2023年浙教版数学七年级上册6.7角的和差 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023八上·德州月考）如图，AM、CM平分∠BAD和∠BCD，若∠B=34°，∠D=42°，则∠M=（ ）
A．34° B．38° C．40° D．42°
【答案】B
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】利用三角形的内角和可得：∠B+∠BAM=∠M+∠BCM，
∴∠BAM-∠BCM=∠M-∠B；
∵∠MAD+∠M=∠MCD+∠D，
∴∠MAD-∠MCD=∠D-∠M，
∵AM、CM平分∠BAD和∠BCD，
∴∠BAM=∠MAD=∠BAD，∠BCM=∠MCD=∠BCD，
∴∠M-∠B=∠D-∠M，
∴∠M=（∠B+∠D）=×（34°+42°）=38°，
故答案为：B.
【分析】先利用“8字形”可得∠BAM-∠BCM=∠M-∠B，∠MAD-∠MCD=∠D-∠M，再结合角平分线的定义可得∠BAM=∠MAD=∠BAD，∠BCM=∠MCD=∠BCD，再利用等量代换可得∠M-∠B=∠D-∠M，再将数据代入求出∠M=（∠B+∠D）=×（34°+42°）=38°即可.
2．在下图所示的4X4方格中，记∠ABD=α，∠DEF=β，∠CGH=γ，则（ ）
A．β≤a<γ B．β
【答案】B
【知识点】角的概念及表示；角的运算
【解析】【解答】解：由图知：∠CGH=γ=45°+45°=90°，
如图，连接BM、EH，
∵∠ABD=α＞∠ABM，∠ABM=45°+45°=90°，
∴∠ABD=α＞90°，
∵∠DEF=β＜∠DEH，∠DEH=45°+45°=90°，
∴∠DEF=β＜90°，
∴β＜γ＜α，
故答案为：B．
【分析】连接BM、EH，由图知：∠CGH=γ=45°+45°=90°，∠ABD=α＞∠ABM，∠DEF=β＜∠DEH，最后比较大小即可得出结论．
3．（2023·江西模拟）如图，从A点发出的光线，经平面镜反射后得到反射光线，，m，n为法线，设，，，那么之间的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由题意可得：，，
∵，
即
∴
∴
故答案为：B．
【分析】根据，可得，再求出即可。
4．（2023七上·益阳期末）如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）.下列结论：①；②；③；④.其中正确结论的个数有（ ）.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
而∠COE=∠BOE，
∴∠AOE=∠DOE，所以①正确；
∠AOD+∠COB=∠AOD+∠AOC+90°=90°+90°=180°，所以②正确；
∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，
而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确；
∵E、O、F三点共线
∴∠BOE+∠BOF=180°，
∵∠COE=∠BOE，
∴∠COE+∠BOF=180°，所以④正确.
所以，正确的结论有3个.
故答案为：B.
【分析】根据同角的余角相等可得∠AOC=∠BOD，由已知条件可知∠COE=∠BOE，然后根据等式的性质可判断①；∠AOD+∠COB=∠AOD+∠AOC+90°，据此判断②；∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，据此判断③；由平角的概念可得∠BOE+∠BOF=180°，结合∠COE=∠BOE可判断④.
5．（2023七上·嘉兴期末）将一副三角板按如图所示的不同方式摆放，则图中∠a与∠β一定相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：A、由图形得：∠β＝45°，∠α＝90° 45°＝45°，∴∠α＝∠β，故符合题意；
B、由图形得：∠α＋∠β＝60°，∴∠α不一定等于∠β，故不合题意；
C、由图形得：∠α＝90° 60°＝30°，∠β＝90° 45°＝45°，∴∠α≠∠β，故不合题意；
D、由图形得：∠α＋∠β＝90°，不合题意．
故答案为：A.
【分析】A、由图形可得∠β＝45°，且∠α+∠β=90°，即可做出判断；
B、由图形可分别求出∠α与∠β的关系数，即可做出判断；
C、由图形可分别求出∠α与∠β的度数，即可做出判断；
D、由图形可得两角互余，不合题意．
6．（2023七上·顺庆期末）OB是∠AOC内部一条射线，OM是∠AOB平分线，ON是∠AOC平分线，OP是∠NOA平分线，OQ是∠MOA平分线，则∠POQ∶∠BOC＝（ ）
A．1∶2 B．1∶3 C．2∶5 D．1∶4
【答案】D
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵OM是∠AOB平分线，OQ是∠MOA平分线，
∴∠AOQ= ∠AOM= ∠AOB，
∵ON是∠AOC平分线，OP是∠NOA平分线，
∴∠AOP= ∠AON= ∠AOC= （∠AOB+∠BOC），
∴∠POQ=∠AOP-∠AOQ
= （∠AOB+∠BOC）- ∠AOB，
= ∠BOC，
∴∠POQ：∠BOC=1：4.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的概念可得∠AOQ=∠AOM=∠AOB，∠AOP=∠AON=∠AOC= (∠AOB+∠BOC)，则∠POQ=∠AOP-∠AOQ=∠BOC，据此求解.
7．（2021七上·玉山期末）如图，点O在直线 上，过O作射线 ， ，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边 与 重合，边 在直线 的下方．若三角板绕点O按每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线 恰好平分锐角 ，则t的值为（ ）
A．5 B．4 C．5或23 D．4或22
【答案】C
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
①如图，
当 的反向延长线恰好平分锐角 时，
∴ ，
此时，三角板旋转的角度为 ，
∴ ；
②如图，
当 在 的内部时，
∴∠CON= ∠AOC=40°，
∴三角板旋转的角度为90°+100°+40°=230°，
∴ ；
∴t的值为：5或23．
故答案为： C ．
【分析】先求出 ，再分类讨论，进行计算求解即可。
8．（2020七上·祁县期末）如图，点 为线段 外一点，点 ， ， ， 为 上任意四点，连接 ， ， ， ，下列结论错误的是（ ）
A．以 为顶点的角共有15个
B．若 ， ，则
C．若 为 中点， 为 中点，则
D．若 平分 ， 平分 ， ，则
【答案】B
【知识点】角的概念及表示；角的运算；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：以O为顶点的角有 个，
所以A选项不符合题意；
，
，
，即 ，
所以B选项符合题意；
由中点定义可得： ， ，
，
，
，
所以C选项不符合题意；
由角平分线的定义可得： ， ，
，
，
，
，
，
所以D选项不符合题意，
所以错误的只有B，
故答案为：B.
【分析】A，根据以O为顶点射线有6条，形成角的个数为求解即可；
B，根据线段的关系判断即可；
C，根据中点的概念及线段的和差即可判断结论；
D，根据角平分线的概念及角的关系可得出结论。
9．（2020七上·重庆月考）已知O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠BOD=3∠DOE，∠COE= 则∠BOE的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：设∠DOE=x，则∠BOD=3x，
∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-3x.
∵OC平分∠AOD，
∴∠COD= ∠AOD= （180°-3x）=90°- x.
