2023年浙教版数学七年级上册6.9直线的相交 同步测试（培优版）

2023年浙教版数学七年级上册6.9直线的相交 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022七上·德惠期末）如图，点A是直线l外一点，过点A作于点B．在直线l上取一点C，连接，使，点P在线段上，连接，若，则线段的长不可能是（　　）
A．3.5 B．4.1 C．5 D．5.5
【答案】D
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵过点A作于点B．在直线l上取一点C，连接，使，点P在线段上，连接，
又∵，
∴，
∴，
∴不可能是5.5，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据垂线段最短的性质可得，再求出，即可得到，最后求解即可。
2．（2021七上·普陀期末）如图， ，4位同学观察图形后各自观点如下．甲： ；乙： ；丙： ；丁：图中小于平角的角有6个；其中正确的结论是（　　）
A．甲、乙、丙 B．甲、乙、丁 C．乙、丙、丁 D．甲、丙、丁
【答案】B
【知识点】角的运算；垂线
【解析】【解答】解：∵OA⊥OC，OB⊥OD，
∴∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
∴∠AOB=∠COD，故甲正确；丙不正确；
∵∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC=180°，
∴∠AOD+∠BOC=180°，故乙正确；
图中小于平角的角有：∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠COD，一共6个，故丁正确；
∴正确结论的是甲，乙，丁.
故答案为：B.
【分析】利用垂直的定义可证得∠AOC=∠BOD，可推出∠AOB=∠COD，可对甲和丙作出判断；同时可证得∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC=180°，即可得到∠AOD+∠BOC=180°，可对乙作出判断；然后利用图形可得到小于平角的角的个数，可对丁作出判断，综上所述可得到正确结论的个数.
3．（2022七上·凉山期末）如图，直线AB、CD相交于点O， ，OF平分∠AOE，∠1=15°30′，则下列结论中，错误的是（　　）
A．∠2=45° B．∠1=∠3
C．∠AOD与∠1互为补角 D．∠1的余角等于75°30′
【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：根据 ，得∠AOE＝∠BOE＝90°，根据OF平分∠AOE可得：∠2=45°，故A正确，不符合题意；
根据对顶角的性质可得∠1=∠3，故B正确，不符合题意；
根据补角的性质可得：∠AOD+∠3=∠AOD+∠1=180°；故C正确，不符合题意；
∠1的余角为：90°－15°30′=74°30′.故D错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据∠BOE=90°得∠AOE＝∠BOE＝90°，然后根据角平分线的概念可判断A；根据对顶角的性质可判断B；根据同角的补角相等可判断C；根据互余两角之和为90°可判断D.
4．（2021七上·德阳月考）如果同一平面内有三条直线，那么它们交点个数是（　　）个.
A．3个 B．1或3个
C．1或2或3个 D．0或1或2或3个
【答案】D
【知识点】相交线
【解析】【解答】解：①如图，三条直线全都平行，此时交点个数为0个
②如图，三条直线中，有两条直线平行，第三条直线交这两条直线，此时交点个数为2个
③如图，三条直线两两相交，当组成一个三角形时，此时交点个数为3个
④如图，三条直线两两相交，交点个数为1个
故答案为：D.
【分析】本题需要通过分类讨论，三条直线是否平行，是否交于一个点。
5．（2021七上·江阴期末）如图，已知点A是射线BE上一点，过A作AC⊥BF，垂足为C，CD⊥BE，垂足为D.给出下列结论：①∠1是∠ACD的余角；②图中互余的角共有3对；③∠1的补角只有∠DCF；④与∠ADC互补的角共有3个.其中正确结论有（　　）
A．① B．①②③ C．①④ D．②③④
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；垂线
【解析】【解答】∵AC⊥BF，
∴ ，即 .
故∠1是∠ACD的余角，①正确；
∵CD⊥BE，AC⊥BF，
∴ ， ，
∴ ， ， ， .
故一共有4对互余的角，②错误；
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
故与 互补的角有 和 ，③错误.
∵AC⊥BF， CD⊥BE，
∴与 互补的角有： 、 、 ，④正确.
所以正确的结论为①④.
故答案为：C.
【分析】根据垂直的定义可得∠ACB=∠ACF=90°，，利用补角的定义可判断④；从而得出， ， ， ，据此判断①②；根据同角的余角相等得出，由，，可得出，据此判断③.
6．（2020七上·五华期末）下列结论:①平面内3条直线两两相交，共有3个交点;②在平面内，若∠AOB =40°，∠AOC= ∠BOC,则∠AOC的度数为20°;③若线段AB=3, BC=2，则线段AC的长为1或5;④若∠a+∠β=180°，且∠a<∠β，则∠a的余角为 (∠β-∠a).其中正确结论的个数（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；相交线；线段的计算
【解析】【解答】解：①平面内3条直线两两相交，如下图，
有1个（左图）或3个交点（右图），故错误；
②在平面内，若∠AOB=40°，∠AOC=∠BOC，如下图，
∠AOC的度数为20°（左图）或160°（右图），故错误；
③若线段AB=3，BC=2，因为点C不一定在直线AB上，所以无法求得AC的长度，故错误；
④若∠α+∠β=180°，则 ，则当∠a<∠β时， ，则 ，故该结论正确.
故正确的有一个，选：A．
【分析】①平面内3条直线两两相交，有1或3个交点，据此判断即可；②当OC在∠AOB内部时，∠AOC=20°；当OC在∠AOB外部时，∠AOC=160°；据此判断即可；③当点C不在直线AB上，无法求出AC的长，据此判断即可；④∠a的余角为90°-∠a=90°-(180°-∠β），由α+∠β=180°可得，据此计算然后判断即可.
7．（2020七上·大冶期末）下列说法：①若|a|＝﹣b，|b|＝b，则a＝b＝0；②若﹣a不是正数，则a为非负数；③|﹣a2|＝（﹣a）2；④若 ，则 ；⑤平面内n条直线两两相交，最多 个交点.其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数及其分类；有理数的乘方法则；相交线
【解析】【解答】解：①由|a|＝﹣b，可得b 0；由|b|＝b，可得b 0；所以a＝b＝0，故本选项正确；②若﹣a不是正数，则a为非负数，故本选项正确；③|﹣a2|＝（﹣a）2，故本选项正确；④若 ，则a，b异号，即 ，故本选项正确；⑤平面内n条直线两两相交，最多 n（n﹣1）个交点，故本选项错误.
