(共30张PPT)
4.6 相似多边形
浙教版九年级上册
内容总览
教学目标
01
复习回顾/新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
学习目标
1.通过图形的收集、思考、归纳出相似多边形及相似比的概念，并能用语言叙述。
2.能够依据定义准确判断出两个多边形是否相似，并能解决相似多边形的边角问题。
3.掌握相似多边形的周长、面积的性质。
复习回顾
1.什么是相似三角形？
一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.
2.什么是全等图形？
图形、大小完全相同的两个图形叫做全等图形.
新知导入
图形的相似性给人类的创造发明带来灵感.
19世纪法国机械师克莱兰·阿代尔设计的第三架飞行器的形状就是模仿蝙蝠.
新知讲解
观察下图，分别求出图中两个四边形的各条边长(每小格的边长为1个单位)，并比较各对应内角的大小.然后与你的同伴议一议:
（1）这两个四边形的角之间有什么关系？
两个四边形的对应角相等.
（2）这两个四边形的边之间有什么关系？
两个四边形的对应边成比例.
新知讲解
观察下图，分别求出图中两个四边形的各条边长(每小格的边长为1个单位)，并比较各对应内角的大小.然后与你的同伴议一议:
（3）这两个四边形的形状之间有什么关系？
两个四边形的形状相同.
新知讲解
相似多边形的定义：
一般地，对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
相似多边形对应边的比也叫做相似比.
如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，记做四边形ABCD∽四边形A'B'C'D' ,
AB与A'B'的比就是四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比.
新知讲解
判定相似多边形的条件：
(1)所有的角分别相等；
(2)所有的边成比例．
以上的角分别相等，边成比例这两个条件是判定相似多边形必备的条件，缺一不可．
【拓展提高】
新知讲解
【例1】矩形纸张的长与宽之比为 ，沿长边对折，所得的矩形纸张是否和原来的矩形纸张相似？请说明理由.
解：沿长边对折后所得的矩形纸张和原来的矩形纸张相似. 理由如下：
如图，原来的纸张为矩形ABCD，
连结BC与AD的中点F,E，则EF就把矩形ABCD分为全等的两个矩形.
新知讲解
【例1】矩形纸张的长与宽之比为 ，沿长边对折，所得的矩形纸张是否和原来的矩形纸张相似？请说明理由.
即矩形ABFE与矩形BCDA的对应边成比例.
而两个矩形的对应角相等，
所以矩形ABFE与矩形BCDA相似.
新知讲解
【想一想】
两个相似三角形的周长比和面积比与相似比有什么关系？
相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方.
与相似三角形类似，相似多边形也有以下的性质：
相似多边形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积之比等于相
似比的平方.
新知讲解
如图，从四边形ABCD到四边形A'B'C'D'的改变过程中，图形的形状没有改变. 一般地，由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程中保持形状不变(大小可以改变)，这样的图形改变叫做图形的相似.
新知讲解
图形的相似在人们的生活中有着广泛的应用.
例如地图的绘制，照片的放大与缩小等都是图形的相似的应用.
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.下列说法中正确的是（ ）.
A.所有的矩形都相似
B.所有的正方形都相似
C.所有的菱形都相似
D.所有的正多边形都相似
B
2.如图，将图形用放大镜放大，所用的图形改变方式是( ).
A．平移
B．轴对称
C．旋转
D．相似
课堂练习
D
课堂练习
3.如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠E＝( ) .
A．70°
B．80°
C．90°
D．120°
B
课堂练习
4.如果两个相似多边形的相似比为1∶5，那么它们的面积比为( ).
A．1∶25
B．1∶5
C．5∶1
D．25∶1
A
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
5.观察下列每组图形，是相似图形的是( ).
C
课堂练习
6.两个相似多边形的周长比是3∶4，其中较小多边形的面积为18 cm2，则较大多边形的面积为( ).
