2023年浙教版数学七年级上册第六章 图形的初步知识 单元测试（B卷）

2023年浙教版数学七年级上册第六章 图形的初步知识 单元测试（B卷）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023七上·龙岗期中）用一个平面去截一个正方体，则截面的形状不可能为（　　）
A．等腰三角形 B．梯形 C．正七边形 D．五边形
2．（2022七上·乌鲁木齐期中）如果线段，，那么下面说法中正确的是（　　）
A．M点在线段上
B．M点在直线上
C．M点在直线外
D．M点可能在直线上，也可能在直线外
3．（2023七上·海曙期末）把弯曲的道路改直就能缩短路程，下列数学语言解释正确的是（　　）
A．垂线段最短 B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短 D．对顶角相等
4．（2023七上·洛川期末）已知A，B，C是同一直线上的三个点，且AB＝9cm，BC＝4cm，D是BC的中点，则AD的长是（　　）
A．13cm B．7cm C．11cm D．7cm或11cm
5．（2023七上·达川期末）如图，是直线，是直线上一点，、是两条射线，则图中小于平角的角有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．如图，如果∠CAE＞∠BAD，那么下列说法中一定正确的是（　　）
A．∠BAC＞∠CAD B．∠DAE＞∠CAD
C．∠CAE＜∠BAC+∠DAE D．∠BAC＜∠DAE
7．（2021七上·海曙期末）如图， 将三个三角板直角顶点重叠在一起， 公共的直角顶点为点 ， 若 ， ， 那么 的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2023七上·义乌期末）下列四个图中，能表示线段的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2023七上·鄞州期末）下列说法中，正确的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．若AB=BC，则点B是线段AC的中点
C．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线
D．一个锐角的补角大于等于该锐角的余角
10．（2021七上·嘉兴期末）已知 与 满足 ，下列式子表示的角：① ：② ；③ ；④ 中，其中是 的余角的是（　　）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022七上·宝安期中）钟表上的时针转动一周形成一个圆面，这说明了 　 　．
12．如图，小亮将一个衣架固定在墙上，他在衣架两端各用一个钉子进行固定，请你用数学知识解释他这样操作的原因是　 　
13．（2021七上·东台期末）下列生产和生活现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能缩短路程；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④从 地到 地架设电线，总是尽可能沿着线段 架设.其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有　 　.（填序号）
14．（2023七上·海曙期末）已知线段AB=12，C是线段AB上一点，且BC=2，点D在射线AB上，若DA=4DC，则BD的长为　 　.
15．（2021七上·义乌期末）如图，将量角器的中心与的顶点重合，读出射线OA，OB分别经过刻度18和140，把绕点O顺时针方向旋转到，读出的平分线OC经过刻度32，则的平分线经过的刻度是　 　．
16．（2021七上·东阳期末）如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．若，则∠ACB的度数为　 　．
三、解答题（共9题，共66分）
17．（2021七上·越秀期末）如图，在平面内有三点．
（1）画直线；画射线；画线段；
（2）在线段上任取一点（不同于），连接，并延长至点，使；
（3）数一数，此时图中共有多少条线段？多少条射线？
18．（2023七上·大竹期末）如图，点P是线段AB上任一点，AB＝12cm，C，D两点分别从点P，B同时向点A运动，且点C的运动速度为2cm/s，点D的运动速度为3cm/s，运动的时间为t s．
（1）若AP＝8cm，
①运动1s后，求CD的长；②当点D在线段PB上运动时，试说明AC=2CD；
（2）如果t＝2s时，CD＝1cm，试探索AP的值．
19．（2023七上·拱墅期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB.
（1）若∠1＝∠2，证明：ON⊥CD；
（2）若∠1＝∠BOC，求∠BOD的度数.
20．如图是小明用七巧板拼出的图案．
（1）请赋予该图形一个积极的含义；
（2）请你找出图中二组平行线段和二对互相垂直的线段，用符号表示他们；
（3）找出图中一个锐角，一个钝角，一个直角，将它们表示出来，并指出它们的度数．
21．（2021七上·金东期末）定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中一个角度数为另个角度数的两倍，我们把这条线叫做这个已知角的三等分线．
（1）如图，已知∠AOB＝120°，若OC是∠AOB三等分线，求∠AOC的度数．
（2）点O在线段AB上（不含端点A，B），在直线AB同侧作射线OC，OD．设∠AOC＝3t，∠BOD＝5t．
①当OC是∠AOD的三等分线时，求t的值．
②当OC是∠BOD的三等分线时，求∠BOD的度数．
22．（2023七上·嘉兴期末）定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成1：2两部分，这条射线叫做这个角的内倍分线．
（1）如图1，OM是∠AOB的一条内倍分线，满足∠BOM=2∠AOM，若∠AOB =45°，求∠AOM的度数．
（2）已知∠AOB=60°，把一块含有60角的三角板COD按如图2叠放．将三角板COD绕顶点O以2度/秒的速度按顺时针方向旋转秒(0①t为何值时，射线OC是∠AOD的内倍分线；
②在三角板COD转动的同时，射线OB以每秒n(023．（2021七上·嘉兴期末）将直角三角板OMN的直角顶点О放在直线AB上，射线OC平分∠AON.
（1）如图，若∠BON=60°，求∠COM的度数；
（2）将直角三角板OMN绕顶点О按逆时针方向旋转，在旋转过程中：
①当∠BON=140°时，求∠COM的度数：
②直接写出∠BON和∠COM之间的数量关系.
24．（2021七上·鄞州期末）如图，直线 ， 相交于点 ， 平分 .