∵∠COE=∠COD+∠DOE=90°- x+x=90°- ，
由题意可得，90°- =m，
解得x=180°-2m，即∠DOE=180°-2m，
∴∠BOE=360°-4m，
故答案为：C.
【分析】设∠DOE=x，则∠BOD=3x，利用邻补角的定义，表示出∠AOD的度数，利用角平分线的定义表示出∠COD的度数，然后根据∠COE=m，建立方程即可求出∠BOE的度数.
10．（新人教版数学七年级上册4.3.2 角的比较与运算课时练习）两个锐角的和（ ）．
A．必定是锐角;
B．必定是钝角;
C．必定是直角;
D．可能是锐角，可能是直角，也可能是钝角
【答案】D
【知识点】角的运算；角的大小比较
【解析】【解答】当α=10°，β=20°时，α＋β=30°， 即两锐角的和为锐角． 当α=30°， β=60°时， α＋β=90°， 即两锐角的和为直角． 当α=60°，β=70°时，α＋β=130°，即两锐角的和为钝角．综上所述，两锐角的和可能是锐角，可能是直角，也可能是钝角．故选D．
【分析】在0度到90度之间的叫锐角，可以用赋值法讨论．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．在同一平面内，若∠AOB=75°，∠AOC=27°，则∠BOC=
【答案】102或48°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：①当∠AOC在∠AOB外部时，如图：
∵
∴
②当∠AOC在∠AOB内部时，如图：
∵
∴
综上所述，的度数为：或，
故答案为：或.
【分析】由题意知需分两种情况讨论：①当∠AOC在∠AOB外部时，②当∠AOC在∠AOB内部时，分别按照角的运算，计算即可.
12．如图，在同一平面内，∠AOB=90°，∠AOC=25°，∠COD=50°，∠BOD>15°，则∠BOD的度数为
【答案】65°或 115°或165°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：①当OC在∠AOB的外部，OD在∠AOB的内部时，如图：
∵
∴
∵
∴
②当OC在∠AOB的外部，OD在∠AOB的外部时，如图：
∵
∴
③当OC在∠AOB的内部，OD在∠AOB的外部时，如图：
∵
∴
∴
综上所述，的度数为：65°或 115°或165°，
故答案为：65°或 115°或165°.
【分析】由题意知需分三种情况：①：当OC在∠AOB的外部，OD在∠AOB的内部时，②：当OC在∠AOB的外部，OD在∠AOB的外部时，③：当OC在∠AOB的内部，OD在∠AOB的外部时，分别根据角的运算计算即可.
13．（2023七下·云浮期末）已知，如图1，过作射线、，如图2，过作射线、，使，，，，则 ．
【答案】100°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由图1得，∠AOB=∠AOD-∠BOD=120°+α-β，
由图2得，∠AOB=∠AOF-∠BOF=80°+β-α，
所以120°+α-β=80°+β-α，
化简得：20°+α=β. 代入∠AOB=120°+α-β中去，
得∠AOB=120°+α-（20°+α），
得到∠AOB=100°，
故填：100°.
【分析】先寻找两个图形中的角度的等量关系，即用不同的代数式表示出∠AOB，化简得到α和β之间的数量关系，然后代入合并同类型，消去未知数即可.
14．（2023七下·柳州开学考）如图，∠AOB=40°，自点O引射线OC，若∠AOC：∠COB=2∶3，则OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为
【答案】4°或100°
【知识点】角的大小比较；角平分线的概念
【解析】【解答】解：当OC在∠AOB的内部时，如图，OD为∠AOB的角平分线，
∴∠AOD=∠AOB=×40°=20°，
∵ ∠AOC：∠COB=2∶3，
∴设∠AOC=2x°，∠BOC=3x°，
∵ ∠AOC+∠COB=∠AOB=40°，
∴5x=40，
∴x=8
∴∠AOC=2x=16°，
∴∠COD=∠AOD-∠AOC=20°-16°=4°；
当OC在∠AOB外部时，如图，OD为∠AOB的角平分线，
∴∠AOD=∠AOB=×40°=20°，
∵ ∠AOC：∠COB=2∶3，
∴设∠AOC=2y°，∠BOC=3y°，
∵ ∠BOC-∠AOC=∠AOB=40°，
∴y=40，
∴∠AOC=2y=80°，
∴∠COD=∠AOD+∠AOC=20°+80°=100°.
故答案为：4°或100°.
【分析】分类讨论：当OC在∠AOB的内部时，如图，OD为∠AOB的角平分线，由角平分线的定义可得∠AOD=∠AOB=×40°=20°，由题意设∠AOC=2x°，∠BOC=3x°，由∠AOC+∠COB=∠AOB建立方程求出x的值，从而得出∠AOC的度数，进而根据∠COD=∠AOD-∠AOC算出答案；当OC在∠AOB外部时，由题意设∠AOC=2y°，∠BOC=3y°，由∠AOC+∠COB=∠AOB建立方程求出y的值，从而得出∠AOC的度数，进而根据∠COD=∠AOD+∠AOC算出答案，综上即可得出答案.
15．（2021七上·连云港期末）如图1， 为直线 上一点，作射线 ，使 ，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点 处，一条直角边 在射线 上.将图1中的三角尺绕点 以每秒10°的速度按逆时针方向旋转（如图2所示），在旋转一周的过程中，第 秒时， 所在直线恰好平分 ，则 的值为 .
【答案】12或30
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠AOC=120°，
∵OP所在直线恰好平分∠AOC，
∴∠AOP=180°- ∠AOC=120°（此时OP在 角平分线的反向延长线上），或∠AOP=180°+120°=300°（此时OP在 角平分线上），
∴10t=120或10t=300，
∴t=12或30，
故答案为：12或30.
【分析】根据角的平分线定义，结合平角的定义分两种情况讨论，即OP在 角平分线的反向延长线上和OP在 角平分线上，分别求出∠AOP的大小，再列出方程求解即可.
16．（2021七上·嘉兴期末）小方同学设计了一个“魔法棒转不停”程序，如图所示，点 ， 在直线 上，第一步， 绕点 顺时针旋转 度 至 ；第二步， 绕点 顺时针旋转 度至 ；第三步， 绕点 顺时针旋转 度至 ， 以此类推，在旋转过程中若碰到直线 则立即绕点 反方向旋转.当 时，则 等于 度.
【答案】 或 或
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：根据题意，可对射线 进行讨论分析：
① 未反弹时，如图：
∵ ，
∴ ，
∴
此时 满足题意；
② 反弹后落在 之间，如图：
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
此时 ，不符合题意，舍去；
③ 反弹后落在 之间，如图：
∴ ， ，
∴ ，
∴
此时 ，成立；
④ 反弹后落在 之间，如图：
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，成立；
∵ ，
∴ ，
∴射线 不可能反弹；
综上所述， 等于 或 或 .
故答案为： 或 或 .