A．16 cm2
B．54 cm2
C．32 cm2
D．48 cm2
C
课堂练习
【综合实践类作业】
7.如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求边x、y的长度和角α的大小．
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
1.一般地，对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
2.相似多边形对应边的比也叫做相似比.
3.相似多边形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积之比等于相
似比的平方.
板书设计
课题：4.6 相似多边形
教师板演区
学生展示区
一、相似多边形的定义
二、相似多边形的性质
三、例题讲解
作业布置
【知识技能类作业】必做题
1.已知矩形ABCD与以E、F、G、H为顶点的矩形相似，且AB＝4，BC＝2，EF＝6，则FG的长度为（ ）．
A.3
B.3或12
C.4或12
D.4
B
作业布置
2.下列图形中不一定相似的是( ).
A．两个矩形
B．两个圆
C．两个正方形
D．两个等边三角形
A
作业布置
选做题：
3.如图，矩形相框的外边框矩形的长为12 dm，宽为8 dm，上、下边框的宽度都为x dm，左、右边框的宽度都为y dm.则符合下列条件的x，y的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为( ) .
A．x＝y
B．3x＝2y
C．x＝1，y＝2
D．x＝3，y＝2
B
作业布置
【综合实践类作业】
4.如图，多边形ABCDEF∽多边形A1B1C1D1E1F1，∠A＝∠D1＝135°，∠B＝∠E1＝120°，∠C1＝95°.
(1)求∠F的度数；
解：∵多边形ABCDEF∽多边形A1B1C1
D1E1F1，∴∠D＝∠D1＝135°，
∠E＝∠E1＝120°，∠C＝∠C1＝95°，
∴∠F＝720°－(∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E)＝720°－(135°＋120°＋95°＋135°＋120°)＝115°.
作业布置
【综合实践类作业】
(2)如果多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1的相似比是2∶3，且CD＝15 cm，求C1D1的长度．
谢谢
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4.6 相似多边形 教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节内容是浙教版初中数学九年级上册第4章第6节的内容，相似多边形是相似三角形的延伸和扩展，它与相似三角形有着必然的联系，其判定方法课本没有单独给出，只要求学生能依据定义作出判断即可，其性质与相似三角形类似，课本通过把四边形的问题转化为三角形来处理，这也是研究多边形问题的一种常用方法.
学习者分析 学生在本章前几课中，学习了比例线段，形状相同图形的有关知识、并动手画了一些放大图形，对相似图形有了初步的认识，学生的观察能力得到了锻炼和提高，具备了学习相似多边形的基本技能和方法。在相关知识的学习过程中，学生已经学习了形状相同的图形，并解决了一些简单的实际问题，同时感受到了相似图形在生活中的必要性和作用，从而获得了必需的数学活动经验。
教学目标 1.通过图形的收集、思考、归纳出相似多边形及相似比的概念，并能用语言叙述。2.能够依据定义准确判断出两个多边形是否相似，并能解决相似多边形的边角问题。3.掌握相似多边形的周长、面积的性质。
教学重点 通过图形的收集、思考、归纳出相似多边形及相似比的概念，并能用语言叙述。
教学难点 1.能够依据定义准确判断出两个多边形是否相似，并能解决相似多边形的边角问题。2.掌握相似多边形的周长、面积的性质。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1：教师出示问题：1.什么是相似三角形？一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.2.什么是全等图形？图形、大小完全相同的两个图形叫做全等图形.图形的相似性给人类的创造发明带来灵感.19世纪法国机械师克莱兰·阿代尔设计的第三架飞行器的形状就是模仿蝙蝠.学生活动1：学生思考学习过的知识，回答教师提出的问题。学生观察图片。活动意图说明：通过复习，激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。环节二：探究相似多边形的定义教师活动2：教师出示课本问题：观察下图，分别求出图中两个四边形的各条边长(每小格的边长为1个单位)，并比较各对应内角的大小.然后与你的同伴议一议:（1）这两个四边形的角之间有什么关系？两个四边形的对应角相等.（2）这两个四边形的边之间有什么关系？两个四边形的对应边成比例.（3）这两个四边形的形状之间有什么关系？两个四边形的形状相同.相似多边形的定义：一般地，对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比也叫做相似比.如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，记做四边形ABCD∽四边形A'B'C'D' ,AB与A'B'的比就是四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比.