1.3 解直角三角形章末重难点突破（含解析）
文档属性
| 名称 | 1.3 解直角三角形章末重难点突破（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 10.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-29 16:48:23 | ||
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文档简介
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解直角三角形章末重难点突破10大题型
【考点1锐角三角函数的定义】
【例1】（2021秋 包河区期末）如图，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于O，则图中线段的比不能表示sinA的式子为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2021 吴兴区一模）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC：AB＝3：5，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2021秋 商河县校级期末）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，那么下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．tanB
【变式1-3】（2021 下城区模拟）如图，△ACB中，∠ACB＝Rt∠，已知∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，则BD的长可表示为（ ）
A．a （cosα﹣cosβ） B．
C．acosα D．a cosα﹣asinα a tanβ
【考点2 网格中的锐角三角函数值计算】
【例2】（2021秋 卧龙区校级月考）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinC为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2021秋 高平市期末）如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，sin∠BAC＝（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2021 建湖县二模）在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
【变式2-3】（2021秋 新吴区期末）如图，△ABC的顶点都在正方形网格纸的格点上，则sin ．
【考点3同角/互余两角三角函数的关系】
【例3】（2021 温江区校级自主招生）已知，则tanα＝（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2021 浙江自主招生）已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：①asinθ+bcosθ﹣c＝0；②acosθ﹣bsinθ+d＝0（其中θ为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是： ．
【变式3-2】（2021秋 虹口区校级期中）下列结论（其中α是锐角）：
①sinα+cosα≤1；
②cos2α＝2cosα；
③当0°＜α＜β＜90°时，0＜sinα＜sinβ＜1；
④sinα＝cosα tanα．
其中正确的有 （填序号）．
【变式3-3】（2021秋 常州期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα＝sinB；②sinβ＝sinC；③sinB＝cosC；④sinα＝cosβ．其中正确的结论有 ．
【考点4 特殊角的三角函数值计算及其新定义问题】
【例1】（2021 安庆模拟）亲爱的同学们，在我们进入高中以后，将还会学到三角函数公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ
例：sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30° cos45°+cos30° sin45°
（1）试仿照例题，求出cos75°的准确值；
（2）我们知道：，试求出tan75°的准确值；
（3）根据所学知识，请你巧妙地构造一个合适的直角三角形，求出tan75°的准确值（要求分母有理化），和（2）中的结论进行比较．
【变式4-1】（2021秋 临泽县校级月考）（1）2sin60°+3tan30°
（2）sin260°+cos260°﹣tan45°
（3）
（4）．
【变式4-2】（2021 丛台区校级一模）嘉琪在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．
据此，嘉琪猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（1）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立．
（2）请你对嘉琪的猜想进行证明．
【变式4-3】（2021 温州模拟）对于钝角α，定义它的三角函数值如下：
sinα＝sin（180°﹣α），cosα＝﹣cos（180°﹣α）
（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；
（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．
【考点5 解直角三角形】
【例5】（2021 淄博）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2021 蚌埠模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，如果BD＝9，DC＝5，cosB，E为AC的中点，那么sin∠EDC的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2021秋 东明县期末）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD、AE分别是BC边的中线和高，若cosB，BC＝10．
（1）求AB的长；
（2）求AE的长；
（3）求sin∠ADB的值．
【变式5-3】（2021秋 解放区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，cosA，BC＝12，D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
求：（1）线段CD的长；
（2）cos∠ABE的值．
【考点6 构造直角三角形解直角三角形（作垂线）】
【例6】（2021 宁波模拟）如图，AC，BD为四边形ABCD的对角线，AC⊥BC，AB⊥AD，CA＝CD．若tan∠BAC．则tan∠DBC的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2021 宜宾）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【变式6-2】（2021 绍兴）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cosB，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【变式6-3】（2021 宜兴市模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（ ）
A．2 B．21 C．2 D．22
【考点7 解直角三角形的应用（实物建模问题）】
【例7】（2021 历下区三模）3月26日，济南轨道交通2号线开始初期运营，路线如图所示，已知腊山南站到北园站直线距离AD长约21千米，从腊山南站到二环西路站的长AB约为4千米，路线的转弯角∠B为157.5°，∠C为150°，又测得∠D＝30°，则从二环西路站到济泺路站的距离BC的长为（ ）（tan22.5°≈0.6，sin22.5°≈0.4，cos22.5°≈0.9，1.7）
A．14.62千米 B．14.64千米 C．14.66千米 D．14.68千米
【变式7-1】（2021秋 潜山市期末）为庆祝国庆，某公司要在如图所示的五角星中（图中所有线段的长度均相等，且∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝36°），从顶点A开始，沿边每隔25厘米装一盏闪光灯，如果F、J两点间的距离等于（1）米，则需要安装闪光灯的盏数是（ ）（参考数据：sin18°）
A．70 B．80 C．79 D．71
【变式7-2】（2021春 北碚区校级月考）某网红地惊现震撼的裸眼3D超清LED巨幕，成功吸引了广大游客前来打卡．小丽想了解该LED屏AB的高度，进行了实地测量，她从大楼底部C点沿水平直线步行30米到达台阶底端D点，在D点测得屏幕下端点B的仰角为27°，然后她再沿着i＝4：3长度为35米的自动扶梯到达扶梯顶端E点，又沿水平直线行走了45米到达F点，在F点测得屏幕上端点A的仰角为50°（A，B，C，D，E，F，G在同一个平面内，且E、F和C、D、G分别在同一水平线上），则该LED屏AB的高度约为（ ）（结果精确到0.1，参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，sin50°≈0.77，tan50°≈1.19）
A．86.2米 B．114.2米 C．126.9米 D．142.2米
【变式7-3】（2021 义乌市模拟）如图1是一张双挡位可调节靠背椅，挡位调节示意图如图2．两脚AB，AC以及靠背DE，座位FG，其中D，F分别为AC，DE上固定连接点，GF在点A上移动实现靠背的调节，DC＝4AD，EF＝4DF，已知AB＝AC＝DE＝50分米，tan∠ABC＝2．
（1）当GF∥BC时，点E离水平地面BC的高度为 分米．
（2）当靠背DE′⊥AC时，有G′E′∥BC，则GF的长为 分米．
【考点8 解直角三角形的应用（坡度坡脚问题）】
【例8】（2021秋 莱芜区期中）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i＝1：，且AB＝26米，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡；
（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长；
（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）
【变式8-1】（2021 济宁二模）郑州市农业路高架桥二层的开通，较大程度缓解了市内交通的压力，最初设计南阳路口上桥匝道时，其坡角为15°，后来从安全角度考虑将匝道坡角改为5°（见示意图），如果高架桥高CD＝6米，匝道BD和AD每米造价均为4000元，那么设计优化后修建匝道AD的投资将增加多少元？（参考数据：sin5°≈0.08，sin15°≈0.25，tan5°≈0.09．tan15°≈0.27，结果保留整数）
【变式8-2】（2021 市南区二模）在2020年5月27日，我国派遣了一支登山队成功地登上了珠峰之巅，再次以中国人的身份，站上了珠峰顶部．已知一个人登山时的动作可以简化成下图所示，他的大腿长AB＝AC＝45cm，上坡时大腿之间的夹角∠BAC＝65°，某段山坡DF的坡度为i．问这名登山队员沿着这段山坡，大约走多少步才能将自己所处位置的海拔提高50米？
（结果保留整数，sin65°，tan65°，cos65°）
【变式8-3】（2021 灌云县模拟）如图，水坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角α为30°，背水坡AD的坡度i为1：1.2，坝顶宽DC＝2.5米，坝高5米．求：
（1）坝底宽AB的长（结果保留根号）；
（2）在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽0.5米，背水坡AD的坡度改为1：1.4，已知堤坝的总长度为5km，求完成该项工程所需的土方（结果保留根号）．
【考点9 解直角三角形的应用（俯角仰角问题）】
【例9】（2021 东港区校级二模）应用所学知识，解决实际问题．
（1）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线B的平均速度；
（2）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝50m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，求居民楼AB的高度．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
（3）已知飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60tt2．求在飞机着陆滑行中最后4s滑行的距离．
【变式9-1】（2021 鹿邑县二模）无影塔位于河南汝南城南，俗传冬至正午无塔影，故称无影塔；相传为唐代和尚悟颖所建，故又称“悟颖塔”，该塔应建于北宋中、早期，为豫南地区现存最古老砖塔某数学小组为了度量塔高进行了如下操作：用一架无人机在距离塔基（B）某处垂直起飞30米至点C处，测得塔基B处的俯角为75°，将无人机沿水平方向向右飞行8.6米至点D，在此处测得塔顶A的俯角为30°，请依据题中数据计算无影塔的高度．（结果精确到1cm，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，1.73）
【变式9-2】（2021春 吴兴区校级期中）第十一届全国少数民族传统体育运动会于2019年9月8日至16日在郑州举行，据了解，该赛事每四年举办一届，是我国规格最高、规模最大的综合性民族体育盛会，其中，花炮、押加、民族式摔跤三个项目的比赛在郑州大学主校区进行．如图，钟楼是郑州大学主校区标志性建筑物之一，是郑大的“第一高度”，寓意来自五湖四海的郑大人的团结和凝聚．小刚站在钟楼前C处测得钟楼顶A的仰角为53°，小强站在对面的教学楼三楼上的D处测得钟楼顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为4m，已知教学楼三楼所在的高度为10m，根据测得的数据，计算钟楼AB的高度．
（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°）
【变式9-3】（2021 河南）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．
（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，1.41）；
（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
【考点10解直角三角形的应用（方位角问题）】
【例10】（2021 长清区一模）如图，一艘轮船在A处测得灯塔C在北偏西15°的方向上，该轮船又从A处向正东方向行驶20海里到达B处，测得灯塔C在北偏西60°的方向上，则轮船在B处时与灯塔C之间的距离（即BC的长）为（ ）
A．40海里 B．（2010）海里
C．40海里 D．（1010）海里
【变式10-1】（2021秋 李沧区期末）如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达B点，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C．此时A，C两点之间的距离为 m．
