2023年浙教版数学七年级上册6.9直线的相交 同步测试（提升版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列生活实例中，应用到的数学原理解释错误的一项是（ ）
A．在两个村庄之间修一条最短的公路，原理是：两点之间线段最短
B．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．把一根木条固定到墙上需要两个钉子，原理是：两点确定一条直线
D．从一个货站向一条高速公路修一条最短的路，原理是：连结直线外一点与已知直线上各点的所有线段中，垂线段最短
2．下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放法正确的是（ ）
A．A B．B C．C D．D
3．如图，直线m，n，l相交，并且m⊥n，∠1=48°，则∠3的度数为（ ）
A．52° B．42° C．48° D．58°
4．（2023七上·拱墅期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．两点之间直线最短
B．如果∠α＝53°38'，那么∠α余角的度数为36.22°
C．如果一个角的余角和补角都存在，那么这个角的余角比这个角的补角小
D．相等的角是对顶角
5．（2023七上·慈溪期末）下列四个说法：①两点确定一条直线；②过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离，其中正确的说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2021七上·普陀期末）如图所示， ，垂足分别为A、D，已知 ，则点A到线段 的距离是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4.8
7．（2022七上·衢江期末）将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中与不一定相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2022七上·贵港期末）如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠EOF＝90°.对于下列结论：①∠BOC＝2∠AOE；②OF平分∠BOD；③∠AOE是∠BOF的余角；④∠AOE是∠COE的补角.其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2022七上·上城期末）如图，点P在直线l外，点A、B在直线l上，若PA=4，PB=7，则点P到直线l的距离可能是（ ）
A．0 B．3 C．5 D．7
10．（2022七上·杭州期末）如图，三条直线相交于点O，则∠1＋∠2＋∠3的度数等于（ ）
A．210° B．180° C．150° D．120°
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2023七上·安岳期末）如图，AO⊥BO，O为垂足，直线CD过点O，且∠BOD＝2∠AOC，则∠BOD＝ ．
12．（2023七上·温州期末）如图，直线AB，CD交于点O，∠AOC：∠COE=1：2．若∠BOD=28°，则∠COE等于 度．
13．（2021七上·南京期末）如图，直线 a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示60°的点在直线a上，表示135°的点在直线b上，则∠1＝ °.
14．（2021七上·昆山期末）已知直线 与直线 相交于点 ， ，垂足为 ．若 ，则 的度数为 ．(单位用度表示)
15．（2021七上·丹徒期末）如图，直线AB与CD相交于点O， ，若 ，则 = °．
16．（2020七上·香坊期末）在同一平面内，直线AB与直线CD相交于点O， ，射线 ，则 的度数为 ．
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2022七上·句容期末）如图，直线AB、CD相交于点O， ，过点O画 ，O为垂足，求 的度数.
18．（2023七上·泗洪期末）如图，直线AB与直线MN相交，交点为O，OC⊥AB，OA平分∠MOD，若∠BON＝25°，求∠COD的度数.
19．（2020七上·三明月考）如图，点O是直线AB上一点，OC⊥AB，∠COD＝26°，OE平分∠BOD，求∠AOD和∠COE的度数.
20．（2020七上·东兰期末）如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝34°，求∠BOD的度数.
21．（2021七上·金东期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥OF，且OA平分∠COE．
（1）若∠DOE＝50°，求∠AOE，∠BOF的度数．
（2）设∠DOE=α，∠BOF=β，请探究α与β的数量关系（要求写出过程）．
22．（2023七上·青田期末）如图，已知直线l表示一段公路，点A表示学校，点B表示书店，点C表示图书馆.
（ 1 ）请画出学校A到书店B的最短路线.
（ 2 ）在公路l上找一个路口M，使得的值最小.
（ 3 ）现要从学校A向公路l修一条小路，怎样修路才能使小路的长最短？请画出小路的路线，并用所学知识描述小路的方向.
