第二章 直线与圆的位置关系---切线的判定专项训练（含解析）

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切线的判定专项训练（1）
夯实基础，稳扎稳打
1.如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．
求证：CD是⊙O的切线；
2.如图，是的直径，是上一点，在的延长线上，且．
证：是的切线；
3．如图，在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点E．若∠DAC=∠BAC，且点D在⊙O的外部，求证：直线AD是⊙O的切线．
4.如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为 弧BC的中点，DE⊥AC于E．求证：DE是⊙O的切线．[c*om~] 连续递推，豁然开朗
5.如图，在△ABC中，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D.【来求证：AC是⊙O的切线；
6..如图所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接DE．求证：DE与⊙O相切；
7.已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若DE=2BC，求AD：OC的值．
8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知AB=10，BC=6，求⊙O的半径r．
思维拓展，更上一层
9 .如图，，点在上，过点，分别与、交于、，过作于．求证：是的切线；若与相切于点，的半径为，，求长．
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D为BC上的一点，以AD为直径的 交AB于E，连接CE交 于G，连接DG，∠ACB=∠EGD.
（1）证明：BC与 相切；
（2）若BD=2，CD=6，求 的直径AD；（3）在（2）的条件下，求EC.
11．如图，与等边的边AC，AB分别交于点D，E，AE是直径，过点D作于点F．（1）求证：DF是的切线；（2）连接EF，当EF是的切线时，求半径r与等边边长a的比值．
12 . 如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O的弦。过点B作BC//AD，交圆O于点C，连接AC，过 点C作CD//AB，交AD于点D。连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD。(1) 判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由：(2) 若AB=9，BC=6，求PC长。
切线的判定专项训练（2）
1. 如图，以CD为直径的⊙O上两点A、B,点P是CD延长线上的一点，且AP=AC，∠B=60°．
求证：PA是⊙O的切线；
2.已知：如在△ABC中，AB=AC，以为直径的⊙交于点，过点作DF⊥AC于点，交的延长线于点．求证：是⊙的切线．
3．如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P＝∠BAC．
求证：PA为⊙O的切线；
4．如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC＝CP，AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连结PB．求证：PB是⊙O的切线．
连续递推，豁然开朗
5..如图所示．P是⊙O外一点．PA是⊙O的切线,点A是切点．B是⊙O上一点．
且PA = PB，连接AO、BO、PO、AB，并延长BO与切线PA相交于点C．
求证：PB是⊙O的切线 ；[来源%:中国教育
6.在⊙O中，AB为直径，AC为弦，过点C作CD⊥AB与点D，将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处，AE交⊙O于点F，连接OC、FC.
(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若FC∥AB，求证：四边形AOCF是菱形．
7．如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．（1）求证：CT为⊙O的切线；（2）若⊙O半径为2，CT=，求AD的长．
8．已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．
思维拓展，更上一层
9.如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。（1）在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，判断CD与⊙O的位置关系，说明理由。（2）若cosB=，BP=6，AP=1，求QC的长
10．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD＝，BE＝2．求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线．
11.如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC，点C，D在⊙O上，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若CE=2，DE=4，求AD长．
12.如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交⊙O于点G，交过C的直线于F，∠1=∠2，连结CB与DG交于点N．
（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）求证：△ACM∽△DCN；
（3）若点M是CO的中点，⊙O的半径为4，cos∠BOC=0.25，求BN的长．
切线的判定专项训练（1）参考答案
1.证明：连接OC．∵AC=CD，∠ACD=120°，∴∠A=∠D=30°．
∵OA=OC，∴∠2=∠A=30°．∴∠OCD=90°．∴CD是⊙O的切线．
2.证明：如图，连接．
∵是的直径，是上一点，∴，即．
∵，，∴，
∴，即，∴是的切线．
3.证明 ： ∵半径OC垂直于弦AB，∵AC弧=BC弧，∴∠AOC=2∠BA C，∵∠DAC=∠BAC，∴∠AOC=∠BAD，∵∠AOC+∠OAE=90°，∴∠BAD+∠OAE=90°，∴OA⊥AD，∴AD为⊙O的切线．
4. (1)证明：连接OD，BC。
∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC。[ ∵DE⊥AC，∴BC//DE。%p.#co*&m
∵D为弧BC的中点，∴OD⊥BC ∴OD⊥DE[~p.c∴DE是⊙O的切线。#p.com*]
%源#:@step.c*om&]
5.证明：如图，连接OD ∵，∴，∴∠，
∵，∴，∠ABC=90°，∴，∵OD为半径，∴AC是⊙O的切线；
6.