【分析】利用旋转的性质及角度的变化规律，可对射线 进行讨论分析：① 未反弹时，② 反弹后落在 之间，③ 反弹后落在 之间，④ 反弹后落在 之间，利用角的和差分求出结论并检验即可.
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2023七上·陈仓期末）如图，已知，为锐角，平分，射线在内部.
（1）图中共有多少个小于平角的角？
（2）若，，求的度数.
（3）若，，请通过计算判断与的关系.
【答案】（1）解：以为始边的角有：，
以为始边的角有：，
以为始边的角有：，
以为始边的角有：，
∴图中共有个小于平角的角，
（2）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴
（3）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
【知识点】角的概念及表示；角的大小比较；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角的定义并按一定的顺序数出图形中角的个数即可；
（2）根据角平分线的定义得∠AON=25°，进而根据∠AOM=∠MON-∠AON计算即可；
（3）由角平分线定义得∠AON=，由∠AOM=∠MON-∠AON用含x的式子表示出∠AOM，根据角的和差，由∠BOM=∠AOB-∠AOM用含x的式子表示出∠BOM，再根据∠BOC=∠AOB+∠AOC表示出∠BOC，即可得出结论.
18．（2023七上·西安期末）新定义：若α的度数是β的度数的n倍，则α叫做β的n倍角.
（1）若，请直接写出的3倍角的度数；
（2）如图①，若，请直接写出图中的所有2倍角；
（3）如图②，若是的3倍角，是的4倍角，且，求的度数.
【答案】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴图中的所有2倍角有：，；
（3）解：∵是的3倍角，是的4倍角，
∴设，则，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
【知识点】角的运算；角的大小比较；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据角的运算可求解；
（2）由题意并结合图形可求解；
（3）由题意并结合图形可求解.
19．（第10讲 角——练习题）如图，已知∠A3OA2-∠A2OA1=∠A4OA3-∠A3OA2=∠A5OA4-∠A4OA3=……=∠A8OA7-∠A7OA6=∠A1OA8-∠A8OA7=4°
求∠A2OA3的度数．
【答案】解：设∠A2OA1=x°，
∵∠A3OA2-∠A2OA1=4°，
∠A4OA3-∠A3OA2=4°，
∠A5OA4-∠A4OA3=4°，
∠A6OA5-∠A5OA4=4°，
∠A7OA6-∠A6OA5=4°，
∠A8OA7-∠A7OA6=4°，
∠A1OA8-∠A8OA7=4°，
∴∠A3OA2=4°+x°，
∠A4OA3=4°+4°+x°=4°×2+x°，
∠A5OA4=4°+4°×2+x°=4°×3+x°，
∠A6OA5=4°+4°×3+x°=4°×4+x°，
∠A7OA6=4°+4°×4+x°=4°×5+x°，
∠A8OA7=4°+4°×5+x°=4°×6+x°，
∠A1OA8=4°+4°×6+x°=4°×7+x°，
又∵∠A1OA2+∠A2OA3+∠A3OA4+∠A4OA5+∠A5OA6+∠A6OA7+∠A7OA8+∠A8OA1=360°，
∴x°+4°+x°+4°×2+x°+4°×3+x°+4°×4+x°+4°×5+x°+4°×6+x°+4°×7+x°=360°，
8x°+4°×（1+2+3+4+5+6+7）=360°，
8x°+4°×=360°，
x°+14°=45°，
∴x°=31°.
∴∠A3OA2=4°+x°=4°+31°=35°
【知识点】角的运算
【解析】【分析】设∠A2OA1=x°，根据题意可以表示出∠A3OA2，∠A4OA3，∠A5OA4，∠A6OA5，∠A7OA6，∠A8OA7，∠A1OA8；又由于这些角的和是周角，从而列出方程，解之求出x值，从而可得∠A3OA2度数.
20．（2023七上·鄞州期末）如图1，OC平分∠AOB，OD是∠BOC内部从点O出发的一条射线，OE平分∠AOD．
（1）[基础尝试]
如图2，若∠AOB=120°，∠COD=10°，求∠DOE的度数；
（2）[画图探究]
设∠COE=x°，用x的代数式表示∠BOD的度数；
（3）[拓展运用]
若∠COE与∠BOD互余，∠AOB与∠COD互补，求∠AOB的度数．
【答案】（1）解：∵∠AOB=120°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠COB=60°，
∵∠COD=10°，
∴∠AOD=60°+10°=70°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE=35°；
（2）解：设∠COD=a，
∵∠COE=x°，
∴∠EOD=x°+a，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠COD=2(x°+a) =2x°+2a，
∴∠AOC=2x°+a，
∵OC平分∠AOB，
∴∠BOC=∠AOC=2x°+a，
∴∠BOD=∠BOC-∠COD=2x° ；
（3）解：由上题得∠BOD=2x°
∵∠COE与∠BOD互余，
∴x+2x=90° ，解得x=30 ．
∵∠AOB与∠COD互补，
∴4x+2a+a=180°
4×30°+3a=180°
a= 20°
∴∠AOB=160°
【知识点】角的大小比较；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得∠AOC=∠COB=60°，进而根据∠AOD=∠AOC+∠COD算出∠AOD的度数，最后再根据角平分线的定义即可求出∠DOE的度数；
（2）设∠COD=a，则∠EOD=∠COE+∠COD=x°+a，由角平分线的定义得∠AOD=2∠COD=2(x°+a) =2x°+2a，∠AOC=2x°+a，再由角平分线的定义得∠BOC=∠AOC=2x°+a，最后根据∠BOD=∠BOC-∠COD代入即可得出答案；
（3）根据和为90°的两个角互为余角建立方程可求出x，根据和为180°的两个角互为补角建立方程，求出a，从而即可求出∠AOB的度数.
21．（2023七上·余庆期末） 阅读材料并回答问题：
数学课上，老师提出了如下问题：
已知点在直线上，，在同一平面内，过点作射线，满足当时，如图1所示，求的度数．
甲同学：以下是我的解答过程部分空缺
解：如图2，点在直线上，
．
，
▲
，
平分．
▲
，，
▲
乙同学：“我认为还有一种情况．”
请完成以下问题：
（1）请将甲同学解答过程中空缺的部分补充完整．
（2）判断乙同学的说法是否正确，若正确，请在图1中画出另一种情况对应的图形，并求的度数，写出解答过程；若不正确，请说明理由．
（3）将题目中“”的条件改成“”，其余条件不变，当在到之间变化时，如图.所示，为何值时，成立？请直接写出此时的值．
【答案】（1）解：如图2，点在直线上，
．
，
140
，
平分．
70
，，
160
（2）解：乙同学的说法正确，理由如下，
当在外部时，如图所示，
点在直线上
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，或．
（3）解：的值为120°或144°
【知识点】角的大小比较；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）如图3中，当在的上方时，
由题意，，
解得，
当在的下方时，则有，
解得．
综上所述，的值为120°或144°．
【分析】（1）根据平角的定义求出∠AOC的度数，根据∠AOC=2∠AOD算出∠COD的度数，进而根据∠DOE=∠COD+∠COE算出答案；
（2）乙同学说法正确，理由如下： 当OD在∠AOC外部时，根据平角的定义求出∠AOC的度数，根据∠AOC=2∠AOD算出∠AOD的度数，再根据角的和差算出∠BOE的度数，最后根据∠DOE=∠AOB-∠AOD-∠BOE算出答案；
（3）分当OD在AB的上方时与当OD在AB下方时两种情况，根据∠COD=∠BOE列出方程，求解即可得出答案.