23．平面内有任意一点P和∠1，按要求解答下列问题：
（1）当点P在∠1外部时，如图1，过点P作PA⊥OM，PB_⊥ON，垂足分别为A，B，量一量∠APB和∠1的度数，用数学式子表达它们之间的数量关系．
（2）当点P在∠1内部时，如图2，以点P为顶点作∠APB，使∠APB的两边分别和∠1的两边垂直，垂足分别为A，B，量一量∠APB和∠1的度数，用数学式子表达∠APB和∠1的数量关系．
（3）由上述情形，用文字语言叙述结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角
（4）若∠1=50°，∠P的两边和∠1的两边垂直，则∠P的度数为
24．（2022七上·昌平期末）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A，B和村庄M，N．完成以下作图．
（1）若在村庄N与道口A之间修一条最短的公路，在图中画出此公路，并说明这样画的理由；
（2）若在公路上选择一个地点P安装实时监控系统，要求点P到村庄N与道口B的距离相等，在图中标出点P的位置；
（3）当一节火车头行驶至铁路上的点Q时，距离村庄N最近．在图中确定点Q的位置（保留作图痕迹）；
（4）若在道口A或B处修建一座火车站，使得到两村的距离和较短，应该修在 处．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【解答】解：A、在两个村庄之间修一条最短的公路，原理是：两点之间线段最短，故A不符合题意；
B、从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，原理是：连结直线外一点与已知直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故B符合题意；
C、把一根木条固定到墙上需要两个钉子，原理是：两点确定一条直线，故C不符合题意；
D、从一个货站向一条高速公路修一条最短的路，原理是：连结直线外一点与已知直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据两点之间线段最短可判断A选项；根据垂线段最短可判断B、D选项；根据两点确定一条直线可判断C选项.
2．【答案】C
【知识点】作图-垂线
【解析】【解答】解：A、CD与AB不垂直，故A不符合题意；
B、CD没有经过点P，故B不符合题意；
C、CD经过点P，且CD⊥AB， 故C符合题意；
D、CD与AB不垂直，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法是：让直角三角尺的一条直角边与已知直线重合，移动三角尺，让另一条直角边经过已知点，然后沿这条直角边画直线，该直线就与已知直线垂直，逐项进行判断，即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵直线m与n相交，
∴∠1=∠2=48°，
∵m⊥n，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠3=90°-48°=42°.
故答案为：B.
【分析】根据对顶角相等得出∠2=∠1=48°，再根据垂直的定义得出∠2+∠3=90°，即可求出∠3=42°.
4．【答案】C
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；余角、补角及其性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、两点之间线段最短，故A不符合题意；
B、∵90°-53°38'＝36°22'，∴∠α余角的度数为36.22°，故B不符合题意；
C、如果一个角的余角和补角都存在，那么这个角的余角比这个角的补角小，故C符合题意；
D、相等的角不是对顶角，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据“两点之间线段最短”可判断A；根据和为90°的两个角互为余角可判断B；和为90°的两个角互为余角，和为180°的两个角互为补角，故一个角的补角比其余角大90°，据此可判断C；对顶角是相等的，但相等的角不一定是对顶角，据此判断D.
5．【答案】B
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；垂线段最短；点到直线的距离
【解析】【解答】解：①两点确定一条直线，故①正确；
②同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故②不正确；
③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故③正确
④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故④不正确，
故答案为：B.
【分析】根据直线的性质可判断①；根据垂线的性质可判断②③；根据点到直线的距离的概念可判断④.
6．【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，AD=4.8.
∴点A到线段BC的距离就是垂线段AD的长即4.8.
故答案为：D.
【分析】利用点到直线的距离就是这点到这条线段的垂线段的长度，由此可得答案.
7．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；角的大小比较；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A选项中， ，
，故不符合题意；
B选项中， ，则 与 不一定相等，故符合题意；
C选项中， 是对顶角，
，故不符合题意；
D选项如图，
，
，故不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据学具的性质可知，从而可得=45°，据此可判断A；根据平角的定义及学具的性质只能得出，故 与 不一定相等，据此判断B；根据对顶角相等即可判断C；根据同角的余角相等即可判断D.
8．【答案】D
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵直线AB与CD相交于点O，
∴∠AOD＝∠BOC，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD＝2∠AOE＝2∠DOE，
∴∠BOC＝2∠AOE，故①正确；
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOD＋∠DOF＝90°，∠AOE＋∠BOF＝90°，即∠AOE是∠BOF的余角，故③正确；
∴∠FOD＝∠BOF，
∴OF平分∠BOD，故②正确；
∵∠AOE＝∠DOE，∠DOE＋∠COE＝180°，
∴∠COE＋∠AOE＝180°，即∠AOE是∠COE的补角，故④正确.