【拓展提高】判定相似多边形的条件：(1)所有的角分别相等；(2)所有的边成比例．以上的角分别相等，边成比例这两个条件是判定相似多边形必备的条件，缺一不可．学生活动2：学生思考，回答课本中的问题。学生在教师的引导下总结相似多边形的定义。活动意图说明：经历探索相似多边形的概念后，学生在实际情景中更深层次认识相似多边形的基本涵义；进一步发展学生归纳、类比、反思、交流、论证等方面的能力，提高数学思维水平，体会直觉的不可靠性和数学推理论证的必要性.环节三：例题讲解【例1】矩形纸张的长与宽之比为，沿长边对折，所得的矩形纸张是否和原来的矩形纸张相似？请说明理由.解：沿长边对折后所得的矩形纸张和原来的矩形纸张相似. 理由如下：如图，原来的纸张为矩形ABCD，连结BC与AD的中点F,E，则EF就把矩形ABCD分为全等的两个矩形.即矩形ABFE与矩形BCDA的对应边成比例.而两个矩形的对应角相等，所以矩形ABFE与矩形BCDA相似.【想一想】两个相似三角形的周长比和面积比与相似比有什么关系？相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方.与相似三角形类似，相似多边形也有以下的性质：相似多边形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积之比等于相似比的平方.如图，从四边形ABCD到四边形A'B'C'D'的改变过程中，图形的形状没有改变. 一般地，由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程中保持形状不变(大小可以改变)，这样的图形改变叫做图形的相似.图形的相似在人们的生活中有着广泛的应用.例如地图的绘制，照片的放大与缩小等都是图形的相似的应用.学生活动3：学生在教师的指导下完成课本问题。师生共同探究两个相似多边形的周长比和面积比与相似比有什么关系？活动意图说明：学生能够运用已学知识解决问题，这样既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题、逻辑理解的能力。
板书设计 课题：4.6 相似多边形一、相似多边形的定义二、相似多边形的性质三、例题讲解
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题：1.下列说法中正确的是（ B ）.A.所有的矩形都相似 B.所有的正方形都相似C.所有的菱形都相似 D.所有的正多边形都相似2.如图，将图形用放大镜放大，所用的图形改变方式是( D ). A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．相似3.如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠E＝( B ) .A．70° B．80° C．90° D．120°4.如果两个相似多边形的相似比为1∶5，那么它们的面积比为( A ). A．1∶25 B．1∶5 C．5∶1 D．25∶1选做题：5.观察下列每组图形，是相似图形的是( C ). 6.两个相似多边形的周长比是3∶4，其中较小多边形的面积为18 cm2，则较大多边形的面积为( C ).A．16 cm2 B．54 cm2 C．32 cm2 D．48 cm2【综合实践类作业】7.如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求边x、y的长度和角α的大小．解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴＝＝，即＝＝，∠C＝α，∠D＝∠D′＝140°.∴x＝12，y＝15，α＝360°－∠A－∠B－∠D＝360°－62°－75°－140°＝83°.
作业布置 【知识技能类作业】必做题1.已知矩形ABCD与以E、F、G、H为顶点的矩形相似，且AB＝4，BC＝2，EF＝6，则FG的长度为（ B ）．A.3 B.3或12 C.4或12 D.42.下列图形中不一定相似的是( A ). A．两个矩形 B．两个圆 C．两个正方形 D．两个等边三角形选做题：3.如图，矩形相框的外边框矩形的长为12 dm，宽为8 dm，上、下边框的宽度都为x dm，左、右边框的宽度都为y dm.则符合下列条件的x，y的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为( B ) .A．x＝y B．3x＝2yC．x＝1，y＝2 D．x＝3，y＝2【综合实践类作业】4.如图，多边形ABCDEF∽多边形A1B1C1D1E1F1，∠A＝∠D1＝135°，∠B＝∠E1＝120°，∠C1＝95°.(1)求∠F的度数；解：∵多边形ABCDEF∽多边形A1B1C1D1E1F1，∴∠D＝∠D1＝135°，∠E＝∠E1＝120°，∠C＝∠C1＝95°，∴∠F＝720°－(∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E)＝720°－(135°＋120°＋95°＋135°＋120°)＝115°.(2)如果多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1的相似比是2∶3，且CD＝15 cm，求C1D1的长度．解：∵多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1的相似比是2∶3，CD＝15 cm，∴CD:C1D1=2:3，∴C1D1＝22.5 cm.