解：（1）证明：连接OE，BE，∵AB是直径．∴BE⊥AC．∵D是BC的中点，∴DC=DB．∴∠DBE=∠DEB．又OE=OB，∴∠OBE=∠OEB．∴∠DBE+∠OBE=∠DEB+∠OEB．即∠ABD=∠OED．但∠ABC=90°，∴∠OED=90°．∴DE是⊙O的切线．[c*om~]
7.【解析】1）证明：连结DO．∵AD∥OC，∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD
又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO，∴∠COD=∠COB．
在△COD和△COB中，，∴△COD≌△COB（SAS）
∴∠CDO=∠CBO=90°．又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵△COD≌△COB．∴CD=CB．∵DE=2BC，∴ED=2CD．
∵AD∥OC，∴△EDA∽△ECO．∴．
8（1）证明：连接OD。 ∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB。
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC∴∠ODB=∠DBC。∴OD∥BC。
又∵∠C=90°，∴∠ADO=90°。∴AC⊥OD，即AC是⊙O的切线。
（2）解：由（1）知，OD∥BC，∴△AOD∽△ABC。
∴，即。解得，即⊙O的半径r为。
9.证明：连接，∵，∴，∵，∴，
∴，∴，∵，∴，则为圆的切线；
解：连接，∵与圆相切，∴，
∴，且，
∴四边形为边长为的正方形，
设，则有，，
在中，利用勾股定理得：，即，
解得：，则．
10.（1）证明：∵ ， ，
∴ ，又∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，又∵ 为半径，∴ 与 相切.
（2）解：由（1）知 ，又 ，
∴ ，∴ ，又 ， ，∴ .
（3）解：由（2）知，在 中， ，
连接 ，如图，
∵ 是直径，∴ ，∴ ，又 ，
∴ ，∴ ，即 ，∴ ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， .
11（1）证明：连接OD，如图所示：
∵∠DAO=60°，OD=OA，∴△DOA是等边三角形，∴∠ODA=∠C=60°，∴OD∥BC，
又∵∠DFC=90°，∴∠ODF=90°，∴OD⊥DF，即DF是⊙O的切线；
（2）解：设半径为r，等边△ABC的边长为a，
由（1）可知：AD=r，则CD=a-r，BE=a-2r
在Rt△CFD中，∠C=60°，CD=a-r，∴CF=（a r），∴BF=a- （a r），
又∵EF是⊙O的切线，
∴△FEB是直角三角形，且∠B=60°，∠EFB=30°，∴BF=2BE，∴a-（a-r）=2（a-2r），
解得：a=3r，即r=a，∴⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系为：r=a．
12， 解法一：(1) 直线PC与圆O相切。
如图，连接CO并延长，交圆O于点N，连接BN。
∵AB//CD，∴BAC=ACD。
∵BAC=BNC，∴BNC=ACD。
∵BCP=ACD，∴BNC=BCP。
∵CN是圆O的直径，∴CBN=90。
∴BNCBCN=90，∴BCPBCN=90。
∴PCO=90，即PCOC。
又点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切。
(2) ∵AD是圆O的切线，∴ADOA，即OAD=90。
∵BC//AD，∴OMC=180OAD=90，即OMBC。
∴MC=MB。∴AB=AC。
在Rt△AMC中，AMC=90，AC=AB=9，MC= BC=3，
由勾股定理，得AM===6。
设圆O的半径为r。
在Rt△OMC中，OMC=90，OM=AMAO=6r，MC=3，OC=r，
由勾股定理，得OM 2MC 2=OC 2，即(6r)232=r2。解得r= 。
在△OMC和△OCP中， ∵OMC=OCP，MOC=COP，
∴△OMC～△OCP。∴ = ，即 EQ \F( 6 , ) = 。
∴PC= 。
解法二：(1) 直线PC与圆O相切。如图，连接OC。
∵AD是圆O的切线，∴ADOA，
即OAD=90。
∵BC//AD，∴OMC=180OAD=90，
即OMBC。
∴MC=MB。∴AB=AC。∴MAB=MAC。
∴BAC=2MAC。又∵MOC=2MAC，∴MOC=BAC。
∵AB//CD，∴BAC=ACD。∴MOC=ACD。又∵BCP=ACD，
∴MOC=BCP。∵MOCOCM=90，∴BCPOCM=90。
∴PCO=90，即PCOC。又∵点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切。
(2) 在Rt△AMC中，AMC=90，AC=AB=9，MC= BC=3，
由勾股定理，得AM===6。
设圆O的半径为r。
在Rt△OMC中，OMC=90，OM=AMAO=6r，MC=3，OC=r，
由勾股定理，得OM 2MC 2=OC 2，即(6r)232=r2。解得r= 。
在△OMC和△OCP中，∵OMC=OCP，MOC=COP，
∴△OMC～△OCP，∴ = ，即 EQ \F( 6 , ) = 。
∴PC= 。
切线的判定专项训练（2）参考答案
（1）证明：连接OA，∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°，又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线．
2.解： 连结, ∥ 是⊙的切线
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3.