故答案为：D.
【分析】根据对顶角的性质可得∠AOD=∠BOC，根据角平分线的概念可得∠AOD＝2∠AOE＝2∠DOE，据此判断①；根据平角的概念可得∠AOE＋∠BOF＝90°，据此判断③；易得∠FOD＝∠BOF，据此判断②；根据∠AOE＝∠DOE，∠DOE＋∠COE＝180°，可得∠COE＋∠AOE＝180°，据此判断④.
9．【答案】B
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：当PA⊥AB时，点P到直线l的距离是PA=4，
当PA不垂直AB时，点P到直线l的距离小于PA，故点P到直线l的距离可能是3．不可能是0.
故答案为：B.
【分析】根据垂线段最短的性质可得：点P到直线l的最大距离为4，据此判断.
10．【答案】B
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠4＝∠3，
∴∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠2＋∠4＝180°.
故答案为：B.
【分析】对图形进行角标注，由对顶角的性质可得∠4＝∠3，则∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠2＋∠4，然后结合平角的概念进行计算.
11．【答案】60°
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：∵AO⊥BO，
∴∠AOB＝90°，
∵∠COD＝180°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，
∵∠BOD＝2∠AOC，
∴3∠AOC＝90°，
∴∠AOC=30°，
∴∠BOD＝60°．
故答案为：60°．
【分析】根据垂直的定义得∠AOB＝90°，可利用互余得∠AOC＋∠BOD＝90°，把 ∠BOD＝2∠AOC 代入可计算出∠BOD．
12．【答案】56
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠BOD=∠AOC=28°， ∠AOC：∠COE=1：2
∴∠COE=2∠AOC=2×28°=56°.
故答案为：56
【分析】利用对顶角相等可求出∠AOC的度数，再根据 ∠AOC：∠COE=1：2 ，可得到∠COE=2∠AOC，代入计算求出∠COE的度数.
13．【答案】75
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，根据题意，得∠AOB=135°-60°=75°，
∵∠AOB=∠1，
∴∠1=75°，
故答案为：75.
【分析】对图形进行点标注，根据题意得∠AOB=135°-60°=75°，然后根据对顶角的性质进行解答.
14．【答案】64.8°
【知识点】角的运算；垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由题意可得∠BOD=
∵
∴∠EOD=90°
∴.
故答案为：64.8°．
【分析】由对顶角相等得∠BOD的度数，由垂直的定义得∠EOD的度数，由∠BOE=∠EOD-∠BOD即可求出结论.
15．【答案】35
【知识点】垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠BOM=90°，
∵ ，
∴∠BOD=90°-55°=35°，
∴∠AOC=∠BOD=35°，
故答案为：35．
【分析】先根据垂直的定义和角的和差求出∠BOD的度数，再根据对顶角相等的性质解答即可．
16．【答案】50°或130°
【知识点】余角、补角及其性质；垂线
【解析】【解答】解：如图1：
∵OE⊥CD，
∴∠DOE=90°，
∵ ，
∴∠DOB= °，
∴∠BOE=90°-40°=50°，
如图2：
∵OE⊥CD，
∴∠DOE =90°，
∵ ，
∴∠DOB= ，
∴∠BOE=90°+40°=130°，
故答案为：50°或130°．
【分析】先求出∠DOE =90°，再证明∠DOB= ，最后作图分类讨论，计算求解即可。
17．【答案】解：如图：
∵∠AOC=70°，
∴∠BOC=180°-70°=110°，
∵EO⊥CD，
∴∠BOE=∠BOC-∠COE=20°；
如图，
∵∠AOC=70°，
∴∠BOD=70°，
∵EO⊥CD，
∴∠BOE=∠BOD+∠DOE=160°；
综上：∠BOE的度数为20°或160°.
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【分析】根据邻补角的概念可得∠BOC=180°-70°=110°，然后根据∠BOE=∠BOC-∠COE进行计算；根据对顶角的性质可得∠AOC=∠BOD=70°，然后根据∠BOE=∠BOD+∠DOE进行计算.
18．【答案】解：∵∠BON＝25°，
∴∠AOM＝25°，
∵OA平分∠MOD，
∴∠AOD＝∠MOA＝25°，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC＝90°，
∴∠COD＝90°-25°＝65°.
答：∠COD的度数是65°.