（1）【基础尝试】
如图1，若 ，求 的度数；
（2）【画图探究】
作射线 ，设 ，请你利用图2画出图形，探究 与 之间的关系，结果用含 的代数式表示 .
（3）【拓展运用】
在第（2）题中， 可能和 互补吗？请你作出判断并说明理由.
25．（2023七上·兰溪期末）问题提出：
如图1，A、B、C、D表示四个村庄， 村民们准备合打一口水井.
（1）问题解决：
若水井的位置现有P、Q两种选择方案.点P在线段上，点Q在线段上，哪一种方案的水井到各村庄的距离总和较小？请说明你判断的理由.
（2）你能给出一种使水井到各村庄的距离之和最小的方案吗？若能，请图2中标出水井的位置点M，并说明理由.
（3）问题拓展：
如果（2）问中找出的水井经过招标，由两个工程队修建（不存在同时修建）. 已知甲工程队单独完成需要80天，乙工程队单独完成需要120天，且甲工程队比乙工程队每天多修建.
问水井要修建几米？
（4）若甲工程队每天的施工费为0.5万元，乙工程队每天的费用是0.25万元，为了缩短工期和节约资金，则甲工程队最多施工几天才能使工程款不超过35万元？（甲、乙两队的施工时间不足一天按一天算）.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解： 用一个平面去截一个正方体，截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形，
∴不可能是七边形，
故答案为：C.
【分析】用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，因此截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，据此逐一判断即可.
2．【答案】D
【知识点】两点间的距离；线段的计算
【解析】【解答】解：∵，MA+MB=13cm，
∴M点可能在直线上，也可能在直线外，
故答案为：D.
【分析】由，若M点在线段上 ，则MA+MB=10cm，由MA+MB=13cm可知M点不在线段上 ，即可判断.
3．【答案】C
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短
【解析】【解答】解：把弯曲的道路改直就能缩短路程，运用的是两点之间线段最短.
故答案为：C.
【分析】根据两点之间、线段最短的性质进行解答.
4．【答案】D
【知识点】线段的中点；线段的计算
【解析】【解答】解：当点C在线段AB之间时，
∵AB=9，BC=4，D是BC的中点，
∴DB=BC=2，
∴AD=AB-BD=9-2=7.
当C在AB的延长线上时，
∵AB=9，BC=4，D是BC的中点，
∴BD=BC=2，
∴AD=AB+BD=9+2，=11．
故答案为：D.
【分析】当点C在线段AB之间时，根据中点的概念可得DB=BC=2，然后根据AD=AB-BD进行计算；当C在AB的延长线上时，根据中点的概念可得DB=BC=2，然后根据AD=AB+BD进行计算.
5．【答案】C
【知识点】角的概念
【解析】【解答】解：图中小于平角的角有∠AOC，∠AOD，∠COD，∠COB，∠BOD，一共5个.
故答案为：C
【分析】利用角的定义，写出以点O为角的顶点，分别以OA，OC，OD为边的锐角，由此可得到图中小于平角的角.
6．【答案】D
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：∵∠CAE＞∠BAD，
∴∠CAD+∠DAE＞∠BAC+∠CAD，
∴∠DAE＞∠BAC，
即∠BAC＜∠DAE．
故选D．
【分析】先由∠CAE＞∠BAD，根据角的和差可得∠CAD+∠DAE＞∠BAC+∠CAD，再利用不等式的性质得出∠DAE＞∠BAC，即∠BAC＜∠DAE．
7．【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵
∴
同理，
∴
故答案为：B.
【分析】利用，得到的度数，同理可以得到的度数，由角度的重叠，得出结果。
8．【答案】C
【知识点】线段的长短比较
【解析】【解答】解：，
，
，
A中：，故此选项不符合题意；
B中：，故此选项不符合题意；
C中：，故此选项符合题意；
D中：，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】将已知等式去分母、移项整理成2x+b=a+c，进而结合图形，根据线段的和差判断得出答案.
9．【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；线段的中点；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故原说法错误，不符合题意；
B、当点B在线段AC上，且AB=BC时，点B才是线段AC的中点，故原说法错误，不符合题意；
C、在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，说法正确，故此选项符合题意；
D、一个锐角的补角一定大于该锐角的余角，故原说法错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据对顶角的性质可判断A选项；根据线段中点的定义可判断B选项；根据垂线的性质可判断C选项；根据和为90°的两个角互为余角，和为180°的两个角互为补角可判断D选项.
10．【答案】B
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：① 的余角的是 ，正确；
②∵ 的度数无法确定，∴ 的度数无法确定，错误；
③∵ ，∴= ，∴ 正确；
④ ，错误；
综上，正确的是 ①③ .
故答案为：B.
【分析】由 ，得出= ，但无法确定 与 的度数，然后根据余角的性质分别判断即可.
11．【答案】线动成面
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：钟表上的时针转动一周形成一个圆面，说明线动成面．
故答案为：线动成面．
【分析】根据线动成面的特征求解即可。
12．【答案】两点确定一条直线
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线
【解析】【解答】解：∵小亮将一个衣架固定在墙上，他在衣架两端各用一个钉子进行固定，
∴他这样操作的原因是：两点确定一条直线，
故答案为：两点确定一条直线.
【分析】根据直线的性质：两点确定一条直线，及可求解.
13．【答案】②④
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短
【解析】【解答】①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，可用两点可确定一条直线解释；
②把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可用两点之间，线段最短解释；
③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，可用两点可确定一条直线解释；
④从 地到 地架设电线，总是尽可能沿着线段 架设，可用两点之间，线段最短解释；
故答案为：②④.