故答案为：C.
【分析】依据绝对值的性质：|a|=a（a>0），|a|=-a（a＜0），|a|=0（a=0），去绝对值符号或判断值的情况即可.非负数的概念以及相交线，即可得到正确结论.
8．（2020七上·临颍期末）两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，…那么六条直线最多有（　　）
A．21个交点 B．18个交点 C．15个交点 D．10个交点
【答案】C
【知识点】相交线
【解析】【解答】解：由题意两条直线最多有 个交点，三条直线最多有 个交点，四条直线最多有 个交点，根据这个规律即可求得结果.
由题意得六条直线最多有 个交点.
故答案为：C.
【分析】通过画图和观察图形得到2条直线最多的交点个数为1，3条直线最多的交点个数为1＋2＝3，4条直线最多的交点个数为1＋2＋3＝6，5条直线最多的交点个数为1＋2＋3＋4＝10，…，则n条直线最多的交点个数为1＋2＋3＋4＋…＋n 1，从而即可得出规律：n条直线最多有个交点，然后把n＝6代入计算即可．
9．（2022七上·市南区期末）平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是m个，最多是n个，则m+n的值为（　　）
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】C
【知识点】相交线
【解析】【解答】解：平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是1个，即m＝1，
平面内两两相交的7条直线，其交点个数最多是1+2+3+4+5+6＝21（个），即n＝21，
所以m+n＝22，
故答案为：C．
【分析】 平面内两两相交的7条直线，当7条直线相交于一点时交点最少，任意两条直线相交都产生一个交点时交点最多，据此分别求出m、n的值，继而得解.
10．（2020七上·包河期末）若四条直线在平面内交点的个数为 ，则 的可能取值有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【知识点】相交线
【解析】【解答】解：图1：当四条直线平行时，无交点；
图2：当三条平行，另一条与这三条不平行时有3个交点；
图3：当两两直线平行时，有4个交点；
图4：当有两条直线平行，而另两条不平行时有5个交点；
图5：当四条直线同交于一点时，只有1个交点；
图6：当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点；
图7：当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点；
综上所述，共7种情况，6种交点个数，
故答案为：D．
【分析】根据直线与直线的位置关系，列出所有情况即可，四条直线的位置关系可能有互不平行，两条平行，三条平行，四条平行四种情况，注意不要漏掉
二、填空题（每题4分，共24分）
11．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD．当∠AOC= 30°时，∠BOD=　 　
【答案】60°或 120°
【知识点】角的运算；垂线
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
①当OC，OD在直线AB的同侧时，如图1，
∵OC⊥OD，
∴∠COD= 90°，
又∵∠AOC=30°，
∴∠BOD= =180°-∠COD-∠AOC= 60°；
②当OC，OD在直线AB的异侧时，如图2，
∵OC⊥OD，∠AOC=30°，
∴∠AOD= 60°，
∴∠BOD=180°-∠AOD= 120°，
∴∠BOD=60°或 120°.
故答案为：60°或 120°.
【分析】分两种情况讨论：①当OC，OD在直线AB的同侧时，②当OC，OD在直线AB的异侧时，分别根据垂线的定义和平角的定义求出∠BOD的度数，即可得出答案.
12．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，∠α与∠β一定相等的图形有　 　(填序号)
【答案】①③
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：①∵∠α与∠β是对顶角，∴∠α=∠β，
②∵∠α=45°，∠β=60°，∴∠α≠∠β，
③∵∠α与∠β是同一个角的余角，∴∠α=∠β，
④∵∠α=135°，∠β=120°，∴∠α≠∠β，
∴∠α与∠β一定相等的图形有①③.
故答案为：①③.
【分析】根据对顶角的性质可判断①；由三角尺的性质、角的和差和为90°的两个角互为余角可判断②；根据同角的余角相等可判断③；根据三角尺的性质及和为180°的两个角互为补角可判断④.
13．（2023七上·南岗开学考）如图，直线AB和CD相交于O，OA平分∠COE，∠COE∶∠BOE＝2∶5，则∠EOD的度数为　 　．
【答案】120°
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠COE∶∠BOE＝2∶5，
∴设∠COE=2x，则∠BOE=5x，
∵OA平分∠COE，
∴∠AOE=∠COA=∠BOD=x，
∴∠DOE=4x，
∵∠COE+∠DOE=180°，
∴2x+4x=180°，
∴x=30°，
∴∠DOE=4x=120°.
故答案为：120°.
【分析】设∠COE=2x，∠BOE=5x，根据角平分线的定义和对顶角的性质求出∠AOE=∠BOD=x，从而用x表示出∠DOE，根据平角的定义即可求出x的度数，进而知道∠DOE度数.
14．（2021七上·黄陵期末）在 中，C，D分别为边 ， 上的点（不与顶点O重合）.对于任意锐角 ，下面三个结论：
①点C和点D有无数个；
②连接 ，存在 是直角；
③点C到边 的距离不超过线段 的长.
所有正确结论的序号是　 　.
【答案】①②③
【知识点】角的概念；点到直线的距离
【解析】【解答】解：①如图所示：C、D分别为 的边OA、OB上的点，
∵OA、OB为射线，
∴这样的点有无数个，
故结论①正确；
如图所示：连接CD，∠ODC的大小不确定，但过点C有且只有一条直线与OB垂直，
∴当CD⊥OB时，∠ODC一定是直角，
故结论②正确；
如图所示：CD可看作是点C到射线OB上任意一点的连线，
∵直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∴点C到边OB的距离一定小于等于CD的长，
故结论③正确.
故答案为：①、②、③.
【分析】根据点和线的关系判断①；当CD⊥OB时，∠ODC一定是直角，据此判断②；根据垂线段最短，点C到边OB的距离一定小于等于CD的长，据此判断③.
15．（2020七上·通州期末）如图，点 在直线 上，点 在直线 上，点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ，线段 的长度为 ，通过测量等方法可以判断在 ， ， 三个数据中，最大的是　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】过点A作AD垂直于 垂足为D，过点B作BH垂直于 垂足为H，连接AB，
由题意得：AD=a， BH=b，AB=c；
根据点到直线垂线段最短，可知AB＞AD，AB＞BH
∴c＞a，c＞b；
∴c最大
故答案：c
【分析】根据垂线段最短的性质，即可得到ACAB，进而得出a16．（2020七上·碑林期末）如图，在 的正方形网格中，点 都在格点上，连接 中任意两点得到的所有线段中，与线段 垂直的线段是　 　.