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】根据对顶角的性质可得∠BON＝∠AOM＝25°，由角平分线的概念可得∠AOD＝∠MOA＝25°，然后根据∠COD＝∠AOC-∠AOD进行计算.
19．【答案】解：∵OC⊥AB，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
∵∠COD＝26°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝90°+26°＝116°；
∵∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝90°﹣26°＝64°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE＝ BOD＝ 64°＝32°，
∴∠COE＝∠COD+∠DOE＝26°+32°＝58°
【知识点】角的大小比较；垂线；角平分线的定义
【解析】【分析】根据垂直的定义得出∠AOC=∠BOC=90°，利用∠AOD＝∠AOC+∠COD， ∠BOD＝∠BOC-∠COD，得出∠AOD和∠BOD的度数，再根据角平分线的定义得出∠DOE=∠BOD=32°， 利用 ∠COE＝∠COD+∠DOE，得出∠COE的度数，即可求解.
20．【答案】解：因为∠COE是直角，∠COF=34°，
所以∠EOF=90°-34°=56°，
又因为OF平分∠AOE，
所以∠AOF=∠EOF=56°，
因为∠COF=34°，
所以∠AOC=56°-34°=22°，
因为∠AOC与∠BOD是对顶角，
所以∠BOD=∠AOC=22°.
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角的和差，由∠EOF=∠COE-∠COF算出∠EOF的度数，根据角平分线的定义得出∠AOF=∠EOF=56°，进而根据∠AOC=∠AOF-∠COF即可算出∠AOC的度数，最后根据对顶角相等得出答案.
21．【答案】（1）解：∵∠DOE=50°，
∴∠COE=180°-∠DOE=180°-50°=130°，
∵OA平分∠COE，
∴∠AOE=∠COE=×130°=65°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠BOF=180°-∠AOE-∠EOF=180°-65°-90°=25°
（2）解：∵∠DOE=α，
∴∠COE=180°-∠DOE=180°-α，
∵OA平分∠COE，
∴∠AOE=∠COE=（180°-α）=90°-α，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠BOF=β=180°-∠AOE-∠EOF=180°-（90°-α）-90°=α，
即α=2β．
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由平角定义可求得∠COE的度数，由角平分线定义得∠AOE=∠COE可求得∠AOE的度数，由垂直的定义可得∠EOF=90°，然后根据平角定义可求解；
（2）同理可求解.
22．【答案】解：（1）学校A到书店B的最短路线如AB所示，
（2）如图所示，连接，交l于点M，点M即为所求，
（3）如图所示，过点A作交l于点D，线段即为所要求作的小路，
方向为从A向垂直于l的方向.
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短；作图-垂线；作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）由于两点之间线段最短，故连接AB，线段AB就是学校A到书店B的最短路线；
（2）由于两点之间线段最短，故连接AC， 交l于点M，点M即为所求；
（3）由于垂线段最短，故过点A作AD⊥l于点D，线段AD即为所要求作的小路，方向为从A向垂直于l的方向.
23．【答案】（1）∠APB=∠1
（2）∠APB+∠1=180°
（3）相等或互补
（4）50°或130°
【知识点】垂线；作图-垂线
【解析】【解答】解：（1）如图，∠APB=∠1，
故答案为：∠APB=∠1；
（2）如图，∠APB+∠1=180°，
故答案为：∠APB+∠1=180°；
（3） 结合（1）和（2）的结论得：
如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补，
故答案为：相等或互补；
（4）结合（3）的结论得： ∠P=∠1=50°或 ∠P=180°-∠1=130°，
故答案为：50°或130°.
【分析】（1）根据题意画出图形，量出∠APB和∠1的度数，即可得出答案；
（2）根据题意画出图形，量出∠APB和∠1的度数，即可得出答案；
（3）根据（1）和（2）的结论得出，如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补，即可得出答案；
（4）根据（3）的结论得出∠P=∠1或 ∠P=180°-∠1，即可得出答案.
24．【答案】（1）解：理由：两点之间线段最短．
（2）解：如图，
（3）解：如图，
（4）B
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短；线段的中点
【解析】【解答】（4）由图可知M、N到B点距离均小于到A点距离，
故答案为：B．
【分析】（1）连接AN即得结论；
（2）选取BN的中点即为P；
（3）利用垂线段最短，过点N作AB的垂线，垂足即为点Q；
（4）由图可知M、N到B点距离均小于到A点距离，即得结论.