【变式10-2】（2021秋 和平区校级月考）如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，且乙船从B1处沿北偏东15°方向匀速直线航行．经过20分钟后，甲船由A1处航行到A2处，乙船航行到甲船位置（即A2处）的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10海里，求乙船每小时航行多少海里．
【变式10-3】（2021 咸宁模拟）我国南海某海域有一个固定侦测点A，该侦测点的可侦测半径为海里．某天，在点A侦测到西北方向上的点C处有一可疑船恰好进入侦测区域，且往正东方向匀速航行，我方与其进行多次无线电沟通无果后，可疑船只于2小时后恰好在D处离开侦测区域，我方立即通知（通知时间忽略不计）位于点A北偏东37°方向，且与A相距50海里的B处的军舰往正南方向对可疑船只进行侦测拦截．
（1）求可疑船只的速度及点B到直线CD的距离；
（2）若军舰航行速度为20海里/时，可侦测半径为10海里，问军舰最快几小时可以侦测到可疑船只？（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
解直角三角形章末重难点突破
【考点1锐角三角函数的定义】
【例1】（2021秋 包河区期末）如图，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于O，则图中线段的比不能表示sinA的式子为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，利用锐角三角函数的定义进行求解即可．
【解答过程】解：A、∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，
∴sinA，故A不合题意；
B、∵∠A+∠ACE＝90°，∠ACE+∠COD＝90°，
∴∠A＝∠COD，
∴sinA＝sin∠COD，故B不合题意；
C、无法得出sinA，符合题意；
D、∵∠BOE＝∠COD，
∴∠A＝∠BOE，
∴sinA＝sin∠BOE，故D不合题意；
故选：C．
【变式1-1】（2021 吴兴区一模）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC：AB＝3：5，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先设AC＝3x，AB＝5x，则利用勾股定理可计算出BC＝4x，然后根据正切的定义求解．
【解答过程】解：∵∠ACB＝90°，AC：AB＝3：5，
设AC＝3x，AB＝5x，
∴BC4x，
∴tanA．
故选：B．
【变式1-2】（2021秋 商河县校级期末）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，那么下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．tanB
【解题思路】本题可以利用锐角三角函数的定义以及勾股定理分别求解，再进行判断即可．
【解答过程】解：∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝4，
∴AB2，
A、sinA，故此选项错误；
B、cosA，故此选项错误；
C、tanA，故此选项错误；
D、tanB，故此选项正确．
故选：D．
【变式1-3】（2021 下城区模拟）如图，△ACB中，∠ACB＝Rt∠，已知∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，则BD的长可表示为（ ）
A．a （cosα﹣cosβ） B．
C．acosα D．a cosα﹣asinα a tanβ
【解题思路】利用锐角三角函数关系分别表示出BC，DC的长进而得出答案．
【解答过程】解：∵∠C＝90°，∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，
∴cosB＝cosα，
则BC＝a cosα，
sinB＝sinα，
故AC＝a sinα，
则tanβ，
故DC，
则BD＝BC﹣DC＝a cosα．
故选：C．
【考点2 网格中的锐角三角函数值计算】
【例2】（2021秋 卧龙区校级月考）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinC为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据网格结构连接格点AD、BD，利用勾股定理列式求出AC2、AD2、CD2，再利用勾股定理逆定理判断出△ACD是直角三角形，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
【解答过程】解：如图，连接格点AD、BD，
由勾股定理得，AC2＝22+42＝20，
AD2＝12+12＝2，
CD2＝32+32＝18，
∵AD2+CD2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴sinC．
故选：A．
【变式2-1】（2021秋 高平市期末）如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，sin∠BAC＝（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】如图，取格点T，连接BT交AC于H，则BH⊥AC，设BH＝a，则AH＝5a，利用勾股定理求出AB，可得结论．
【解答过程】解：如图，取格点T，连接BT交AC于H，则BH⊥AC，设BH＝a，则AH＝5a，
在Rt△AHB中，ABa，
∴sin∠BAC，
故选：C．
【变式2-2】（2021 建湖县二模）在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
【解题思路】如图，取格点K，连接AK，BK．观察图形可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，推出∠AED＝∠ABK，解直角三角形求出tan∠ABK即可．
【解答过程】解：如图，取格点K，连接AK，BK．
观察图形可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，
∴∠AED＝∠ABK，
∴tan∠AED＝tan∠ABK，
故选：B．
【变式2-3】（2021秋 新吴区期末）如图，△ABC的顶点都在正方形网格纸的格点上，则sin ．
【解题思路】如图，取格点T，连接AT，BT，设BT的中点为H，连接CH．证明CB＝CT，利用等腰三角形的性质求解即可．
【解答过程】解：如图，取格点T，连接AT，BT，设BT的中点为H，连接CH．
∵BC5，CT5，
∴CB＝CT，
∵BH＝HT，
∴∠HCA＝∠HCB，CH⊥BT，
∵HT，
∴sin，
故答案为：．
【考点3同角/互余两角三角函数的关系】
【例3】（2021 温江区校级自主招生）已知，则tanα＝（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答过程】解：设直角三角形中，锐角α所对的边为a，邻边为b，斜边为c，
则sinα，cosα，tanα，
因为sinα+cosα，即，
所以，
设c＝5k，则a+b＝7k，由勾股定理可得，a＝3k，b＝4k或a＝4k，b＝3k，
因为0°＜α＜45°，
所以tanα，
故选：A．
【变式3-1】（2021 浙江自主招生）已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：①asinθ+bcosθ﹣c＝0；②acosθ﹣bsinθ+d＝0（其中θ为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是： a2+b2＝c2+d2 ．
【解题思路】把两个式子移项后，两边平方，再相加，利用sin2θ+cos2θ＝1，即可找到这四个数的关系．
【解答过程】解：由①得 asinθ+bcosθ＝c，
两边平方，a2sin2θ+b2cos2θ+2absinθcosθ＝c2③
由②得 acosθ﹣bsinθ＝﹣d，
两边平方，a2cos2θ+b2sin2θ﹣2absinθcosθ＝d2④
③+④得
a2（sin2θ+cos2θ）+b2（sin2θ+cos2θ）＝c2+d2
∴a2+b2＝c2+d2．
故答案为：a2+b2＝c2+d2．
【变式3-2】（2021秋 虹口区校级期中）下列结论（其中α是锐角）：
①sinα+cosα≤1；
②cos2α＝2cosα；
③当0°＜α＜β＜90°时，0＜sinα＜sinβ＜1；
④sinα＝cosα tanα．
其中正确的有 ③④ （填序号）．
【解题思路】根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可．
【解答过程】解：①0＜sinα+cosα＜2，故①错误；
②cos2α≠2cosα，故②错误；
③当0°＜α＜β＜90°时，0＜sinα＜sinβ＜1，故③正确；
④sinα＝cosα tanα，故④正确．
故答案为：③④．
【变式3-3】（2021秋 常州期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα＝sinB；②sinβ＝sinC；③sinB＝cosC；④sinα＝cosβ．其中正确的结论有 ．
【解题思路】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据∠A＝90°，AD⊥BC，可得∠α＝∠B，∠β＝∠C，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．
【解答过程】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠α+∠β＝90°，∠B+∠β＝90°，∠B+∠C＝90°，
∴∠α＝∠B，∠β＝∠C，
∴sinα＝sinB，故①正确；
sinβ＝sinC，故②正确；
∵在Rt△ABC中sinB，cosC，
∴sinB＝cosC，故③正确；
∵sinα＝sinB，cos∠β＝cosC，
∴sinα＝cos∠β，故④正确；
故答案为①②③④．
【考点4 特殊角的三角函数值计算及其新定义问题】
【例1】（2021 安庆模拟）亲爱的同学们，在我们进入高中以后，将还会学到三角函数公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ
例：sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30° cos45°+cos30° sin45°
（1）试仿照例题，求出cos75°的准确值；
（2）我们知道：，试求出tan75°的准确值；
（3）根据所学知识，请你巧妙地构造一个合适的直角三角形，求出tan75°的准确值（要求分母有理化），和（2）中的结论进行比较．
【解题思路】从题中给出的信息进行答题：
（1）把75°化为30°+45°直接代入三角函数公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ计算即可；
（2）把tan75°代入tanα，再把（1）及例题中的数值代入即可．
（3）根据题意画出图形，利用三角函数的定义解答即可．
【解答过程】解：（1）∵cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，
∴cos75°＝cos（30°+45°）＝cos30°cos45°﹣sin30°sin 45°，
；
（2）∵，
∴tan75°2；
（3）如下图：tan75°＝tan∠CBD2．
【变式4-1】（2021秋 临泽县校级月考）（1）2sin60°+3tan30°
（2）sin260°+cos260°﹣tan45°
（3）
（4）．
【解题思路】（1）把sin60°，tan30°代入进行计算即可得解；
（2）根据同角的正弦、余弦的平方和等于1，以及tan45°＝1进行计算即可得解；
（3）把cos60°，tan45°＝1，sin60°，tan30°，sin30°代入进行计算即可得解；
（4）把sin45°，sin60°，cos45°，代入进行计算即可得解．
【解答过程】解：（1）2sin60°+3tan30°
＝23
＝2；
（2）sin260°+cos260°﹣tan45°
＝1﹣1
＝0；
（3）
＝9﹣5
（4）sin45°+sin60°﹣2cos45°
2
．
【变式4-2】（2021 丛台区校级一模）嘉琪在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．
据此，嘉琪猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（1）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立．
（2）请你对嘉琪的猜想进行证明．
【解题思路】（1）将α＝30°代入，根据三角函数值计算可得；
（2）设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．
【解答过程】解：（1）当α＝30°时，
sin2α+sin2（90°﹣α）
＝sin230°+sin260°
＝（）2+（）2
＝1；
（2）嘉琪的猜想成立，证明如下：
如图，在△ABC中，∠C＝90°，
设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）
＝（）2+（）2
＝1．
【变式4-3】（2021 温州模拟）对于钝角α，定义它的三角函数值如下：
sinα＝sin（180°﹣α），cosα＝﹣cos（180°﹣α）
（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；
（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．
【解题思路】（1）按照题目所给的信息求解即可；
（2）分三种情况进行分析：①当∠A＝30°，∠B＝120°时；②当∠A＝120°，∠B＝30°时；③当∠A＝30°，∠B＝30°时，根据题意分别求出m的值即可．
【解答过程】解：（1）由题意得，
sin120°＝sin（180°﹣120°）＝sin60°，
cos120°＝﹣cos（180°﹣120°）＝﹣cos60°，
sin150°＝sin（180°﹣150°）＝sin30°；
（2）∵三角形的三个内角的比是1：1：4，
∴三个内角分别为30°，30°，120°，
①当∠A＝30°，∠B＝120°时，方程的两根为，，
将代入方程得：4×（）2﹣m1＝0，
解得：m＝0，
经检验是方程4x2﹣1＝0的根，
∴m＝0符合题意；
②当∠A＝120°，∠B＝30°时，两根为，，不符合题意；
③当∠A＝30°，∠B＝30°时，两根为，，
将代入方程得：4×（）2﹣m1＝0，
解得：m＝0，
经检验不是方程4x2﹣1＝0的根．
综上所述：m＝0，∠A＝30°，∠B＝120°．
【考点5 解直角三角形】
【例5】（2021 淄博）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得CE＝AE＝BEAB，进而得到∠BEC＝2∠A＝∠BFC，从而有∠CEF＝∠CBF，根据三角形的面积公式求出AF，由勾股定理，在Rt△BCF中，求出CF，再根据锐角三角函数的定义求解即可．
【解答过程】解：连接BF，
∵CE是斜边AB上的中线，EF⊥AB，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴S△AFE＝S△BFE＝5，∠FBA＝∠A，
∴S△AFB＝10AF BC，
∵BC＝4，
∴AF＝5＝BF，
在Rt△BCF中，BC＝4，BF＝5，
∴CF3，
∵CE＝AE＝BEAB，
∴∠A＝∠FBA＝∠ACE，
又∵∠BCA＝90°＝∠BEF，
∴∠CBF＝90°﹣∠BFC＝90°﹣2∠A，
∠CEF＝90°﹣∠BEC＝90°﹣2∠A，
∴∠CEF＝∠FBC，
∴sin∠CEF＝sin∠FBC，
故选：A．