【答案】DE
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；垂线
【解析】【解答】解：画出C、D、E、F中任意两点所在直线，如图所示，则与线段 垂直的线段是DE，
故答案为：DE.
【分析】分别画出C、D、E、F中任意两点所在直线，结合图形根据垂直的定义即可求解.
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2023七上·武义期末）如图，已知直线l表示一段公路，点A表示学校，点B表示书店，点C表示图书馆.
⑴请画出学校A到书店B的最短路线.
⑵在公路l上找一个路口M，使得的值最小.
⑶现要从学校A向公路l修一条小路，怎样修路才能使小路的长最短？请画出小路的路线，并用所学知识描述小路的方向.
【答案】解：⑴如图所示，连接，线段即为所求，
⑵如图所示，连接，交l于点M，点M即为所求，
⑶如图所示，过点A作交l于点D，线段即为所要求作的小路，
方向为从A向垂直于l的方向.
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短；作图-垂线
【解析】【分析】（1）连接AB，线段AB即为所求；
（2）连接AC，交l于点M，点M即为所求；
（3）过点A作AD⊥l交l于点D，线段AD即为所要求作的小路，方向为从A向垂直于l的方向.
18．（2021七上·西湖期末）如图， 是平面内三点.
（1）按要求作图：请先用铅笔作图，确认无误后，再用黑色水笔描深.
①作射线 ，过点 作直线 ，使 两点在直线 两旁；
②过点 作直线 的垂线段，垂足为 ；
③点 为直线 上任意一点，点 为射线 上任意一点，连结线段 .
（2）在（1）所作图形中，若点 到直线 的距离为2，点 到射线 的距离为5，点 、 之间的距离为8，点 之间的距离为6，则 的最小值为　 　，依据是　 　.
【答案】（1）解：如图所示，
①射线BC，直线l即为所求；
②过点A作AE⊥直线 ，垂足为E，则线段AE为所求；
③点P、Q、线段AP、PQ即为所求；
（2）5；垂线段最短
【知识点】垂线段最短；作图-垂线；作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】（2）根据作图可知：
过点A作AQ⊥BC，垂足为Q，与直线 相交与点P，
∴AP+PQ的最小值即为点A到直线BC的距离为：AQ=5.
依据为：垂线段最短.
故答案为：5，垂线段最短.
【分析】 （1）①作射线BC，过点B作直线l，使A、C两点在直线l两旁即可；
②由题意作垂线段即可；
③在直线l上任意取一点P，在直线BC上任意一点Q，连接线段AP、PQ即可：
（2）根据垂线段最短，即可求出AP＋PQ的最小值．
19．（2021七上·沿河期末）如图，DO平分∠AOC，OE平分∠BOC，若OA⊥OB，
（1）当∠BOC＝50°，∠DOE＝　 　；当∠BOC＝70°，∠DOE＝　 　；
（2）通过上面的计算，猜想∠DOE的度数与∠AOB有什么关系，并说明理由.
【答案】（1）45°；45°
（2）∠DOE＝ ∠AOB.理由如下：
设∠AOB＝α，∠BOC＝β，
∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠COD＝ （α＋β），∠COE＝ β，
∴∠DOE＝∠COD－∠COE＝ （α＋β－β）＝ α＝ ∠AOB.
【知识点】角的运算；垂线；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）①∵OA⊥OB，∠BOC＝50°，
∴∠AOC＝90°＋50°＝140°，
∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠COD＝70°，∠COE＝25°，
∴∠DOE＝∠COD－∠COE＝70°－25°＝45°.
故答案为：45°；
②∵OA⊥OB，∠BOC＝70°，
∴∠AOC＝90°＋70°＝160°，
∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠COD＝80°，∠COE＝35°，
∴∠DOE＝∠COD－∠COE＝80°－35°＝45°.
故答案为：45°；
【分析】 （1）分别根据角平分线分别求出∠COD和∠COE，然后根据∠DOE=∠COD-∠COE，进行求解即可；
（2） 根据 （1）中的求法用字母表示数进行推导即可．
20．（2022七上·吴兴期末）如图，直线AB和CD交于点O，射线OE平分∠AOD．
（1）若∠BOD=50°，求∠COE的度数；
（2）若射线OF⊥AB于点O，∠BOD=α°，请补全图形，并求∠EOF的度数
【答案】（1）解：∠AOD=180°-∠BOD=130°
∵OE平分∠AOD
∴∠AOE=∠AOD=65°
∵∠AOC=∠BOD=50°
∴∠COE=∠AOC+∠AOE=115°
（2）解：∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°
①OF在AB左侧
∴∠DOF=90°-∠BOD=90-α
∠AOD=180°-∠BOD=180-α
∵OE平分∠AOD
∴∠DOE=∠AOD=90-
∴∠EOF=∠DOE-∠DOF=90--(90-α)= ．
②OF在AB右侧
∵OE平分∠AOD
∴∠AOE=∠AOD=90-
∠EOF=∠AOE+∠AOF=90-+90°=180-．
综上所述，∠EOF=或180-
【知识点】角的大小比较；垂线；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据平角的定义由∠AOD=180°-∠BOD 算出∠AOD的度数，根据角平分线的定义算出∠AOE的度数，根据对顶角相等算出∠AOC的度数，最后根据角的和差，由∠COE=∠AOC+∠AOE算出答案；
（2）由垂直的定义得∠BOF=90°，分类讨论： ①OF在AB左侧 ，根据角的和差由 ∠DOF=90°-∠BOD及∠AOD=180°-∠BOD分别用含α的式子表示出∠DOF与∠AOD，根据角平分线的定义表示出∠DOE，最后根据∠EOF=∠DOE-∠DOF算出答案； ②OF在AB右侧 ，根据角平分线的定义表示出∠AOE，最后根据∠EOF=∠AOE+∠AOF算出答案.