1 / 12023年浙教版数学七年级上册6.9直线的相交 同步测试（提升版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列生活实例中，应用到的数学原理解释错误的一项是（ ）
A．在两个村庄之间修一条最短的公路，原理是：两点之间线段最短
B．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．把一根木条固定到墙上需要两个钉子，原理是：两点确定一条直线
D．从一个货站向一条高速公路修一条最短的路，原理是：连结直线外一点与已知直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【答案】B
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【解答】解：A、在两个村庄之间修一条最短的公路，原理是：两点之间线段最短，故A不符合题意；
B、从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，原理是：连结直线外一点与已知直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故B符合题意；
C、把一根木条固定到墙上需要两个钉子，原理是：两点确定一条直线，故C不符合题意；
D、从一个货站向一条高速公路修一条最短的路，原理是：连结直线外一点与已知直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据两点之间线段最短可判断A选项；根据垂线段最短可判断B、D选项；根据两点确定一条直线可判断C选项.
2．下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放法正确的是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【答案】C
【知识点】作图-垂线
【解析】【解答】解：A、CD与AB不垂直，故A不符合题意；
B、CD没有经过点P，故B不符合题意；
C、CD经过点P，且CD⊥AB， 故C符合题意；
D、CD与AB不垂直，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法是：让直角三角尺的一条直角边与已知直线重合，移动三角尺，让另一条直角边经过已知点，然后沿这条直角边画直线，该直线就与已知直线垂直，逐项进行判断，即可得出答案.
3．如图，直线m，n，l相交，并且m⊥n，∠1=48°，则∠3的度数为（ ）
A．52° B．42° C．48° D．58°
【答案】B
【知识点】垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵直线m与n相交，
∴∠1=∠2=48°，
∵m⊥n，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠3=90°-48°=42°.
故答案为：B.
【分析】根据对顶角相等得出∠2=∠1=48°，再根据垂直的定义得出∠2+∠3=90°，即可求出∠3=42°.
4．（2023七上·拱墅期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．两点之间直线最短
B．如果∠α＝53°38'，那么∠α余角的度数为36.22°
C．如果一个角的余角和补角都存在，那么这个角的余角比这个角的补角小
D．相等的角是对顶角
【答案】C
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；余角、补角及其性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、两点之间线段最短，故A不符合题意；
B、∵90°-53°38'＝36°22'，∴∠α余角的度数为36.22°，故B不符合题意；
C、如果一个角的余角和补角都存在，那么这个角的余角比这个角的补角小，故C符合题意；
D、相等的角不是对顶角，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据“两点之间线段最短”可判断A；根据和为90°的两个角互为余角可判断B；和为90°的两个角互为余角，和为180°的两个角互为补角，故一个角的补角比其余角大90°，据此可判断C；对顶角是相等的，但相等的角不一定是对顶角，据此判断D.
5．（2023七上·慈溪期末）下列四个说法：①两点确定一条直线；②过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离，其中正确的说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；垂线段最短；点到直线的距离
【解析】【解答】解：①两点确定一条直线，故①正确；
②同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故②不正确；
③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故③正确
④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故④不正确，
故答案为：B.
【分析】根据直线的性质可判断①；根据垂线的性质可判断②③；根据点到直线的距离的概念可判断④.
6．（2021七上·普陀期末）如图所示， ，垂足分别为A、D，已知 ，则点A到线段 的距离是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4.8
【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，AD=4.8.
∴点A到线段BC的距离就是垂线段AD的长即4.8.
故答案为：D.
【分析】利用点到直线的距离就是这点到这条线段的垂线段的长度，由此可得答案.
7．（2022七上·衢江期末）将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中与不一定相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；角的大小比较；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A选项中， ，
，故不符合题意；
B选项中， ，则 与 不一定相等，故符合题意；
C选项中， 是对顶角，
，故不符合题意；
D选项如图，
，
，故不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据学具的性质可知，从而可得=45°，据此可判断A；根据平角的定义及学具的性质只能得出，故 与 不一定相等，据此判断B；根据对顶角相等即可判断C；根据同角的余角相等即可判断D.