【分析】根据直线公理可判断①③的正误；根据线段公理可判断②④的正误.
14．【答案】
【知识点】线段的计算
【解析】【解答】解：设CD的长为，
①当点D在C左侧，如图所示
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，解得x=2，
此时
②当点D在C右侧，如图所示
同理可得
∴，，
∴，解得x=，
此时
综上所述：BD的长为2或.
故答案为：2或.
【分析】由线段的和差关系可得AC=AB-BC=10，根据草图易分类，根据DA=4DC设DC=x，进而代数式表达相关线段，列方程可求出x的值得出BD的长.
15．【答案】93
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：射线OA，OB分别经过刻度18和140，
的平分线OC经过刻度32
旋转
∴的平分线经过的刻度为：18+=93.
故答案为：93.
【分析】 先根据射线OA，OB经过的刻度可得∠AOB＝122°，再根据OC经过的刻度得∠AOC＝14°，根据角的和差可得∠AOB′＝150°．
16．【答案】145°
【知识点】余角、补角及其性质；角的大小比较
【解析】【解答】解：∵∠BCE=90°，
∴∠BCD=90°－35°=55°，
∴=∠ACD+∠BCD=90°+55°=145°.
故答案为：145°.
【分析】由余角的性质可求得∠BCD的度数，然后由角的构成∠ACB=∠ACD+∠BCD可求解.
17．【答案】（1）解：如图，直线AB，线段BC，射线AC即为所求；
（2）解：如图，线段AD和线段DE即为所求；
（3）解：由题可得，图中线段为AB，AC，AD，AE，DE，BD，CD，BC，
∴线段共8条
图中以A为端点的射线有3条，以B为端点的射线有2条，以C为端点的射线有1条
∴射线共6条．
【知识点】直线、射线、线段；作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据 作图即可；
（3）一一列举，可以按照字母排列顺序一一数，避免数线段不重复、不遗漏 ，进而数以各字母为顶点一一数射线即得答案。
18．【答案】（1）解：①由题意可知：
∵AP=8cm，AB=12cm，
∴PB=AB-AP=4cm，
∴CD=CP+PB-DB=2+4-3=3 (cm)
②∵AP=8cm，AB=12cm，
∴BP=4cm，AC= ( 8-2t ) cm，
∴DP= ( 4-3t ) cm，
∴CD=DP+CP=2t+4-3t= ( 4-t ) cm，
∴AC=2CD；
（2）解：(2)当t=2s时，
CP=2×2=4 ( cm ) ，DB=3×2=6 ( cm ) ，
当点D在C的右边时，如图所示：
由于CD=1cm，
∴CB=CD+DB=7cm，
∴AC=AB-CB=5cm，
∴AP=AC十CP=9 ( cm ) ，
当点D在C的左边时，如图所示：
∴AD=AB-DB=6cm，
∴AP=AD+CD＋CP=11 ( cm ) ，
综上所述，AP=9cm或11cm.
【知识点】线段的中点；线段的计算
【解析】【分析】（1）①由题意可知CP=2cm，DB=3cm，则PB=AB-AP=4cm，然后根据CD=CP+PB-DB进行计算；
②由线段的和差关系可得BP=AB-AP=4cm，AC=AP-PC=(8-2t)cm，则DP=(4-3t)cm，然后根据CD=DP+CP进行计算；
（2）当t=2s时，CP=2×2=4cm ，DB=3×2=6cm，当点D在C的右边时，CB=CD+DB=7cm，AC=AB-CB=5cm，然后根据AP=AC十CP进行计算；当点D在C的左边时，AD=AB-DB=6cm，然后根据AP=AD+CD＋CP进行计算.
19．【答案】（1）证明：∵OM⊥AB，
∴∠AOM＝∠BOM＝90°，
∴∠1+∠AOC＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠AOC＝90°，
即∠CON＝90°，
∴ON⊥CD；
（2）解：∵∠1＝ ∠BOC，
∴∠BOM＝2∠1＝90°，
解得：∠1＝45°，
∴∠BOD＝90°-45°＝45°
【知识点】角的大小比较；垂线
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得∠AOM＝∠BOM＝90°， 根据角的和差及等量代换可得∠2+∠AOC＝90°， 即∠CON＝90°， 根据垂直的定义即可得出结论；
（2）根据垂直的定义及角的和差可得∠BOM＝2∠1＝90°，求解可得∠1的度数，进而根据平角的定义即可算出∠BOD的度数.
20．【答案】（1）解：别墅
（2）解：PK∥AQ∥CD，MN∥PG∥EF∥QT∥AB，
PG⊥NT，DB⊥BC
（3）解：锐角：∠KPG=45°，
直角：∠PQT=90°，
钝角：∠AQT=135°
【知识点】七巧板
【解析】【分析】解答此题要熟悉七巧板的结构：五个等腰直角三角形（有两对全等三角形）；一个正方形；一个平行四边形，根据这些图形的性质便可解答．
21．【答案】（1）解：OC是∠AOB的三等分线，
当∠AOC=∠AOB时，如图：
∵∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠AOB=80°；
当∠AOC=∠AOB时，如图：
∵∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠AOB=40°；
综上，∠AOC的度数为40°或80°；
（2）解：①∵OC是∠AOD的三等分线，
∴OC在∠AOD内，
依题意得：(180°-5t)3=3t或(180°-5t)3×2=3t，
解得：t=或；
②∵OC是∠BOD的三等分线，
∴OC在∠BOD内，
∵∠BOD+∠AOC=180°-∠COD，∠AOC=3t，∠BOD=5t，
∴∠COD=8t-180°，
依题意得：(8t-180°) ×3=5t或(8t-180°)×=5t，
解得：t=或；
∴∠BOD=度或度（舍去）．
【知识点】角的运算；定义新运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由题意分两种情况：①当∠AOC=∠AOB时，把∠AOB的度数代入计算即可求解；
②当∠AOC=∠AOB时，把∠AOB的度数代入计算即可求解；
（2）①由题意根据OC是∠AOD的三等分线可得关于t的方程，解方程可求解；
② 由题意根据 OC是∠BOD的三等分线可求解.
