求二次函数的函数关系式(浙江省温州市瑞安市)

求二次函数的函数关系式
教学目标：
知识目标：会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式．
能力目标：结合不同情况求二次函数关系式．提高学生应变能力.
情感目标：加强自主探究和合作交流的意识与能力，培养学生团结协作的精神.
教学重点：根据不同的条件，如何求二次函数的函数关系式.
教学难点：例2的问题较灵活，如何简单地求出它的关系式
教学过程：
一、运用旧知，引入新课
一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数的关系式时，通常需要两个独立的条件；确定反比例函数的关系式时，通常只需要一个条件；如果要确定二次函数的关系式，又需要几个条件呢？（板书课题）
二、观察思考，解决实例
例1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；
（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1）；
（3）已知抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），且与y轴交于点（0，-3）；
分析 （1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为的形式；（2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；（3）根据抛物线与x轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；
解 （1）设二次函数关系式为，由已知，这个函数的图象过（0，-1），可以得到c= -1．又由于其图象过点（1，0）、（-1，2）两点，可以得到
解这个方程组，得
a=2，b= -1．
所以，所求二次函数的关系式是．
（2）因为抛物线的顶点为（1，-3），所以设二此函数的关系式为，
又由于抛物线与y轴交于点（0，1），可以得到
解得 ．
所以，所求二次函数的关系式是．
（3）因为抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），
所以设二此函数的关系式为．
又由于抛物线与y轴交于点（0，3），可以得到
．
解得 ．
所以，所求二次函数的关系式是．
回顾与反思 确定二次函数关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：
（1）一般式：，给出三点坐标可利用此式来求．
（2）顶点式：，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．
（3）交点式：，给出三点，其中两点为与x轴的两个交点、时可利用此式来求．
三、质疑拓宽、整体提高
例2．求出下列对应的二次函数的关系式
（1）已知抛物线的对称轴为直线x=2,且通过点（1，4）和（5，0）
（2）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x轴两交点间的距离为4．
分析
（1）根据已知抛物线的对称轴为直线x=2, 且通过点（5，0）. 可知抛物线的与x轴另一个交点为（-1，0）可设函数关系式为，把点（1，4）代入可得a的值．
（2）根据已知抛物线的顶点坐标（3，-2），可设函数关系式为，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x轴的两个交点为（1，0）和（5，0），任选一个代入，即可求出a的值．
此题经过小组讨论，得出最佳方法，由学生做练习解决
课内练习
1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；
（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；
（3）已知抛物线与x轴交于点M（-1，0）、（2，0），且经过点
（1，2）．
2．二次函数图象的对称轴是x= -1，与y轴交点的纵坐标是 –6，且经过点（2，10），求此二次函数的关系式．
四、布置课外作业
1．已知二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点P（2，m）、Q（n，-8），如果抛物线的对称轴是x= -1，求该二次函数的关系式．
2．某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m，装货宽度为2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．
3．已知二次函数，当x=3时，函数取得最大值10，且它的图象在x轴上截得的弦长为4，试求二次函数的关系式．
4．抛物线过点（2，4），且其顶点在直线上，求此二次函数的关系式．
教学效果小组点评：
童利华 ： 学生探究活动的参与度极高，且贯彻了数形结合、归纳等多种数学思想方法，但提供学生思考的深度还略显不足。缺乏对教学内容的教育功能的挖掘和利用。如忽视科学思想、科学的应用以及科学美的研究和教学。
沈茶芳：教学中采用了“活动式”、“启发式”、“探究式”等教学模式，以学生为本，紧扣课标，教材处理恰当，安排的知识层次性、密度、广度适合自己所教的学生，教学中采用了分层教学，对不同的学生有不同的要求，这样几乎所有的学生都能达到课标的要求，每个学生在自己的基础上都有所提高。教学过程中诸因素的关系：教师和学生的关系，传授知识与发展智力、能力之间的关系，教师与教材之间的关系，非智力因素与认识和发展之间的关系等处理较好。