21．（2020七上·香坊期末）已知：直线AB与直线CD交于点O，过点O作 ．
（1）如图1，若 ，求 的度数；
（2）如图2，过点O画直线FG满足射线OF在 内部，且使 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与 互余的角．
【答案】（1）解：∵
∴
∴
∵
∴
解得：
∵∠BOD＝∠AOC＝30°
∴∠BOE＝∠BOD＋∠DOE＝90°＋30°＝120°
（2）解：由（1）知 ，
∴∠AOE＝60°
又
∴∠EOF＝15°，
∵∠EOF＋∠DOF＝90°＝∠DOE
∵∠DOF＝∠COG＝75°
∴∠EOF＋∠COG＝90°
∵∠AOE＋∠EOF＝60°＋15°＝∠AOF＝75°
∴∠AOF＋∠EOF＝90°
∵∠AOF＝∠BOG
∴∠BOG＋∠EOF＝90°
故：∠DOF、∠COG、∠AOF、∠BOG都是与 互余的角．
【知识点】余角、补角及其性质；垂线
【解析】【分析】（1）先求出 ，再求出 ，即可作答；
（2）先求出 ∠EOF＝15° ，再证明 ∠AOF＋∠EOF＝90° ，即可作答。
22．（2021七上·长兴期末）已知∠AOB=160°，∠COE是直角，OF平分∠AOE.
（1）如图1，若∠COF=32°，则∠BOE=　 　；
（2）如图1，若∠COF=m°，则∠BOE=　 　；∠BOE与∠COF的数量关系为　 　.
（3）在已知条件不变的前提下，当∠COE绕点О逆时针转动到如图2的位置时，第（2）问中∠BOE与∠COF的数量关系是否仍然成立 请说明理由.
【答案】（1）44°
（2）（2m-20）°；∠BOE=2∠COF-20°
（3）解：仍然成立，理由如下，
设∠COF=x°
∵∠COE=90°，∴∠EOF=（90-x）°
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE=2（90-x）°
∴∠BOE=160°-2（90-x）°=（2x-20）°
即∠BOE=2∠COF-20°仍然成立。
【知识点】角的运算；垂线；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵∠COE是直角 ， ∠COF=32°
∴∠EOF=∠COE-∠COF=90°-32°=58°
∵OF平分∠AOE
∴∠AOF=∠EOF=58°
∴∠AOE=2∠EOF=116°
∵∠ BOE= ∠AOB-∠AOE=160°-116°=44°
故答案为：44°
（2）①∵∠COE是直角 ， ∠COF=m°
∴∠EOF=∠COE-∠COF=90°-m°
∵OF平分∠AOE
∴∠AOF=∠EOF=90°-m°
∴∠AOE=2∠EOF=180°-2m°
②∵∠ BOE= ∠AOB-∠AOE=160°-(180°-2m°)= （2m-20）°
∵当 ∠COF=m° 时，∠ BOE=（2m-20）°
∴∠BOE=2∠COF-20°
故答案为：1、（2m-20）°；2、∠BOE=2∠COF-20°。
【分析】（1）利用直角求出∠EOF以及利用角平分线的定义求出∠AOE，结合图形，运用角的和差进行求解；
（2）这道题目在第一问的基础上，将∠COF的度数换成m°，结合上一问的步骤进行化简可求出∠BOE ；
（3）根据第（2）问，可设 ∠COF=x° ，并用 ∠COF表示出∠BOE ，从而得出 ∠BOE与∠COF的数量关系仍然成立 。
23．（2020七上·房山期末）已知，如图，点 、 分别代表两个村庄，直线 代表两个村庄之间的一条燃气管道，根据村民燃气需求，计划在管道 上某处修建一座燃气管理站，向两村庄接入管道．
（1）若计划建一个离村庄 最近的燃气管理站，请画出燃气管理站的位置（用点 表示），并写出这样做的依据．
（2）若考虑到管道铺设费用问题，希望燃气管理站的位置到村庄 、村庄 距离之和最小，画出燃气管理站的位置（用点 表示），并写出这样做的依据．
【答案】（1）解：∵计划建一个离村庄 最近的燃气管理站，
过点M作MP⊥直线l，
则MP为垂线段，
∴点P为所求，
根据连结直线外一点M，与直线上个点的所有线中，垂线段最短，
故依据为：垂线段最短
（2）解：∵燃气管理站的位置到村庄 、村庄 距离之和最小，
∴连结MN，
∵根据所有连结两点的线中，线段最短，
∴MQ+NQ=MN，
∴点Q为所求．
故依据为：两点之间，线段最短．
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【分析】（1）根据垂线段最短作图求解即可；
（2）根据两点之间线段最短进行求解即可。
24．（2020七上·郾城期末）如图（1），点 为直线 上一点，过点 作射线 ，将一直角的直角顶点放在点 处，即 反向延长射线 ，得到射线 .
（1）当 的位置如图（1）所示时，使 ，若 ，求 的度数.
（2）当 的位置如图（2）所示时，使一边 在 的内部，且恰好平分 ，
问：射线 的反向延长线 是否平分 请说明理由：注意：不能用问题（1）中的条件
（3）当 的位置如图 所示时，射线 在 的内部，若 .试探究 与 之间的数量关系，不需要证明，写出结论.
【答案】（1）解：∵∠NOB=20°，∠BOC=120°
∠NOB+∠BOC+∠COD=180°
∴∠COD=180°-20°-120°=40°
（2）解：OD平分∠AOC
∵∠MON=∠MOD=90°
∴∠DOC+COM=∠MOB+∠BON
∵OM平分∠BOC
∴∠COM=∠MOB
∴∠DOC=∠BON
∵∠BON=∠AOD（对顶角相等）
∴∠AOD=∠DOC
∴OD平分∠AOC
（3）解：∵∠BOC=120°
∴∠AOC=180°-120°=60°
∵∠MON=90°
∴∠MON-∠AOC=30°
∴∠AOM+∠AON-∠AON-∠NOC=30°
∴∠AOM-∠NOC=30°
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）∠NOB+∠BOC+∠COD=180°，根据题目已知条件代入即可求解；（2）∠MON=∠MOD=90°，利用互余的性质可以得出∠DOC=∠BON，由对顶角的性质得出∠BON=∠AOD，即可得出结果；（3）根据∠BOC=120°，得出∠AOC=60°，再利用∠MON-∠AOC=30°即可得出结论.