【变式5-1】（2021 蚌埠模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，如果BD＝9，DC＝5，cosB，E为AC的中点，那么sin∠EDC的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由cosB，BD＝9求出AB长度，再由勾股定理求出AD，再由勾股定理求出AC，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得EC＝ED，即sin∠EDC＝sinC．
【解答过程】解：在Rt△ABD中，cosB，BD＝9，
∴ABBD＝15，
由勾股定理得AD12，
在Rt△ADC中，由勾股定理得AC13，
∵E为AC中点，
∴ED＝ECAC，
∴sin∠EDC＝sinC．
故选：C．
【变式5-2】（2021秋 东明县期末）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD、AE分别是BC边的中线和高，若cosB，BC＝10．
（1）求AB的长；
（2）求AE的长；
（3）求sin∠ADB的值．
【解题思路】（1）在Rt△ABC中，通过解直角三角形可求出AB的长；
（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AC的长，再利用面积法可求出AE的长；
（3）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出AD的长，在Rt△AED中，利用正弦的定义可求出sin∠ADB的值．
【解答过程】解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝90°，cosB，BC＝10，
∴AB＝BC cosB＝106．
（2）在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，AB＝6，
∴AC8．
∵AE是BC边的高，
∴AC ABBC AE，即8×610AE，
∴AE．
（3）Rt△ABC中，AD是BC边的中线，BC＝10，
∴ADBC＝5．
在Rt△AED中，∠AED＝90°，AD＝5，AE，
∴sin∠ADB．
【变式5-3】（2021秋 解放区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，cosA，BC＝12，D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
求：（1）线段CD的长；
（2）cos∠ABE的值．
【解题思路】（1）在△ABC中根据正弦的定义得到cosA，则可计算出AB＝15，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CDAB．
（2）在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC＝6，在根据三角形面积公式得到S△BDC＝S△ADC，则S△BDCS△ABC，即CD BE AC BC，于是可计算出BE，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解．
【解答过程】解：（1）在△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∴cosA，
∴可以假设AC＝3k，AB＝5k，则BC＝4k，
而BC＝12，
∴k＝3，
∴AB＝15
∵D是AB中点，
∴CDAB．
（2）在Rt△ABC中，∵AB＝15，BC＝12，AC＝9，
∵D是AB中点，
∴BD，S△BDC＝S△ADC，
∴S△BDCS△ABC，即CD BE AC BC，
∴BE，
在Rt△BDE中，cos∠ABE，
即cos∠ABE的值为．
【考点6 构造直角三角形解直角三角形（作垂线）】
【例6】（2021 宁波模拟）如图，AC，BD为四边形ABCD的对角线，AC⊥BC，AB⊥AD，CA＝CD．若tan∠BAC．则tan∠DBC的值是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据tan∠BAC，得出∠BAC的度数，则在Rt△ACB中，设BC＝1，则AC；证明△CAD为等边三角形，过点D作DE⊥CA，交CA于点E，设CA与BD交于点F，则DE∥BC，从而∠DBC＝∠FDE，设CF＝x，则EFx，根据tan∠DBC＝tan∠FDE列出关于x的方程，解得x值，则可求得tan∠DBC的值．
【解答过程】解：∵tan∠BAC，
∴∠BAC＝30°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴设BC＝1，则AC，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD＝90°，
∴∠DAC＝60°，
∵CA＝CD，
∴△CAD为等边三角形，
过点D作DE⊥CA，交CA于点E，设CA与BD交于点F，如图，
则有：CEAC，DE＝AD sin60°，
设CF＝x，则EFx，
∵AC⊥BC，DE⊥CA，
∴DE∥BC，
∴∠DBC＝∠FDE，
∴tan∠DBC＝tan∠FDE，
∴
∴，
解得：x，
∴tan∠DBC．
故选：D．
【变式6-1】（2021 宜宾）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【解题思路】∠OBD放在Rt△OBD中利用三角函数定义即可求．
【解答过程】解：如图：
作OF⊥AB于F，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC．
∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．
∴根据勾股定理得：AD8．
∵BE平分∠ABC．
∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．
设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：
（8﹣x）2＝x2+42．
∴x＝3．
∴OD＝3．
在Rt△OBD中，tan∠OBD．
故选：A．
【变式6-2】（2021 绍兴）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cosB，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【解题思路】设DE交AC于T,过点E作EH⊥CD于H.首先证明EA＝ED＝EC,再证明∠B＝∠ECD,可得结论。
【解答过程】解：设DE交AC于T,过点E作EH⊥CD于H．
∵∠BAC＝90°,BD＝DC,
∴AD＝DB＝DC,
∴∠B＝∠DAB,
∵∠B＝∠ADE,
∴∠DAB＝∠ADE,
∴AB∥DE,
∴∠DTC＝∠BAC＝90°,
∵DT∥AB,BD＝DC,
∴AT＝TC,
∴EA＝EC＝ED,
∴∠EDC＝∠ECD,
∵EH⊥CD,
∴CH＝DH,
∵DE∥AB,
∴∠EDC＝∠B,
∴∠ECD＝∠B,
∴cos∠ECH＝cosB,
∴,
∴2,
故选：D．
【变式6-3】（2021 宜兴市模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（ ）
A．2 B．21 C．2 D．22
【解题思路】如图，在AD的下方作Rt△ADT，使得∠ADT＝90°，DT＝1，连接CT，则AT，证明△DAB∽△TAC，推出，推出TC＝2，再根据CD≤DT+CT，可得CD≤1+2，由此即可解决问题．
【解答过程】解：如图，在AD的下方作Rt△ADT，使得∠ADT＝90°，DT＝1，连接CT，则AT，
∵2，
∴，
∵∠ADT＝∠ABC＝90°，
∴△ADT∽△ABC，
∴∠DAT＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠TAC，
∵，
∴△DAB∽△TAC，
∴，
∴TC＝2，
∵CD≤DT+CT，
∴CD≤1+2，
∴CD的最大值为1+2，
故选：B．
【考点7 解直角三角形的应用（实物建模问题）】
【例7】（2021 历下区三模）3月26日，济南轨道交通2号线开始初期运营，路线如图所示，已知腊山南站到北园站直线距离AD长约21千米，从腊山南站到二环西路站的长AB约为4千米，路线的转弯角∠B为157.5°，∠C为150°，又测得∠D＝30°，则从二环西路站到济泺路站的距离BC的长为（ ）（tan22.5°≈0.6，sin22.5°≈0.4，cos22.5°≈0.9，1.7）
A．14.62千米 B．14.64千米 C．14.66千米 D．14.68千米
【解题思路】过点B作BN⊥AD，过点C作CM⊥AD，构造直角三角形，利用锐角三角函数求出BN、AN，再根据矩形的性质得出CM，进而求出DM，即可计算出BC．
【解答过程】解：过点B作BN⊥AD于N，过点C作CM⊥AD于M，
∵∠B＝157.5°，∠C＝150°，∠D＝30°，
∴∠A＝22.5°，
在△ABN中，AB＝4千米，
∴BN＝AB×sin22.5°≈4×0.4＝1.6千米，AN＝AB×cos22.5°≈4×0.9＝3.6千米，∠ABN＝67.5°,
∴∠NBC＝90°,
∵∠NBC＝∠BND＝∠CMA＝90°,
∴四边形BNMC是矩形，
∴CM＝BN＝1.6千米，BC＝MN，
在△CDM中，
DM2.72千米，
∴MN＝AD﹣AN﹣DM＝14.68千米，
∴BC＝MN＝14.68千米．
故选：D．
【变式7-1】（2021秋 潜山市期末）为庆祝国庆，某公司要在如图所示的五角星中（图中所有线段的长度均相等，且∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝36°），从顶点A开始，沿边每隔25厘米装一盏闪光灯，如果F、J两点间的距离等于（1）米，则需要安装闪光灯的盏数是（ ）（参考数据：sin18°）
A．70 B．80 C．79 D．71
【解题思路】本题需要求出五角星的边长，即求出AF的长．由于五角星是由正五边形各边的延长线相交所得，可得∠A的度数．在等腰△FJ中，根据BC的长和∠ABC的度数，可求出AB的长．即可求出五角星的周长，由此可求出需安装闪光灯的数量．
【解答过程】解：如图：连接FJ，作AM⊥FJ于点M，
∵∠FAJ＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝36°，
∴∠FAM＝18°，FMFJ，
∵sin18°，
∴AF，
∴AF＝2（米），
∴AF+AJ+JE+EI+ID+DH+HC+CG+BG+BF＝2000cm，
则需安装闪光灯：2000÷25＝80（盏）．
故选：B．
【变式7-2】（2021春 北碚区校级月考）某网红地惊现震撼的裸眼3D超清LED巨幕，成功吸引了广大游客前来打卡．小丽想了解该LED屏AB的高度，进行了实地测量，她从大楼底部C点沿水平直线步行30米到达台阶底端D点，在D点测得屏幕下端点B的仰角为27°，然后她再沿着i＝4：3长度为35米的自动扶梯到达扶梯顶端E点，又沿水平直线行走了45米到达F点，在F点测得屏幕上端点A的仰角为50°（A，B，C，D，E，F，G在同一个平面内，且E、F和C、D、G分别在同一水平线上），则该LED屏AB的高度约为（ ）（结果精确到0.1，参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，sin50°≈0.77，tan50°≈1.19）
A．86.2米 B．114.2米 C．126.9米 D．142.2米
【解题思路】作EM⊥GC于M，设FE交AC于N，则EN＝MC＝DM+DC，EM＝NC＝NB+BC，由三角函数定义求出BC，由坡度求出EM＝28米，MD＝21米，得出CM＝51米，FN＝96米，再由三角函数定义求出AN，即可得出答案．
【解答过程】解：作EM⊥GC于M，设FE交AC于N，如图所示：
则EN＝MC＝DM+DC，EM＝NC＝NB+BC，
由题意得：∠AFN＝50°，FE＝45米，DC＝30米，DE＝35米，∠BDC＝27°，ED的坡度i＝4：3，
∵tan∠BDC，
∴BC＝DC×tan27°≈30×0.51＝15.3（米），
∵DE的坡度为4：3，
∴EM＝NCED＝28（米），DMDE＝21（米），
∴EN＝MC＝DM+DC＝21+30＝51（米），
∴FN＝FE+EN＝45+51＝96（米），
∵tan∠AFN，
∴AN＝FN×tan50°≈96×1.19≈114.24（米），
∴AB＝AC﹣BC＝AN+NC﹣BC＝114.24+28﹣15.3≈126.9（米）．
故选：C．
【变式7-3】（2021 义乌市模拟）如图1是一张双挡位可调节靠背椅，挡位调节示意图如图2．两脚AB，AC以及靠背DE，座位FG，其中D，F分别为AC，DE上固定连接点，GF在点A上移动实现靠背的调节，DC＝4AD，EF＝4DF，已知AB＝AC＝DE＝50分米，tan∠ABC＝2．
（1）当GF∥BC时，点E离水平地面BC的高度为 18 分米．
（2）当靠背DE′⊥AC时，有G′E′∥BC，则GF的长为 40 分米．
【解题思路】（1）如图2中，延长ED交BC于点J，过点E作EH⊥BC于点H．解直角三角形求出EH即可．
（2）如图2中，延长AF交DE′于点T．解直角三角形求出AF′，F′T，E′F′，再利用平行线分线段成比例定理求出G′F′即可．
【解答过程】解：（1）如图2中，延长ED交BC于点J，过点E作EH⊥BC于点H．
∵AF∥BC，
∴∠AFJ＝∠FJC，
∵DC＝4AD，EF＝4DF，AB＝AC＝DE＝50分米，
∴AD＝DF＝10（分米），EF＝40（分米），
∴∠DFA＝∠DAF，∠ABC＝∠ACD，
∵∠FAD＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠FJC，
∴AB∥FJ，
∴四边形ABJF是平行四边形，
∴AB＝FJ＝50（分米），
∴EJ＝EF+FJ＝90（分米），
∵tan∠EJH＝tan∠ABC＝2，
∴2，
∴可以假设JH＝m，EH＝2m，
∴4m2+m2＝902，
解得m＝18（负根已经舍弃），
∴EH＝36分米，
∴点E离水平地面BC的高度为36分米．
故答案为：36．
（2）如图2中，延长AF交DE′于点T．
∵E′D⊥AC，
∴∠ADT＝90°，
∵tan∠TAD＝tan∠ACB＝tan∠ABC＝2，
∴2，
∴DT＝20（分米），
∴TE′＝50﹣20＝30（分米），
∵DF′＝10（分米），
∴TF′＝DF′＝10（分米），
∴AF′10，
∵AT∥G′E′，
∴，
∴，
∴F′G′＝40（分米），
∴GF＝G′F′＝40（分米）．
故答案为：40．
【考点8解直角三角形的应用（坡度坡脚问题）】
【例8】（2021秋 莱芜区期中）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i＝1：，且AB＝26米，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡；
（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长；
（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）
【参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75】
【解题思路】（1）根据i的值，设出BE与AE，由AB的长求出k的值，即可确定出AE与BE；
（2）过点F作FG⊥AD于点G，由题意，利用锐角三角函数定义求出AG的长，由AG﹣AE求出BF的长即可．
【解答过程】解：（1）在Rt△ABE中，AB＝26，i，
设BE＝12k，AE＝5k，则AB＝13k＝26，k＝2，
∴AE＝10（米），BE＝24（米）；
（2）过点F作FG⊥AD于点G，
由题意可知：FG＝BE＝24，∠FAD＝53°，
在Rt△AFG中，cot53°0.75，
∴AG＝18（米），
∴BF＝GE＝AG﹣AE＝8（米），
答：改造前坡顶与地面的距离BE为24米；BF至少是8米．
【变式8-1】（2021 济宁二模）郑州市农业路高架桥二层的开通，较大程度缓解了市内交通的压力，最初设计南阳路口上桥匝道时，其坡角为15°，后来从安全角度考虑将匝道坡角改为5°（见示意图），如果高架桥高CD＝6米，匝道BD和AD每米造价均为4000元，那么设计优化后修建匝道AD的投资将增加多少元？（参考数据：sin5°≈0.08，sin15°≈0.25，tan5°≈0.09．tan15°≈0.27，结果保留整数）
