中小学教育资源及组卷应用平台
与切线有关面积计算专项训练
夯实基础，稳扎稳打
1.如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，且AB=4，OP=2，连接OA交小圆于点E，求扇形OEP的面积
2．阅读材料：如图（1）， ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC的周长为L，内切圆O的半径为r，连结OA，OB，△ABC被划分为三个小三角形，用S△ABC表示△ABC的面积．21世纪教育网版权所有
∵S△ABC =S△OAB +S△OBC +S△OCA 又∵S△OAB = HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 AB·r，S△OBC = HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 BC·r，S△OCA = HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 AC·r21教育网∴S△ABC = HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 AB·r+ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 BC·r+ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 CA·r = HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 L·r（可作为三角形内切圆半径公式）
（1）理解与应用：利用公式计算边长分为5，12，13的三角形内切圆半径；
（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（2）
且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式；
（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，
各边长分别为a1，a2，a3，…a n，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．
3．如图，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB为直径的半圆O与DC相切于点E，求阴影部分的面积（结果保留π）
连续递推，豁然开朗
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，⊙O是△ABC的内切圆，半径为2，求图中阴影部分的面积
某种在同一平面进行传动的机械装置如图1所示，图2是它的示意图.其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动.在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的☉O上运动.数学兴趣小组为进一步研究其中的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH=4分米，PQ=3分米，OP=2分米. 解决问题（1）点Q与点O之间的最小距离是 分米，最大距离是 分米. （2）如图3，小明说：“当点Q滑动到点H的位置上时，PQ与☉O相切.”你认为他的说法对吗，为什么 （3）当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求扇形的最大面积.
图1 图2 图3 备用图
6．如图，△ABC的内切圆与三边分别切于点D，E，F，若∠C＝90°，AD＝3，BD＝5，则△ABC的面积为 .
思维拓展，更上一层
7．在中，若，，求的面积的最大值．
8.如图，点O是Rt△ABC的外心，∠B=900, AC=12, 点D是△ABC的内心，E、F、M是△ABC的 内切圆与△ABC各边的切点．内切圆的半径为2，求△ABC的面积
9．如图所示，已知三角形为直角三角形，，BC为切线，为切点，为直径，求和面积之比
10．若的外接圆半径为R，内切圆半径为，求其内切圆的面积与的面积比
参考答案
1. 解：SOEP==π，
解：（1） 2 （2） r= （3） r=
3. 解：连接OE．阴影部分的面积=S△BCD﹣（S正方形OBCE﹣S扇形OBE）=×2×4﹣（2×2﹣π×2×2）=π．
4．【详解】解：过点O作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为D、E、F，如图，
，∴四边形CEOF是矩形，
，∴四边形CEOF是正方形，，
∵⊙O是△ABC的内切圆，，
设，在中，，，解得，
，．
5.【参考答案】（1）4 5 （2）不对.理由如下：
∵42≠32+22，即OQ2≠PQ2+OP2，∴OP与PQ不垂直，∴PQ与☉O不相切.
（3）∵PQ的长度固定，为3分米，∴只有PQ⊥l时，点P到OH的距离最大.
设点P在左侧的最远位置为P1，在右侧的最远位置为P2，如图.
过点P2作P2M⊥OH于点M，则HM=P2Q=3，∴OM=4-3=1.
在Rt△OP2M中，OP2=2，OM=1，∴∠MOP2=60°，∴∠P1OP2=120°，
∴==.故扇形的最大面积是分米2.