1 / 12023年浙教版数学七年级上册6.9直线的相交 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022七上·德惠期末）如图，点A是直线l外一点，过点A作于点B．在直线l上取一点C，连接，使，点P在线段上，连接，若，则线段的长不可能是（　　）
A．3.5 B．4.1 C．5 D．5.5
2．（2021七上·普陀期末）如图， ，4位同学观察图形后各自观点如下．甲： ；乙： ；丙： ；丁：图中小于平角的角有6个；其中正确的结论是（　　）
A．甲、乙、丙 B．甲、乙、丁 C．乙、丙、丁 D．甲、丙、丁
3．（2022七上·凉山期末）如图，直线AB、CD相交于点O， ，OF平分∠AOE，∠1=15°30′，则下列结论中，错误的是（　　）
A．∠2=45° B．∠1=∠3
C．∠AOD与∠1互为补角 D．∠1的余角等于75°30′
4．（2021七上·德阳月考）如果同一平面内有三条直线，那么它们交点个数是（　　）个.
A．3个 B．1或3个
C．1或2或3个 D．0或1或2或3个
5．（2021七上·江阴期末）如图，已知点A是射线BE上一点，过A作AC⊥BF，垂足为C，CD⊥BE，垂足为D.给出下列结论：①∠1是∠ACD的余角；②图中互余的角共有3对；③∠1的补角只有∠DCF；④与∠ADC互补的角共有3个.其中正确结论有（　　）
A．① B．①②③ C．①④ D．②③④
6．（2020七上·五华期末）下列结论:①平面内3条直线两两相交，共有3个交点;②在平面内，若∠AOB =40°，∠AOC= ∠BOC,则∠AOC的度数为20°;③若线段AB=3, BC=2，则线段AC的长为1或5;④若∠a+∠β=180°，且∠a<∠β，则∠a的余角为 (∠β-∠a).其中正确结论的个数（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2020七上·大冶期末）下列说法：①若|a|＝﹣b，|b|＝b，则a＝b＝0；②若﹣a不是正数，则a为非负数；③|﹣a2|＝（﹣a）2；④若 ，则 ；⑤平面内n条直线两两相交，最多 个交点.其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（2020七上·临颍期末）两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，…那么六条直线最多有（　　）
A．21个交点 B．18个交点 C．15个交点 D．10个交点
9．（2022七上·市南区期末）平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是m个，最多是n个，则m+n的值为（　　）
A．18 B．20 C．22 D．24
10．（2020七上·包河期末）若四条直线在平面内交点的个数为 ，则 的可能取值有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、填空题（每题4分，共24分）
11．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD．当∠AOC= 30°时，∠BOD=　 　
12．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，∠α与∠β一定相等的图形有　 　(填序号)
13．（2023七上·南岗开学考）如图，直线AB和CD相交于O，OA平分∠COE，∠COE∶∠BOE＝2∶5，则∠EOD的度数为　 　．
14．（2021七上·黄陵期末）在 中，C，D分别为边 ， 上的点（不与顶点O重合）.对于任意锐角 ，下面三个结论：
①点C和点D有无数个；
②连接 ，存在 是直角；
③点C到边 的距离不超过线段 的长.
所有正确结论的序号是　 　.
15．（2020七上·通州期末）如图，点 在直线 上，点 在直线 上，点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ，线段 的长度为 ，通过测量等方法可以判断在 ， ， 三个数据中，最大的是　 　．
16．（2020七上·碑林期末）如图，在 的正方形网格中，点 都在格点上，连接 中任意两点得到的所有线段中，与线段 垂直的线段是　 　.
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2023七上·武义期末）如图，已知直线l表示一段公路，点A表示学校，点B表示书店，点C表示图书馆.
⑴请画出学校A到书店B的最短路线.
⑵在公路l上找一个路口M，使得的值最小.
⑶现要从学校A向公路l修一条小路，怎样修路才能使小路的长最短？请画出小路的路线，并用所学知识描述小路的方向.
18．（2021七上·西湖期末）如图， 是平面内三点.
（1）按要求作图：请先用铅笔作图，确认无误后，再用黑色水笔描深.
①作射线 ，过点 作直线 ，使 两点在直线 两旁；
②过点 作直线 的垂线段，垂足为 ；
③点 为直线 上任意一点，点 为射线 上任意一点，连结线段 .
（2）在（1）所作图形中，若点 到直线 的距离为2，点 到射线 的距离为5，点 、 之间的距离为8，点 之间的距离为6，则 的最小值为　 　，依据是　 　.
19．（2021七上·沿河期末）如图，DO平分∠AOC，OE平分∠BOC，若OA⊥OB，
（1）当∠BOC＝50°，∠DOE＝　 　；当∠BOC＝70°，∠DOE＝　 　；
（2）通过上面的计算，猜想∠DOE的度数与∠AOB有什么关系，并说明理由.
20．（2022七上·吴兴期末）如图，直线AB和CD交于点O，射线OE平分∠AOD．
（1）若∠BOD=50°，求∠COE的度数；
（2）若射线OF⊥AB于点O，∠BOD=α°，请补全图形，并求∠EOF的度数
21．（2020七上·香坊期末）已知：直线AB与直线CD交于点O，过点O作 ．
（1）如图1，若 ，求 的度数；
（2）如图2，过点O画直线FG满足射线OF在 内部，且使 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与 互余的角．
22．（2021七上·长兴期末）已知∠AOB=160°，∠COE是直角，OF平分∠AOE.
（1）如图1，若∠COF=32°，则∠BOE=　 　；
（2）如图1，若∠COF=m°，则∠BOE=　 　；∠BOE与∠COF的数量关系为　 　.
（3）在已知条件不变的前提下，当∠COE绕点О逆时针转动到如图2的位置时，第（2）问中∠BOE与∠COF的数量关系是否仍然成立 请说明理由.
23．（2020七上·房山期末）已知，如图，点 、 分别代表两个村庄，直线 代表两个村庄之间的一条燃气管道，根据村民燃气需求，计划在管道 上某处修建一座燃气管理站，向两村庄接入管道．
（1）若计划建一个离村庄 最近的燃气管理站，请画出燃气管理站的位置（用点 表示），并写出这样做的依据．
（2）若考虑到管道铺设费用问题，希望燃气管理站的位置到村庄 、村庄 距离之和最小，画出燃气管理站的位置（用点 表示），并写出这样做的依据．
24．（2020七上·郾城期末）如图（1），点 为直线 上一点，过点 作射线 ，将一直角的直角顶点放在点 处，即 反向延长射线 ，得到射线 .