【解题思路】根据锐角三角函数可以分别表示出AD和BD的长，从而可以求得设计优化后修建匝道AD的投资将增加多少元．
【解答过程】解：由题意可得，
∵∠DCA＝90°，CD＝6米，
∴在Rt△ACD中，∠CAD＝5°，
∴AD，
在Rt△BCD中，∠CBD＝15°，
∴BD，
∴设计优化后修建匝道AD的投资将增加：（）×4000≈204000（元），
即设计优化后修建匝道AD的投资将增加204000元．
【变式8-2】（2021 市南区二模）在2020年5月27日，我国派遣了一支登山队成功地登上了珠峰之巅，再次以中国人的身份，站上了珠峰顶部．已知一个人登山时的动作可以简化成下图所示，他的大腿长AB＝AC＝45cm，上坡时大腿之间的夹角∠BAC＝65°，某段山坡DF的坡度为i．问这名登山队员沿着这段山坡，大约走多少步才能将自己所处位置的海拔提高50米？
（结果保留整数，sin65°，tan65°，cos65°）
【解题思路】过点C作CH⊥AD于点H，延长CE交DG于点M，得矩形CHDM，根据三角函数可得登山队员每走一步，海拔提高大约提高cm，进而可得结论．
【解答过程】解：如图，过点C作CH⊥AD于点H，延长CE交DG于点M，
得矩形CHDM，
∴CH＝DM，
根据题意可知：
山坡DF的坡度为i，AB＝AC＝45cm，∠BAC＝65°，
∴sin∠BAC＝sin65°，
∴CH≈45（cm），
∴，
∴EM（cm），
∵登山队员每走一步，海拔提高大约提高cm，
∵50m＝5000cm，
∴5000231.48≈231（步）．
【变式8-3】（2021 灌云县模拟）如图，水坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角α为30°，背水坡AD的坡度i为1：1.2，坝顶宽DC＝2.5米，坝高5米．求：
（1）坝底宽AB的长（结果保留根号）；
（2）在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽0.5米，背水坡AD的坡度改为1：1.4，已知堤坝的总长度为5km，求完成该项工程所需的土方（结果保留根号）．
【解题思路】（1）作DF⊥AB，根据坡度的概念求出AF，根据正切的定义求出BE，得到坝底宽AB的长；
（2）作D′G⊥A′B，求出CD′、A′B，求出梯形的面积公式计算，得到答案．
【解答过程】解：（1）作DF⊥AB，垂足为F，
∵DC∥EF，DF∥CE，DF⊥AB，
∴四边形DFEC为矩形，
∴FE＝DC＝2.5，DF＝CE＝5，
在Rt△AFD中，坡AD的坡度i为1：1.2，
∴AF＝1.2DF＝1.2×5＝6，
在Rt△CEB中，tanα，
∴BE5，
∴AB＝AF+FE+EB5；
（2）如图，作D′G⊥A′B于G，
在Rt△A'GD′中，A′G＝1.4D′G＝7，
∴A′A＝A′G+GF﹣AF＝1.5，
∴梯形D′A′AD的面积（0.5+1.5）×5＝5，
∴完成该项工程所需的土方＝5×5000＝25000，
答：完成该项工程所需的土方为25000立方米．
【考点9 解直角三角形的应用（俯角仰角问题）】
【例9】（2021 东港区校级二模）应用所学知识，解决实际问题．
（1）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线B的平均速度；
（2）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝50m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，求居民楼AB的高度．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
（3）已知飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60tt2．求在飞机着陆滑行中最后4s滑行的距离．
【解题思路】（1）设走路线A的平均速度为xkm/h，则走路线B的平均速度为（1+50%）xkm/h，根据时间＝路程÷速度结合走路线B比走路线A少用6min，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出DE、EC、BE、DF、AF，进而求出AB；
（3）由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当y取得最大值时，t也取得最大值，求得t的取值范围即可，结合取值范围求得最后4s滑行的距离．
【解答过程】（1）解：设走路线A的平均速度为xkm/h，则走路线B的平均速度为（1+50%）x＝（1+0.5）xkm/h，
依题意，得：，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴（1+50%）x＝75．
答：走路线B的平均速度为75km/h；
（2）解：如图，过点D作DF⊥AB，垂足为F，作DE⊥BC交BC的延长线于点E，
由题意得，∠ADF＝28°，CD＝50m，BC＝60m，
在Rt△DEC中，
∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，
∴，
设DE＝4xm，则EC＝3xm，由勾股定理可得CD＝5xm，
又CD＝50m，即5x＝50，
∴x＝10（m），
∴EC＝3x＝30（m），DE＝4x＝40（m）＝FB，
∴BE＝BC+EC＝60+30＝90（m）＝DF，
在Rt△ADF中，
AF＝tan28°×DF≈0.53×90≈47.7（m），
∴AB＝AF+FB＝47.7+40≈87.7（m），
即居民楼AB的高度约为87.7m．
（3）解：当y取得最大值时，飞机停下来，
则y＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．
因此t的取值范围是0≤t≤20；
即当t＝16时，y＝576，
所以600﹣576＝24（米）．
答：在飞机着陆滑行中最后4s滑行的距离为24米．
【变式9-1】（2021 鹿邑县二模）无影塔位于河南汝南城南，俗传冬至正午无塔影，故称无影塔；相传为唐代和尚悟颖所建，故又称“悟颖塔”，该塔应建于北宋中、早期，为豫南地区现存最古老砖塔某数学小组为了度量塔高进行了如下操作：用一架无人机在距离塔基（B）某处垂直起飞30米至点C处，测得塔基B处的俯角为75°，将无人机沿水平方向向右飞行8.6米至点D，在此处测得塔顶A的俯角为30°，请依据题中数据计算无影塔的高度．（结果精确到1cm，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，1.73）
【解题思路】过点C作CM⊥BO，垂足为M，过点D作DN⊥BO，垂足为N，设DC与BA的延长线交于点E，设AB为x米．由三角函数定义求出CE≈8.04，在Rt△AED中，由三角函数定义得出，由CD＝DE﹣CE得出方程，解方程即可．
【解答过程】解：过点C作CM⊥BO，垂足为M，设DC与BA的延长线交于点E，如图：
设AB为x米．
∵∠E＝∠ABM＝∠BMC＝90°，
∴四边形EBMC为矩形，
∴MC＝BE＝30，
∵∠BCE＝75°，tan∠BCE3.73，
∴CE8.04，
在Rt△AED中，∠ADE＝30°，AE＝30﹣x，tan∠ADE，
∴，
∵CD＝DE﹣CE，
∴，
解得：x≈20.38，
答：无影塔的高度约为20.38米．
【变式9-2】（2021春 吴兴区校级期中）第十一届全国少数民族传统体育运动会于2019年9月8日至16日在郑州举行，据了解，该赛事每四年举办一届，是我国规格最高、规模最大的综合性民族体育盛会，其中，花炮、押加、民族式摔跤三个项目的比赛在郑州大学主校区进行．如图，钟楼是郑州大学主校区标志性建筑物之一，是郑大的“第一高度”，寓意来自五湖四海的郑大人的团结和凝聚．小刚站在钟楼前C处测得钟楼顶A的仰角为53°，小强站在对面的教学楼三楼上的D处测得钟楼顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为4m，已知教学楼三楼所在的高度为10m，根据测得的数据，计算钟楼AB的高度．
（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°）
【解题思路】作DF⊥AB于F，根据矩形的性质得到FB＝DE＝10，DF＝BE，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义计算，得到答案．
【解答过程】解：作DF⊥AB于F，
设AB＝xm，
∵FB⊥EB，DE⊥EB，DF⊥AB，
∴四边形FBED为矩形，
∴FB＝DE＝10，DF＝BE，
∴AF＝10﹣x，
在Rt△AFD中，∠ADF＝45°，
∴DF＝AF＝10﹣x，
在Rt△ABC中，∠ACB＝53°，tan∠ACB，
∴BCx，
由题意得，BE﹣BC＝CE，即10﹣xx＝4，
解得，x，
答：钟楼AB的高度约为m．
【变式9-3】（2021 河南）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．
（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，1.41）；
（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
【解题思路】（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，于是得到BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，求得CE＝AE，设AE＝CE＝x，得到BE＝16+x，解直角三角形即可得到结论；
（2）建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．
【解答过程】解：（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，
则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，
∴BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，
∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE＝AE，
设AE＝CE＝x，
∴BE＝16+x，
∵∠ABE＝22°，
∴tan22°0.40，
∴x≈10.7（m），
∴AD＝10.7+1.6＝12.3（m），
答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m；
（2）∵“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，
∴本次测量结果的误差为12.6﹣12.3＝0.3（m），
减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．
【考点10解直角三角形的应用（方位角问题）】
【例10】（2021 长清区一模）如图，一艘轮船在A处测得灯塔C在北偏西15°的方向上，该轮船又从A处向正东方向行驶20海里到达B处，测得灯塔C在北偏西60°的方向上，则轮船在B处时与灯塔C之间的距离（即BC的长）为（ ）
A．40海里 B．（2010）海里
C．40海里 D．（1010）海里
【解题思路】过A作AD⊥BC于D，解直角三角形求出CD和BD，即可解决问题．
【解答过程】解：过A作AD⊥BC于D，如图所示：
在Rt△ABD中，∠ABD＝90°﹣60°＝30°，AB＝20海里，
∴ADAB＝10（海里），BDADAB＝10（海里），
∵∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠BAC＝90°+15°＝105°，
∴∠C＝180°﹣105°﹣30°＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD＝AD＝10（海里），
∴BC＝BD+CD＝（1010）海里，
故选：D．
【变式10-1】（2021秋 李沧区期末）如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达B点，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C．此时A，C两点之间的距离为 500 m．
【解题思路】先证∠ABC＝90°，再由勾股定理求解即可．
【解答过程】解：如图，由题意得：AB＝400m，BC＝300m，∠CBD＝37°，∠BAF＝53°，AF∥DE，
∴∠ABE＝∠BAF＝53°，
∴∠ABC＝180°﹣∠CBD﹣∠ABE＝180°﹣37°﹣53°＝90°，
∴AC500（m），
即A，C两点之间的距离为500m，
故答案为：500．
【变式10-2】（2021秋 和平区校级月考）如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，且乙船从B1处沿北偏东15°方向匀速直线航行．经过20分钟后，甲船由A1处航行到A2处，乙船航行到甲船位置（即A2处）的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10海里，求乙船每小时航行多少海里．
【解题思路】根据甲船的速度和行驶时间求出A1A2，可得△A1A2B2是等边三角形，作B2H⊥A1B1于H，根据题意求出∠B1A1B2＝45°，∠A1B1B2＝60°，根据正弦的定义求出B1B2，计算即可．
【解答过程】解：∵甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，航行20分钟到达A2，
∴A1A2＝3010（海里），
∵A2B2＝10（海里），
∴A1A2＝A2B2，又∠A1A2B2＝60°，
∴△A1A2B2是等边三角形；
如图，过点B2作B2H⊥A1B1于H，
根据题意可知：∠A1B1C＝∠B1A1D＝75°，∠CB1B2＝15°，
∴∠A1B1B2＝75°﹣15°＝60°．
∵△A1A2B2是等边三角形，
∴∠A2A1B2＝60°，A1B2＝A1A2＝10（海里），
∴∠B1A1B2＝180°﹣75°﹣60°＝45°．
在△B1A1B2中，A1B2＝10（海里），∠B1A1B2＝45°，∠A1B1B2＝60°，
∴B2HA1B2＝10（海里），
∴B1B2（海里），
则乙船每小时航行：20（海里）．
【变式10-3】（2021 咸宁模拟）我国南海某海域有一个固定侦测点A，该侦测点的可侦测半径为海里．某天，在点A侦测到西北方向上的点C处有一可疑船恰好进入侦测区域，且往正东方向匀速航行，我方与其进行多次无线电沟通无果后，可疑船只于2小时后恰好在D处离开侦测区域，我方立即通知（通知时间忽略不计）位于点A北偏东37°方向，且与A相距50海里的B处的军舰往正南方向对可疑船只进行侦测拦截．
（1）求可疑船只的速度及点B到直线CD的距离；
（2）若军舰航行速度为20海里/时，可侦测半径为10海里，问军舰最快几小时可以侦测到可疑船只？（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
【解题思路】（1）根据等腰直角三角形的判定定理求出CD，求出可疑船只的速度，作BF⊥CD交CD于点F，根据正切的定义求出BF；
（2）根据题意和勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答过程】解：（1）由题意可得，AC＝AD，∠ACD＝∠ADC＝45°，
∴∠CAD＝90°，
∴CD20，
∴可疑船只的速度是：20÷2＝10海里/时，
作BF⊥CD交CD于点F，如图所示，
∵CD＝20，AC＝AD，AE⊥CD于点E，∠CAD＝90°，
∴AE＝10，
又∵EAG＝37°，∠AEG＝90°，
∴AG，
∵AB＝50，
∴BG，
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴AE∥BF，
∴∠GBF＝∠GAE＝37°，
∴BF＝BG cos37°，
即可疑船只的速度是10海里/时，点B到直线CD的距离是30海里；
（2）EG＝AE tan∠EAG＝7.5，
∴DG＝ED﹣EG＝2.5，
GF＝BF tan∠B＝22.5，
则DF＝GF﹣GD＝20，