课堂总结 本节课你学到了哪些知识？1.一般地，对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.2.相似多边形对应边的比也叫做相似比.3.相似多边形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积之比等于相似比的平方.
教学反思 本节课学生在对全等图形的认识的基础之上，进一步对相似图形进行探索.因此，应尽量从现实生活中的实例出发，呈现图形相似的有关内容，将直观教学与简单的说理相结合，让学生经历相似图形的探索过程，体验相似图形与现实世界的密切联系.通过学生的观察、猜想、思考、归纳及师生互动得出“相似多边形”的具体的内涵，初步掌握相似多边形的定义及性质。
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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 上册第四章
课标要求 了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 2.通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。 3.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 4.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。*了解相似三角形判定定理的证明。 5.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 6.了解三角形中心的概念 7.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。 8.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。
内容分析 相似图形是指两个在外形、大小方面具有某种关系的图形，它以全等三角形和相似变换为根底，是全等三角形在边上的推广，是相似变换的延续和深化，它是空间与图形范围中的首要内容，对前后各部分常识起到纽带的作用。本章内容主要包含比例线段，相似三角形，相似三角形的性质及其应用，相似多边形，图形的位似等。这些内容是以比例线段为根底，以相似三角形为中心展开并探究的，并且在物理学、工程设计、测量、绘图等许多方面，都要用到相似三角形的知识，相似三角形有关知识的考查在中考中也占有重要地位，因此学好相似三角形既是进一步学习的需要，也是工作实践的需要。
学情分析 九年级学生已经具有自主学习意识，由于七年级时学过全等三角形，学生在学习过程中容易将全等三角形的定义和相似三角形的定义混在一起，学习时应强调对应角相等、对应边成比例的三角形叫相似三角形。在学习过程中，对应角和对应边这个概念容易出错，作为教师应该耐心说明。在记两个三角形相似时，跟记两个三角形全等一样，通常把表示对应点的字母写在对应的位置上，这样就比较容易地找出相似三角形的对应角和对应边。
单元目标 （一）教学目标 1.理解比例的基本性质，会应用比例的基本性质进行简单的比例式的变形。 2.了解线段比和成比例线段的概念 理解比例中项的概念。 3.了解相似三角形的概念，探索两个三角形相似的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似，会在简单情况下判定两个三角形相似。 4.了解相似三角形的对应角相等，对应边成比例，了解三角形的重心的概念和性质，会利用相似三角形的性质解决有关测量等的简单实际问题。 5.了解相似多边形的概念，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长之比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 6.了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。 （二）教学重点、难点 重点： 1.理解比例的基本性质。 2.了解相似三角形的概念，掌握两个三角形相似的判定定理。 3.了解相似三角形的性质。 4.了解相似多边形的概念和图形的位似。 难点： 1.会应用比例的基本性质进行简单的比例式的变形，掌握基本事实：两条直线被一组平行线（不少于 3 条）所截，所得对应线段成比例。 2.了解黄金分割，会进行有关黄金分割的简单计算。 3.会判定两个三角形相似。 4.了解三角形的重心的概念和性质，会利用相似三角形的性质解决有关测量等的简单实际问题。 5.知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长之比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数4.1比例线段34.2由平行线截得的比例线段14.3相似三角形14.4两个三角形相似的判定34.5相似三角形的性质及其应用34.6相似多边形14.7图形的位似1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务 比例线段31.掌握比例的基本性质及其简单应用。 2.能灵活运用比例的基本性质进行比例式的变形。培养用方程的观点解决问题的思想方法和思维习惯。理解掌握比例的基本性质，能运用比例的基本性质进行简单应用。1.知道线段的比的概念，会计算两条线段的比。 2.