（1）当 的位置如图（1）所示时，使 ，若 ，求 的度数.
（2）当 的位置如图（2）所示时，使一边 在 的内部，且恰好平分 ，
问：射线 的反向延长线 是否平分 请说明理由：注意：不能用问题（1）中的条件
（3）当 的位置如图 所示时，射线 在 的内部，若 .试探究 与 之间的数量关系，不需要证明，写出结论.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵过点A作于点B．在直线l上取一点C，连接，使，点P在线段上，连接，
又∵，
∴，
∴，
∴不可能是5.5，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据垂线段最短的性质可得，再求出，即可得到，最后求解即可。
2．【答案】B
【知识点】角的运算；垂线
【解析】【解答】解：∵OA⊥OC，OB⊥OD，
∴∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
∴∠AOB=∠COD，故甲正确；丙不正确；
∵∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC=180°，
∴∠AOD+∠BOC=180°，故乙正确；
图中小于平角的角有：∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠COD，一共6个，故丁正确；
∴正确结论的是甲，乙，丁.
故答案为：B.
【分析】利用垂直的定义可证得∠AOC=∠BOD，可推出∠AOB=∠COD，可对甲和丙作出判断；同时可证得∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC=180°，即可得到∠AOD+∠BOC=180°，可对乙作出判断；然后利用图形可得到小于平角的角的个数，可对丁作出判断，综上所述可得到正确结论的个数.
3．【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：根据 ，得∠AOE＝∠BOE＝90°，根据OF平分∠AOE可得：∠2=45°，故A正确，不符合题意；
根据对顶角的性质可得∠1=∠3，故B正确，不符合题意；
根据补角的性质可得：∠AOD+∠3=∠AOD+∠1=180°；故C正确，不符合题意；
∠1的余角为：90°－15°30′=74°30′.故D错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据∠BOE=90°得∠AOE＝∠BOE＝90°，然后根据角平分线的概念可判断A；根据对顶角的性质可判断B；根据同角的补角相等可判断C；根据互余两角之和为90°可判断D.
4．【答案】D
【知识点】相交线
【解析】【解答】解：①如图，三条直线全都平行，此时交点个数为0个
②如图，三条直线中，有两条直线平行，第三条直线交这两条直线，此时交点个数为2个
③如图，三条直线两两相交，当组成一个三角形时，此时交点个数为3个
④如图，三条直线两两相交，交点个数为1个
故答案为：D.
【分析】本题需要通过分类讨论，三条直线是否平行，是否交于一个点。
5．【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；垂线
【解析】【解答】∵AC⊥BF，
∴ ，即 .
故∠1是∠ACD的余角，①正确；
∵CD⊥BE，AC⊥BF，
∴ ， ，
∴ ， ， ， .
故一共有4对互余的角，②错误；
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
故与 互补的角有 和 ，③错误.
∵AC⊥BF， CD⊥BE，
∴与 互补的角有： 、 、 ，④正确.
所以正确的结论为①④.
故答案为：C.
【分析】根据垂直的定义可得∠ACB=∠ACF=90°，，利用补角的定义可判断④；从而得出， ， ， ，据此判断①②；根据同角的余角相等得出，由，，可得出，据此判断③.
6．【答案】A
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；相交线；线段的计算
【解析】【解答】解：①平面内3条直线两两相交，如下图，
有1个（左图）或3个交点（右图），故错误；
②在平面内，若∠AOB=40°，∠AOC=∠BOC，如下图，
∠AOC的度数为20°（左图）或160°（右图），故错误；
③若线段AB=3，BC=2，因为点C不一定在直线AB上，所以无法求得AC的长度，故错误；
④若∠α+∠β=180°，则 ，则当∠a<∠β时， ，则 ，故该结论正确.
故正确的有一个，选：A．
【分析】①平面内3条直线两两相交，有1或3个交点，据此判断即可；②当OC在∠AOB内部时，∠AOC=20°；当OC在∠AOB外部时，∠AOC=160°；据此判断即可；③当点C不在直线AB上，无法求出AC的长，据此判断即可；④∠a的余角为90°-∠a=90°-(180°-∠β），由α+∠β=180°可得，据此计算然后判断即可.
7．【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数及其分类；有理数的乘方法则；相交线
【解析】【解答】解：①由|a|＝﹣b，可得b 0；由|b|＝b，可得b 0；所以a＝b＝0，故本选项正确；②若﹣a不是正数，则a为非负数，故本选项正确；③|﹣a2|＝（﹣a）2，故本选项正确；④若 ，则a，b异号，即 ，故本选项正确；⑤平面内n条直线两两相交，最多 n（n﹣1）个交点，故本选项错误.
故答案为：C.
【分析】依据绝对值的性质：|a|=a（a>0），|a|=-a（a＜0），|a|=0（a=0），去绝对值符号或判断值的情况即可.非负数的概念以及相交线，即可得到正确结论.
8．【答案】C
【知识点】相交线
【解析】【解答】解：由题意两条直线最多有 个交点，三条直线最多有 个交点，四条直线最多有 个交点，根据这个规律即可求得结果.
由题意得六条直线最多有 个交点.
故答案为：C.
【分析】通过画图和观察图形得到2条直线最多的交点个数为1，3条直线最多的交点个数为1＋2＝3，4条直线最多的交点个数为1＋2＋3＝6，5条直线最多的交点个数为1＋2＋3＋4＝10，…，则n条直线最多的交点个数为1＋2＋3＋4＋…＋n 1，从而即可得出规律：n条直线最多有个交点，然后把n＝6代入计算即可．
9．【答案】C
【知识点】相交线
【解析】【解答】解：平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是1个，即m＝1，
平面内两两相交的7条直线，其交点个数最多是1+2+3+4+5+6＝21（个），即n＝21，
所以m+n＝22，
故答案为：C．
【分析】 平面内两两相交的7条直线，当7条直线相交于一点时交点最少，任意两条直线相交都产生一个交点时交点最多，据此分别求出m、n的值，继而得解.