22．【答案】（1）解：∵∠BOM= 2∠AOM，∠AOM+∠BOM=∠AOB=45°，
∴∠AOM+2∠AOM=45°，
∴∠AOM= ∠AOB=15°
（2）解：①如图1，当∠AOC= ∠COD时
即2t= ×60，
∴t=15
如图2，当∠AOC=2∠COD时
即2t=2×60，∴t=60 ．
答： t =15s或t=60s；
②∵∠AOC=（2t）°，∠BOB'=nt°，∠AOB'=∠AOB-∠BOB'=60°-nt°，
∠AOC=60°+2t，
由题意可知，∠AOB’<60°，∠AOD>60°，为满足点OB'同时在∠AOC和∠AOD内，且OB'恰好同时是∠AOD，∠AOC的内倍分线
∴需满足，
即，
或，即，解得t=30，代入解得n=.
【知识点】角的运算；定义新运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据已知及角的和差可得∠AOM+2∠AOM=45°，求解即可；
（2）①分类讨论：如图1，当∠AOC= ∠COD时如图2，如图2，当∠AOC=2∠COD时，分别根据角的和差建立方程，求解即可；
②用含n和t的式子表示旋转后的角，即∠AOC=（2t）°，∠BOB'=nt°，∠AOB'=60°-nt°，∠AOC=60°+2t，进而根据定义分析内倍分线对应角的比例，列出方程求解即可.
23．【答案】（1）解： 平分
（2）解：①当 ON在直线A B上方时，
平分
当ON在直线AB下方时，
平分
② 或
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】（2） ②Ⅰ.当 ON在直线A B上方时，设 ，
平分 ，
即 ；
Ⅱ.当ON在直线AB下方时， 设，
平分
=180°-，
∴ .
故答案为： 或
【分析】（1）由邻补角的定义得出∠AON的度数，再由角平分线的定义求出∠CON的度数，最后根据角的和差关系计算，可得结果；
(2) ① 分两种情况讨论，即 当 ON在直线A B上方时，当ON在直线AB下方时，根据邻补角的定义、角平分线的定义和角的和差关系分解解答即可；
② 分两种情况讨论，即当 ON在直线A B上方时，当ON在直线AB下方时，根据邻补角的定义、角平分线的定义和角的和差关系分解解答即可.
24．【答案】（1）解： ， ，
，
平分 ，
，
，
（2）解： 或 .
当 在 内部时，如图，
， ，
，
平分 ，
，
，
，
，
即 ；
当 在 内部时，如图，
， ，
，
平分 ，
，
，
，
，
即 .
综上所述： 或
（3）解： 可能和 互补.
当 ，且 与 重合时， ，
平分 ，
，
即 ，
，
，
即 和 互补.
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）感觉邻补角的性质可得∠BOC=180°-∠AOC=140°，根据角平分线的概念可得∠COE=70°，然后根据∠DOE+∠COE进行计算；
（2）当OF在∠BOC内部时，根据邻补角的性质可得∠BOC=(180-x)°，根据角平分线的概念可得∠COE=(90-x)°，则∠EOF=90°-∠COE=x°，据此可得∠EOF与∠AOC的关系；当OF在∠AOD内部时，同理可得∠BOC=(180-x)°，∠COE=(90-x)°，∠EOF=90°+∠COE=(180+x)°，据此可得∠EOF与∠AOC的关系；
（3）当AB⊥CD，且OF与OB重合时，∠BOC=∠BOD=90°，根据角平分线的概念可得∠BOE=45°，即∠EOF=45°，责任∠DOE=∠BOD+∠BOE=135°，据此判断.
25．【答案】（1）解：选P，理由如下：
如图：P到A、B、C、D的距离之和为：
Q到A、B、C、D的距离之和为：
经测量
所以点P到各村庄的距离总和较小，故答案为：P.
（2）解：如图：连接，当打井的位置选在和的交点时，水井到各村庄的距离之和最小，根据“两点之间线段最短” .
（3）解：设乙工程队每天修建x米，则甲工程队每天修建米
可列方程：，解得.
所以水井要修建120米 .
（4）解：设甲工程队最多施工m天才能使工程款不超过35万元
可列方程：，解得
所以，甲工程队最多施工40天才能使工程款不超过35万元.
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；一元一次方程的实际应用-工程问题；线段的长短比较；线段的计算
【解析】【分析】（1）P到A、B、C、D的距离之和为BD+PA+PC，Q到A、B、C、D的距离之和为AB+QD+QC，经测量BD+PA+PC（2）连接AC，当打井的位置选在AC和BD的交点时，水井到各村庄的距离之和最小；
（3）设乙工程队每天修建x米，则甲工程队每天修建(x+0.5)米，根据甲工程队单独修建80天的米数=乙工程队单独修建120天的米数建立方程，求解即可；
（4）设甲工程队最多施工m天才能使工程款不超过35万元，根据甲工程队m天的施工费+乙工程队(120-1.5m)天的施工费=总费用建立方程，求解即可.
