2023年浙教版数学七年级上册6.8余角和补角 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2021七上·鞍山期末）将一副三角板按不同位置摆放，下图中与互余的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：选项A：根据平角的定义得：∠α+90°+∠β=180°，
∴∠α+∠β=90°， 即∠α与∠β互余；故A符合题意；
选项B：如图，
故B不符合题意；
选项C：如图，
故C不符合题意；
选项D：
故D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据余角的定义逐项判断即可。
2．（2023七上·安岳期末）如图，若将三个含45°的直角三角板的直角顶点重合放置，若∠2＝25°，∠3＝35°，则∠1的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：如图，如下对图形进行标注，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，即∠2+∠BOC=∠BOC+∠4=90°
∴∠4＝∠2＝25°，
∴∠1＝∠EOF ∠3 ∠4＝90° 25° 35°＝30°.
故答案为：B.
【分析】根据同角的余角相等得∠4＝∠2＝25°，进而根据∠1＝∠EOF ∠3 ∠4代入计算即可得出答案.
3．（2022七上·和平期末）如图，点为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，下列结论：①与互余；②与互补；③与互补；④．其中正确的有 （ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：解：①，平分平分，
∴， ，
∴，
∴与互余，故符合题意；②∵平分平分，
∴，
∴，
∴与互补，故符合题意；
③，
∵，
∴，
不互补，故不符合题意；
④，
∴，故符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据余角和补角的定义以及角平分线的定义计算出各选项的结果，再判断即可.
4．（2022七上·抚远期末）如图，O是直线上的一点，是一条射线，平分，在内，且，．下列四个结论：①；②射线平分；③图中与互余的角有2个；④图中互补的角有6对．其中结论正确的序号有（ ）
A．①③④ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：平分，
，
，
，
是一条直线，
，
，
，
，故①符合题意；
，
，
，
，
∴射线平分，故②符合题意；
，，，
，，
∴图中与互余的角有2个，故③符合题意；
，
，
，，，，
，，，，，
∴图中互补的角有6对，故④符合题意，
正确的有①②③④，
故答案为：D．
【分析】利用已知先得出∠AOD的度数，再计算∠AOE、∠EOC、∠BOE、∠BOD的度数，然后再逐一分析即可.
5．（2022七上·河北期末）如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④．正确的有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：和互补，
，
∵，故①符合题意；
又，②也符合题意；
，故③不符合题意；
，所以④符合题意．
综上可知，①②④均符合题意．
故答案为：B．
【分析】由于互余两角之和为180°，互余两角之和为90°，再将各个式子中化为含有∠α+∠β的式子，再将∠α+∠β=180°代入求值，即可判断.
6．（2022七上·广州期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角的顶点重合于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：如图所示，延长至点，得是平角，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】延长至点，得是平角，根据余角及性质、平角的定义及角的和差关系进行求解即可.
7．（2022七上·江城期末）如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：
①；
②；
③；
④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
而∠AOF=∠DOF，
∴180°-∠AOC-∠AOF=180°-∠BOD-∠DOF，
即∠COE=∠BOE，所以①符合题意；
∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD=∠COD+∠AOB =180°，
所以②符合题意；
∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，
而，所以③不符合题意；
∵E、O、F三点共线，
∴∠BOE+∠BOF=180°，
∵∠COE=∠BOE，
∴∠COE+∠BOF=180°，所以④符合题意．
所以，正确的结论有3个．
故答案为：C．
【分析】由∠AOB=∠COD=90°，利用余角的性质可得∠AOC=∠BOD，结合∠AOF=∠DOF，即可判断①正确；由于∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD=∠COD+∠AOB =180°，可判断②正确；由于∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，而，可判断③错误；由平角的定义可得∠BOE+∠BOF=180°，结合∠COE=∠BOE，可判断④正确.
8．（2022七上·大冶期末）如图，C，D在线段上，下列四个说法：
①直线上以B，C，D，E为端点的线段共有6条；
②图中有3对互为补角的角；
③若，，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为370°；
④若，，，点F是线段上任意一点（包含端点），则点F到点B，C，D，E的距离之和的最小值为15，最大值为25
其中正确说法的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】直线、射线、线段；角的概念；余角、补角及其性质；线段的长短比较
【解析】【解答】解：①以B、C、D、E为端点的线段共6条，故①正确；
②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，即和互补，和互补，故②错误；
③由，根据图形可以求出
，故③正确；
④当F在线段上，则点F到点B，C，D，E的距离之和最小为，当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为，④正确.
故答案为：C.
【分析】①按照一定的顺序数出线段的条数即可；②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，由此即可确定选择项；③根据角的和与差计算即可；④当F在线段CD上最小，当F和E重合时最大，计算得出答案即可．
9．（2022七上·绵阳期末）在同一平面内，点在直线上，与互补，，分别为，的平分线，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵ 与 互补，
∴ ，
∵ ， 分别为 ， 的平分线，
①当点B、O、C三点共线时，
则 ；
∵ ，
∴点B、O、C三点共线时，不符合题意；
②当点B、O、C三点不共线时， ，如下图：
则 ，
∵ ，
∴ ；
③当点B、O、C三点不共线时， ，如下如：
则 ，
∵ ，
∴ ；
综上可得： .