设军舰最快x小时可以侦测到可疑船只，
由勾股定理得，MN2＝NF2+MF2，即（20﹣10x）2+（30﹣20x）2＝102，
解得x．
答：军舰最快小时可以侦测到可疑船只．
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解直角三角形章末重难点突破10大题型
【考点1锐角三角函数的定义】
【例1】（2021秋 包河区期末）如图，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于O，则图中线段的比不能表示sinA的式子为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2021 吴兴区一模）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC：AB＝3：5，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2021秋 商河县校级期末）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，那么下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．tanB
【变式1-3】（2021 下城区模拟）如图，△ACB中，∠ACB＝Rt∠，已知∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，则BD的长可表示为（ ）
A．a （cosα﹣cosβ） B．
C．acosα D．a cosα﹣asinα a tanβ
【考点2 网格中的锐角三角函数值计算】
【例2】（2021秋 卧龙区校级月考）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinC为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2021秋 高平市期末）如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，sin∠BAC＝（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2021 建湖县二模）在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
【变式2-3】（2021秋 新吴区期末）如图，△ABC的顶点都在正方形网格纸的格点上，则sin ．
【考点3同角/互余两角三角函数的关系】
【例3】（2021 温江区校级自主招生）已知，则tanα＝（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2021 浙江自主招生）已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：①asinθ+bcosθ﹣c＝0；②acosθ﹣bsinθ+d＝0（其中θ为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是： ．
【变式3-2】（2021秋 虹口区校级期中）下列结论（其中α是锐角）：
①sinα+cosα≤1；
②cos2α＝2cosα；
③当0°＜α＜β＜90°时，0＜sinα＜sinβ＜1；
④sinα＝cosα tanα．
其中正确的有 （填序号）．
【变式3-3】（2021秋 常州期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα＝sinB；②sinβ＝sinC；③sinB＝cosC；④sinα＝cosβ．其中正确的结论有 ．
【考点4 特殊角的三角函数值计算及其新定义问题】
【例1】（2021 安庆模拟）亲爱的同学们，在我们进入高中以后，将还会学到三角函数公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ
例：sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30° cos45°+cos30° sin45°
（1）试仿照例题，求出cos75°的准确值；
（2）我们知道：，试求出tan75°的准确值；
（3）根据所学知识，请你巧妙地构造一个合适的直角三角形，求出tan75°的准确值（要求分母有理化），和（2）中的结论进行比较．
【变式4-1】（2021秋 临泽县校级月考）（1）2sin60°+3tan30°
（2）sin260°+cos260°﹣tan45°
（3）
（4）．
【变式4-2】（2021 丛台区校级一模）嘉琪在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．
据此，嘉琪猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（1）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立．
（2）请你对嘉琪的猜想进行证明．
【变式4-3】（2021 温州模拟）对于钝角α，定义它的三角函数值如下：
sinα＝sin（180°﹣α），cosα＝﹣cos（180°﹣α）
（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；
（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．
【考点5 解直角三角形】
【例5】（2021 淄博）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2021 蚌埠模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，如果BD＝9，DC＝5，cosB，E为AC的中点，那么sin∠EDC的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2021秋 东明县期末）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD、AE分别是BC边的中线和高，若cosB，BC＝10．
（1）求AB的长；
（2）求AE的长；
（3）求sin∠ADB的值．
【变式5-3】（2021秋 解放区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，cosA，BC＝12，D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
求：（1）线段CD的长；
（2）cos∠ABE的值．
【考点6 构造直角三角形解直角三角形（作垂线）】
【例6】（2021 宁波模拟）如图，AC，BD为四边形ABCD的对角线，AC⊥BC，AB⊥AD，CA＝CD．若tan∠BAC．则tan∠DBC的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2021 宜宾）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【变式6-2】（2021 绍兴）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cosB，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【变式6-3】（2021 宜兴市模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（ ）
A．2 B．21 C．2 D．22
【考点7 解直角三角形的应用（实物建模问题）】
【例7】（2021 历下区三模）3月26日，济南轨道交通2号线开始初期运营，路线如图所示，已知腊山南站到北园站直线距离AD长约21千米，从腊山南站到二环西路站的长AB约为4千米，路线的转弯角∠B为157.5°，∠C为150°，又测得∠D＝30°，则从二环西路站到济泺路站的距离BC的长为（ ）（tan22.5°≈0.6，sin22.5°≈0.4，cos22.5°≈0.9，1.7）
A．14.62千米 B．14.64千米 C．14.66千米 D．14.68千米
【变式7-1】（2021秋 潜山市期末）为庆祝国庆，某公司要在如图所示的五角星中（图中所有线段的长度均相等，且∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝36°），从顶点A开始，沿边每隔25厘米装一盏闪光灯，如果F、J两点间的距离等于（1）米，则需要安装闪光灯的盏数是（ ）（参考数据：sin18°）
A．70 B．80 C．79 D．71
【变式7-2】（2021春 北碚区校级月考）某网红地惊现震撼的裸眼3D超清LED巨幕，成功吸引了广大游客前来打卡．小丽想了解该LED屏AB的高度，进行了实地测量，她从大楼底部C点沿水平直线步行30米到达台阶底端D点，在D点测得屏幕下端点B的仰角为27°，然后她再沿着i＝4：3长度为35米的自动扶梯到达扶梯顶端E点，又沿水平直线行走了45米到达F点，在F点测得屏幕上端点A的仰角为50°（A，B，C，D，E，F，G在同一个平面内，且E、F和C、D、G分别在同一水平线上），则该LED屏AB的高度约为（ ）（结果精确到0.1，参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，sin50°≈0.77，tan50°≈1.19）
A．86.2米 B．114.2米 C．126.9米 D．142.2米
【变式7-3】（2021 义乌市模拟）如图1是一张双挡位可调节靠背椅，挡位调节示意图如图2．两脚AB，AC以及靠背DE，座位FG，其中D，F分别为AC，DE上固定连接点，GF在点A上移动实现靠背的调节，DC＝4AD，EF＝4DF，已知AB＝AC＝DE＝50分米，tan∠ABC＝2．
（1）当GF∥BC时，点E离水平地面BC的高度为 分米．
（2）当靠背DE′⊥AC时，有G′E′∥BC，则GF的长为 分米．
【考点8 解直角三角形的应用（坡度坡脚问题）】
【例8】（2021秋 莱芜区期中）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i＝1：，且AB＝26米，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡；
（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长；
（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）
【变式8-1】（2021 济宁二模）郑州市农业路高架桥二层的开通，较大程度缓解了市内交通的压力，最初设计南阳路口上桥匝道时，其坡角为15°，后来从安全角度考虑将匝道坡角改为5°（见示意图），如果高架桥高CD＝6米，匝道BD和AD每米造价均为4000元，那么设计优化后修建匝道AD的投资将增加多少元？（参考数据：sin5°≈0.08，sin15°≈0.25，tan5°≈0.09．tan15°≈0.27，结果保留整数）
【变式8-2】（2021 市南区二模）在2020年5月27日，我国派遣了一支登山队成功地登上了珠峰之巅，再次以中国人的身份，站上了珠峰顶部．已知一个人登山时的动作可以简化成下图所示，他的大腿长AB＝AC＝45cm，上坡时大腿之间的夹角∠BAC＝65°，某段山坡DF的坡度为i．问这名登山队员沿着这段山坡，大约走多少步才能将自己所处位置的海拔提高50米？
（结果保留整数，sin65°，tan65°，cos65°）
【变式8-3】（2021 灌云县模拟）如图，水坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角α为30°，背水坡AD的坡度i为1：1.2，坝顶宽DC＝2.5米，坝高5米．求：
（1）坝底宽AB的长（结果保留根号）；
（2）在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽0.5米，背水坡AD的坡度改为1：1.4，已知堤坝的总长度为5km，求完成该项工程所需的土方（结果保留根号）．
【考点9 解直角三角形的应用（俯角仰角问题）】
【例9】（2021 东港区校级二模）应用所学知识，解决实际问题．
（1）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线B的平均速度；
（2）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝50m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，求居民楼AB的高度．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
（3）已知飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60tt2．求在飞机着陆滑行中最后4s滑行的距离．
【变式9-1】（2021 鹿邑县二模）无影塔位于河南汝南城南，俗传冬至正午无塔影，故称无影塔；相传为唐代和尚悟颖所建，故又称“悟颖塔”，该塔应建于北宋中、早期，为豫南地区现存最古老砖塔某数学小组为了度量塔高进行了如下操作：用一架无人机在距离塔基（B）某处垂直起飞30米至点C处，测得塔基B处的俯角为75°，将无人机沿水平方向向右飞行8.6米至点D，在此处测得塔顶A的俯角为30°，请依据题中数据计算无影塔的高度．（结果精确到1cm，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，1.73）
【变式9-2】（2021春 吴兴区校级期中）第十一届全国少数民族传统体育运动会于2019年9月8日至16日在郑州举行，据了解，该赛事每四年举办一届，是我国规格最高、规模最大的综合性民族体育盛会，其中，花炮、押加、民族式摔跤三个项目的比赛在郑州大学主校区进行．如图，钟楼是郑州大学主校区标志性建筑物之一，是郑大的“第一高度”，寓意来自五湖四海的郑大人的团结和凝聚．小刚站在钟楼前C处测得钟楼顶A的仰角为53°，小强站在对面的教学楼三楼上的D处测得钟楼顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为4m，已知教学楼三楼所在的高度为10m，根据测得的数据，计算钟楼AB的高度．
（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°）
【变式9-3】（2021 河南）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．
（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，1.41）；
（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
【考点10解直角三角形的应用（方位角问题）】
【例10】（2021 长清区一模）如图，一艘轮船在A处测得灯塔C在北偏西15°的方向上，该轮船又从A处向正东方向行驶20海里到达B处，测得灯塔C在北偏西60°的方向上，则轮船在B处时与灯塔C之间的距离（即BC的长）为（ ）
A．40海里 B．（2010）海里
C．40海里 D．（1010）海里
【变式10-1】（2021秋 李沧区期末）如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达B点，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C．此时A，C两点之间的距离为 m．
【变式10-2】（2021秋 和平区校级月考）如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，且乙船从B1处沿北偏东15°方向匀速直线航行．经过20分钟后，甲船由A1处航行到A2处，乙船航行到甲船位置（即A2处）的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10海里，求乙船每小时航行多少海里．