6【解析】∵AD和AF为切线，∴AF=AD=3，
同理BE=BD=5，
设EF=CE=x,
∵∠C=90°∵AC2+BC2=AB2，∴（x+3）2+(x+4)2=82,
整理得，x2+8x-5=0,
∴x=-4+或-4-（舍），
故AC=-1+，BC=1+，∴S△ABC=AB×AC=15，
7．【详解】作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，
∵弦AB已确定，∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，
如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，
∵CM⊥AB，CM过O，∴AM＝BM（垂径定理），∴AC＝BC，
∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，∴OM＝AM＝AB＝×6＝3，
∴OA＝，∴CM＝OC＋OM＝＋3，
∴S△ABC＝AB CM＝×6×（＋3）＝9+9．
8．【详解】解：如图，点O是△ABC的外心，点D是△ABC的内心，E、F、M是△ABCD 内切圆与△ABC的切点．
设AB＝a，BC＝b，则有2＝，∴a+b＝16，∴a2+2ab+b2＝256，
∵a2+b2＝122＝144，∴2ab＝112，∴ab＝28．∴△ABC的面积为28．
9.【详解】解：如图取中点O，连接．
∵是圆O的直径．∴．
∵与圆O相切．∴．
∵．∴．
∵．∴．
又∵．∴．
∵，，．∴．
∴．∵点O是的中点．∴．∴．
∴
10．【详解】解：如图，由题意得： ，
由切线长定理可得：
设
， ，
而
A
B
C
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
和切线有关的角度计算专项训练
夯实基础，稳扎稳打
1．已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，∠MAB=30°．求∠B
2．在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，求∠MND的度数
3．如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径．已知∠BAC=25°，求∠P
4．如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交于⊙O点C，过点A作AD//OB交于⊙O点D，连接CD．若∠B=500，求∠OCD的度数
5.如图，PM、PN是⊙O的切线，B、C是切点，A、D是⊙O上的点，若∠P＝44°，∠D＝98°，求∠MBA的度数
6．如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A
（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）求∠B的度数．
连续递推，豁然开朗
7．如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC，若sin∠BAC= ，求tan∠BOC的值。
8．如图， AB 为圆O的直径，点P在 BA 的延长线上， PC ， PD 与圆O相切，切点分别为C，D，若 AB=4 ， PC=4 ，求sin∠CBD 的值
9．如图，在△ ABC 中， AB=10 ， AC=6 ， BC=8 ， 圆O 为△ ABC 的内切圆，点D是斜边AB的中点，求tan∠ODA 的值．
10．如图，四边形ABCD是正方形，以BC边为直径在正方形内作半圆O，再过顶点A作半圆O的切线（切点为F）交CD边于E，求sin∠DAE的值．
如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上，且BC=CD，过点C作CE⊥AD，交AD延长线于E
交AB延长线于F点．若AB=4ED，求cos∠ABC的值
12．如图，在扇形AOB中，点C，D在 AB 上，将弧 CD 沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F。已知∠AOB=120°，OA=6，求 弧EF 的度数 ；折痕CD的长。
参考答案
1【解析】连接OA，则OA⊥MN，由于∠MAB=30°，所以∠OAB=90°-30°=60°，而OA=OB，所以∠B=∠OAB=60°.
2.解 解：连接OA，∵AB与⊙O相切，∴OD⊥AB，∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，O为BC的中点，∴AO⊥BC，∴OD∥AC，∵O为BC的中点，∴OD=AC；∵∠DOB=45°，∴∠MND=∠DOB=22.5°，
3. 解：根据切线的性质定理得∠PAC=90°，∴∠PAB=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°．根据切线长定理得PA=PB，所以∠PBA=∠PAB=65°，所以∠P=50°．
4．解，连接，∵切于点，∴，在中，
∵，∴，∴，又∵，∴．
5.【详解】解：∵PM，PN是⊙O的切线，∴PB＝PC，∵∠P＝44°，∴∠PBC＝∠PCB＝（180°﹣44°）＝68°，∵∠D＝98°，∴∠ABC＝180°﹣∠D＝82°，∴∠MBA＝180°﹣∠PBC﹣∠ABC＝30°，
6解 （1）证明：连结OA、OB、OC、BD，如图，∵AB与⊙切于A点，∴OA⊥AB，即∠OAB=90°，∵四边形ABCD为菱形，∴BA=BC，在△ABO和△CBO中，∴△ABO≌△CBO，∴∠BOC=∠OAC=90°，∴OC⊥BC，∴BC为⊙O的切线；（2）解：∵△ABO≌△CBO，∴∠AOB=∠COB，∵四边形ABCD为菱形，∴BD平分∠ABC，CB=CD，∴点O在BD上，∵∠BOC=∠ODC+∠OCD，而OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠BOC=2∠ODC，而CB=CD，∴∠OBC=∠ODC，∴∠BOC=2∠OBC，∵∠BOC+∠OBC=90°，∴∠OBC=30°，∴∠ABC=2∠OBC=60°．
7.【解析】∵BC与⊙O相切于点B
∴∠CBA=90°
∵sin∠BAC= 设BC=X，AC=3x∴AB= ∴AO=OB= AB= x
∴tan∠BOC=
8.解：∵ PC、 PD与圆O相切，∴∠PCO=∠PDO=90°，
在Rt△PCO和Rt△PDO，∴Rt△PCO≌Rt△PDO（HL），∴∠COP=∠DOP= ，
∵∠COD=2∠CBD，∴ ，
∵AB=4，∴OA=OC=2，
在Rt△PCO中根据勾股定理 ，
∴ .