故答案为：D.
【分析】此题分三种情况讨论：①当点B、O、C三点共线时，②当点B、O、C三点不共线时， 且∠AOC＜∠AOB，③当点B、O、C三点不共线时，且∠AOC＞∠AOB，分别结合补角的定义及角平分线的定义，由角的和差即可得出答案.
10．（2019七上·哈尔滨月考）如图 ，垂足为D， ，下列结论正确的有（ ）
⑴ ；（2） ；（3） 与 互余；（4） 与 互补．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故（1）符合题意；
同理可得 ，故（2）符合题意；
∵ ，
∴ 与 互余，故（3）符合题意；
∵ ＜ ，
∴ ＜ ，
∴ 与 不互补，故（4）不符合题意；
故答案选C．
【分析】根据等角的余角相等及平角等于180°，进行作答即可。
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022七上·宣州期末）如图，O为直线上一点，、分别是、的平分线，则的余角是 ．
【答案】、
【知识点】余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵、分别是、的平分线，
∴，，
∵，
∴，，
∴的余角是、．
故答案为：、．
【分析】根据角平分线的定义及余角的定义求解即可。
12．（2021七上·黄埔期末）下列说法正确的有 ．（请将符合题意说法的序号填在横线上）
⑴锐角的补角一定是钝角；
⑵一个角的补角一定大于这个角；
⑶若两个角是同一个角的补角，则它们相等；
⑷锐角和钝角互补．
【答案】（1）（3）
【知识点】角的概念；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：（1）锐角的补角一定是钝角，故（1）符合题意；
（2）一个角的补角不一定大于这个角；
∵90°角的补角的度数是90°，
∴说一个角的补角一定大于这个角不符合题意，故（2）不符合题意；
（3）若两个角是同一个角的补角，则它们相等；故（3）符合题意；
（4）锐角和钝角不一定互补，
∵如∠A=10°，∠B=100°，当两角不互补，
∴说锐角和钝角互补不符合题意，故（3）不符合题意；
故答案为：（1）（3）．
【分析】分别利用锐角、钝角、补角的定义或举特例进行逐一判断即可.
13．（2021七上·镇江期末）如图，已知点O在直线AB上， ，则 .
【答案】30°
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠AOC与∠BOC互为邻补角，
∴∠AOC＋∠BOC＝180°，①
又∵∠AOC＝5∠BOC，②
把②代入①，可得5∠BOC＋∠BOC＝180°，
解得∠BOC＝30°.
故答案为：30°.
【分析】由∠AOC与∠BOC互为邻补角得∠AOC＋∠BOC＝180°，再将∠AOC＝5∠BOC代入，得5∠BOC＋∠BOC＝180°，即可解得∠BOC度数.
14．（2021七上·苏州期末）如图，已知点 是射线 上一点，过 作 交射线 于点 ， 交射线 于点 ，给出下列结论：① 是 的余角；②图中互余的角共有3对；③ 的补角只有 ；④与 互补的角共有3个，其中正确结论有 （把你认为正确的结论的序号都填上）.
【答案】①④
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解： CA⊥BE ，
∠1是∠B的余角，故①符合题意；
，
∴ ∠1与∠CAD互为余角，∠B与∠BAD互为余角，
CA⊥BE ，
∴ ∠CAD与∠BAD互为余角，
所以图中互余的角共有4对，故②不符合题意；
∠1与∠ACF互补；
∵∠1+∠DAC=90°，∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠1=∠BAD，
∵∠BAD+∠DAE=180°，
∴∠1+∠DAE=180°，
∴∠1与∠DAE互补， 故③不符合题意；
CA⊥BE ，AD⊥BF
所以与∠ADB互补的角有∠ADC、∠CAB、∠CAE共3个，故④符合题意；
所以正确的结论有：①④
故答案为：①④.
【分析】根据垂直定义可得∠BAC=90°，∠ADC=∠ADB=∠CAE=90°，根据互余关系可判断①、②，再根据互补的性质判断③、④即可.
15．（2021七上·怀宁期末）如图，点O在直线AB上，从点O引出射线OC，其中射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，下列结论：①∠DOE＝90°；②∠COE与∠AOE互补；③若OC平分∠BOD，则∠AOE＝150°；④∠BOE的余角可表示为．其中正确的是 ．（只填序号）
【答案】①②③④
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，
∴，，
∴，
∵，
∴，故①符合题意；
∵，，
∴，即∠COE与∠AOE互补，故②符合题意；
若OC平分∠BOD，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故③符合题意；
∵，
∴∠BOE的余角可表示为，故④符合题意，
故答案为：①②③④
【分析】根据角平分线的定义，余角、补角的定义对每个结论一一判断即可。
16．（2021七上·岳阳期末）下列说法：①点C是线段AB的中点，则 ；②平面上有4个点，其中任意3个点都不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共可以画4条直线；③锐角和钝角定互补；④ ，其中正确结论的序号是 .