【变式10-3】（2021 咸宁模拟）我国南海某海域有一个固定侦测点A，该侦测点的可侦测半径为海里．某天，在点A侦测到西北方向上的点C处有一可疑船恰好进入侦测区域，且往正东方向匀速航行，我方与其进行多次无线电沟通无果后，可疑船只于2小时后恰好在D处离开侦测区域，我方立即通知（通知时间忽略不计）位于点A北偏东37°方向，且与A相距50海里的B处的军舰往正南方向对可疑船只进行侦测拦截．
（1）求可疑船只的速度及点B到直线CD的距离；
（2）若军舰航行速度为20海里/时，可侦测半径为10海里，问军舰最快几小时可以侦测到可疑船只？（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
解直角三角形章末重难点突破
【考点1锐角三角函数的定义】
【例1】（2021秋 包河区期末）如图，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于O，则图中线段的比不能表示sinA的式子为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，利用锐角三角函数的定义进行求解即可．
【解答过程】解：A、∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，
∴sinA，故A不合题意；
B、∵∠A+∠ACE＝90°，∠ACE+∠COD＝90°，
∴∠A＝∠COD，
∴sinA＝sin∠COD，故B不合题意；
C、无法得出sinA，符合题意；
D、∵∠BOE＝∠COD，
∴∠A＝∠BOE，
∴sinA＝sin∠BOE，故D不合题意；
故选：C．
【变式1-1】（2021 吴兴区一模）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC：AB＝3：5，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先设AC＝3x，AB＝5x，则利用勾股定理可计算出BC＝4x，然后根据正切的定义求解．
【解答过程】解：∵∠ACB＝90°，AC：AB＝3：5，
设AC＝3x，AB＝5x，
∴BC4x，
∴tanA．
故选：B．
【变式1-2】（2021秋 商河县校级期末）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，那么下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．tanB
【解题思路】本题可以利用锐角三角函数的定义以及勾股定理分别求解，再进行判断即可．
【解答过程】解：∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝4，
∴AB2，
A、sinA，故此选项错误；
B、cosA，故此选项错误；
C、tanA，故此选项错误；
D、tanB，故此选项正确．
故选：D．
【变式1-3】（2021 下城区模拟）如图，△ACB中，∠ACB＝Rt∠，已知∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，则BD的长可表示为（ ）
A．a （cosα﹣cosβ） B．
C．acosα D．a cosα﹣asinα a tanβ
【解题思路】利用锐角三角函数关系分别表示出BC，DC的长进而得出答案．
【解答过程】解：∵∠C＝90°，∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，
∴cosB＝cosα，
则BC＝a cosα，
sinB＝sinα，
故AC＝a sinα，
则tanβ，
故DC，
则BD＝BC﹣DC＝a cosα．
故选：C．
【考点2 网格中的锐角三角函数值计算】
【例2】（2021秋 卧龙区校级月考）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinC为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据网格结构连接格点AD、BD，利用勾股定理列式求出AC2、AD2、CD2，再利用勾股定理逆定理判断出△ACD是直角三角形，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
【解答过程】解：如图，连接格点AD、BD，
由勾股定理得，AC2＝22+42＝20，
AD2＝12+12＝2，
CD2＝32+32＝18，
∵AD2+CD2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴sinC．
故选：A．
【变式2-1】（2021秋 高平市期末）如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，sin∠BAC＝（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】如图，取格点T，连接BT交AC于H，则BH⊥AC，设BH＝a，则AH＝5a，利用勾股定理求出AB，可得结论．
【解答过程】解：如图，取格点T，连接BT交AC于H，则BH⊥AC，设BH＝a，则AH＝5a，
在Rt△AHB中，ABa，
∴sin∠BAC，
故选：C．
【变式2-2】（2021 建湖县二模）在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
【解题思路】如图，取格点K，连接AK，BK．观察图形可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，推出∠AED＝∠ABK，解直角三角形求出tan∠ABK即可．
【解答过程】解：如图，取格点K，连接AK，BK．
观察图形可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，
∴∠AED＝∠ABK，
∴tan∠AED＝tan∠ABK，
故选：B．
【变式2-3】（2021秋 新吴区期末）如图，△ABC的顶点都在正方形网格纸的格点上，则sin ．
【解题思路】如图，取格点T，连接AT，BT，设BT的中点为H，连接CH．证明CB＝CT，利用等腰三角形的性质求解即可．
【解答过程】解：如图，取格点T，连接AT，BT，设BT的中点为H，连接CH．
∵BC5，CT5，
∴CB＝CT，
∵BH＝HT，
∴∠HCA＝∠HCB，CH⊥BT，
∵HT，
∴sin，
故答案为：．
【考点3同角/互余两角三角函数的关系】
【例3】（2021 温江区校级自主招生）已知，则tanα＝（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答过程】解：设直角三角形中，锐角α所对的边为a，邻边为b，斜边为c，
则sinα，cosα，tanα，
因为sinα+cosα，即，
所以，
设c＝5k，则a+b＝7k，由勾股定理可得，a＝3k，b＝4k或a＝4k，b＝3k，
因为0°＜α＜45°，
所以tanα，
故选：A．
【变式3-1】（2021 浙江自主招生）已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：①asinθ+bcosθ﹣c＝0；②acosθ﹣bsinθ+d＝0（其中θ为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是： a2+b2＝c2+d2 ．
【解题思路】把两个式子移项后，两边平方，再相加，利用sin2θ+cos2θ＝1，即可找到这四个数的关系．
【解答过程】解：由①得 asinθ+bcosθ＝c，
两边平方，a2sin2θ+b2cos2θ+2absinθcosθ＝c2③
由②得 acosθ﹣bsinθ＝﹣d，
两边平方，a2cos2θ+b2sin2θ﹣2absinθcosθ＝d2④
③+④得
a2（sin2θ+cos2θ）+b2（sin2θ+cos2θ）＝c2+d2
∴a2+b2＝c2+d2．
故答案为：a2+b2＝c2+d2．
【变式3-2】（2021秋 虹口区校级期中）下列结论（其中α是锐角）：
①sinα+cosα≤1；
②cos2α＝2cosα；
③当0°＜α＜β＜90°时，0＜sinα＜sinβ＜1；
④sinα＝cosα tanα．
其中正确的有 ③④ （填序号）．
【解题思路】根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可．
【解答过程】解：①0＜sinα+cosα＜2，故①错误；
②cos2α≠2cosα，故②错误；
③当0°＜α＜β＜90°时，0＜sinα＜sinβ＜1，故③正确；
④sinα＝cosα tanα，故④正确．
故答案为：③④．
【变式3-3】（2021秋 常州期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα＝sinB；②sinβ＝sinC；③sinB＝cosC；④sinα＝cosβ．其中正确的结论有 ．
【解题思路】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据∠A＝90°，AD⊥BC，可得∠α＝∠B，∠β＝∠C，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．
【解答过程】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠α+∠β＝90°，∠B+∠β＝90°，∠B+∠C＝90°，
∴∠α＝∠B，∠β＝∠C，
∴sinα＝sinB，故①正确；
sinβ＝sinC，故②正确；
∵在Rt△ABC中sinB，cosC，
∴sinB＝cosC，故③正确；
∵sinα＝sinB，cos∠β＝cosC，
∴sinα＝cos∠β，故④正确；
故答案为①②③④．
【考点4 特殊角的三角函数值计算及其新定义问题】
【例1】（2021 安庆模拟）亲爱的同学们，在我们进入高中以后，将还会学到三角函数公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ
例：sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30° cos45°+cos30° sin45°
（1）试仿照例题，求出cos75°的准确值；
（2）我们知道：，试求出tan75°的准确值；
（3）根据所学知识，请你巧妙地构造一个合适的直角三角形，求出tan75°的准确值（要求分母有理化），和（2）中的结论进行比较．
【解题思路】从题中给出的信息进行答题：
（1）把75°化为30°+45°直接代入三角函数公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ计算即可；
（2）把tan75°代入tanα，再把（1）及例题中的数值代入即可．
（3）根据题意画出图形，利用三角函数的定义解答即可．
【解答过程】解：（1）∵cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，
∴cos75°＝cos（30°+45°）＝cos30°cos45°﹣sin30°sin 45°，
；
（2）∵，
∴tan75°2；
（3）如下图：tan75°＝tan∠CBD2．
【变式4-1】（2021秋 临泽县校级月考）（1）2sin60°+3tan30°
（2）sin260°+cos260°﹣tan45°
（3）
（4）．
【解题思路】（1）把sin60°，tan30°代入进行计算即可得解；
（2）根据同角的正弦、余弦的平方和等于1，以及tan45°＝1进行计算即可得解；
（3）把cos60°，tan45°＝1，sin60°，tan30°，sin30°代入进行计算即可得解；
（4）把sin45°，sin60°，cos45°，代入进行计算即可得解．
【解答过程】解：（1）2sin60°+3tan30°
＝23
＝2；
（2）sin260°+cos260°﹣tan45°
＝1﹣1
＝0；
（3）
＝9﹣5
（4）sin45°+sin60°﹣2cos45°
2
．
【变式4-2】（2021 丛台区校级一模）嘉琪在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．
据此，嘉琪猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（1）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立．
（2）请你对嘉琪的猜想进行证明．
【解题思路】（1）将α＝30°代入，根据三角函数值计算可得；
（2）设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．
【解答过程】解：（1）当α＝30°时，
sin2α+sin2（90°﹣α）
＝sin230°+sin260°
＝（）2+（）2
＝1；
（2）嘉琪的猜想成立，证明如下：
如图，在△ABC中，∠C＝90°，
设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）
＝（）2+（）2
＝1．
【变式4-3】（2021 温州模拟）对于钝角α，定义它的三角函数值如下：
sinα＝sin（180°﹣α），cosα＝﹣cos（180°﹣α）
（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；
（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．
【解题思路】（1）按照题目所给的信息求解即可；
（2）分三种情况进行分析：①当∠A＝30°，∠B＝120°时；②当∠A＝120°，∠B＝30°时；③当∠A＝30°，∠B＝30°时，根据题意分别求出m的值即可．
【解答过程】解：（1）由题意得，
sin120°＝sin（180°﹣120°）＝sin60°，
cos120°＝﹣cos（180°﹣120°）＝﹣cos60°，
sin150°＝sin（180°﹣150°）＝sin30°；
（2）∵三角形的三个内角的比是1：1：4，
∴三个内角分别为30°，30°，120°，
①当∠A＝30°，∠B＝120°时，方程的两根为，，
将代入方程得：4×（）2﹣m1＝0，
解得：m＝0，
经检验是方程4x2﹣1＝0的根，
∴m＝0符合题意；
②当∠A＝120°，∠B＝30°时，两根为，，不符合题意；
③当∠A＝30°，∠B＝30°时，两根为，，
将代入方程得：4×（）2﹣m1＝0，
解得：m＝0，
经检验不是方程4x2﹣1＝0的根．
综上所述：m＝0，∠A＝30°，∠B＝120°．
【考点5 解直角三角形】
【例5】（2021 淄博）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得CE＝AE＝BEAB，进而得到∠BEC＝2∠A＝∠BFC，从而有∠CEF＝∠CBF，根据三角形的面积公式求出AF，由勾股定理，在Rt△BCF中，求出CF，再根据锐角三角函数的定义求解即可．
【解答过程】解：连接BF，
∵CE是斜边AB上的中线，EF⊥AB，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴S△AFE＝S△BFE＝5，∠FBA＝∠A，
∴S△AFB＝10AF BC，
∵BC＝4，
∴AF＝5＝BF，
在Rt△BCF中，BC＝4，BF＝5，
∴CF3，
∵CE＝AE＝BEAB，
∴∠A＝∠FBA＝∠ACE，
又∵∠BCA＝90°＝∠BEF，
∴∠CBF＝90°﹣∠BFC＝90°﹣2∠A，
∠CEF＝90°﹣∠BEC＝90°﹣2∠A，
∴∠CEF＝∠FBC，
∴sin∠CEF＝sin∠FBC，
故选：A．
【变式5-1】（2021 蚌埠模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，如果BD＝9，DC＝5，cosB，E为AC的中点，那么sin∠EDC的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由cosB，BD＝9求出AB长度，再由勾股定理求出AD，再由勾股定理求出AC，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得EC＝ED，即sin∠EDC＝sinC．