8．（2022七上·贵港期末）如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠EOF＝90°.对于下列结论：①∠BOC＝2∠AOE；②OF平分∠BOD；③∠AOE是∠BOF的余角；④∠AOE是∠COE的补角.其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵直线AB与CD相交于点O，
∴∠AOD＝∠BOC，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD＝2∠AOE＝2∠DOE，
∴∠BOC＝2∠AOE，故①正确；
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOD＋∠DOF＝90°，∠AOE＋∠BOF＝90°，即∠AOE是∠BOF的余角，故③正确；
∴∠FOD＝∠BOF，
∴OF平分∠BOD，故②正确；
∵∠AOE＝∠DOE，∠DOE＋∠COE＝180°，
∴∠COE＋∠AOE＝180°，即∠AOE是∠COE的补角，故④正确.
故答案为：D.
【分析】根据对顶角的性质可得∠AOD=∠BOC，根据角平分线的概念可得∠AOD＝2∠AOE＝2∠DOE，据此判断①；根据平角的概念可得∠AOE＋∠BOF＝90°，据此判断③；易得∠FOD＝∠BOF，据此判断②；根据∠AOE＝∠DOE，∠DOE＋∠COE＝180°，可得∠COE＋∠AOE＝180°，据此判断④.
9．（2022七上·上城期末）如图，点P在直线l外，点A、B在直线l上，若PA=4，PB=7，则点P到直线l的距离可能是（ ）
A．0 B．3 C．5 D．7
【答案】B
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：当PA⊥AB时，点P到直线l的距离是PA=4，
当PA不垂直AB时，点P到直线l的距离小于PA，故点P到直线l的距离可能是3．不可能是0.
故答案为：B.
【分析】根据垂线段最短的性质可得：点P到直线l的最大距离为4，据此判断.
10．（2022七上·杭州期末）如图，三条直线相交于点O，则∠1＋∠2＋∠3的度数等于（ ）
A．210° B．180° C．150° D．120°
【答案】B
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠4＝∠3，
∴∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠2＋∠4＝180°.
故答案为：B.
【分析】对图形进行角标注，由对顶角的性质可得∠4＝∠3，则∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠2＋∠4，然后结合平角的概念进行计算.
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2023七上·安岳期末）如图，AO⊥BO，O为垂足，直线CD过点O，且∠BOD＝2∠AOC，则∠BOD＝ ．
【答案】60°
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：∵AO⊥BO，
∴∠AOB＝90°，
∵∠COD＝180°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，
∵∠BOD＝2∠AOC，
∴3∠AOC＝90°，
∴∠AOC=30°，
∴∠BOD＝60°．
故答案为：60°．
【分析】根据垂直的定义得∠AOB＝90°，可利用互余得∠AOC＋∠BOD＝90°，把 ∠BOD＝2∠AOC 代入可计算出∠BOD．
12．（2023七上·温州期末）如图，直线AB，CD交于点O，∠AOC：∠COE=1：2．若∠BOD=28°，则∠COE等于 度．
【答案】56
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠BOD=∠AOC=28°， ∠AOC：∠COE=1：2
∴∠COE=2∠AOC=2×28°=56°.
故答案为：56
【分析】利用对顶角相等可求出∠AOC的度数，再根据 ∠AOC：∠COE=1：2 ，可得到∠COE=2∠AOC，代入计算求出∠COE的度数.
13．（2021七上·南京期末）如图，直线 a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示60°的点在直线a上，表示135°的点在直线b上，则∠1＝ °.
【答案】75
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，根据题意，得∠AOB=135°-60°=75°，
∵∠AOB=∠1，
∴∠1=75°，
故答案为：75.
【分析】对图形进行点标注，根据题意得∠AOB=135°-60°=75°，然后根据对顶角的性质进行解答.
14．（2021七上·昆山期末）已知直线 与直线 相交于点 ， ，垂足为 ．若 ，则 的度数为 ．(单位用度表示)
【答案】64.8°
【知识点】角的运算；垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由题意可得∠BOD=
∵
∴∠EOD=90°
∴.
故答案为：64.8°．
【分析】由对顶角相等得∠BOD的度数，由垂直的定义得∠EOD的度数，由∠BOE=∠EOD-∠BOD即可求出结论.