理解成比例线段的概念，掌握成比例线段的判定方法。1．会求两条线段的比。 2.会判断几条线段是否成比例。从丰富的实例入手,引导学生进行观察、发现和概括，在自主探究和合作交流过程中,适时引入新知识。1.知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比。 2.能对黄金分割进行简单运用。体会数形结合思想在解决数学问题中的作用，在现实情境中体会黄金分割的文化价值，感受数学之美。通过一些具体的例子让学生感受黄金分割的作用，并通过作图让学生感受到黄金分割点的存在。由平行线截得的比例线段1 1.探究基本事实：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例。 2.能应用定理证明线段成比例、平行等问题，并会进行有关的计算。1.理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。 2.通过应用，培养识图能力和推理论证能力。 利用换线段、换中间比及分析法探求解题思路方法，培养学生分解根本图形的能力，并利用特殊形式研究问题的方法。 相似三角形1 1.理解掌握相似三角形的定义。 2.掌握相似三角形的性质定理的内容及证明，使学生进一步理解相似三角形的概念。1.了解对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 2.根据相似三角形的定义，得到相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 本节的重点与难点是相似三角形的定义，解决这一难点的关键是正确理解相似三角形的定义，区分全等形与相似形的相同点不同点。 两个三角形相似的判定3 1.掌握三角形相似的判定定理1：有两个角对应相等的两个三角形相似。 2.学会从题设或结论出发寻求论证思路的分析方法，提高分析问题，解决问题的能力。 经历过探索全等三角形判定，通过类比得到相似三角形的判定方法。 掌握判定定理1：有两个角对应相等的两个三角形相似，会运用判定定理判定两个三角形相似。1.掌握三角形相似的判定定理2：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。 2.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。1.掌握判定方法2，会运用判定方法判定两个三角形相似. 2会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似。通过画图、度量等操作，经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程。1.复习已经学过的三角形相似的两个判定定理。 2.掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算。1.掌握三角形相似的第3个判定方法：三边对应成比例的两个三角形相似。 2会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似。类似于判定三角形全等的SSS 方法，探索通过三边关系来判定两个三角形相似。 相似三角形的性质及其应用31.进一步理解相似比的概念，掌握相似三角形的性质定理。 2.掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理来解决问题.通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美，进一步培养学生类比的教学思想。 掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理来解决问题.1.理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 2.运用相似三角形的周长比，面积比解决实际问题，增强学生对知识的应用意识.初步掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系以及关于它们之间关系的两条定理的证明方法，并会运用定理进行有关简单的计算。通过画图，探索相似三角形的周长与面积的性质。能够运用相似三角形的周长与面积的性质解决相关问题，1.能运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题. 2.进一步检验数学的应用价值.运用相似三角形的性质解决简单的实际问题.建立相关的相似三角形的模型，然后根据相似三角形的性质以及比例关系解决实际问题。 相似多边形11.通过图形的收集、思考、归纳出相似多边形及相似比的概念，并能用语言叙述。 2.能够依据定义准确判断出两个多边形是否相似，并能依据相似解决相似多边形的边角问题。 1.类比相似三角形的概念得出相似多边形的概念及表示方法。 2.掌握相似多边形的周长、面积的性质。通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形的定义和相似比。 图形的位似11.理解图形的位似概念，掌握位似图形的性质。 2.会利用作位似图形的方法把一个图形进行放大或缩小。经历位似图形性质的探索过程，发展学生的探究、交流能力，培养学生动手、动脑、手脑和谐一致的习惯。通过画图一一观察一一操作一一思考的活动过程，认识位似图形。
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