【解答过程】解：在Rt△ABD中，cosB，BD＝9，
∴ABBD＝15，
由勾股定理得AD12，
在Rt△ADC中，由勾股定理得AC13，
∵E为AC中点，
∴ED＝ECAC，
∴sin∠EDC＝sinC．
故选：C．
【变式5-2】（2021秋 东明县期末）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD、AE分别是BC边的中线和高，若cosB，BC＝10．
（1）求AB的长；
（2）求AE的长；
（3）求sin∠ADB的值．
【解题思路】（1）在Rt△ABC中，通过解直角三角形可求出AB的长；
（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AC的长，再利用面积法可求出AE的长；
（3）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出AD的长，在Rt△AED中，利用正弦的定义可求出sin∠ADB的值．
【解答过程】解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝90°，cosB，BC＝10，
∴AB＝BC cosB＝106．
（2）在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，AB＝6，
∴AC8．
∵AE是BC边的高，
∴AC ABBC AE，即8×610AE，
∴AE．
（3）Rt△ABC中，AD是BC边的中线，BC＝10，
∴ADBC＝5．
在Rt△AED中，∠AED＝90°，AD＝5，AE，
∴sin∠ADB．
【变式5-3】（2021秋 解放区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，cosA，BC＝12，D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
求：（1）线段CD的长；
（2）cos∠ABE的值．
【解题思路】（1）在△ABC中根据正弦的定义得到cosA，则可计算出AB＝15，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CDAB．
（2）在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC＝6，在根据三角形面积公式得到S△BDC＝S△ADC，则S△BDCS△ABC，即CD BE AC BC，于是可计算出BE，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解．
【解答过程】解：（1）在△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∴cosA，
∴可以假设AC＝3k，AB＝5k，则BC＝4k，
而BC＝12，
∴k＝3，
∴AB＝15
∵D是AB中点，
∴CDAB．
（2）在Rt△ABC中，∵AB＝15，BC＝12，AC＝9，
∵D是AB中点，
∴BD，S△BDC＝S△ADC，
∴S△BDCS△ABC，即CD BE AC BC，
∴BE，
在Rt△BDE中，cos∠ABE，
即cos∠ABE的值为．
【考点6 构造直角三角形解直角三角形（作垂线）】
【例6】（2021 宁波模拟）如图，AC，BD为四边形ABCD的对角线，AC⊥BC，AB⊥AD，CA＝CD．若tan∠BAC．则tan∠DBC的值是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据tan∠BAC，得出∠BAC的度数，则在Rt△ACB中，设BC＝1，则AC；证明△CAD为等边三角形，过点D作DE⊥CA，交CA于点E，设CA与BD交于点F，则DE∥BC，从而∠DBC＝∠FDE，设CF＝x，则EFx，根据tan∠DBC＝tan∠FDE列出关于x的方程，解得x值，则可求得tan∠DBC的值．
【解答过程】解：∵tan∠BAC，
∴∠BAC＝30°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴设BC＝1，则AC，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD＝90°，
∴∠DAC＝60°，
∵CA＝CD，
∴△CAD为等边三角形，
过点D作DE⊥CA，交CA于点E，设CA与BD交于点F，如图，
则有：CEAC，DE＝AD sin60°，
设CF＝x，则EFx，
∵AC⊥BC，DE⊥CA，
∴DE∥BC，
∴∠DBC＝∠FDE，
∴tan∠DBC＝tan∠FDE，
∴
∴，
解得：x，
∴tan∠DBC．
故选：D．
【变式6-1】（2021 宜宾）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【解题思路】∠OBD放在Rt△OBD中利用三角函数定义即可求．
【解答过程】解：如图：
作OF⊥AB于F，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC．
∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．
∴根据勾股定理得：AD8．
∵BE平分∠ABC．
∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．
设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：
（8﹣x）2＝x2+42．
∴x＝3．
∴OD＝3．
在Rt△OBD中，tan∠OBD．
故选：A．
【变式6-2】（2021 绍兴）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cosB，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【解题思路】设DE交AC于T,过点E作EH⊥CD于H.首先证明EA＝ED＝EC,再证明∠B＝∠ECD,可得结论。
【解答过程】解：设DE交AC于T,过点E作EH⊥CD于H．
∵∠BAC＝90°,BD＝DC,
∴AD＝DB＝DC,
∴∠B＝∠DAB,
∵∠B＝∠ADE,
∴∠DAB＝∠ADE,
∴AB∥DE,
∴∠DTC＝∠BAC＝90°,
∵DT∥AB,BD＝DC,
∴AT＝TC,
∴EA＝EC＝ED,
∴∠EDC＝∠ECD,
∵EH⊥CD,
∴CH＝DH,
∵DE∥AB,
∴∠EDC＝∠B,
∴∠ECD＝∠B,
∴cos∠ECH＝cosB,
∴,
∴2,
故选：D．
【变式6-3】（2021 宜兴市模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（ ）
A．2 B．21 C．2 D．22
【解题思路】如图，在AD的下方作Rt△ADT，使得∠ADT＝90°，DT＝1，连接CT，则AT，证明△DAB∽△TAC，推出，推出TC＝2，再根据CD≤DT+CT，可得CD≤1+2，由此即可解决问题．
【解答过程】解：如图，在AD的下方作Rt△ADT，使得∠ADT＝90°，DT＝1，连接CT，则AT，
∵2，
∴，
∵∠ADT＝∠ABC＝90°，
∴△ADT∽△ABC，
∴∠DAT＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠TAC，
∵，
∴△DAB∽△TAC，
∴，
∴TC＝2，
∵CD≤DT+CT，
∴CD≤1+2，
∴CD的最大值为1+2，
故选：B．
【考点7 解直角三角形的应用（实物建模问题）】
【例7】（2021 历下区三模）3月26日，济南轨道交通2号线开始初期运营，路线如图所示，已知腊山南站到北园站直线距离AD长约21千米，从腊山南站到二环西路站的长AB约为4千米，路线的转弯角∠B为157.5°，∠C为150°，又测得∠D＝30°，则从二环西路站到济泺路站的距离BC的长为（ ）（tan22.5°≈0.6，sin22.5°≈0.4，cos22.5°≈0.9，1.7）
A．14.62千米 B．14.64千米 C．14.66千米 D．14.68千米
【解题思路】过点B作BN⊥AD，过点C作CM⊥AD，构造直角三角形，利用锐角三角函数求出BN、AN，再根据矩形的性质得出CM，进而求出DM，即可计算出BC．
【解答过程】解：过点B作BN⊥AD于N，过点C作CM⊥AD于M，
∵∠B＝157.5°，∠C＝150°，∠D＝30°，
∴∠A＝22.5°，
在△ABN中，AB＝4千米，
∴BN＝AB×sin22.5°≈4×0.4＝1.6千米，AN＝AB×cos22.5°≈4×0.9＝3.6千米，∠ABN＝67.5°,
∴∠NBC＝90°,
∵∠NBC＝∠BND＝∠CMA＝90°,
∴四边形BNMC是矩形，
∴CM＝BN＝1.6千米，BC＝MN，
在△CDM中，
DM2.72千米，
∴MN＝AD﹣AN﹣DM＝14.68千米，
∴BC＝MN＝14.68千米．
故选：D．
【变式7-1】（2021秋 潜山市期末）为庆祝国庆，某公司要在如图所示的五角星中（图中所有线段的长度均相等，且∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝36°），从顶点A开始，沿边每隔25厘米装一盏闪光灯，如果F、J两点间的距离等于（1）米，则需要安装闪光灯的盏数是（ ）（参考数据：sin18°）
A．70 B．80 C．79 D．71
【解题思路】本题需要求出五角星的边长，即求出AF的长．由于五角星是由正五边形各边的延长线相交所得，可得∠A的度数．在等腰△FJ中，根据BC的长和∠ABC的度数，可求出AB的长．即可求出五角星的周长，由此可求出需安装闪光灯的数量．
【解答过程】解：如图：连接FJ，作AM⊥FJ于点M，
∵∠FAJ＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝36°，
∴∠FAM＝18°，FMFJ，
∵sin18°，
∴AF，
∴AF＝2（米），
∴AF+AJ+JE+EI+ID+DH+HC+CG+BG+BF＝2000cm，
则需安装闪光灯：2000÷25＝80（盏）．
故选：B．
【变式7-2】（2021春 北碚区校级月考）某网红地惊现震撼的裸眼3D超清LED巨幕，成功吸引了广大游客前来打卡．小丽想了解该LED屏AB的高度，进行了实地测量，她从大楼底部C点沿水平直线步行30米到达台阶底端D点，在D点测得屏幕下端点B的仰角为27°，然后她再沿着i＝4：3长度为35米的自动扶梯到达扶梯顶端E点，又沿水平直线行走了45米到达F点，在F点测得屏幕上端点A的仰角为50°（A，B，C，D，E，F，G在同一个平面内，且E、F和C、D、G分别在同一水平线上），则该LED屏AB的高度约为（ ）（结果精确到0.1，参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，sin50°≈0.77，tan50°≈1.19）
A．86.2米 B．114.2米 C．126.9米 D．142.2米
【解题思路】作EM⊥GC于M，设FE交AC于N，则EN＝MC＝DM+DC，EM＝NC＝NB+BC，由三角函数定义求出BC，由坡度求出EM＝28米，MD＝21米，得出CM＝51米，FN＝96米，再由三角函数定义求出AN，即可得出答案．
【解答过程】解：作EM⊥GC于M，设FE交AC于N，如图所示：
则EN＝MC＝DM+DC，EM＝NC＝NB+BC，
由题意得：∠AFN＝50°，FE＝45米，DC＝30米，DE＝35米，∠BDC＝27°，ED的坡度i＝4：3，
∵tan∠BDC，
∴BC＝DC×tan27°≈30×0.51＝15.3（米），
∵DE的坡度为4：3，
∴EM＝NCED＝28（米），DMDE＝21（米），
∴EN＝MC＝DM+DC＝21+30＝51（米），
∴FN＝FE+EN＝45+51＝96（米），
∵tan∠AFN，
∴AN＝FN×tan50°≈96×1.19≈114.24（米），
∴AB＝AC﹣BC＝AN+NC﹣BC＝114.24+28﹣15.3≈126.9（米）．
故选：C．
【变式7-3】（2021 义乌市模拟）如图1是一张双挡位可调节靠背椅，挡位调节示意图如图2．两脚AB，AC以及靠背DE，座位FG，其中D，F分别为AC，DE上固定连接点，GF在点A上移动实现靠背的调节，DC＝4AD，EF＝4DF，已知AB＝AC＝DE＝50分米，tan∠ABC＝2．
（1）当GF∥BC时，点E离水平地面BC的高度为 18 分米．
（2）当靠背DE′⊥AC时，有G′E′∥BC，则GF的长为 40 分米．
【解题思路】（1）如图2中，延长ED交BC于点J，过点E作EH⊥BC于点H．解直角三角形求出EH即可．
（2）如图2中，延长AF交DE′于点T．解直角三角形求出AF′，F′T，E′F′，再利用平行线分线段成比例定理求出G′F′即可．
【解答过程】解：（1）如图2中，延长ED交BC于点J，过点E作EH⊥BC于点H．
∵AF∥BC，
∴∠AFJ＝∠FJC，
∵DC＝4AD，EF＝4DF，AB＝AC＝DE＝50分米，
∴AD＝DF＝10（分米），EF＝40（分米），
∴∠DFA＝∠DAF，∠ABC＝∠ACD，
∵∠FAD＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠FJC，
∴AB∥FJ，
∴四边形ABJF是平行四边形，
∴AB＝FJ＝50（分米），
∴EJ＝EF+FJ＝90（分米），
∵tan∠EJH＝tan∠ABC＝2，
∴2，
∴可以假设JH＝m，EH＝2m，
∴4m2+m2＝902，
解得m＝18（负根已经舍弃），
∴EH＝36分米，
∴点E离水平地面BC的高度为36分米．
故答案为：36．
（2）如图2中，延长AF交DE′于点T．
∵E′D⊥AC，
∴∠ADT＝90°，
∵tan∠TAD＝tan∠ACB＝tan∠ABC＝2，
∴2，
∴DT＝20（分米），
∴TE′＝50﹣20＝30（分米），
∵DF′＝10（分米），
∴TF′＝DF′＝10（分米），
∴AF′10，
∵AT∥G′E′，
∴，
∴，
∴F′G′＝40（分米），
∴GF＝G′F′＝40（分米）．
故答案为：40．
【考点8解直角三角形的应用（坡度坡脚问题）】
【例8】（2021秋 莱芜区期中）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i＝1：，且AB＝26米，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡；
（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长；
（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）
【参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75】
【解题思路】（1）根据i的值，设出BE与AE，由AB的长求出k的值，即可确定出AE与BE；
（2）过点F作FG⊥AD于点G，由题意，利用锐角三角函数定义求出AG的长，由AG﹣AE求出BF的长即可．
【解答过程】解：（1）在Rt△ABE中，AB＝26，i，
设BE＝12k，AE＝5k，则AB＝13k＝26，k＝2，
∴AE＝10（米），BE＝24（米）；
（2）过点F作FG⊥AD于点G，
由题意可知：FG＝BE＝24，∠FAD＝53°，
在Rt△AFG中，cot53°0.75，
∴AG＝18（米），
∴BF＝GE＝AG﹣AE＝8（米），
答：改造前坡顶与地面的距离BE为24米；BF至少是8米．
【变式8-1】（2021 济宁二模）郑州市农业路高架桥二层的开通，较大程度缓解了市内交通的压力，最初设计南阳路口上桥匝道时，其坡角为15°，后来从安全角度考虑将匝道坡角改为5°（见示意图），如果高架桥高CD＝6米，匝道BD和AD每米造价均为4000元，那么设计优化后修建匝道AD的投资将增加多少元？（参考数据：sin5°≈0.08，sin15°≈0.25，tan5°≈0.09．tan15°≈0.27，结果保留整数）
【解题思路】根据锐角三角函数可以分别表示出AD和BD的长，从而可以求得设计优化后修建匝道AD的投资将增加多少元．
【解答过程】解：由题意可得，
∵∠DCA＝90°，CD＝6米，
∴在Rt△ACD中，∠CAD＝5°，
∴AD，
在Rt△BCD中，∠CBD＝15°，
∴BD，