15．（2021七上·丹徒期末）如图，直线AB与CD相交于点O， ，若 ，则 = °．
【答案】35
【知识点】垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠BOM=90°，
∵ ，
∴∠BOD=90°-55°=35°，
∴∠AOC=∠BOD=35°，
故答案为：35．
【分析】先根据垂直的定义和角的和差求出∠BOD的度数，再根据对顶角相等的性质解答即可．
16．（2020七上·香坊期末）在同一平面内，直线AB与直线CD相交于点O， ，射线 ，则 的度数为 ．
【答案】50°或130°
【知识点】余角、补角及其性质；垂线
【解析】【解答】解：如图1：
∵OE⊥CD，
∴∠DOE=90°，
∵ ，
∴∠DOB= °，
∴∠BOE=90°-40°=50°，
如图2：
∵OE⊥CD，
∴∠DOE =90°，
∵ ，
∴∠DOB= ，
∴∠BOE=90°+40°=130°，
故答案为：50°或130°．
【分析】先求出∠DOE =90°，再证明∠DOB= ，最后作图分类讨论，计算求解即可。
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2022七上·句容期末）如图，直线AB、CD相交于点O， ，过点O画 ，O为垂足，求 的度数.
【答案】解：如图：
∵∠AOC=70°，
∴∠BOC=180°-70°=110°，
∵EO⊥CD，
∴∠BOE=∠BOC-∠COE=20°；
如图，
∵∠AOC=70°，
∴∠BOD=70°，
∵EO⊥CD，
∴∠BOE=∠BOD+∠DOE=160°；
综上：∠BOE的度数为20°或160°.
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【分析】根据邻补角的概念可得∠BOC=180°-70°=110°，然后根据∠BOE=∠BOC-∠COE进行计算；根据对顶角的性质可得∠AOC=∠BOD=70°，然后根据∠BOE=∠BOD+∠DOE进行计算.
18．（2023七上·泗洪期末）如图，直线AB与直线MN相交，交点为O，OC⊥AB，OA平分∠MOD，若∠BON＝25°，求∠COD的度数.
【答案】解：∵∠BON＝25°，
∴∠AOM＝25°，
∵OA平分∠MOD，
∴∠AOD＝∠MOA＝25°，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC＝90°，
∴∠COD＝90°-25°＝65°.
答：∠COD的度数是65°.
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】根据对顶角的性质可得∠BON＝∠AOM＝25°，由角平分线的概念可得∠AOD＝∠MOA＝25°，然后根据∠COD＝∠AOC-∠AOD进行计算.
19．（2020七上·三明月考）如图，点O是直线AB上一点，OC⊥AB，∠COD＝26°，OE平分∠BOD，求∠AOD和∠COE的度数.
【答案】解：∵OC⊥AB，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
∵∠COD＝26°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝90°+26°＝116°；
∵∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝90°﹣26°＝64°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE＝ BOD＝ 64°＝32°，
∴∠COE＝∠COD+∠DOE＝26°+32°＝58°
【知识点】角的大小比较；垂线；角平分线的定义
【解析】【分析】根据垂直的定义得出∠AOC=∠BOC=90°，利用∠AOD＝∠AOC+∠COD， ∠BOD＝∠BOC-∠COD，得出∠AOD和∠BOD的度数，再根据角平分线的定义得出∠DOE=∠BOD=32°， 利用 ∠COE＝∠COD+∠DOE，得出∠COE的度数，即可求解.
20．（2020七上·东兰期末）如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝34°，求∠BOD的度数.
【答案】解：因为∠COE是直角，∠COF=34°，
所以∠EOF=90°-34°=56°，
又因为OF平分∠AOE，
所以∠AOF=∠EOF=56°，
因为∠COF=34°，
所以∠AOC=56°-34°=22°，
因为∠AOC与∠BOD是对顶角，
所以∠BOD=∠AOC=22°.
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角的和差，由∠EOF=∠COE-∠COF算出∠EOF的度数，根据角平分线的定义得出∠AOF=∠EOF=56°，进而根据∠AOC=∠AOF-∠COF即可算出∠AOC的度数，最后根据对顶角相等得出答案.