【答案】①④
【知识点】直线、射线、线段；常用角的单位及换算；余角、补角及其性质；线段的中点
【解析】【解答】解：①点C是线段AB的中点，则 ，故①正确；
②平面上有4个点，其中任意3个点都不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共可以画6条直线，故②错误；
③只有和为180°的两个角才互为补角，故锐角和钝角不一定互补，故③错误；
④ ，故④正确.
故答案为：①④.
【分析】根据线段中点的性质对 ① 作判断；根据直线的条数公式：判断 ② ,任举一个反例即可判断③，根据角度的换算关系计算可以判断 ④ .
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2022七上·广阳期末）已知点、、在同一条直线上，．
（1）如图1，若，，则 ．
（2）如图2，若，，平分，求．
（3）如图3，若与互余，也与互余，请在图3中画出符合条件的射线加以计算后，写出的度数（用含的式子表示）．
【答案】（1）20°
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（3）解：①当在的上方时，如图，
∴与互余，也与互余，
∴，
∴，
②当在的下方时，如图，
∵与互余，也与互余，
∴，
∴，
综上所述，的度数为：或．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴
，
故答案为：20°；
【分析】（1）利用角的运算求解即可；
（2）根据角平分线的定义可得，再利用角的运算求出即可；
（3）分类讨论：①当在的上方时，②当在的下方时，再分别画出图象并求解即可。
18．（2022七上·南康期末）如图，将一副三角尺按甲、乙、丙、丁四种不同方式摆放．
（1）在 的摆放方式中∠与∠互余；在 的摆放方式中∠与∠互补．
（2）在哪种摆放方式中∠与∠相等？请说明理由．
【答案】（1）甲；丁
（2）解：在乙、丙摆放方式中两角相等，理由如下：
在乙中：∵∠＝90°－∠1，∠＝90°－∠1，
∴∠＝∠；
在丙中：∵∠＝180°－45°＝135°，∠＝180°－45°＝135°
∴∠＝∠．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】（1）解：在甲图中，
根据平角的定义得：∠α+90°+∠β=180°，
∴∠α+∠β=90°，
即∠α与∠β互余；
在丁图中，
根据图形可知∠α与∠β是邻补角，
∴∠α+∠β=180°；
故答案为：甲，丁
【分析】（1）根据余角和补角的性质及计算方法求解即可；
（2）利用等角的余角，等角的补角相等的性质求解即可。
19．（2021七上·长丰期末）如图，是直线上的一点，，、分别是、的平分线．
（1）图中所有与互余的角有 ；
（2）图中与互补的角有 ；
（3）求的度数．
【答案】（1），
（2）
（3）解：是的平分线，，，，是的角平分线，．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）、分别是、的平分线．，，，，图中所有与互余的角有，，故答案为：，；
（2），，，图中与互补的角有，故答案为：；
【分析】（1）利用余角的定义求解即可；
（2）利用补角的性质求解即可；
（3）利用角平分线的性质求出，利用邻补角的性质求出∠AOC的度数，最后利用角平分线的性质可得。
20．（2021七上·吉林期末）如图①，将一副常规直角三角尺的直角顶点叠放在一起，，．解答下列问题．
（1）若∠DCE＝35°24'，则∠ACB＝ ；若∠ACB＝115°，则∠DCE＝ ；
（2）当∠DCE＝α时，求∠ACB的度数，并直接写出∠DCE与∠ACB的关系；
（3）在图①的基础上作射线BC，射线EC，射线DC，如图②，则与∠ECB互补的角有 个．
【答案】（1）；
（2）解：，
，
；
，即与互补；
（3）5
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】(1)解：，
. ，
，
，
，
故答案为：；；
（3）解：由图可知，
，
与互补的角有5个；
故答案为：5．
【分析】（1）根据三角板中的特殊角，以及互余的意义可求出答案；
（2）方法同（1）即可得出结论；
（3）利用直角的意义互补的定义即可得出答案。
21．（2021七上·双阳期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OC平分∠BOE，OF⊥CD，垂足为点O．
（1）写出∠AOF的一个余角和一个补角．
（2）若∠BOE＝60°，求∠AOD的度数．
（3）∠AOF与∠EOF相等吗？说明理由．
【答案】（1）解：∵OC⊥CD，
∴∠DOF=90°，
∴∠AOF+∠AOD=90°，
又∵∠BOC=∠AOD，
∴∠AOF+∠BOC=90°，
∵OC平分∠BOE，
∴∠COE=∠BOC，
∴∠AOF+∠COE=90°；
∴∠AOF的余角是，∠COE，∠BOC，∠AOD；
∵∠AOF+∠BOF=180°，
∴∠AOF的补角是∠BOF
（2）解：∵OC平分∠BOE，∠BOE=60°，
∴∠BOC=30°，
又∵∠AOD=∠BOC，
∴∠AOD=30°
（3）解：∠AOF=∠EOF，理由如下：
由（1）可得∠AOD=∠BOC=∠COE，
∵OF⊥OC，
∴∠DOF=∠COF=90°，
∴∠AOD+∠AOF=∠EOF+∠COE=90°，
∴∠AOF=∠EOF
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【分析】（1）先求出 ∠AOF+∠BOC=90°， 再求出 ∠AOF+∠COE=90° ，最后求解即可；
（2）先求出 ∠BOC=30°， 再根据 ∠AOD=∠BOC求解即可；
（3）根据题意求出∠DOF=∠COF=90°， 再求出 ∠AOD+∠AOF=90°即可作答。
22．（2022七上·新乡期末）如图，两条直线相交于点O，且，射线（与射线重合）绕点O逆时针方向旋转，速度为每秒，射线（与射线重合）绕点O顺时针方向旋转，速度为每秒，两射线，同时运动，运动时间为t秒（本题出现的角均指不大于平角的角）.