1 / 12023年浙教版数学七年级上册第六章 图形的初步知识 单元测试（B卷）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023七上·龙岗期中）用一个平面去截一个正方体，则截面的形状不可能为（　　）
A．等腰三角形 B．梯形 C．正七边形 D．五边形
【答案】C
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解： 用一个平面去截一个正方体，截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形，
∴不可能是七边形，
故答案为：C.
【分析】用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，因此截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，据此逐一判断即可.
2．（2022七上·乌鲁木齐期中）如果线段，，那么下面说法中正确的是（　　）
A．M点在线段上
B．M点在直线上
C．M点在直线外
D．M点可能在直线上，也可能在直线外
【答案】D
【知识点】两点间的距离；线段的计算
【解析】【解答】解：∵，MA+MB=13cm，
∴M点可能在直线上，也可能在直线外，
故答案为：D.
【分析】由，若M点在线段上 ，则MA+MB=10cm，由MA+MB=13cm可知M点不在线段上 ，即可判断.
3．（2023七上·海曙期末）把弯曲的道路改直就能缩短路程，下列数学语言解释正确的是（　　）
A．垂线段最短 B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短 D．对顶角相等
【答案】C
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短
【解析】【解答】解：把弯曲的道路改直就能缩短路程，运用的是两点之间线段最短.
故答案为：C.
【分析】根据两点之间、线段最短的性质进行解答.
4．（2023七上·洛川期末）已知A，B，C是同一直线上的三个点，且AB＝9cm，BC＝4cm，D是BC的中点，则AD的长是（　　）
A．13cm B．7cm C．11cm D．7cm或11cm
【答案】D
【知识点】线段的中点；线段的计算
【解析】【解答】解：当点C在线段AB之间时，
∵AB=9，BC=4，D是BC的中点，
∴DB=BC=2，
∴AD=AB-BD=9-2=7.
当C在AB的延长线上时，
∵AB=9，BC=4，D是BC的中点，
∴BD=BC=2，
∴AD=AB+BD=9+2，=11．
故答案为：D.
【分析】当点C在线段AB之间时，根据中点的概念可得DB=BC=2，然后根据AD=AB-BD进行计算；当C在AB的延长线上时，根据中点的概念可得DB=BC=2，然后根据AD=AB+BD进行计算.
5．（2023七上·达川期末）如图，是直线，是直线上一点，、是两条射线，则图中小于平角的角有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【知识点】角的概念
【解析】【解答】解：图中小于平角的角有∠AOC，∠AOD，∠COD，∠COB，∠BOD，一共5个.
故答案为：C
【分析】利用角的定义，写出以点O为角的顶点，分别以OA，OC，OD为边的锐角，由此可得到图中小于平角的角.
6．如图，如果∠CAE＞∠BAD，那么下列说法中一定正确的是（　　）
A．∠BAC＞∠CAD B．∠DAE＞∠CAD
C．∠CAE＜∠BAC+∠DAE D．∠BAC＜∠DAE
【答案】D
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：∵∠CAE＞∠BAD，
∴∠CAD+∠DAE＞∠BAC+∠CAD，
∴∠DAE＞∠BAC，
即∠BAC＜∠DAE．
故选D．
【分析】先由∠CAE＞∠BAD，根据角的和差可得∠CAD+∠DAE＞∠BAC+∠CAD，再利用不等式的性质得出∠DAE＞∠BAC，即∠BAC＜∠DAE．
7．（2021七上·海曙期末）如图， 将三个三角板直角顶点重叠在一起， 公共的直角顶点为点 ， 若 ， ， 那么 的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵
∴
同理，
∴
故答案为：B.
【分析】利用，得到的度数，同理可以得到的度数，由角度的重叠，得出结果。
8．（2023七上·义乌期末）下列四个图中，能表示线段的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】线段的长短比较
【解析】【解答】解：，
，
，
A中：，故此选项不符合题意；
B中：，故此选项不符合题意；
C中：，故此选项符合题意；
D中：，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】将已知等式去分母、移项整理成2x+b=a+c，进而结合图形，根据线段的和差判断得出答案.
9．（2023七上·鄞州期末）下列说法中，正确的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．若AB=BC，则点B是线段AC的中点
C．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线
D．一个锐角的补角大于等于该锐角的余角
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；线段的中点；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故原说法错误，不符合题意；
B、当点B在线段AC上，且AB=BC时，点B才是线段AC的中点，故原说法错误，不符合题意；
C、在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，说法正确，故此选项符合题意；
D、一个锐角的补角一定大于该锐角的余角，故原说法错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据对顶角的性质可判断A选项；根据线段中点的定义可判断B选项；根据垂线的性质可判断C选项；根据和为90°的两个角互为余角，和为180°的两个角互为补角可判断D选项.
10．（2021七上·嘉兴期末）已知 与 满足 ，下列式子表示的角：① ：② ；③ ；④ 中，其中是 的余角的是（　　）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】B
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：① 的余角的是 ，正确；
②∵ 的度数无法确定，∴ 的度数无法确定，错误；
③∵ ，∴= ，∴ 正确；
④ ，错误；
综上，正确的是 ①③ .
故答案为：B.
【分析】由 ，得出= ，但无法确定 与 的度数，然后根据余角的性质分别判断即可.
