所示，不妨设Rt△ACB中，C=90°，AC=b，BC=a
则

【模拟试题】
1. 如图所示，已知求A的度数。
2. 如图所示，已知AD是△ABC中BC边上的高，AE是CAF的平分线，AE=2AD，求ACB与B差的度数。
3. Rt△ABC中，C=90°，A=22.5°，D在AC上，DC=BC，于E，求证：AE=BE。
4. △ABC中，AD为BC边上的高，AD=BD，DE=CD，延长BE交AC于F，求证：BF为△ABC中AC边上的高。
5. △ABC中，ACB=90°，D为BC延长线上一点，CD：AB=1：2，若E为AB中点，B的平分线交DE于F，求证：BF=DF。
6. Rt△ABC中，D为AC中点，于E，求证：。
7. 如图所示，已知BD平分ABF，AD=CD，，求证：互补。
8. 如图所示，△ABC中，以AB、AC为边分别向三角形外作正△ABF和正△ACE。BE、CF相交于点O，连结OA，求证：OA平分EOF。
9. 如图所示，△ABC中，AD平分BAC，BE=EC，过点E作，交AC和AD、AB的延长线于H、F、G。求证：。
10. 折叠一张矩形纸片ABCD，先沿对角线BD折叠，再把AD折叠到BD上（如图所示），已知AB=2，BC=1，求第二次折叠的折痕DE的长。


【试题答案】
坐标几何
1. 第二象限
2. 坐标原点
3.
4. C（－a，－b）
5. （－3，－2）
6. 答案不唯一，只要使点符合，，y为任意实数均可以。
7. （1）Rt△ABC，且∠B为直角；（2）
8.
（提示：设，则由PA＝PB，得x＝2，y＝10）

三角形
1.
提示：设A=x，Rt△AFG中，A+G=90°，∴x=15°
2. 60°
3. 略
4. 提示：
5. 提示：连结CE，求证
6. 提示：连结BD，分别对运用勾股定理。
7. 提示：过D作BA的垂线，交BA的延长线于E，证明
8. 提示：过A分别向CF、BE作垂线，垂足分别为M、N
证明全等的一对三角形：△AFC与△ABE对应边上的高相等。
9. 提示：过B作AC的平行线交GH于N
证明，则AC=AH+HC=AB+BG+CH=AB+2BG
10.
提示：设AE=x，则，在Rt△BEF中，运用勾股定理解得，在Rt△ADE中，

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