9.【解析】 ， ，
， ，
连接OE、OF、OQ，∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴ ， ， ， ， ，
∴四边形CEOF是正方形，∴CE=CF=OE=OF，
， ，∴AQ=AF=6-2=4，
∵D为AB的中点， ，∴DQ=5-4=1， ．
10．解： 设正方形ABCD的边长为4a，EC=x，
∵AF为半圆O的切线，
∴AF=AB=4a，EC=EF=x，在Rt△ADE中，DE=4a﹣x，AE=4a+x，
∴AE2=AD2+DE2，即（4a+x）2=（4a）2+（4a﹣x）2，解得x=a，∴AE=5a，DE=3a，在Rt△ADE中，sin∠DAE= = = ．
11．解：∵CE⊥AD，∴∠EAC+∠ECA=90°，
∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，又∵BC=CD，∴∠OAC=∠EAC，∴∠OCA=∠EAC，
∴∠ECA+∠OCA=90°，∴EF是⊙O的切线，∴∠ECD=∠EAC，
又∵BC=CD，∴∠EAC=∠BAC，∴∠ECD=∠BAC，又∵AB是直径，∴∠BCA=90°，
在△BAC和△DCE中，∠BCA=∠DEC=90°，∠ECD=∠CAB，∴△CDE∽△ABC，
∴ ＝，又∵AB=4DE，CD=BC，∴，∴BC=AB，∴cos∠ABC= =．
12.【解析】如图，分别过点E作AO的垂线，过点F作OB的垂线，交于点G，连接GC、GO交CD于点H，过点F作FQ⊥GO，连接OC，
∴点G为⊙G圆心，GE=GF，∴∠GEO=∠GFO=90°，
∵∠EOF=∠AOB=120°，
∴∠EGF=180°-∠EOF=60°，
∴的度数为60°；
∵将沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F，
∴BD垂直平分GO，GC=GF，
∴GH=OH=GO，GC=CO，DH=HC=CD，
∵OA=OC=6，∴GC=GF=6又∵GO=OG，∴Rt△GEO≌Rt△GFO（HL），
∴∠GOF=∠AOB=60°，∠OGF=∠EGF=30°，∴在Rt△GQF中，QF=GF=3，GQ=QF=3，
在Rt△OQF中，OQ=QF=，
∴OG=OQ+GQ=+3=4，
∴GH=OG=2，
∴在Rt△GHC中，HC=，
∴CD=2HC=4.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
与切线有关的综合题专项训练
1..如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，PA=6，∠APB=90°．点C是弧AB上一动点（与点A、B不重合），过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点M、N，设AM=x，BN=y．
求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
2．如图，在 △ABC 中，AB+AC=BC ，AD⊥BC 于D，⊙O为 △ABC 的内切圆，设⊙O
的半径为R，AD的长为h，求 的值
3.如图，⊙O的半径长为5，OC垂直弦AB于点C，OC的延长线交⊙O于点E，与过点B的⊙O的切线交于点F，CE=x．(1)若x=2，求AB、BF的长；求EF CO2的最大值．
4．如图，直线l与⊙O相切于点A，M是⊙O上的一个动点，MH⊥l，垂足为H．若⊙O的半径为4，求MA―MH的最大值
5．在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⊙O上，当点P在⊙O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON．当AP与⊙O相切时，点B恰好落在⊙O上，如图2．请仅就图2的情形解答下列问题．
（1）求证：∠PAO＝2∠PBO；（2）若⊙O的半径为3，AP＝4，求BP的长．
参考答案
1..解：∵，，则．
∴，．
在直角中，根据勾股定理可得：．
即∴即，
2.【解析】如图，令 分别与 的三边切于P，Q，T，连接
∴
∴
=
=
又∵∴
又∵∴∴
∴∴
3.解：，则，∵，∴，
在中，，∴，∴，
∵为的切线，∴，在和中
∵，，∴，
∴，∴，解得：；
∵，，
∴，又，
∴，∴，∴，
∵，，∴，
∴，∴，
∴
，∴的最大值为．
4．【详解】解：如图，作直径AB，连接BM，
∴，∵⊙O的半径为4，∴，∵直线l与⊙O相切于点A， ∴，
∵，∴，，∴，∴，
∴，即，∴,∴，
∵，∴的最大值是2，
5．（1）证明：如图，连接OP，∵AP与⊙O相切，∴OP⊥AP，∴∠APO＝90°，
∴∠PAO+∠POA＝90°，OM⊥ON，∴∠POQ+∠POA＝90°，∴∠POQ＝∠PAO，
∵B恰好落在⊙O上，∴，∴∠PAO＝2∠PBO．
（2）解：连接CP，过P作PD⊥BC于点D，∠PDO＝90°，
由（1）可知：∠POQ＝∠PAO，∠APO＝90°，
∴△PDO～△OPA，∴，
∵AO2＝AP2+OP2，⊙O的半径为3，AP＝4，∴AO＝5，∴，
∴，∴，∴Rt△PBD中，PB2＝PD2+BD2，
∴，∴，
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