（1）图中一定有 个直角；当，的度数为 ；当，的度数为 ；
（2）当时，若，试求出t的值；
（3）当时，探究的值，在t满足怎样的条件时是定值，在t满足怎样的条件时不是定值？
【答案】（1）4；；
（2）解：当与重合时，，
当与重合时，，
∴当时，，
由，得，
解得；
当时，，
由，得，
解得，
综上，当时，t的值为2或；
（3）解：当时，，
∴，
解得，
当时，，
，
∴
；
当时，，
，
∴
，
综上，当时，的值是定值5；当时，的值不是定值.
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴图中共有4直角；
由题意得：，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
故答案为：4，，；
【分析】（1）根据两直线AB、CD相交于点O，∠AOC=∠AOD，可得图中一定有4个直角；当t=2时，根据射线OM、ON的位置，可得∠MON的度数，当t=4时，根据射线OM、ON的位置，可得∠MON的度数；
（2）分两种情况： ①当时 ， ②当时 ，根据，分别列出方程并求解即可；
（3）先判断当∠MON为平角时t值，然后分两种情况： 当时，当时 ，分别计算的值，根据结果作出判断即可.
23．（2022七上·宛城期末）如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方.
（1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边OM在∠BOC的内部，且OM恰好平分∠BOC，此时∠AOM= 度；∠BON= 度.
（2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠AOC的内部.试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由.
（3）将图1中的三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线ON恰好平分∠AOC，则此时三角板绕点O旋转的时间是 秒.
【答案】（1）120；30
（2）解：如图3，
，
∠AOM-∠NOC=30°，
∵∠BOC=120°，
∴∠A0C=60°，
∵∠AON=90°-∠AOM=60°-∠NOC，
∴∠AOM-∠NOC=30°.
（3）6或24
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】（1）∵OM恰好平分∠BOC，
∴∠BOM=120°÷2=60°，
∴∠AOM=180°-60°=120°.
∠BON=90°-60°=30°.
故答案为：120；30；
（3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=60°，
∴∠BON=30°，
∴旋转60°或240°时，ON平分∠AOC，
∵10x=60或10x=240，
∴x=6或x=24，
即此时三角板绕点O旋转的时间是6或24秒.
故答案为：6或24.
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠BOM=∠BOC=60°，利用邻补角的定义可得∠AOM=120°，根据∠BON=∠MON-∠BOM即可求解；
（2） 由∠AON=90°-∠AOM=60°-∠NOC即可求解；
（3）由ON平分∠AOC，所以分两种情况：一是ON在OB的下方，二是ON在∠AOC的内部，根据ON的初始位置和旋转后的位置计算出旋转的度数，再除以10即可求解.
24．（2022七上·和平期末）已知：是直线上的一点，是直角，平分钝角．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，平分，求的度数；
（3）当时，绕点以每秒沿逆时针方向旋转秒，请探究和之间的数量关系．（直接写出结果）
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵是直角，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：∵平分平分，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：①时，由题意得，
∴
，
∴；
②时，
由题意得，
∴
，
∴．
综上，时，时，．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用邻补角的定义可得∠BOC=180°-∠AOC=140°，由垂直的定义可得∠COD=90°，从而求出∠BOD=∠BOC-∠COD=50°，利用角平分线的定义可得，根据∠DOE=∠BOE-∠BOD即可求解；
（2）由角平分线的定义可得，从而得出
，继而得解；
（3） 分两种情况：①时， ②时， 据此分别画出图形并求解即可.