10．【答案】D
【知识点】相交线
【解析】【解答】解：图1：当四条直线平行时，无交点；
图2：当三条平行，另一条与这三条不平行时有3个交点；
图3：当两两直线平行时，有4个交点；
图4：当有两条直线平行，而另两条不平行时有5个交点；
图5：当四条直线同交于一点时，只有1个交点；
图6：当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点；
图7：当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点；
综上所述，共7种情况，6种交点个数，
故答案为：D．
【分析】根据直线与直线的位置关系，列出所有情况即可，四条直线的位置关系可能有互不平行，两条平行，三条平行，四条平行四种情况，注意不要漏掉
11．【答案】60°或 120°
【知识点】角的运算；垂线
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
①当OC，OD在直线AB的同侧时，如图1，
∵OC⊥OD，
∴∠COD= 90°，
又∵∠AOC=30°，
∴∠BOD= =180°-∠COD-∠AOC= 60°；
②当OC，OD在直线AB的异侧时，如图2，
∵OC⊥OD，∠AOC=30°，
∴∠AOD= 60°，
∴∠BOD=180°-∠AOD= 120°，
∴∠BOD=60°或 120°.
故答案为：60°或 120°.
【分析】分两种情况讨论：①当OC，OD在直线AB的同侧时，②当OC，OD在直线AB的异侧时，分别根据垂线的定义和平角的定义求出∠BOD的度数，即可得出答案.
12．【答案】①③
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：①∵∠α与∠β是对顶角，∴∠α=∠β，
②∵∠α=45°，∠β=60°，∴∠α≠∠β，
③∵∠α与∠β是同一个角的余角，∴∠α=∠β，
④∵∠α=135°，∠β=120°，∴∠α≠∠β，
∴∠α与∠β一定相等的图形有①③.
故答案为：①③.
【分析】根据对顶角的性质可判断①；由三角尺的性质、角的和差和为90°的两个角互为余角可判断②；根据同角的余角相等可判断③；根据三角尺的性质及和为180°的两个角互为补角可判断④.
13．【答案】120°
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠COE∶∠BOE＝2∶5，
∴设∠COE=2x，则∠BOE=5x，
∵OA平分∠COE，
∴∠AOE=∠COA=∠BOD=x，
∴∠DOE=4x，
∵∠COE+∠DOE=180°，
∴2x+4x=180°，
∴x=30°，
∴∠DOE=4x=120°.
故答案为：120°.
【分析】设∠COE=2x，∠BOE=5x，根据角平分线的定义和对顶角的性质求出∠AOE=∠BOD=x，从而用x表示出∠DOE，根据平角的定义即可求出x的度数，进而知道∠DOE度数.
14．【答案】①②③
【知识点】角的概念；点到直线的距离
【解析】【解答】解：①如图所示：C、D分别为 的边OA、OB上的点，
∵OA、OB为射线，
∴这样的点有无数个，
故结论①正确；
如图所示：连接CD，∠ODC的大小不确定，但过点C有且只有一条直线与OB垂直，
∴当CD⊥OB时，∠ODC一定是直角，
故结论②正确；
如图所示：CD可看作是点C到射线OB上任意一点的连线，
∵直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∴点C到边OB的距离一定小于等于CD的长，
故结论③正确.
故答案为：①、②、③.
【分析】根据点和线的关系判断①；当CD⊥OB时，∠ODC一定是直角，据此判断②；根据垂线段最短，点C到边OB的距离一定小于等于CD的长，据此判断③.
15．【答案】
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】过点A作AD垂直于 垂足为D，过点B作BH垂直于 垂足为H，连接AB，
由题意得：AD=a， BH=b，AB=c；
根据点到直线垂线段最短，可知AB＞AD，AB＞BH
∴c＞a，c＞b；
∴c最大
故答案：c
【分析】根据垂线段最短的性质，即可得到ACAB，进而得出a16．【答案】DE
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；垂线
【解析】【解答】解：画出C、D、E、F中任意两点所在直线，如图所示，则与线段 垂直的线段是DE，
故答案为：DE.
【分析】分别画出C、D、E、F中任意两点所在直线，结合图形根据垂直的定义即可求解.
17．【答案】解：⑴如图所示，连接，线段即为所求，
⑵如图所示，连接，交l于点M，点M即为所求，
⑶如图所示，过点A作交l于点D，线段即为所要求作的小路，
方向为从A向垂直于l的方向.
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短；作图-垂线
【解析】【分析】（1）连接AB，线段AB即为所求；
（2）连接AC，交l于点M，点M即为所求；
（3）过点A作AD⊥l交l于点D，线段AD即为所要求作的小路，方向为从A向垂直于l的方向.
18．【答案】（1）解：如图所示，
①射线BC，直线l即为所求；
②过点A作AE⊥直线 ，垂足为E，则线段AE为所求；
③点P、Q、线段AP、PQ即为所求；
（2）5；垂线段最短
【知识点】垂线段最短；作图-垂线；作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】（2）根据作图可知：
过点A作AQ⊥BC，垂足为Q，与直线 相交与点P，
∴AP+PQ的最小值即为点A到直线BC的距离为：AQ=5.
依据为：垂线段最短.
故答案为：5，垂线段最短.
【分析】 （1）①作射线BC，过点B作直线l，使A、C两点在直线l两旁即可；
②由题意作垂线段即可；
③在直线l上任意取一点P，在直线BC上任意一点Q，连接线段AP、PQ即可：
（2）根据垂线段最短，即可求出AP＋PQ的最小值．
19．【答案】（1）45°；45°
（2）∠DOE＝ ∠AOB.理由如下：
设∠AOB＝α，∠BOC＝β，
∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠COD＝ （α＋β），∠COE＝ β，
∴∠DOE＝∠COD－∠COE＝ （α＋β－β）＝ α＝ ∠AOB.
【知识点】角的运算；垂线；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）①∵OA⊥OB，∠BOC＝50°，
∴∠AOC＝90°＋50°＝140°，
∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠COD＝70°，∠COE＝25°，
∴∠DOE＝∠COD－∠COE＝70°－25°＝45°.
故答案为：45°；
②∵OA⊥OB，∠BOC＝70°，
∴∠AOC＝90°＋70°＝160°，
∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠COD＝80°，∠COE＝35°，
∴∠DOE＝∠COD－∠COE＝80°－35°＝45°.