21．（2021七上·金东期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥OF，且OA平分∠COE．
（1）若∠DOE＝50°，求∠AOE，∠BOF的度数．
（2）设∠DOE=α，∠BOF=β，请探究α与β的数量关系（要求写出过程）．
【答案】（1）解：∵∠DOE=50°，
∴∠COE=180°-∠DOE=180°-50°=130°，
∵OA平分∠COE，
∴∠AOE=∠COE=×130°=65°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠BOF=180°-∠AOE-∠EOF=180°-65°-90°=25°
（2）解：∵∠DOE=α，
∴∠COE=180°-∠DOE=180°-α，
∵OA平分∠COE，
∴∠AOE=∠COE=（180°-α）=90°-α，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠BOF=β=180°-∠AOE-∠EOF=180°-（90°-α）-90°=α，
即α=2β．
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由平角定义可求得∠COE的度数，由角平分线定义得∠AOE=∠COE可求得∠AOE的度数，由垂直的定义可得∠EOF=90°，然后根据平角定义可求解；
（2）同理可求解.
22．（2023七上·青田期末）如图，已知直线l表示一段公路，点A表示学校，点B表示书店，点C表示图书馆.
（ 1 ）请画出学校A到书店B的最短路线.
（ 2 ）在公路l上找一个路口M，使得的值最小.
（ 3 ）现要从学校A向公路l修一条小路，怎样修路才能使小路的长最短？请画出小路的路线，并用所学知识描述小路的方向.
【答案】解：（1）学校A到书店B的最短路线如AB所示，
（2）如图所示，连接，交l于点M，点M即为所求，
（3）如图所示，过点A作交l于点D，线段即为所要求作的小路，
方向为从A向垂直于l的方向.
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短；作图-垂线；作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）由于两点之间线段最短，故连接AB，线段AB就是学校A到书店B的最短路线；
（2）由于两点之间线段最短，故连接AC， 交l于点M，点M即为所求；
（3）由于垂线段最短，故过点A作AD⊥l于点D，线段AD即为所要求作的小路，方向为从A向垂直于l的方向.
23．平面内有任意一点P和∠1，按要求解答下列问题：
（1）当点P在∠1外部时，如图1，过点P作PA⊥OM，PB_⊥ON，垂足分别为A，B，量一量∠APB和∠1的度数，用数学式子表达它们之间的数量关系．
（2）当点P在∠1内部时，如图2，以点P为顶点作∠APB，使∠APB的两边分别和∠1的两边垂直，垂足分别为A，B，量一量∠APB和∠1的度数，用数学式子表达∠APB和∠1的数量关系．
（3）由上述情形，用文字语言叙述结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角
（4）若∠1=50°，∠P的两边和∠1的两边垂直，则∠P的度数为
【答案】（1）∠APB=∠1
（2）∠APB+∠1=180°
（3）相等或互补
（4）50°或130°
【知识点】垂线；作图-垂线
【解析】【解答】解：（1）如图，∠APB=∠1，
故答案为：∠APB=∠1；
（2）如图，∠APB+∠1=180°，
故答案为：∠APB+∠1=180°；
（3） 结合（1）和（2）的结论得：
如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补，
故答案为：相等或互补；
（4）结合（3）的结论得： ∠P=∠1=50°或 ∠P=180°-∠1=130°，
故答案为：50°或130°.
【分析】（1）根据题意画出图形，量出∠APB和∠1的度数，即可得出答案；
（2）根据题意画出图形，量出∠APB和∠1的度数，即可得出答案；
（3）根据（1）和（2）的结论得出，如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补，即可得出答案；
（4）根据（3）的结论得出∠P=∠1或 ∠P=180°-∠1，即可得出答案.
24．（2022七上·昌平期末）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A，B和村庄M，N．完成以下作图．
（1）若在村庄N与道口A之间修一条最短的公路，在图中画出此公路，并说明这样画的理由；
（2）若在公路上选择一个地点P安装实时监控系统，要求点P到村庄N与道口B的距离相等，在图中标出点P的位置；
（3）当一节火车头行驶至铁路上的点Q时，距离村庄N最近．在图中确定点Q的位置（保留作图痕迹）；
（4）若在道口A或B处修建一座火车站，使得到两村的距离和较短，应该修在 处．
【答案】（1）解：理由：两点之间线段最短．
（2）解：如图，
（3）解：如图，
（4）B
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短；线段的中点
【解析】【解答】（4）由图可知M、N到B点距离均小于到A点距离，
故答案为：B．
【分析】（1）连接AN即得结论；
（2）选取BN的中点即为P；
（3）利用垂线段最短，过点N作AB的垂线，垂足即为点Q；
（4）由图可知M、N到B点距离均小于到A点距离，即得结论.
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