1 / 12023年浙教版数学七年级上册6.8余角和补角 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2021七上·鞍山期末）将一副三角板按不同位置摆放，下图中与互余的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023七上·安岳期末）如图，若将三个含45°的直角三角板的直角顶点重合放置，若∠2＝25°，∠3＝35°，则∠1的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
3．（2022七上·和平期末）如图，点为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，下列结论：①与互余；②与互补；③与互补；④．其中正确的有 （ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（2022七上·抚远期末）如图，O是直线上的一点，是一条射线，平分，在内，且，．下列四个结论：①；②射线平分；③图中与互余的角有2个；④图中互补的角有6对．其中结论正确的序号有（ ）
A．①③④ B．②④ C．①②③ D．①②③④
5．（2022七上·河北期末）如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④．正确的有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．（2022七上·广州期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角的顶点重合于点，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022七上·江城期末）如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：
①；
②；
③；
④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2022七上·大冶期末）如图，C，D在线段上，下列四个说法：
①直线上以B，C，D，E为端点的线段共有6条；
②图中有3对互为补角的角；
③若，，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为370°；
④若，，，点F是线段上任意一点（包含端点），则点F到点B，C，D，E的距离之和的最小值为15，最大值为25
其中正确说法的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2022七上·绵阳期末）在同一平面内，点在直线上，与互补，，分别为，的平分线，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2019七上·哈尔滨月考）如图 ，垂足为D， ，下列结论正确的有（ ）
⑴ ；（2） ；（3） 与 互余；（4） 与 互补．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022七上·宣州期末）如图，O为直线上一点，、分别是、的平分线，则的余角是 ．
12．（2021七上·黄埔期末）下列说法正确的有 ．（请将符合题意说法的序号填在横线上）
⑴锐角的补角一定是钝角；
⑵一个角的补角一定大于这个角；
⑶若两个角是同一个角的补角，则它们相等；
⑷锐角和钝角互补．
13．（2021七上·镇江期末）如图，已知点O在直线AB上， ，则 .
14．（2021七上·苏州期末）如图，已知点 是射线 上一点，过 作 交射线 于点 ， 交射线 于点 ，给出下列结论：① 是 的余角；②图中互余的角共有3对；③ 的补角只有 ；④与 互补的角共有3个，其中正确结论有 （把你认为正确的结论的序号都填上）.
15．（2021七上·怀宁期末）如图，点O在直线AB上，从点O引出射线OC，其中射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，下列结论：①∠DOE＝90°；②∠COE与∠AOE互补；③若OC平分∠BOD，则∠AOE＝150°；④∠BOE的余角可表示为．其中正确的是 ．（只填序号）
16．（2021七上·岳阳期末）下列说法：①点C是线段AB的中点，则 ；②平面上有4个点，其中任意3个点都不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共可以画4条直线；③锐角和钝角定互补；④ ，其中正确结论的序号是 .
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2022七上·广阳期末）已知点、、在同一条直线上，．
（1）如图1，若，，则 ．
（2）如图2，若，，平分，求．
（3）如图3，若与互余，也与互余，请在图3中画出符合条件的射线加以计算后，写出的度数（用含的式子表示）．
18．（2022七上·南康期末）如图，将一副三角尺按甲、乙、丙、丁四种不同方式摆放．
（1）在 的摆放方式中∠与∠互余；在 的摆放方式中∠与∠互补．
（2）在哪种摆放方式中∠与∠相等？请说明理由．
19．（2021七上·长丰期末）如图，是直线上的一点，，、分别是、的平分线．
（1）图中所有与互余的角有 ；
（2）图中与互补的角有 ；
（3）求的度数．
20．（2021七上·吉林期末）如图①，将一副常规直角三角尺的直角顶点叠放在一起，，．解答下列问题．
（1）若∠DCE＝35°24'，则∠ACB＝ ；若∠ACB＝115°，则∠DCE＝ ；
（2）当∠DCE＝α时，求∠ACB的度数，并直接写出∠DCE与∠ACB的关系；
（3）在图①的基础上作射线BC，射线EC，射线DC，如图②，则与∠ECB互补的角有 个．
21．（2021七上·双阳期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OC平分∠BOE，OF⊥CD，垂足为点O．
（1）写出∠AOF的一个余角和一个补角．
（2）若∠BOE＝60°，求∠AOD的度数．
（3）∠AOF与∠EOF相等吗？说明理由．
22．（2022七上·新乡期末）如图，两条直线相交于点O，且，射线（与射线重合）绕点O逆时针方向旋转，速度为每秒，射线（与射线重合）绕点O顺时针方向旋转，速度为每秒，两射线，同时运动，运动时间为t秒（本题出现的角均指不大于平角的角）.
（1）图中一定有 个直角；当，的度数为 ；当，的度数为 ；
（2）当时，若，试求出t的值；
（3）当时，探究的值，在t满足怎样的条件时是定值，在t满足怎样的条件时不是定值？
23．（2022七上·宛城期末）如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方.