故答案为：45°；
【分析】 （1）分别根据角平分线分别求出∠COD和∠COE，然后根据∠DOE=∠COD-∠COE，进行求解即可；
（2） 根据 （1）中的求法用字母表示数进行推导即可．
20．【答案】（1）解：∠AOD=180°-∠BOD=130°
∵OE平分∠AOD
∴∠AOE=∠AOD=65°
∵∠AOC=∠BOD=50°
∴∠COE=∠AOC+∠AOE=115°
（2）解：∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°
①OF在AB左侧
∴∠DOF=90°-∠BOD=90-α
∠AOD=180°-∠BOD=180-α
∵OE平分∠AOD
∴∠DOE=∠AOD=90-
∴∠EOF=∠DOE-∠DOF=90--(90-α)= ．
②OF在AB右侧
∵OE平分∠AOD
∴∠AOE=∠AOD=90-
∠EOF=∠AOE+∠AOF=90-+90°=180-．
综上所述，∠EOF=或180-
【知识点】角的大小比较；垂线；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据平角的定义由∠AOD=180°-∠BOD 算出∠AOD的度数，根据角平分线的定义算出∠AOE的度数，根据对顶角相等算出∠AOC的度数，最后根据角的和差，由∠COE=∠AOC+∠AOE算出答案；
（2）由垂直的定义得∠BOF=90°，分类讨论： ①OF在AB左侧 ，根据角的和差由 ∠DOF=90°-∠BOD及∠AOD=180°-∠BOD分别用含α的式子表示出∠DOF与∠AOD，根据角平分线的定义表示出∠DOE，最后根据∠EOF=∠DOE-∠DOF算出答案； ②OF在AB右侧 ，根据角平分线的定义表示出∠AOE，最后根据∠EOF=∠AOE+∠AOF算出答案.
21．【答案】（1）解：∵
∴
∴
∵
∴
解得：
∵∠BOD＝∠AOC＝30°
∴∠BOE＝∠BOD＋∠DOE＝90°＋30°＝120°
（2）解：由（1）知 ，
∴∠AOE＝60°
又
∴∠EOF＝15°，
∵∠EOF＋∠DOF＝90°＝∠DOE
∵∠DOF＝∠COG＝75°
∴∠EOF＋∠COG＝90°
∵∠AOE＋∠EOF＝60°＋15°＝∠AOF＝75°
∴∠AOF＋∠EOF＝90°
∵∠AOF＝∠BOG
∴∠BOG＋∠EOF＝90°
故：∠DOF、∠COG、∠AOF、∠BOG都是与 互余的角．
【知识点】余角、补角及其性质；垂线
【解析】【分析】（1）先求出 ，再求出 ，即可作答；
（2）先求出 ∠EOF＝15° ，再证明 ∠AOF＋∠EOF＝90° ，即可作答。
22．【答案】（1）44°
（2）（2m-20）°；∠BOE=2∠COF-20°
（3）解：仍然成立，理由如下，
设∠COF=x°
∵∠COE=90°，∴∠EOF=（90-x）°
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE=2（90-x）°
∴∠BOE=160°-2（90-x）°=（2x-20）°
即∠BOE=2∠COF-20°仍然成立。
【知识点】角的运算；垂线；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵∠COE是直角 ， ∠COF=32°
∴∠EOF=∠COE-∠COF=90°-32°=58°
∵OF平分∠AOE
∴∠AOF=∠EOF=58°
∴∠AOE=2∠EOF=116°
∵∠ BOE= ∠AOB-∠AOE=160°-116°=44°
故答案为：44°
（2）①∵∠COE是直角 ， ∠COF=m°
∴∠EOF=∠COE-∠COF=90°-m°
∵OF平分∠AOE
∴∠AOF=∠EOF=90°-m°
∴∠AOE=2∠EOF=180°-2m°
②∵∠ BOE= ∠AOB-∠AOE=160°-(180°-2m°)= （2m-20）°
∵当 ∠COF=m° 时，∠ BOE=（2m-20）°
∴∠BOE=2∠COF-20°
故答案为：1、（2m-20）°；2、∠BOE=2∠COF-20°。
【分析】（1）利用直角求出∠EOF以及利用角平分线的定义求出∠AOE，结合图形，运用角的和差进行求解；
（2）这道题目在第一问的基础上，将∠COF的度数换成m°，结合上一问的步骤进行化简可求出∠BOE ；
（3）根据第（2）问，可设 ∠COF=x° ，并用 ∠COF表示出∠BOE ，从而得出 ∠BOE与∠COF的数量关系仍然成立 。
23．【答案】（1）解：∵计划建一个离村庄 最近的燃气管理站，
过点M作MP⊥直线l，
则MP为垂线段，
∴点P为所求，
根据连结直线外一点M，与直线上个点的所有线中，垂线段最短，
故依据为：垂线段最短
（2）解：∵燃气管理站的位置到村庄 、村庄 距离之和最小，
∴连结MN，
∵根据所有连结两点的线中，线段最短，
∴MQ+NQ=MN，
∴点Q为所求．
故依据为：两点之间，线段最短．
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【分析】（1）根据垂线段最短作图求解即可；
（2）根据两点之间线段最短进行求解即可。
24．【答案】（1）解：∵∠NOB=20°，∠BOC=120°
∠NOB+∠BOC+∠COD=180°
∴∠COD=180°-20°-120°=40°
（2）解：OD平分∠AOC
∵∠MON=∠MOD=90°
∴∠DOC+COM=∠MOB+∠BON
∵OM平分∠BOC
∴∠COM=∠MOB
∴∠DOC=∠BON
∵∠BON=∠AOD（对顶角相等）
∴∠AOD=∠DOC
∴OD平分∠AOC
（3）解：∵∠BOC=120°
∴∠AOC=180°-120°=60°
∵∠MON=90°
∴∠MON-∠AOC=30°
∴∠AOM+∠AON-∠AON-∠NOC=30°
∴∠AOM-∠NOC=30°
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）∠NOB+∠BOC+∠COD=180°，根据题目已知条件代入即可求解；（2）∠MON=∠MOD=90°，利用互余的性质可以得出∠DOC=∠BON，由对顶角的性质得出∠BON=∠AOD，即可得出结果；（3）根据∠BOC=120°，得出∠AOC=60°，再利用∠MON-∠AOC=30°即可得出结论.
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