22．（湘教版七年级数学上册 第四章图形的认识 单元检测b卷）如图1，∠AOB=α，∠COD=β，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线．
（1）若∠AOB=50°，∠COD=30°，当∠COD绕着点O逆时针旋转至射线OB与OC重合时（如图2），则∠MON的大小为 ；
（2）在（1）的条件下，继续绕着点O逆时针旋转∠COD，当∠BOC=10°时（如图3），求∠MON的大小并说明理由；
（3）在∠COD绕点O逆时针旋转过程中，∠MON= ．（用含α，β的式子表示）．
【答案】（1）40°
（2）解：如图3，
∵∠BOD=∠BOC+∠COD=10°+30°=40°，ON平分∠BOD，
∴∠BON= ∠BOD= ×40°=20°．
∵∠AOC=∠BOC+∠AOB=10°+50°=60°，OM平分∠AOC，
∴∠COM= ∠AOC= ×60°=30°．
∴∠BOM=∠COM﹣∠BOC=30°﹣10°=20°．
∴∠MON=∠MOB+∠BON=20°+20°=40°
（3） 或180°﹣
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：⑴如图2，∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，
∴∠BOM= ∠AOB，∠BON= ∠BOD，
∴∠MON= （∠AOB+∠BOD）．
又∵∠AOB=50°，∠COD=30°，
∴∠MON= （∠AOB+∠BOD）= ×（50°+30°）=40°．
故答案是：40°；
⑶∵OM为∠AOD的平分线，ON为∠BOC的平分线，∠AOB=α，∠COD=β，
∴∠MON= α+ β= （α+β）；
同理，当∠AOB是钝角时，∠MON=180°- （α+β）；
故答案是： 或180°﹣ ．
【分析】（1）当OB与OC两边重合时，∠AOD=∠AOB+∠DOB，由OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线得∠MOC=∠AOC，∠NOB=∠BOD，∠MON=∠MOC+∠NOB=∠AOC+∠BOD=∠AOD.
（2）当∠COD继续逆时针旋转时，由OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线得∠MOB=∠AOC，∠NOC=∠BOD，由图可知∠AOC=∠AOB+∠BOC、∠BOD=∠COD+∠BOC，根据∠MON=∠MOC+∠NOB-∠BOC=∠AOC+∠BOD-∠BOC即可求得∠NOM的度数。
（3）此题为开放题，要分两种情况进行讨论，一种情况是：当∠COD的一边在∠AOB的内部时，∠MON的度数为∠AOB与∠COD度数和的一半；另一种情况是：当∠AOB为钝角且∠COD的两边都不在∠AOB内部时，∠MON的度数为180 减去∠AOB与∠COD度数和的一半。
23．（人教版七年级数学上册 第四章几何图形初步 单元检测卷）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1∶2的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图①，若∠BOC＝2∠AOC，则OC是∠AOB的一条三分线．
（1）已知：如图①，OC是∠AOB的一条三分线，且∠BOC＞∠AOC，若∠AOB＝60°，求∠AOC的度数；
（2）已知：∠AOB＝90°，如图②，若OC，OD是∠AOB的两条三分线．
①求∠COD的度数；
②现以O为中心，将∠COD顺时针旋转n度得到∠C′OD′，当OA恰好是∠C′OD′的三分线时，求n的值．
【答案】（1）解：∵OC是∠AOB的一条三分线，且∠BOC＞∠AOC，∴∠AOC＝ ∠AOB＝ ×60°＝20°
（2）解：①∵∠AOB＝90°，OC，OD是∠AOB的两条三分线，
∴∠BOC＝∠AOD＝ ∠AOB＝ ×90°＝30°，
∴∠COD＝∠AOB－∠BOC－∠AOD＝90°－30°－30°＝30°.
②分两种情况：当OA是∠C′OD′的三分线，且∠AOD′＞∠AOC′时，如图①，
∠AOC′＝ ∠C′OD′＝10°，
∴∠DOC′＝∠AOD－∠AOC′＝30°－10°＝20°，
∴∠DOD′＝∠DOC′＋∠C′OD′＝20°＋30°＝50°；
当OA是∠C′OD′的三分线，且∠AOD′＜∠AOC′时，如图②，
∠AOC′＝20°，
∴∠DOC′＝∠AOD－∠AOC′＝30°－20°＝10°，
∴∠DOD′＝∠DOC′＋∠C′OD′＝10°＋30°＝40°.
综上所述，n＝40或50.