（1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边OM在∠BOC的内部，且OM恰好平分∠BOC，此时∠AOM= 度；∠BON= 度.
（2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠AOC的内部.试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由.
（3）将图1中的三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线ON恰好平分∠AOC，则此时三角板绕点O旋转的时间是 秒.
24．（2022七上·和平期末）已知：是直线上的一点，是直角，平分钝角．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，平分，求的度数；
（3）当时，绕点以每秒沿逆时针方向旋转秒，请探究和之间的数量关系．（直接写出结果）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：选项A：根据平角的定义得：∠α+90°+∠β=180°，
∴∠α+∠β=90°， 即∠α与∠β互余；故A符合题意；
选项B：如图，
故B不符合题意；
选项C：如图，
故C不符合题意；
选项D：
故D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据余角的定义逐项判断即可。
2．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：如图，如下对图形进行标注，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，即∠2+∠BOC=∠BOC+∠4=90°
∴∠4＝∠2＝25°，
∴∠1＝∠EOF ∠3 ∠4＝90° 25° 35°＝30°.
故答案为：B.
【分析】根据同角的余角相等得∠4＝∠2＝25°，进而根据∠1＝∠EOF ∠3 ∠4代入计算即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：解：①，平分平分，
∴， ，
∴，
∴与互余，故符合题意；②∵平分平分，
∴，
∴，
∴与互补，故符合题意；
③，
∵，
∴，
不互补，故不符合题意；
④，
∴，故符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据余角和补角的定义以及角平分线的定义计算出各选项的结果，再判断即可.
4．【答案】D
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：平分，
，
，
，
是一条直线，
，
，
，
，故①符合题意；
，
，
，
，
∴射线平分，故②符合题意；
，，，
，，
∴图中与互余的角有2个，故③符合题意；
，
，
，，，，
，，，，，
∴图中互补的角有6对，故④符合题意，
正确的有①②③④，
故答案为：D．
【分析】利用已知先得出∠AOD的度数，再计算∠AOE、∠EOC、∠BOE、∠BOD的度数，然后再逐一分析即可.
5．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：和互补，
，
∵，故①符合题意；
又，②也符合题意；
，故③不符合题意；
，所以④符合题意．
综上可知，①②④均符合题意．
故答案为：B．
【分析】由于互余两角之和为180°，互余两角之和为90°，再将各个式子中化为含有∠α+∠β的式子，再将∠α+∠β=180°代入求值，即可判断.
6．【答案】B
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：如图所示，延长至点，得是平角，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】延长至点，得是平角，根据余角及性质、平角的定义及角的和差关系进行求解即可.
7．【答案】C
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
而∠AOF=∠DOF，
∴180°-∠AOC-∠AOF=180°-∠BOD-∠DOF，
即∠COE=∠BOE，所以①符合题意；
∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD=∠COD+∠AOB =180°，
所以②符合题意；
∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，
而，所以③不符合题意；
∵E、O、F三点共线，
∴∠BOE+∠BOF=180°，
∵∠COE=∠BOE，
∴∠COE+∠BOF=180°，所以④符合题意．
所以，正确的结论有3个．
故答案为：C．
【分析】由∠AOB=∠COD=90°，利用余角的性质可得∠AOC=∠BOD，结合∠AOF=∠DOF，即可判断①正确；由于∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD=∠COD+∠AOB =180°，可判断②正确；由于∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，而，可判断③错误；由平角的定义可得∠BOE+∠BOF=180°，结合∠COE=∠BOE，可判断④正确.
8．【答案】C
【知识点】直线、射线、线段；角的概念；余角、补角及其性质；线段的长短比较
【解析】【解答】解：①以B、C、D、E为端点的线段共6条，故①正确；
②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，即和互补，和互补，故②错误；
③由，根据图形可以求出
，故③正确；
④当F在线段上，则点F到点B，C，D，E的距离之和最小为，当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为，④正确.
故答案为：C.
【分析】①按照一定的顺序数出线段的条数即可；②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，由此即可确定选择项；③根据角的和与差计算即可；④当F在线段CD上最小，当F和E重合时最大，计算得出答案即可．
9．【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵ 与 互补，
∴ ，
∵ ， 分别为 ， 的平分线，
①当点B、O、C三点共线时，
则 ；
∵ ，
∴点B、O、C三点共线时，不符合题意；
②当点B、O、C三点不共线时， ，如下图：
则 ，
∵ ，
∴ ；
③当点B、O、C三点不共线时， ，如下如：
则 ，
∵ ，
∴ ；
综上可得： .
故答案为：D.
【分析】此题分三种情况讨论：①当点B、O、C三点共线时，②当点B、O、C三点不共线时， 且∠AOC＜∠AOB，③当点B、O、C三点不共线时，且∠AOC＞∠AOB，分别结合补角的定义及角平分线的定义，由角的和差即可得出答案.