戚再兴：教师提问很注意课堂提问的艺术和策略，启迪了学生的思维并提高了学生学习效果。教学设计时对提问精心设计，提问具备三个特征：1.诱导的启发性。2.层次的渐进性，课堂提问意到由浅入深，层层推进，环环相扣，使学生在教师提问的诱导下，扎扎实实步入知识的殿堂，同时，以不同层次的提问面向不同层次的学生，让每个学生体验到成功的乐趣，调动每个学生的学习积极性。3.时机的选择性，课堂提问选择时机恰当，达到“投石激浪”的效果。孔子在《论语、述而》中说：“不愤不启，不悱不发。”也就是说要在学生经过思考达到“心求通而未提，口欲言而不能”之时提问。提问目的明确，表述清楚。课堂提问讲究新颖性、灵活性及调控性。灵活运用了各种提问的方式：变式提问、铺垫式提问、设疑式提问、反馈式提问。
祝钰伟：在教学过程中，教师对讲解、提问、演示、指导学生练习、记笔记等，都适当分配时间与调控。因此时间结构把握好，教学任务及时完成，很好处理了新知识和旧知识的关系，在时间布局上显得主次分明，对非重点内容加快速度，对重点、难点内容放慢速度，加重语气。合理安排一节课的组织教学、检查复习、教学新知、巩固练习、课堂小结和布置作业等课堂教学环节的顺序和时间分配。在一堂课中，特别精心地用好了前20分钟左右的“黄金”教学时间，用于讲解新知、重点、难点内容，保证学生有充分时间去当堂自学、练习、巩固新知，确保了学生的主体地位。
夏忠晓：课堂结构的安排，主次分清，快慢得当。教学中，根据教学内容的深度、难度和学生的认知水平，合理分配时间段，合理把握教学节奏，有的课可适当加快节奏，有的课则需放慢节奏，有的内容易少花时间，有的内容则应多花时间；对于一堂课而言，各个教学环节有不同的节奏，开始时的基础训练，可以紧锣密鼓，营造一种热烈的气氛；使学生尽快集中思维，进入状态，当学生探得新知，总结规律时，放慢节奏。当学生理解规律、进行巩固练习时，又适当加快节奏。一堂课内根据需要，时而似快马奔腾，时而似闭庭信步，使学生的思维有张有弛，快慢相间，提高了效率。另外教师在充分把握教材、大纲和学生学习情况的基础上，讲解精僻透彻，画龙点晴，抓住实质和关键，讲在点子上。能充分调动学生的积极性，抓住要害，讲在关键处。
教学反思：
学习数学，不仅要获取数学知识，而且要重视获取这些数学知识的过程即亲身经历的数学探究活动。我想数学之所以能赋予人以创造性，就因为数学的探究充满无穷的魅力，能最大限度地激发人的思维，享受数学思想之美、数学方法之美，陶冶人的情操。从这个意义上说，数学的真谛是探究。而在应试教育背景下产生的静态的数学教育观正恰恰忽视了学生主体在课堂上的自主探究能力的培养，他们认为“数学知识是纯客观的东西，数学学习不应是一种探索性活动”。所以得出的结论是要想学生数学学得好，就要题目做得多，做的题目愈多，在测试中碰到的概率愈大，成绩就越好。这样做的后果不但使学生在题海中越陷越深，而且抹煞了学生的创造力，甚至是打击了学生学习数学的兴趣。
本课通过恰当的设疑立障，让学生饶有兴趣地沉浸在知识的探究过程中，从而把教育的知识性、思考性、趣味性和启发性有机地结合起来，最大限度地调动学生学习的积极性，把教的过程转化为学生亲自猜想、观察、探索、发现知识的过程。这样学生在获得知识的过程中，不但得到了锻炼，培养了能力，提高了兴趣，增强了信心，而且也使得课堂教学显得更加生动、有趣和深刻。
一、课堂教学设计说明：
1.教材分析：
函数是中学代数的核心内容，是常量数学向变量数学过渡的桥梁。本节课研究的二次函数是一类具体的初等函数，它是初中函数的主体部分。学习和研究二次函数的图象及其性质不但可以对已有的数、式、方程等有关的知识获得新的认识和发展，而且还可以为高中代数、物理以及现实生活中的其它学科的学习奠定基础。本节课既是研究“二次函数y=ax2 +bx+c的性质”的关键，根据不同的条件，如何求二次函数的函数关系式为本节的重点。例2的问题较灵活，如何简单地求出它的关系式为本节的难点，培养学生应变能力是本节课的另一个难点.
2.教学目标分析：
教学目标是根据学生的认知特点，以数学知识为载体，以现代教学技巧为手段，以渗透数学思想和辩证观点为重点，以培养学生的创新精神和实践能力为核心，注重学生个体的长远发展而制定的.本课紧扣课标，从学生的认识特点和实际能力出发，用教师自己设计的例子授课，目标明确。
3.教法与学法分析：
本节课选用了启发式、讨论式和 探究式的教学方法.我根据波利亚的数学二重性原则，通过三种不同类型，情况如何合理地设解析式进行了探究，让学生在实验、观察、比较、猜想、分析、综合、小结等活动中逐步体会数学知识的形成过程，获得积极的情感体验，提高了学生灵活解题的能力。
二、另外在教学过程中，我也较注重以下几点：
　 1．多与学生沟通。教学技巧性不够，难免会有学生听不懂，多些主动和学生进行沟通，了解学生掌握知识的情况非常重要，这样有利于针对性的对学生进行教育，无论备课多认真仔细也很难适应不同班级的情况，只有沟通、了解，才能更好地解决各个班级的不同问题。另外，有些学生基础较好，加强师生间的沟通就能更好地引导这些学生更好地学习。
　 2．注重组织教学，严格要求学生。大部分学生的学习习惯较差，所谓“冰冻三尺，非一日之寒”。这些学生已经养成了不动脑筋，敷衍学习的习惯，顶多是完成老师布置的作业就算了，有些甚至是抄袭的，对于容易掌握的内容他们也不愿“沾染”，所以必须严格要求他们。上课时间是他们学习的主要时间，教师应善于组织、调动学生进行学习，更充分地利用好上课时间。
　 3．注重打基础。由于有的学生基础较差，上课时便以初二内容作为切入点，让学生更易接受，从熟悉的内容转到新内容的学习，做到过渡自然。作业的布置也以基础题为主，对稍难的题目可以在堂上讲解，让学生整理成作业。
　 4．运用多种技巧教学。对于大部分的数学题，学生都不知如何入手去解，他们在初二时没有形成解题的思维习惯，为了让学生更好地解题，我把解题的方法进行总结，分为几个简单的解题步骤一步步地解题。采用有效的技巧，使学生对本课程产生兴趣。“兴趣是最好的老师”！
不足：
在教学过程中，这节课也有一些不尽人意的地方，有时候是语言表述不清，有时候是教学内容处理不妥，有时候是教学方法处理不当，有时候练习的习题层次不够，难易不当等，还有对学生练习的评价很草率，小结只是简单重复，没有起到画龙点睛的作用，师生之间的配合不是非常默契，学生反思较少，缺乏主动性等，对于这些存在的问题的反思及认识，会促使我在以后的教学过程中逐步改进。