【知识点】角的运算
【解析】【分析】（1）根据OC是∠AOB的一条三分线，计算出∠AOC的度数。
（2）根据OC、OD是∠AOB的两条三分线，求出∠COD的度数；当OA是∠C′OD′的三分线，考虑∠AOD′＜∠AOC′和∠AOD′＞∠AOC′的情况。
24．（2022八上·松原期末）【问题背景】∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．
（1）【问题思考】如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝ ．
（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．
①若∠BAO＝70°，则∠D＝ ▲ °．
②随着点A、B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；
（3）【问题拓展】在图②的基础上，如果∠MON＝a，其余条件不变，随着点A、B的运动（如图③），∠D＝ .（用含a的代数式表示）
【答案】（1）135°
（2）解：①45
②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化， 设∠BAD=，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO=，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABN=180°-∠ABO=∠AOB+∠BAO=，
∵BC平分∠ABN， ∴∠ABC=，
∵∠ABC=180°-∠ABD=∠D+∠BAD，
∴∠D=∠ABC-∠BAD=；
（3）
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1） ，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE=，∠ABE=，
∴∠BAE+∠ABE==45°，
∴∠AEB=135°； 故答案为：135°；
（2）①∵∠AOB=90°，∠BAO=，
∴∠ABO=，
∴∠ABN=，
∵BC是∠ABN的平分线，
∴∠OBD=∠CBN=，
∵AD平分∠BAO， ∴∠DAB=，
∴∠D=180°-∠ABD-∠BAD =，
故答案为：；
（3）设 而
∵∠BAO与的平分线交于点
而
故答案为：
【分析】（1）利用角平分线的定义及角的运算求解即可；
（2）①利用角的运算求解即可；
②根据角平分线的定义可得∠ABC=，再结合∠ABC=180°-∠ABD=∠D+∠BAD，求出∠D=∠ABC-∠BAD=即可；
（3）设 而 再利用角的运算和等量代换可得。
1 / 12023年浙教版数学七年级上册6.7角的和差 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023八上·德州月考）如图，AM、CM平分∠BAD和∠BCD，若∠B=34°，∠D=42°，则∠M=（ ）
A．34° B．38° C．40° D．42°
2．在下图所示的4X4方格中，记∠ABD=α，∠DEF=β，∠CGH=γ，则（ ）
A．β≤a<γ B．β3．（2023·江西模拟）如图，从A点发出的光线，经平面镜反射后得到反射光线，，m，n为法线，设，，，那么之间的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023七上·益阳期末）如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）.下列结论：①；②；③；④.其中正确结论的个数有（ ）.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．（2023七上·嘉兴期末）将一副三角板按如图所示的不同方式摆放，则图中∠a与∠β一定相等的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023七上·顺庆期末）OB是∠AOC内部一条射线，OM是∠AOB平分线，ON是∠AOC平分线，OP是∠NOA平分线，OQ是∠MOA平分线，则∠POQ∶∠BOC＝（ ）
A．1∶2 B．1∶3 C．2∶5 D．1∶4
7．（2021七上·玉山期末）如图，点O在直线 上，过O作射线 ， ，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边 与 重合，边 在直线 的下方．若三角板绕点O按每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线 恰好平分锐角 ，则t的值为（ ）
A．5 B．4 C．5或23 D．4或22
8．（2020七上·祁县期末）如图，点 为线段 外一点，点 ， ， ， 为 上任意四点，连接 ， ， ， ，下列结论错误的是（ ）
A．以 为顶点的角共有15个
B．若 ， ，则
C．若 为 中点， 为 中点，则
D．若 平分 ， 平分 ， ，则
9．（2020七上·重庆月考）已知O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠BOD=3∠DOE，∠COE= 则∠BOE的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．（新人教版数学七年级上册4.3.2 角的比较与运算课时练习）两个锐角的和（ ）．
A．必定是锐角;
B．必定是钝角;
C．必定是直角;
D．可能是锐角，可能是直角，也可能是钝角
二、填空题（每题4分，共24分）
11．在同一平面内，若∠AOB=75°，∠AOC=27°，则∠BOC=
12．如图，在同一平面内，∠AOB=90°，∠AOC=25°，∠COD=50°，∠BOD>15°，则∠BOD的度数为
13．（2023七下·云浮期末）已知，如图1，过作射线、，如图2，过作射线、，使，，，，则 ．
14．（2023七下·柳州开学考）如图，∠AOB=40°，自点O引射线OC，若∠AOC：∠COB=2∶3，则OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为
15．（2021七上·连云港期末）如图1， 为直线 上一点，作射线 ，使 ，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点 处，一条直角边 在射线 上.将图1中的三角尺绕点 以每秒10°的速度按逆时针方向旋转（如图2所示），在旋转一周的过程中，第 秒时， 所在直线恰好平分 ，则 的值为 .
16．（2021七上·嘉兴期末）小方同学设计了一个“魔法棒转不停”程序，如图所示，点 ， 在直线 上，第一步， 绕点 顺时针旋转 度 至 ；第二步， 绕点 顺时针旋转 度至 ；第三步， 绕点 顺时针旋转 度至 ， 以此类推，在旋转过程中若碰到直线 则立即绕点 反方向旋转.当 时，则 等于 度.
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2023七上·陈仓期末）如图，已知，为锐角，平分，射线在内部.
（1）图中共有多少个小于平角的角？
（2）若，，求的度数.
（3）若，，请通过计算判断与的关系.
18．（2023七上·西安期末）新定义：若α的度数是β的度数的n倍，则α叫做β的n倍角.
（1）若，请直接写出的3倍角的度数；
（2）如图①，若，请直接写出图中的所有2倍角；
（3）如图②，若是的3倍角，是的4倍角，且，求的度数.
19．（第10讲 角——练习题）如图，已知∠A3OA2-∠A2OA1=∠A4OA3-∠A3OA2=∠A5OA4-∠A4OA3=……=∠A8OA7-∠A7OA6=∠A1OA8-∠A8OA7=4°
求∠A2OA3的度数．
20．（2023七上·鄞州期末）如图1，OC平分∠AOB，OD是∠BOC内部从点O出发的一条射线，OE平分∠AOD．
（1）[基础尝试]
如图2，若∠AOB=120°，∠COD=10°，求∠DOE的度数；
（2）[画图探究]
设∠COE=x°，用x的代数式表示∠BOD的度数；
（3）[拓展运用]
若∠COE与∠BOD互余，∠AOB与∠COD互补，求∠AOB的度数．
21．（2023七上·余庆期末） 阅读材料并回答问题：
数学课上，老师提出了如下问题：
已知点在直线上，，在同一平面内，过点作射线，满足当时，如图1所示，求的度数．
甲同学：以下是我的解答过程部分空缺
解：如图2，点在直线上，
．
，
▲
，
平分．
▲
，，
▲
乙同学：“我认为还有一种情况．”
请完成以下问题：
（1）请将甲同学解答过程中空缺的部分补充完整．
（2）判断乙同学的说法是否正确，若正确，请在图1中画出另一种情况对应的图形，并求的度数，写出解答过程；若不正确，请说明理由．
（3）将题目中“”的条件改成“”，其余条件不变，当在到之间变化时，如图.所示，为何值时，成立？请直接写出此时的值．
22．（湘教版七年级数学上册 第四章图形的认识 单元检测b卷）如图1，∠AOB=α，∠COD=β，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线．
（1）若∠AOB=50°，∠COD=30°，当∠COD绕着点O逆时针旋转至射线OB与OC重合时（如图2），则∠MON的大小为 ；
（2）在（1）的条件下，继续绕着点O逆时针旋转∠COD，当∠BOC=10°时（如图3），求∠MON的大小并说明理由；
（3）在∠COD绕点O逆时针旋转过程中，∠MON= ．（用含α，β的式子表示）．
23．（人教版七年级数学上册 第四章几何图形初步 单元检测卷）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1∶2的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图①，若∠BOC＝2∠AOC，则OC是∠AOB的一条三分线．
（1）已知：如图①，OC是∠AOB的一条三分线，且∠BOC＞∠AOC，若∠AOB＝60°，求∠AOC的度数；
（2）已知：∠AOB＝90°，如图②，若OC，OD是∠AOB的两条三分线．
①求∠COD的度数；
②现以O为中心，将∠COD顺时针旋转n度得到∠C′OD′，当OA恰好是∠C′OD′的三分线时，求n的值．
24．（2022八上·松原期末）【问题背景】∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．
（1）【问题思考】如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝ ．
（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．
①若∠BAO＝70°，则∠D＝ ▲ °．
②随着点A、B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；
（3）【问题拓展】在图②的基础上，如果∠MON＝a，其余条件不变，随着点A、B的运动（如图③），∠D＝ .（用含a的代数式表示）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】利用三角形的内角和可得：∠B+∠BAM=∠M+∠BCM，
∴∠BAM-∠BCM=∠M-∠B；
∵∠MAD+∠M=∠MCD+∠D，
∴∠MAD-∠MCD=∠D-∠M，
∵AM、CM平分∠BAD和∠BCD，
∴∠BAM=∠MAD=∠BAD，∠BCM=∠MCD=∠BCD，
∴∠M-∠B=∠D-∠M，
∴∠M=（∠B+∠D）=×（34°+42°）=38°，
故答案为：B.