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022七上·宝安期中）钟表上的时针转动一周形成一个圆面，这说明了 　 　．
【答案】线动成面
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：钟表上的时针转动一周形成一个圆面，说明线动成面．
故答案为：线动成面．
【分析】根据线动成面的特征求解即可。
12．如图，小亮将一个衣架固定在墙上，他在衣架两端各用一个钉子进行固定，请你用数学知识解释他这样操作的原因是　 　
【答案】两点确定一条直线
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线
【解析】【解答】解：∵小亮将一个衣架固定在墙上，他在衣架两端各用一个钉子进行固定，
∴他这样操作的原因是：两点确定一条直线，
故答案为：两点确定一条直线.
【分析】根据直线的性质：两点确定一条直线，及可求解.
13．（2021七上·东台期末）下列生产和生活现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能缩短路程；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④从 地到 地架设电线，总是尽可能沿着线段 架设.其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有　 　.（填序号）
【答案】②④
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短
【解析】【解答】①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，可用两点可确定一条直线解释；
②把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可用两点之间，线段最短解释；
③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，可用两点可确定一条直线解释；
④从 地到 地架设电线，总是尽可能沿着线段 架设，可用两点之间，线段最短解释；
故答案为：②④.
【分析】根据直线公理可判断①③的正误；根据线段公理可判断②④的正误.
14．（2023七上·海曙期末）已知线段AB=12，C是线段AB上一点，且BC=2，点D在射线AB上，若DA=4DC，则BD的长为　 　.
【答案】
【知识点】线段的计算
【解析】【解答】解：设CD的长为，
①当点D在C左侧，如图所示
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，解得x=2，
此时
②当点D在C右侧，如图所示
同理可得
∴，，
∴，解得x=，
此时
综上所述：BD的长为2或.
故答案为：2或.
【分析】由线段的和差关系可得AC=AB-BC=10，根据草图易分类，根据DA=4DC设DC=x，进而代数式表达相关线段，列方程可求出x的值得出BD的长.
15．（2021七上·义乌期末）如图，将量角器的中心与的顶点重合，读出射线OA，OB分别经过刻度18和140，把绕点O顺时针方向旋转到，读出的平分线OC经过刻度32，则的平分线经过的刻度是　 　．
【答案】93
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：射线OA，OB分别经过刻度18和140，
的平分线OC经过刻度32
旋转
∴的平分线经过的刻度为：18+=93.
故答案为：93.
【分析】 先根据射线OA，OB经过的刻度可得∠AOB＝122°，再根据OC经过的刻度得∠AOC＝14°，根据角的和差可得∠AOB′＝150°．
16．（2021七上·东阳期末）如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．若，则∠ACB的度数为　 　．
【答案】145°
【知识点】余角、补角及其性质；角的大小比较
【解析】【解答】解：∵∠BCE=90°，
∴∠BCD=90°－35°=55°，
∴=∠ACD+∠BCD=90°+55°=145°.
故答案为：145°.
【分析】由余角的性质可求得∠BCD的度数，然后由角的构成∠ACB=∠ACD+∠BCD可求解.
三、解答题（共9题，共66分）
17．（2021七上·越秀期末）如图，在平面内有三点．
（1）画直线；画射线；画线段；
（2）在线段上任取一点（不同于），连接，并延长至点，使；
（3）数一数，此时图中共有多少条线段？多少条射线？
【答案】（1）解：如图，直线AB，线段BC，射线AC即为所求；
（2）解：如图，线段AD和线段DE即为所求；
（3）解：由题可得，图中线段为AB，AC，AD，AE，DE，BD，CD，BC，
∴线段共8条
图中以A为端点的射线有3条，以B为端点的射线有2条，以C为端点的射线有1条
∴射线共6条．
【知识点】直线、射线、线段；作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据 作图即可；
（3）一一列举，可以按照字母排列顺序一一数，避免数线段不重复、不遗漏 ，进而数以各字母为顶点一一数射线即得答案。
18．（2023七上·大竹期末）如图，点P是线段AB上任一点，AB＝12cm，C，D两点分别从点P，B同时向点A运动，且点C的运动速度为2cm/s，点D的运动速度为3cm/s，运动的时间为t s．
（1）若AP＝8cm，
①运动1s后，求CD的长；②当点D在线段PB上运动时，试说明AC=2CD；
（2）如果t＝2s时，CD＝1cm，试探索AP的值．
【答案】（1）解：①由题意可知：
∵AP=8cm，AB=12cm，
∴PB=AB-AP=4cm，
∴CD=CP+PB-DB=2+4-3=3 (cm)
②∵AP=8cm，AB=12cm，
∴BP=4cm，AC= ( 8-2t ) cm，
∴DP= ( 4-3t ) cm，
∴CD=DP+CP=2t+4-3t= ( 4-t ) cm，
∴AC=2CD；
（2）解：(2)当t=2s时，
CP=2×2=4 ( cm ) ，DB=3×2=6 ( cm ) ，
当点D在C的右边时，如图所示：
由于CD=1cm，
∴CB=CD+DB=7cm，
∴AC=AB-CB=5cm，
∴AP=AC十CP=9 ( cm ) ，
当点D在C的左边时，如图所示：
∴AD=AB-DB=6cm，
∴AP=AD+CD＋CP=11 ( cm ) ，
综上所述，AP=9cm或11cm.
【知识点】线段的中点；线段的计算
【解析】【分析】（1）①由题意可知CP=2cm，DB=3cm，则PB=AB-AP=4cm，然后根据CD=CP+PB-DB进行计算；
②由线段的和差关系可得BP=AB-AP=4cm，AC=AP-PC=(8-2t)cm，则DP=(4-3t)cm，然后根据CD=DP+CP进行计算；
（2）当t=2s时，CP=2×2=4cm ，DB=3×2=6cm，当点D在C的右边时，CB=CD+DB=7cm，AC=AB-CB=5cm，然后根据AP=AC十CP进行计算；当点D在C的左边时，AD=AB-DB=6cm，然后根据AP=AD+CD＋CP进行计算.