.【解】（1）设AC与OP相交于点H
∵AB是直径，∴AC⊥BC，∠BAC+∠B=90°
∵OP∥BC，∴OP⊥AC，∠AOP=∠B
∵∠P=∠BAC∴∠P+∠AOP=90°，于是∠OAP=90°∴PA为⊙O的切线
4.证明：连结OB．
∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，∴∠COB＝60°．
又∵OC＝OB，∴△OBC是正三角形∴∠OBC＝∠OCB＝60°
∵BC＝CP，∴∠CBP＝∠CPB．∴∠CBP＝30°．
∴∠OBP＝∠CBP＋∠OBC＝90°．∴OB⊥BP．
∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线．
5..证明： ∵PA=PB，AO=BO，PO=PO∴△APO≌△BPO
∵ PA是⊙O的切线 ∴∠PAO=90°=∠PBO ∴PB是⊙O的切线[
6.解：(1)由翻折可知，∠FAC＝∠OAC, ∠E＝∠ADC＝90°，
∵OA＝OC，[∴∠OAC＝∠OCA，∴∠FAC＝∠OCA，∴OC∥AE，[来%@源:中教网#~&]
∴∠OCE＝90°，即OC⊥CE. ∴CE是⊙O的切线．
(2)∵FC∥AB，OC∥AF，[∴四边形AOCF是平行四边形．[来源:中~*国教@
%∵OA＝OC，∴ AOCF是菱形．
7解答：（1）证明：连接OT，∵OA=OT，∴∠OAT=∠OTA，又∵AT平分∠BAD，
∴∠DAT=∠OAT，∴∠DAT=∠OTA，∴OT∥AC，又∵CT⊥AC，∴CT⊥OT，
∴CT为⊙O的切线；（2）解：过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点，
又∵CT⊥AC，∴OE∥CT，∴四边形OTCE为矩形，∵CT=，∴OE=，
又∵OA=2，∴在Rt△OAE中，，
∴AD=2AE=2．
8.解答：（1）证明：连接OD．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．∵∠OAD=∠DAE，
∴∠ODA=∠DAE．∴DO∥MN．∵DE⊥MN，∴∠ODE=∠DEM=90°．
即OD⊥DE．∵D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线．（2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，
∴．连接CD．∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=∠AED=90°．∵∠CAD=∠DAE，∴△ACD∽△ADE．∴．
9.解：（1）CD是⊙O的切线,
理由如下：连接OC,∵OC=OB,∴∠B=∠1.又∵DC=DQ,∴∠Q=∠2
∵PQ⊥AB,∴∠QPB=90°∴∠B+∠Q=90°∴∠1+∠2=90°∴∠DCO=∠QCB-(∠1+∠2)=180°-90°,
∴OC⊥DC,∵OC是⊙O的半径∴CD是⊙O的切线
(2)连接AC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.
在Rt△ABC中,
BC=ABcosB=(AP+BP) cosB=(1+6)×=.
在Rt△BPQ中BQ===10 ∴QC=BQ-BC=10==
10.解答：证明：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE＝DE＝2，
设OC＝x，∵BE＝2，∴OE＝x－2，
在Rt△OCE中，OC2＝OE2＋CE2，∴x2＝（x－2）2＋（2）2，解得：x＝4，
∴OA＝OC＝4，OE＝2，∴AE＝6，
在Rt△AED中，AD＝＝4，∴AD＝CD，
∵AF是⊙O切线，∴AF⊥AB，∵CD⊥AB，∴AF∥CD，
∵CF∥AD，∴四边形FADC是平行四边形，∴ FADC是菱形；
（2）连接OF，∵四边形FADC是菱形，∴FA＝FC，
在△AFO和△CFO中，，∴△AFO≌△CFO（SSS），∴∠FCO＝∠FAO＝90°，即OC⊥FC，
∵点C在⊙O上，∴FC是⊙O的切线．
11（1）证明：如下图，连接OD，
∵DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠EAD＝∠ADO，∴AE∥OD，
∴∠ODE＋∠AED＝180°，∴∠ODE＝180°－∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如下图，连接DB，CD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＋∠B＝90°，
∵∠E＝90°，∴∠EAD＋∠EDA＝90°，
∵∠EAD＝∠DAB，∴∠B＝∠EDA，
∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，∴∠ACD＋∠B＝180°，
∵∠ACD＋∠ECD＝180°，∴∠B＝∠ECD，∴∠ECD＝∠EDA，
∵∠E＝∠E，∴△ECD∽△EDA，∴ ，∴，∴，
∴
12解答： （1）证明：∵△BCO中，BO=CO，∴∠B=∠BCO，在Rt△BCE中，∠2+∠B=90°，又∵∠1=∠2，∴∠1+∠BCO=90°，即∠FCO=90°，∴CF是⊙O的切线；（2）证明：∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=∠FCO=90°，∴∠ACB﹣∠BCO=∠FCO﹣∠BCO，即∠3=∠1，∴∠3=∠2，∵∠4=∠D，∴△ACM∽△DCN；（3）解：∵⊙O的半径为4，即AO=CO=BO=4，在Rt△COE中，cos∠BOC=0.25，∴OE=CO cos∠BOC=4×0.25=1，由此可得：BE=3，AE=5，由勾股定理可得：CE===，AC===2，BC===2，∵AB是⊙O直径，AB⊥CD，∴由垂径定理得：CD=2CE=2，∵△ACM∽△DCN，∴=，∵点M是CO的中点，CM=AO=×4=2，∴CN===，∴BN=BC﹣CN=2﹣=．
C
E
A
O
B
D
A
B
C
D
O
M
P
A
C
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B
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M
P
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A
B
C
D
O
M
P
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