【分析】先利用“8字形”可得∠BAM-∠BCM=∠M-∠B，∠MAD-∠MCD=∠D-∠M，再结合角平分线的定义可得∠BAM=∠MAD=∠BAD，∠BCM=∠MCD=∠BCD，再利用等量代换可得∠M-∠B=∠D-∠M，再将数据代入求出∠M=（∠B+∠D）=×（34°+42°）=38°即可.
2．【答案】B
【知识点】角的概念及表示；角的运算
【解析】【解答】解：由图知：∠CGH=γ=45°+45°=90°，
如图，连接BM、EH，
∵∠ABD=α＞∠ABM，∠ABM=45°+45°=90°，
∴∠ABD=α＞90°，
∵∠DEF=β＜∠DEH，∠DEH=45°+45°=90°，
∴∠DEF=β＜90°，
∴β＜γ＜α，
故答案为：B．
【分析】连接BM、EH，由图知：∠CGH=γ=45°+45°=90°，∠ABD=α＞∠ABM，∠DEF=β＜∠DEH，最后比较大小即可得出结论．
3．【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由题意可得：，，
∵，
即
∴
∴
故答案为：B．
【分析】根据，可得，再求出即可。
4．【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
而∠COE=∠BOE，
∴∠AOE=∠DOE，所以①正确；
∠AOD+∠COB=∠AOD+∠AOC+90°=90°+90°=180°，所以②正确；
∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，
而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确；
∵E、O、F三点共线
∴∠BOE+∠BOF=180°，
∵∠COE=∠BOE，
∴∠COE+∠BOF=180°，所以④正确.
所以，正确的结论有3个.
故答案为：B.
【分析】根据同角的余角相等可得∠AOC=∠BOD，由已知条件可知∠COE=∠BOE，然后根据等式的性质可判断①；∠AOD+∠COB=∠AOD+∠AOC+90°，据此判断②；∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，据此判断③；由平角的概念可得∠BOE+∠BOF=180°，结合∠COE=∠BOE可判断④.
5．【答案】A
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：A、由图形得：∠β＝45°，∠α＝90° 45°＝45°，∴∠α＝∠β，故符合题意；
B、由图形得：∠α＋∠β＝60°，∴∠α不一定等于∠β，故不合题意；
C、由图形得：∠α＝90° 60°＝30°，∠β＝90° 45°＝45°，∴∠α≠∠β，故不合题意；
D、由图形得：∠α＋∠β＝90°，不合题意．
故答案为：A.
【分析】A、由图形可得∠β＝45°，且∠α+∠β=90°，即可做出判断；
B、由图形可分别求出∠α与∠β的关系数，即可做出判断；
C、由图形可分别求出∠α与∠β的度数，即可做出判断；
D、由图形可得两角互余，不合题意．
6．【答案】D
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵OM是∠AOB平分线，OQ是∠MOA平分线，
∴∠AOQ= ∠AOM= ∠AOB，
∵ON是∠AOC平分线，OP是∠NOA平分线，
∴∠AOP= ∠AON= ∠AOC= （∠AOB+∠BOC），
∴∠POQ=∠AOP-∠AOQ
= （∠AOB+∠BOC）- ∠AOB，
= ∠BOC，
∴∠POQ：∠BOC=1：4.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的概念可得∠AOQ=∠AOM=∠AOB，∠AOP=∠AON=∠AOC= (∠AOB+∠BOC)，则∠POQ=∠AOP-∠AOQ=∠BOC，据此求解.
7．【答案】C
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
①如图，
当 的反向延长线恰好平分锐角 时，
∴ ，
此时，三角板旋转的角度为 ，
∴ ；
②如图，
当 在 的内部时，
∴∠CON= ∠AOC=40°，
∴三角板旋转的角度为90°+100°+40°=230°，
∴ ；
∴t的值为：5或23．
故答案为： C ．
【分析】先求出 ，再分类讨论，进行计算求解即可。
8．【答案】B
【知识点】角的概念及表示；角的运算；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：以O为顶点的角有 个，
所以A选项不符合题意；
，
，
，即 ，
所以B选项符合题意；
由中点定义可得： ， ，
，
，
，
所以C选项不符合题意；
由角平分线的定义可得： ， ，
，
，
，
，
，
所以D选项不符合题意，
所以错误的只有B，
故答案为：B.
【分析】A，根据以O为顶点射线有6条，形成角的个数为求解即可；
B，根据线段的关系判断即可；
C，根据中点的概念及线段的和差即可判断结论；
D，根据角平分线的概念及角的关系可得出结论。
9．【答案】C
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：设∠DOE=x，则∠BOD=3x，
∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-3x.
∵OC平分∠AOD，
∴∠COD= ∠AOD= （180°-3x）=90°- x.
∵∠COE=∠COD+∠DOE=90°- x+x=90°- ，
由题意可得，90°- =m，
解得x=180°-2m，即∠DOE=180°-2m，
∴∠BOE=360°-4m，
故答案为：C.
【分析】设∠DOE=x，则∠BOD=3x，利用邻补角的定义，表示出∠AOD的度数，利用角平分线的定义表示出∠COD的度数，然后根据∠COE=m，建立方程即可求出∠BOE的度数.
10．【答案】D
【知识点】角的运算；角的大小比较
【解析】【解答】当α=10°，β=20°时，α＋β=30°， 即两锐角的和为锐角． 当α=30°， β=60°时， α＋β=90°， 即两锐角的和为直角． 当α=60°，β=70°时，α＋β=130°，即两锐角的和为钝角．综上所述，两锐角的和可能是锐角，可能是直角，也可能是钝角．故选D．
【分析】在0度到90度之间的叫锐角，可以用赋值法讨论．
11．【答案】102或48°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：①当∠AOC在∠AOB外部时，如图：
∵
∴
②当∠AOC在∠AOB内部时，如图：
∵
∴
综上所述，的度数为：或，
故答案为：或.
【分析】由题意知需分两种情况讨论：①当∠AOC在∠AOB外部时，②当∠AOC在∠AOB内部时，分别按照角的运算，计算即可.
12．【答案】65°或 115°或165°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：①当OC在∠AOB的外部，OD在∠AOB的内部时，如图：
∵
∴
∵
∴
②当OC在∠AOB的外部，OD在∠AOB的外部时，如图：
∵
∴
③当OC在∠AOB的内部，OD在∠AOB的外部时，如图：
∵
∴
∴
综上所述，的度数为：65°或 115°或165°，
故答案为：65°或 115°或165°.