19．（2023七上·拱墅期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB.
（1）若∠1＝∠2，证明：ON⊥CD；
（2）若∠1＝∠BOC，求∠BOD的度数.
【答案】（1）证明：∵OM⊥AB，
∴∠AOM＝∠BOM＝90°，
∴∠1+∠AOC＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠AOC＝90°，
即∠CON＝90°，
∴ON⊥CD；
（2）解：∵∠1＝ ∠BOC，
∴∠BOM＝2∠1＝90°，
解得：∠1＝45°，
∴∠BOD＝90°-45°＝45°
【知识点】角的大小比较；垂线
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得∠AOM＝∠BOM＝90°， 根据角的和差及等量代换可得∠2+∠AOC＝90°， 即∠CON＝90°， 根据垂直的定义即可得出结论；
（2）根据垂直的定义及角的和差可得∠BOM＝2∠1＝90°，求解可得∠1的度数，进而根据平角的定义即可算出∠BOD的度数.
20．如图是小明用七巧板拼出的图案．
（1）请赋予该图形一个积极的含义；
（2）请你找出图中二组平行线段和二对互相垂直的线段，用符号表示他们；
（3）找出图中一个锐角，一个钝角，一个直角，将它们表示出来，并指出它们的度数．
【答案】（1）解：别墅
（2）解：PK∥AQ∥CD，MN∥PG∥EF∥QT∥AB，
PG⊥NT，DB⊥BC
（3）解：锐角：∠KPG=45°，
直角：∠PQT=90°，
钝角：∠AQT=135°
【知识点】七巧板
【解析】【分析】解答此题要熟悉七巧板的结构：五个等腰直角三角形（有两对全等三角形）；一个正方形；一个平行四边形，根据这些图形的性质便可解答．
21．（2021七上·金东期末）定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中一个角度数为另个角度数的两倍，我们把这条线叫做这个已知角的三等分线．
（1）如图，已知∠AOB＝120°，若OC是∠AOB三等分线，求∠AOC的度数．
（2）点O在线段AB上（不含端点A，B），在直线AB同侧作射线OC，OD．设∠AOC＝3t，∠BOD＝5t．
①当OC是∠AOD的三等分线时，求t的值．
②当OC是∠BOD的三等分线时，求∠BOD的度数．
【答案】（1）解：OC是∠AOB的三等分线，
当∠AOC=∠AOB时，如图：
∵∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠AOB=80°；
当∠AOC=∠AOB时，如图：
∵∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠AOB=40°；
综上，∠AOC的度数为40°或80°；
（2）解：①∵OC是∠AOD的三等分线，
∴OC在∠AOD内，
依题意得：(180°-5t)3=3t或(180°-5t)3×2=3t，
解得：t=或；
②∵OC是∠BOD的三等分线，
∴OC在∠BOD内，
∵∠BOD+∠AOC=180°-∠COD，∠AOC=3t，∠BOD=5t，
∴∠COD=8t-180°，
依题意得：(8t-180°) ×3=5t或(8t-180°)×=5t，
解得：t=或；
∴∠BOD=度或度（舍去）．
【知识点】角的运算；定义新运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由题意分两种情况：①当∠AOC=∠AOB时，把∠AOB的度数代入计算即可求解；
②当∠AOC=∠AOB时，把∠AOB的度数代入计算即可求解；
（2）①由题意根据OC是∠AOD的三等分线可得关于t的方程，解方程可求解；
② 由题意根据 OC是∠BOD的三等分线可求解.
22．（2023七上·嘉兴期末）定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成1：2两部分，这条射线叫做这个角的内倍分线．
（1）如图1，OM是∠AOB的一条内倍分线，满足∠BOM=2∠AOM，若∠AOB =45°，求∠AOM的度数．
（2）已知∠AOB=60°，把一块含有60角的三角板COD按如图2叠放．将三角板COD绕顶点O以2度/秒的速度按顺时针方向旋转秒(0①t为何值时，射线OC是∠AOD的内倍分线；
②在三角板COD转动的同时，射线OB以每秒n(0【答案】（1）解：∵∠BOM= 2∠AOM，∠AOM+∠BOM=∠AOB=45°，
∴∠AOM+2∠AOM=45°，
∴∠AOM= ∠AOB=15°
（2）解：①如图1，当∠AOC= ∠COD时
即2t= ×60，
∴t=15
如图2，当∠AOC=2∠COD时
即2t=2×60，∴t=60 ．
答： t =15s或t=60s；
②∵∠AOC=（2t）°，∠BOB'=nt°，∠AOB'=∠AOB-∠BOB'=60°-nt°，
∠AOC=60°+2t，
由题意可知，∠AOB’<60°，∠AOD>60°，为满足点OB'同时在∠AOC和∠AOD内，且OB'恰好同时是∠AOD，∠AOC的内倍分线
∴需满足，
即，
或，即，解得t=30，代入解得n=.
【知识点】角的运算；定义新运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据已知及角的和差可得∠AOM+2∠AOM=45°，求解即可；
（2）①分类讨论：如图1，当∠AOC= ∠COD时如图2，如图2，当∠AOC=2∠COD时，分别根据角的和差建立方程，求解即可；
②用含n和t的式子表示旋转后的角，即∠AOC=（2t）°，∠BOB'=nt°，∠AOB'=60°-nt°，∠AOC=60°+2t，进而根据定义分析内倍分线对应角的比例，列出方程求解即可.