10．【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故（1）符合题意；
同理可得 ，故（2）符合题意；
∵ ，
∴ 与 互余，故（3）符合题意；
∵ ＜ ，
∴ ＜ ，
∴ 与 不互补，故（4）不符合题意；
故答案选C．
【分析】根据等角的余角相等及平角等于180°，进行作答即可。
11．【答案】、
【知识点】余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵、分别是、的平分线，
∴，，
∵，
∴，，
∴的余角是、．
故答案为：、．
【分析】根据角平分线的定义及余角的定义求解即可。
12．【答案】（1）（3）
【知识点】角的概念；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：（1）锐角的补角一定是钝角，故（1）符合题意；
（2）一个角的补角不一定大于这个角；
∵90°角的补角的度数是90°，
∴说一个角的补角一定大于这个角不符合题意，故（2）不符合题意；
（3）若两个角是同一个角的补角，则它们相等；故（3）符合题意；
（4）锐角和钝角不一定互补，
∵如∠A=10°，∠B=100°，当两角不互补，
∴说锐角和钝角互补不符合题意，故（3）不符合题意；
故答案为：（1）（3）．
【分析】分别利用锐角、钝角、补角的定义或举特例进行逐一判断即可.
13．【答案】30°
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠AOC与∠BOC互为邻补角，
∴∠AOC＋∠BOC＝180°，①
又∵∠AOC＝5∠BOC，②
把②代入①，可得5∠BOC＋∠BOC＝180°，
解得∠BOC＝30°.
故答案为：30°.
【分析】由∠AOC与∠BOC互为邻补角得∠AOC＋∠BOC＝180°，再将∠AOC＝5∠BOC代入，得5∠BOC＋∠BOC＝180°，即可解得∠BOC度数.
14．【答案】①④
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解： CA⊥BE ，
∠1是∠B的余角，故①符合题意；
，
∴ ∠1与∠CAD互为余角，∠B与∠BAD互为余角，
CA⊥BE ，
∴ ∠CAD与∠BAD互为余角，
所以图中互余的角共有4对，故②不符合题意；
∠1与∠ACF互补；
∵∠1+∠DAC=90°，∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠1=∠BAD，
∵∠BAD+∠DAE=180°，
∴∠1+∠DAE=180°，
∴∠1与∠DAE互补， 故③不符合题意；
CA⊥BE ，AD⊥BF
所以与∠ADB互补的角有∠ADC、∠CAB、∠CAE共3个，故④符合题意；
所以正确的结论有：①④
故答案为：①④.
【分析】根据垂直定义可得∠BAC=90°，∠ADC=∠ADB=∠CAE=90°，根据互余关系可判断①、②，再根据互补的性质判断③、④即可.
15．【答案】①②③④
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，
∴，，
∴，
∵，
∴，故①符合题意；
∵，，
∴，即∠COE与∠AOE互补，故②符合题意；
若OC平分∠BOD，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故③符合题意；
∵，
∴∠BOE的余角可表示为，故④符合题意，
故答案为：①②③④
【分析】根据角平分线的定义，余角、补角的定义对每个结论一一判断即可。
16．【答案】①④
【知识点】直线、射线、线段；常用角的单位及换算；余角、补角及其性质；线段的中点
【解析】【解答】解：①点C是线段AB的中点，则 ，故①正确；
②平面上有4个点，其中任意3个点都不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共可以画6条直线，故②错误；
③只有和为180°的两个角才互为补角，故锐角和钝角不一定互补，故③错误；
④ ，故④正确.
故答案为：①④.
【分析】根据线段中点的性质对 ① 作判断；根据直线的条数公式：判断 ② ,任举一个反例即可判断③，根据角度的换算关系计算可以判断 ④ .