【分析】由题意知需分三种情况：①：当OC在∠AOB的外部，OD在∠AOB的内部时，②：当OC在∠AOB的外部，OD在∠AOB的外部时，③：当OC在∠AOB的内部，OD在∠AOB的外部时，分别根据角的运算计算即可.
13．【答案】100°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由图1得，∠AOB=∠AOD-∠BOD=120°+α-β，
由图2得，∠AOB=∠AOF-∠BOF=80°+β-α，
所以120°+α-β=80°+β-α，
化简得：20°+α=β. 代入∠AOB=120°+α-β中去，
得∠AOB=120°+α-（20°+α），
得到∠AOB=100°，
故填：100°.
【分析】先寻找两个图形中的角度的等量关系，即用不同的代数式表示出∠AOB，化简得到α和β之间的数量关系，然后代入合并同类型，消去未知数即可.
14．【答案】4°或100°
【知识点】角的大小比较；角平分线的概念
【解析】【解答】解：当OC在∠AOB的内部时，如图，OD为∠AOB的角平分线，
∴∠AOD=∠AOB=×40°=20°，
∵ ∠AOC：∠COB=2∶3，
∴设∠AOC=2x°，∠BOC=3x°，
∵ ∠AOC+∠COB=∠AOB=40°，
∴5x=40，
∴x=8
∴∠AOC=2x=16°，
∴∠COD=∠AOD-∠AOC=20°-16°=4°；
当OC在∠AOB外部时，如图，OD为∠AOB的角平分线，
∴∠AOD=∠AOB=×40°=20°，
∵ ∠AOC：∠COB=2∶3，
∴设∠AOC=2y°，∠BOC=3y°，
∵ ∠BOC-∠AOC=∠AOB=40°，
∴y=40，
∴∠AOC=2y=80°，
∴∠COD=∠AOD+∠AOC=20°+80°=100°.
故答案为：4°或100°.
【分析】分类讨论：当OC在∠AOB的内部时，如图，OD为∠AOB的角平分线，由角平分线的定义可得∠AOD=∠AOB=×40°=20°，由题意设∠AOC=2x°，∠BOC=3x°，由∠AOC+∠COB=∠AOB建立方程求出x的值，从而得出∠AOC的度数，进而根据∠COD=∠AOD-∠AOC算出答案；当OC在∠AOB外部时，由题意设∠AOC=2y°，∠BOC=3y°，由∠AOC+∠COB=∠AOB建立方程求出y的值，从而得出∠AOC的度数，进而根据∠COD=∠AOD+∠AOC算出答案，综上即可得出答案.
15．【答案】12或30
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠AOC=120°，
∵OP所在直线恰好平分∠AOC，
∴∠AOP=180°- ∠AOC=120°（此时OP在 角平分线的反向延长线上），或∠AOP=180°+120°=300°（此时OP在 角平分线上），
∴10t=120或10t=300，
∴t=12或30，
故答案为：12或30.
【分析】根据角的平分线定义，结合平角的定义分两种情况讨论，即OP在 角平分线的反向延长线上和OP在 角平分线上，分别求出∠AOP的大小，再列出方程求解即可.
16．【答案】 或 或
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：根据题意，可对射线 进行讨论分析：
① 未反弹时，如图：
∵ ，
∴ ，
∴
此时 满足题意；
② 反弹后落在 之间，如图：
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
此时 ，不符合题意，舍去；
③ 反弹后落在 之间，如图：
∴ ， ，
∴ ，
∴
此时 ，成立；
④ 反弹后落在 之间，如图：
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，成立；
∵ ，
∴ ，
∴射线 不可能反弹；
综上所述， 等于 或 或 .
故答案为： 或 或 .
【分析】利用旋转的性质及角度的变化规律，可对射线 进行讨论分析：① 未反弹时，② 反弹后落在 之间，③ 反弹后落在 之间，④ 反弹后落在 之间，利用角的和差分求出结论并检验即可.
17．【答案】（1）解：以为始边的角有：，
以为始边的角有：，
以为始边的角有：，
以为始边的角有：，
∴图中共有个小于平角的角，
（2）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴
（3）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
【知识点】角的概念及表示；角的大小比较；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角的定义并按一定的顺序数出图形中角的个数即可；
（2）根据角平分线的定义得∠AON=25°，进而根据∠AOM=∠MON-∠AON计算即可；
（3）由角平分线定义得∠AON=，由∠AOM=∠MON-∠AON用含x的式子表示出∠AOM，根据角的和差，由∠BOM=∠AOB-∠AOM用含x的式子表示出∠BOM，再根据∠BOC=∠AOB+∠AOC表示出∠BOC，即可得出结论.
18．【答案】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴图中的所有2倍角有：，；
（3）解：∵是的3倍角，是的4倍角，
∴设，则，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
【知识点】角的运算；角的大小比较；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据角的运算可求解；
（2）由题意并结合图形可求解；
（3）由题意并结合图形可求解.
19．【答案】解：设∠A2OA1=x°，
∵∠A3OA2-∠A2OA1=4°，
∠A4OA3-∠A3OA2=4°，
∠A5OA4-∠A4OA3=4°，
∠A6OA5-∠A5OA4=4°，
∠A7OA6-∠A6OA5=4°，
∠A8OA7-∠A7OA6=4°，
∠A1OA8-∠A8OA7=4°，
∴∠A3OA2=4°+x°，
∠A4OA3=4°+4°+x°=4°×2+x°，
∠A5OA4=4°+4°×2+x°=4°×3+x°，
∠A6OA5=4°+4°×3+x°=4°×4+x°，
∠A7OA6=4°+4°×4+x°=4°×5+x°，
∠A8OA7=4°+4°×5+x°=4°×6+x°，
∠A1OA8=4°+4°×6+x°=4°×7+x°，
又∵∠A1OA2+∠A2OA3+∠A3OA4+∠A4OA5+∠A5OA6+∠A6OA7+∠A7OA8+∠A8OA1=360°，
∴x°+4°+x°+4°×2+x°+4°×3+x°+4°×4+x°+4°×5+x°+4°×6+x°+4°×7+x°=360°，
8x°+4°×（1+2+3+4+5+6+7）=360°，
8x°+4°×=360°，
x°+14°=45°，
∴x°=31°.
∴∠A3OA2=4°+x°=4°+31°=35°
【知识点】角的运算
【解析】【分析】设∠A2OA1=x°，根据题意可以表示出∠A3OA2，∠A4OA3，∠A5OA4，∠A6OA5，∠A7OA6，∠A8OA7，∠A1OA8；又由于这些角的和是周角，从而列出方程，解之求出x值，从而可得∠A3OA2度数.