23．（2021七上·嘉兴期末）将直角三角板OMN的直角顶点О放在直线AB上，射线OC平分∠AON.
（1）如图，若∠BON=60°，求∠COM的度数；
（2）将直角三角板OMN绕顶点О按逆时针方向旋转，在旋转过程中：
①当∠BON=140°时，求∠COM的度数：
②直接写出∠BON和∠COM之间的数量关系.
【答案】（1）解： 平分
（2）解：①当 ON在直线A B上方时，
平分
当ON在直线AB下方时，
平分
② 或
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】（2） ②Ⅰ.当 ON在直线A B上方时，设 ，
平分 ，
即 ；
Ⅱ.当ON在直线AB下方时， 设，
平分
=180°-，
∴ .
故答案为： 或
【分析】（1）由邻补角的定义得出∠AON的度数，再由角平分线的定义求出∠CON的度数，最后根据角的和差关系计算，可得结果；
(2) ① 分两种情况讨论，即 当 ON在直线A B上方时，当ON在直线AB下方时，根据邻补角的定义、角平分线的定义和角的和差关系分解解答即可；
② 分两种情况讨论，即当 ON在直线A B上方时，当ON在直线AB下方时，根据邻补角的定义、角平分线的定义和角的和差关系分解解答即可.
24．（2021七上·鄞州期末）如图，直线 ， 相交于点 ， 平分 .
（1）【基础尝试】
如图1，若 ，求 的度数；
（2）【画图探究】
作射线 ，设 ，请你利用图2画出图形，探究 与 之间的关系，结果用含 的代数式表示 .
（3）【拓展运用】
在第（2）题中， 可能和 互补吗？请你作出判断并说明理由.
【答案】（1）解： ， ，
，
平分 ，
，
，
（2）解： 或 .
当 在 内部时，如图，
， ，
，
平分 ，
，
，
，
，
即 ；
当 在 内部时，如图，
， ，
，
平分 ，
，
，
，
，
即 .
综上所述： 或
（3）解： 可能和 互补.
当 ，且 与 重合时， ，
平分 ，
，
即 ，
，
，
即 和 互补.
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）感觉邻补角的性质可得∠BOC=180°-∠AOC=140°，根据角平分线的概念可得∠COE=70°，然后根据∠DOE+∠COE进行计算；
（2）当OF在∠BOC内部时，根据邻补角的性质可得∠BOC=(180-x)°，根据角平分线的概念可得∠COE=(90-x)°，则∠EOF=90°-∠COE=x°，据此可得∠EOF与∠AOC的关系；当OF在∠AOD内部时，同理可得∠BOC=(180-x)°，∠COE=(90-x)°，∠EOF=90°+∠COE=(180+x)°，据此可得∠EOF与∠AOC的关系；
（3）当AB⊥CD，且OF与OB重合时，∠BOC=∠BOD=90°，根据角平分线的概念可得∠BOE=45°，即∠EOF=45°，责任∠DOE=∠BOD+∠BOE=135°，据此判断.
25．（2023七上·兰溪期末）问题提出：
如图1，A、B、C、D表示四个村庄， 村民们准备合打一口水井.
（1）问题解决：
若水井的位置现有P、Q两种选择方案.点P在线段上，点Q在线段上，哪一种方案的水井到各村庄的距离总和较小？请说明你判断的理由.
（2）你能给出一种使水井到各村庄的距离之和最小的方案吗？若能，请图2中标出水井的位置点M，并说明理由.
（3）问题拓展：
如果（2）问中找出的水井经过招标，由两个工程队修建（不存在同时修建）. 已知甲工程队单独完成需要80天，乙工程队单独完成需要120天，且甲工程队比乙工程队每天多修建.
问水井要修建几米？
（4）若甲工程队每天的施工费为0.5万元，乙工程队每天的费用是0.25万元，为了缩短工期和节约资金，则甲工程队最多施工几天才能使工程款不超过35万元？（甲、乙两队的施工时间不足一天按一天算）.
【答案】（1）解：选P，理由如下：
如图：P到A、B、C、D的距离之和为：
Q到A、B、C、D的距离之和为：
经测量
所以点P到各村庄的距离总和较小，故答案为：P.
（2）解：如图：连接，当打井的位置选在和的交点时，水井到各村庄的距离之和最小，根据“两点之间线段最短” .
（3）解：设乙工程队每天修建x米，则甲工程队每天修建米
可列方程：，解得.
所以水井要修建120米 .
（4）解：设甲工程队最多施工m天才能使工程款不超过35万元
可列方程：，解得
所以，甲工程队最多施工40天才能使工程款不超过35万元.
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；一元一次方程的实际应用-工程问题；线段的长短比较；线段的计算
【解析】【分析】（1）P到A、B、C、D的距离之和为BD+PA+PC，Q到A、B、C、D的距离之和为AB+QD+QC，经测量BD+PA+PC（2）连接AC，当打井的位置选在AC和BD的交点时，水井到各村庄的距离之和最小；
（3）设乙工程队每天修建x米，则甲工程队每天修建(x+0.5)米，根据甲工程队单独修建80天的米数=乙工程队单独修建120天的米数建立方程，求解即可；
（4）设甲工程队最多施工m天才能使工程款不超过35万元，根据甲工程队m天的施工费+乙工程队(120-1.5m)天的施工费=总费用建立方程，求解即可.
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