∴设计优化后修建匝道AD的投资将增加：（）×4000≈204000（元），
即设计优化后修建匝道AD的投资将增加204000元．
【变式8-2】（2021 市南区二模）在2020年5月27日，我国派遣了一支登山队成功地登上了珠峰之巅，再次以中国人的身份，站上了珠峰顶部．已知一个人登山时的动作可以简化成下图所示，他的大腿长AB＝AC＝45cm，上坡时大腿之间的夹角∠BAC＝65°，某段山坡DF的坡度为i．问这名登山队员沿着这段山坡，大约走多少步才能将自己所处位置的海拔提高50米？
（结果保留整数，sin65°，tan65°，cos65°）
【解题思路】过点C作CH⊥AD于点H，延长CE交DG于点M，得矩形CHDM，根据三角函数可得登山队员每走一步，海拔提高大约提高cm，进而可得结论．
【解答过程】解：如图，过点C作CH⊥AD于点H，延长CE交DG于点M，
得矩形CHDM，
∴CH＝DM，
根据题意可知：
山坡DF的坡度为i，AB＝AC＝45cm，∠BAC＝65°，
∴sin∠BAC＝sin65°，
∴CH≈45（cm），
∴，
∴EM（cm），
∵登山队员每走一步，海拔提高大约提高cm，
∵50m＝5000cm，
∴5000231.48≈231（步）．
【变式8-3】（2021 灌云县模拟）如图，水坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角α为30°，背水坡AD的坡度i为1：1.2，坝顶宽DC＝2.5米，坝高5米．求：
（1）坝底宽AB的长（结果保留根号）；
（2）在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽0.5米，背水坡AD的坡度改为1：1.4，已知堤坝的总长度为5km，求完成该项工程所需的土方（结果保留根号）．
【解题思路】（1）作DF⊥AB，根据坡度的概念求出AF，根据正切的定义求出BE，得到坝底宽AB的长；
（2）作D′G⊥A′B，求出CD′、A′B，求出梯形的面积公式计算，得到答案．
【解答过程】解：（1）作DF⊥AB，垂足为F，
∵DC∥EF，DF∥CE，DF⊥AB，
∴四边形DFEC为矩形，
∴FE＝DC＝2.5，DF＝CE＝5，
在Rt△AFD中，坡AD的坡度i为1：1.2，
∴AF＝1.2DF＝1.2×5＝6，
在Rt△CEB中，tanα，
∴BE5，
∴AB＝AF+FE+EB5；
（2）如图，作D′G⊥A′B于G，
在Rt△A'GD′中，A′G＝1.4D′G＝7，
∴A′A＝A′G+GF﹣AF＝1.5，
∴梯形D′A′AD的面积（0.5+1.5）×5＝5，
∴完成该项工程所需的土方＝5×5000＝25000，
答：完成该项工程所需的土方为25000立方米．
【考点9 解直角三角形的应用（俯角仰角问题）】
【例9】（2021 东港区校级二模）应用所学知识，解决实际问题．
（1）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线B的平均速度；
（2）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝50m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，求居民楼AB的高度．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
（3）已知飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60tt2．求在飞机着陆滑行中最后4s滑行的距离．
【解题思路】（1）设走路线A的平均速度为xkm/h，则走路线B的平均速度为（1+50%）xkm/h，根据时间＝路程÷速度结合走路线B比走路线A少用6min，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出DE、EC、BE、DF、AF，进而求出AB；
（3）由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当y取得最大值时，t也取得最大值，求得t的取值范围即可，结合取值范围求得最后4s滑行的距离．
【解答过程】（1）解：设走路线A的平均速度为xkm/h，则走路线B的平均速度为（1+50%）x＝（1+0.5）xkm/h，
依题意，得：，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴（1+50%）x＝75．
答：走路线B的平均速度为75km/h；
（2）解：如图，过点D作DF⊥AB，垂足为F，作DE⊥BC交BC的延长线于点E，
由题意得，∠ADF＝28°，CD＝50m，BC＝60m，
在Rt△DEC中，
∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，
∴，
设DE＝4xm，则EC＝3xm，由勾股定理可得CD＝5xm，
又CD＝50m，即5x＝50，
∴x＝10（m），
∴EC＝3x＝30（m），DE＝4x＝40（m）＝FB，
∴BE＝BC+EC＝60+30＝90（m）＝DF，
在Rt△ADF中，
AF＝tan28°×DF≈0.53×90≈47.7（m），
∴AB＝AF+FB＝47.7+40≈87.7（m），
即居民楼AB的高度约为87.7m．
（3）解：当y取得最大值时，飞机停下来，
则y＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．
因此t的取值范围是0≤t≤20；
即当t＝16时，y＝576，
所以600﹣576＝24（米）．
答：在飞机着陆滑行中最后4s滑行的距离为24米．
【变式9-1】（2021 鹿邑县二模）无影塔位于河南汝南城南，俗传冬至正午无塔影，故称无影塔；相传为唐代和尚悟颖所建，故又称“悟颖塔”，该塔应建于北宋中、早期，为豫南地区现存最古老砖塔某数学小组为了度量塔高进行了如下操作：用一架无人机在距离塔基（B）某处垂直起飞30米至点C处，测得塔基B处的俯角为75°，将无人机沿水平方向向右飞行8.6米至点D，在此处测得塔顶A的俯角为30°，请依据题中数据计算无影塔的高度．（结果精确到1cm，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，1.73）
【解题思路】过点C作CM⊥BO，垂足为M，过点D作DN⊥BO，垂足为N，设DC与BA的延长线交于点E，设AB为x米．由三角函数定义求出CE≈8.04，在Rt△AED中，由三角函数定义得出，由CD＝DE﹣CE得出方程，解方程即可．
【解答过程】解：过点C作CM⊥BO，垂足为M，设DC与BA的延长线交于点E，如图：
设AB为x米．
∵∠E＝∠ABM＝∠BMC＝90°，
∴四边形EBMC为矩形，
∴MC＝BE＝30，
∵∠BCE＝75°，tan∠BCE3.73，
∴CE8.04，
在Rt△AED中，∠ADE＝30°，AE＝30﹣x，tan∠ADE，
∴，
∵CD＝DE﹣CE，
∴，
解得：x≈20.38，
答：无影塔的高度约为20.38米．
【变式9-2】（2021春 吴兴区校级期中）第十一届全国少数民族传统体育运动会于2019年9月8日至16日在郑州举行，据了解，该赛事每四年举办一届，是我国规格最高、规模最大的综合性民族体育盛会，其中，花炮、押加、民族式摔跤三个项目的比赛在郑州大学主校区进行．如图，钟楼是郑州大学主校区标志性建筑物之一，是郑大的“第一高度”，寓意来自五湖四海的郑大人的团结和凝聚．小刚站在钟楼前C处测得钟楼顶A的仰角为53°，小强站在对面的教学楼三楼上的D处测得钟楼顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为4m，已知教学楼三楼所在的高度为10m，根据测得的数据，计算钟楼AB的高度．
（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°）
【解题思路】作DF⊥AB于F，根据矩形的性质得到FB＝DE＝10，DF＝BE，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义计算，得到答案．
【解答过程】解：作DF⊥AB于F，
设AB＝xm，
∵FB⊥EB，DE⊥EB，DF⊥AB，
∴四边形FBED为矩形，
∴FB＝DE＝10，DF＝BE，
∴AF＝10﹣x，
在Rt△AFD中，∠ADF＝45°，
∴DF＝AF＝10﹣x，
在Rt△ABC中，∠ACB＝53°，tan∠ACB，
∴BCx，
由题意得，BE﹣BC＝CE，即10﹣xx＝4，
解得，x，
答：钟楼AB的高度约为m．
【变式9-3】（2021 河南）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°．测角仪的高度为1.6m．
（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，1.41）；
（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
【解题思路】（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，于是得到BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，求得CE＝AE，设AE＝CE＝x，得到BE＝16+x，解直角三角形即可得到结论；
（2）建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．
【解答过程】解：（1）过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，
则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，
∴BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，
∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE＝AE，
设AE＝CE＝x，
∴BE＝16+x，
∵∠ABE＝22°，
∴tan22°0.40，
∴x≈10.7（m），
∴AD＝10.7+1.6＝12.3（m），
答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m；
（2）∵“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，
∴本次测量结果的误差为12.6﹣12.3＝0.3（m），
减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．
【考点10解直角三角形的应用（方位角问题）】
【例10】（2021 长清区一模）如图，一艘轮船在A处测得灯塔C在北偏西15°的方向上，该轮船又从A处向正东方向行驶20海里到达B处，测得灯塔C在北偏西60°的方向上，则轮船在B处时与灯塔C之间的距离（即BC的长）为（ ）
A．40海里 B．（2010）海里
C．40海里 D．（1010）海里
【解题思路】过A作AD⊥BC于D，解直角三角形求出CD和BD，即可解决问题．
【解答过程】解：过A作AD⊥BC于D，如图所示：
在Rt△ABD中，∠ABD＝90°﹣60°＝30°，AB＝20海里，
∴ADAB＝10（海里），BDADAB＝10（海里），
∵∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠BAC＝90°+15°＝105°，
∴∠C＝180°﹣105°﹣30°＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD＝AD＝10（海里），
∴BC＝BD+CD＝（1010）海里，
故选：D．
【变式10-1】（2021秋 李沧区期末）如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达B点，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C．此时A，C两点之间的距离为 500 m．
【解题思路】先证∠ABC＝90°，再由勾股定理求解即可．
【解答过程】解：如图，由题意得：AB＝400m，BC＝300m，∠CBD＝37°，∠BAF＝53°，AF∥DE，
∴∠ABE＝∠BAF＝53°，
∴∠ABC＝180°﹣∠CBD﹣∠ABE＝180°﹣37°﹣53°＝90°，
∴AC500（m），
即A，C两点之间的距离为500m，
故答案为：500．
【变式10-2】（2021秋 和平区校级月考）如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，且乙船从B1处沿北偏东15°方向匀速直线航行．经过20分钟后，甲船由A1处航行到A2处，乙船航行到甲船位置（即A2处）的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10海里，求乙船每小时航行多少海里．
【解题思路】根据甲船的速度和行驶时间求出A1A2，可得△A1A2B2是等边三角形，作B2H⊥A1B1于H，根据题意求出∠B1A1B2＝45°，∠A1B1B2＝60°，根据正弦的定义求出B1B2，计算即可．
【解答过程】解：∵甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，航行20分钟到达A2，
∴A1A2＝3010（海里），
∵A2B2＝10（海里），
∴A1A2＝A2B2，又∠A1A2B2＝60°，
∴△A1A2B2是等边三角形；
如图，过点B2作B2H⊥A1B1于H，
根据题意可知：∠A1B1C＝∠B1A1D＝75°，∠CB1B2＝15°，
∴∠A1B1B2＝75°﹣15°＝60°．
∵△A1A2B2是等边三角形，
∴∠A2A1B2＝60°，A1B2＝A1A2＝10（海里），
∴∠B1A1B2＝180°﹣75°﹣60°＝45°．
在△B1A1B2中，A1B2＝10（海里），∠B1A1B2＝45°，∠A1B1B2＝60°，
∴B2HA1B2＝10（海里），
∴B1B2（海里），
则乙船每小时航行：20（海里）．
【变式10-3】（2021 咸宁模拟）我国南海某海域有一个固定侦测点A，该侦测点的可侦测半径为海里．某天，在点A侦测到西北方向上的点C处有一可疑船恰好进入侦测区域，且往正东方向匀速航行，我方与其进行多次无线电沟通无果后，可疑船只于2小时后恰好在D处离开侦测区域，我方立即通知（通知时间忽略不计）位于点A北偏东37°方向，且与A相距50海里的B处的军舰往正南方向对可疑船只进行侦测拦截．
（1）求可疑船只的速度及点B到直线CD的距离；
（2）若军舰航行速度为20海里/时，可侦测半径为10海里，问军舰最快几小时可以侦测到可疑船只？（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
【解题思路】（1）根据等腰直角三角形的判定定理求出CD，求出可疑船只的速度，作BF⊥CD交CD于点F，根据正切的定义求出BF；
（2）根据题意和勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答过程】解：（1）由题意可得，AC＝AD，∠ACD＝∠ADC＝45°，
∴∠CAD＝90°，
∴CD20，
∴可疑船只的速度是：20÷2＝10海里/时，
作BF⊥CD交CD于点F，如图所示，
∵CD＝20，AC＝AD，AE⊥CD于点E，∠CAD＝90°，
∴AE＝10，
又∵EAG＝37°，∠AEG＝90°，
∴AG，
∵AB＝50，
∴BG，
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴AE∥BF，
∴∠GBF＝∠GAE＝37°，
∴BF＝BG cos37°，
即可疑船只的速度是10海里/时，点B到直线CD的距离是30海里；
（2）EG＝AE tan∠EAG＝7.5，
∴DG＝ED﹣EG＝2.5，
GF＝BF tan∠B＝22.5，
则DF＝GF﹣GD＝20，
设军舰最快x小时可以侦测到可疑船只，
由勾股定理得，MN2＝NF2+MF2，即（20﹣10x）2+（30﹣20x）2＝102，
解得x．
答：军舰最快小时可以侦测到可疑船只．
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