20．【答案】（1）解：∵∠AOB=120°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠COB=60°，
∵∠COD=10°，
∴∠AOD=60°+10°=70°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE=35°；
（2）解：设∠COD=a，
∵∠COE=x°，
∴∠EOD=x°+a，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠COD=2(x°+a) =2x°+2a，
∴∠AOC=2x°+a，
∵OC平分∠AOB，
∴∠BOC=∠AOC=2x°+a，
∴∠BOD=∠BOC-∠COD=2x° ；
（3）解：由上题得∠BOD=2x°
∵∠COE与∠BOD互余，
∴x+2x=90° ，解得x=30 ．
∵∠AOB与∠COD互补，
∴4x+2a+a=180°
4×30°+3a=180°
a= 20°
∴∠AOB=160°
【知识点】角的大小比较；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得∠AOC=∠COB=60°，进而根据∠AOD=∠AOC+∠COD算出∠AOD的度数，最后再根据角平分线的定义即可求出∠DOE的度数；
（2）设∠COD=a，则∠EOD=∠COE+∠COD=x°+a，由角平分线的定义得∠AOD=2∠COD=2(x°+a) =2x°+2a，∠AOC=2x°+a，再由角平分线的定义得∠BOC=∠AOC=2x°+a，最后根据∠BOD=∠BOC-∠COD代入即可得出答案；
（3）根据和为90°的两个角互为余角建立方程可求出x，根据和为180°的两个角互为补角建立方程，求出a，从而即可求出∠AOB的度数.
21．【答案】（1）解：如图2，点在直线上，
．
，
140
，
平分．
70
，，
160
（2）解：乙同学的说法正确，理由如下，
当在外部时，如图所示，
点在直线上
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，或．
（3）解：的值为120°或144°
【知识点】角的大小比较；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）如图3中，当在的上方时，
由题意，，
解得，
当在的下方时，则有，
解得．
综上所述，的值为120°或144°．
【分析】（1）根据平角的定义求出∠AOC的度数，根据∠AOC=2∠AOD算出∠COD的度数，进而根据∠DOE=∠COD+∠COE算出答案；
（2）乙同学说法正确，理由如下： 当OD在∠AOC外部时，根据平角的定义求出∠AOC的度数，根据∠AOC=2∠AOD算出∠AOD的度数，再根据角的和差算出∠BOE的度数，最后根据∠DOE=∠AOB-∠AOD-∠BOE算出答案；
（3）分当OD在AB的上方时与当OD在AB下方时两种情况，根据∠COD=∠BOE列出方程，求解即可得出答案.
22．【答案】（1）40°
（2）解：如图3，
∵∠BOD=∠BOC+∠COD=10°+30°=40°，ON平分∠BOD，
∴∠BON= ∠BOD= ×40°=20°．
∵∠AOC=∠BOC+∠AOB=10°+50°=60°，OM平分∠AOC，
∴∠COM= ∠AOC= ×60°=30°．
∴∠BOM=∠COM﹣∠BOC=30°﹣10°=20°．
∴∠MON=∠MOB+∠BON=20°+20°=40°
（3） 或180°﹣
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：⑴如图2，∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，
∴∠BOM= ∠AOB，∠BON= ∠BOD，
∴∠MON= （∠AOB+∠BOD）．
又∵∠AOB=50°，∠COD=30°，
∴∠MON= （∠AOB+∠BOD）= ×（50°+30°）=40°．
故答案是：40°；
⑶∵OM为∠AOD的平分线，ON为∠BOC的平分线，∠AOB=α，∠COD=β，
∴∠MON= α+ β= （α+β）；
同理，当∠AOB是钝角时，∠MON=180°- （α+β）；
故答案是： 或180°﹣ ．
【分析】（1）当OB与OC两边重合时，∠AOD=∠AOB+∠DOB，由OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线得∠MOC=∠AOC，∠NOB=∠BOD，∠MON=∠MOC+∠NOB=∠AOC+∠BOD=∠AOD.
（2）当∠COD继续逆时针旋转时，由OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线得∠MOB=∠AOC，∠NOC=∠BOD，由图可知∠AOC=∠AOB+∠BOC、∠BOD=∠COD+∠BOC，根据∠MON=∠MOC+∠NOB-∠BOC=∠AOC+∠BOD-∠BOC即可求得∠NOM的度数。
（3）此题为开放题，要分两种情况进行讨论，一种情况是：当∠COD的一边在∠AOB的内部时，∠MON的度数为∠AOB与∠COD度数和的一半；另一种情况是：当∠AOB为钝角且∠COD的两边都不在∠AOB内部时，∠MON的度数为180 减去∠AOB与∠COD度数和的一半。
23．【答案】（1）解：∵OC是∠AOB的一条三分线，且∠BOC＞∠AOC，∴∠AOC＝ ∠AOB＝ ×60°＝20°
（2）解：①∵∠AOB＝90°，OC，OD是∠AOB的两条三分线，
∴∠BOC＝∠AOD＝ ∠AOB＝ ×90°＝30°，
∴∠COD＝∠AOB－∠BOC－∠AOD＝90°－30°－30°＝30°.
②分两种情况：当OA是∠C′OD′的三分线，且∠AOD′＞∠AOC′时，如图①，
∠AOC′＝ ∠C′OD′＝10°，
∴∠DOC′＝∠AOD－∠AOC′＝30°－10°＝20°，
∴∠DOD′＝∠DOC′＋∠C′OD′＝20°＋30°＝50°；
当OA是∠C′OD′的三分线，且∠AOD′＜∠AOC′时，如图②，
∠AOC′＝20°，
∴∠DOC′＝∠AOD－∠AOC′＝30°－20°＝10°，
∴∠DOD′＝∠DOC′＋∠C′OD′＝10°＋30°＝40°.
综上所述，n＝40或50.
【知识点】角的运算
【解析】【分析】（1）根据OC是∠AOB的一条三分线，计算出∠AOC的度数。
（2）根据OC、OD是∠AOB的两条三分线，求出∠COD的度数；当OA是∠C′OD′的三分线，考虑∠AOD′＜∠AOC′和∠AOD′＞∠AOC′的情况。
24．【答案】（1）135°
（2）解：①45
②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化， 设∠BAD=，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO=，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABN=180°-∠ABO=∠AOB+∠BAO=，
∵BC平分∠ABN， ∴∠ABC=，
∵∠ABC=180°-∠ABD=∠D+∠BAD，
∴∠D=∠ABC-∠BAD=；
（3）
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1） ，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE=，∠ABE=，
∴∠BAE+∠ABE==45°，
∴∠AEB=135°； 故答案为：135°；
（2）①∵∠AOB=90°，∠BAO=，
∴∠ABO=，
∴∠ABN=，
∵BC是∠ABN的平分线，
∴∠OBD=∠CBN=，
∵AD平分∠BAO， ∴∠DAB=，
∴∠D=180°-∠ABD-∠BAD =，
故答案为：；
（3）设 而
∵∠BAO与的平分线交于点
而
故答案为：
【分析】（1）利用角平分线的定义及角的运算求解即可；
（2）①利用角的运算求解即可；
②根据角平分线的定义可得∠ABC=，再结合∠ABC=180°-∠ABD=∠D+∠BAD，求出∠D=∠ABC-∠BAD=即可；
（3）设 而 再利用角的运算和等量代换可得。
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