17．【答案】（1）20°
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（3）解：①当在的上方时，如图，
∴与互余，也与互余，
∴，
∴，
②当在的下方时，如图，
∵与互余，也与互余，
∴，
∴，
综上所述，的度数为：或．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴
，
故答案为：20°；
【分析】（1）利用角的运算求解即可；
（2）根据角平分线的定义可得，再利用角的运算求出即可；
（3）分类讨论：①当在的上方时，②当在的下方时，再分别画出图象并求解即可。
18．【答案】（1）甲；丁
（2）解：在乙、丙摆放方式中两角相等，理由如下：
在乙中：∵∠＝90°－∠1，∠＝90°－∠1，
∴∠＝∠；
在丙中：∵∠＝180°－45°＝135°，∠＝180°－45°＝135°
∴∠＝∠．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】（1）解：在甲图中，
根据平角的定义得：∠α+90°+∠β=180°，
∴∠α+∠β=90°，
即∠α与∠β互余；
在丁图中，
根据图形可知∠α与∠β是邻补角，
∴∠α+∠β=180°；
故答案为：甲，丁
【分析】（1）根据余角和补角的性质及计算方法求解即可；
（2）利用等角的余角，等角的补角相等的性质求解即可。
19．【答案】（1），
（2）
（3）解：是的平分线，，，，是的角平分线，．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）、分别是、的平分线．，，，，图中所有与互余的角有，，故答案为：，；
（2），，，图中与互补的角有，故答案为：；
【分析】（1）利用余角的定义求解即可；
（2）利用补角的性质求解即可；
（3）利用角平分线的性质求出，利用邻补角的性质求出∠AOC的度数，最后利用角平分线的性质可得。
20．【答案】（1）；
（2）解：，
，
；
，即与互补；
（3）5
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】(1)解：，
. ，
，
，
，
故答案为：；；
（3）解：由图可知，
，
与互补的角有5个；
故答案为：5．
【分析】（1）根据三角板中的特殊角，以及互余的意义可求出答案；
（2）方法同（1）即可得出结论；
（3）利用直角的意义互补的定义即可得出答案。
21．【答案】（1）解：∵OC⊥CD，
∴∠DOF=90°，
∴∠AOF+∠AOD=90°，
又∵∠BOC=∠AOD，
∴∠AOF+∠BOC=90°，
∵OC平分∠BOE，
∴∠COE=∠BOC，
∴∠AOF+∠COE=90°；
∴∠AOF的余角是，∠COE，∠BOC，∠AOD；
∵∠AOF+∠BOF=180°，
∴∠AOF的补角是∠BOF
（2）解：∵OC平分∠BOE，∠BOE=60°，
∴∠BOC=30°，
又∵∠AOD=∠BOC，
∴∠AOD=30°
（3）解：∠AOF=∠EOF，理由如下：
由（1）可得∠AOD=∠BOC=∠COE，
∵OF⊥OC，
∴∠DOF=∠COF=90°，
∴∠AOD+∠AOF=∠EOF+∠COE=90°，
∴∠AOF=∠EOF
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【分析】（1）先求出 ∠AOF+∠BOC=90°， 再求出 ∠AOF+∠COE=90° ，最后求解即可；
（2）先求出 ∠BOC=30°， 再根据 ∠AOD=∠BOC求解即可；
（3）根据题意求出∠DOF=∠COF=90°， 再求出 ∠AOD+∠AOF=90°即可作答。
22．【答案】（1）4；；
（2）解：当与重合时，，
当与重合时，，
∴当时，，
由，得，
解得；
当时，，
由，得，
解得，
综上，当时，t的值为2或；
（3）解：当时，，
∴，
解得，
当时，，
，
∴
；
当时，，
，
∴
，
综上，当时，的值是定值5；当时，的值不是定值.
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴图中共有4直角；
由题意得：，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
故答案为：4，，；
【分析】（1）根据两直线AB、CD相交于点O，∠AOC=∠AOD，可得图中一定有4个直角；当t=2时，根据射线OM、ON的位置，可得∠MON的度数，当t=4时，根据射线OM、ON的位置，可得∠MON的度数；
（2）分两种情况： ①当时 ， ②当时 ，根据，分别列出方程并求解即可；
（3）先判断当∠MON为平角时t值，然后分两种情况： 当时，当时 ，分别计算的值，根据结果作出判断即可.
23．【答案】（1）120；30
（2）解：如图3，
，
∠AOM-∠NOC=30°，
∵∠BOC=120°，
∴∠A0C=60°，
∵∠AON=90°-∠AOM=60°-∠NOC，
∴∠AOM-∠NOC=30°.
（3）6或24
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】（1）∵OM恰好平分∠BOC，
∴∠BOM=120°÷2=60°，
∴∠AOM=180°-60°=120°.
∠BON=90°-60°=30°.
故答案为：120；30；
（3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=60°，
∴∠BON=30°，
∴旋转60°或240°时，ON平分∠AOC，
∵10x=60或10x=240，
∴x=6或x=24，
即此时三角板绕点O旋转的时间是6或24秒.
故答案为：6或24.
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠BOM=∠BOC=60°，利用邻补角的定义可得∠AOM=120°，根据∠BON=∠MON-∠BOM即可求解；
（2） 由∠AON=90°-∠AOM=60°-∠NOC即可求解；
（3）由ON平分∠AOC，所以分两种情况：一是ON在OB的下方，二是ON在∠AOC的内部，根据ON的初始位置和旋转后的位置计算出旋转的度数，再除以10即可求解.
24．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵是直角，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：∵平分平分，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：①时，由题意得，
∴
，
∴；
②时，
由题意得，
∴
，
∴．
综上，时，时，．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用邻补角的定义可得∠BOC=180°-∠AOC=140°，由垂直的定义可得∠COD=90°，从而求出∠BOD=∠BOC-∠COD=50°，利用角平分线的定义可得，根据∠DOE=∠BOE-∠BOD即可求解；
（2）由角平分线的定义可得，从而得出
，继而得解；
（3） 分两种情况：①时， ②时， 据此分别画出图形并求解即可.
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