第1章 解直角三角形 章末测试卷（拔尖卷）（含解析）
文档属性
| 名称 | 第1章 解直角三角形 章末测试卷（拔尖卷）（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 8.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-29 17:20:44 | ||
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文档简介
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解直角三角形章末测试卷（拔尖卷）
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋 泉州期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列选项正确的是（ ）
A．sinA+sinB＜1 B．sinA+sinB＞1
C．sinA+sinB＝1 D．sinA+sinB≤1
2．（3分）（2021 杭州一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC：BC＝1：2，则∠A的正弦值为（ ）
A． B． C．2 D．
3．（3分）（2021秋 江阴市校级月考）如图，A（0，8），B（0，2），点E为x轴正半轴上一动点，设tan∠AEB＝m，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m B．0＜m C．m D．0＜m
4．（3分）（2021 温江区校级自主招生）已知，则tanα＝（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2021秋 冷水滩区期末）关于三角函数有如下公式：
sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ
cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ
tan（α+β）（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°1
利用上述公式计算下列三角函数①sin105°，②tan105°＝﹣2，③sin15°，④cos90°＝0
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（3分）（2021 杭州模拟）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B＝60°，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
7．（3分）（2021 建湖县二模）在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
8．（3分）（2021 温州自主招生）已知△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且2b＝a+c，延长CA到D，使AD＝AB，连接BD，则tan∠BCA的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）（2021 平阳县一模）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．英国佩里加（H．Perigal，1801﹣1898）用“水车翼轮法”（图1）证明了勾股定理．该证法是用线段QX，ST，将正方形BIJC分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形ACYZ拼成大正方形AEFB（图2）．若AD，tan∠AON，则正方形MNUV的周长为（ ）
A． B．18 C．16 D．
10．（3分）（2021 吴兴区一模）李白笔下“孤帆一片日边来”描述了在喷薄而出的红日映衬下，远远望见一叶帆船驶来的壮美河山之境．聪明的小芬同学利用几何图形，构造出了此意境！如图，半径为5的⊙O在线段AB上方，且圆心O在线段AB的中垂线上，到AB的距离为，AB＝20，线段PQ在边AB上（AP＜AQ），PQ＝6，以PQ中点C为顶点向上作Rt△CDE，其中∠D＝90°，CD＝3，sin∠DCE＝sin∠DCQ，设AP＝m，当边DE与⊙O有交点时，m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2021秋 衢江区期末）tan1°tan2°tan3°…tan89°＝ ．
12．（3分）（2021 大石桥市校级模拟）如图，点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα，则t的值为 ．
13．（3分）（2021秋 南安市月考）规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，sin（x+y）＝sinx cosy+cosx siny．据此判断下列等式成立的是 （填序号）．
①cos（﹣60°）；②sin2x＝2sinx cosx；③sin（x﹣y）＝sinx cosy﹣cosx siny；④sin90°＝1．
14．（3分）（2021秋 诸暨市期末）如图，某同学用圆规BOA画一个半径为4cm的圆，测得此时∠O＝90°，为了画一个半径更大的同心圆，固定A端不动，将B端向左移至B′处，此时测得∠O′＝120°，则BB′的长为 ．
15．（3分）（2021 新洲区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，M是射线AB上的一动点，以AM为斜边在△ABC外作Rt△AMN，且使tan∠MAN，O是BM的中点，连接ON．则ON长的最小值为 ．
16．（3分）（2021 武汉模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC边上一点，连BD，过C点作BD的垂线与过A点作AC的垂线交于点E．当tan∠ABD，cos∠E，则的值是 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2021秋 高新区期中）计算
（1）cos60°
（2）|1﹣tan60°|
18．（6分）（2021秋 吉林期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sinA，BC＝8，D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠ABE的值．
19．（8分）（2021 佛山）如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．
（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m，试比较PE、PF的大小；
（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．
20．（8分）（2021秋 锡山区校级月考）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP与CD相交于点E．
（1）如果BC＝6，AC＝8，且P为AC的中点，求线段BE的长；
（2）连接PD，如果PD⊥AB，且CE＝2，ED＝4，求cosA的值；
（3）连接PD，如果BP2＝2CD2，且CE＝3，ED＝5，求线段PD的长．
21．（8分）（2021 江西模拟）图1是一个放置在水平桌面上的可调节的手机直播架，忽略部件的粗细，它的正面简化结构图如图2所示．中轴HC垂直于水平桌面．已知B为中轴HC上一点，BC＝10cm．支架AD＝AE＝26cm，滑动条EP＝DP，且P可在BC之间滑动．当三脚架完全合拢时，点P与点B重合，点D，E与点C重合．圆形补光灯的直径为20cm，它与中轴HC连接，且能够绕点H前后旋转，当圆形补光灯直立时，补光灯的最高点G与C，B，A，H在同一条直线上．
（1）打开支架，使点P与点C重合，图3是直播架脚部左侧的一部分几何图形，求此时∠DAC的度数；
（2）在（1）的条件下，已知点H与桌面MN的距离为34cm，因直播需要将补光灯绕点H向前旋转35°（图4为此时的左侧面简化图），求此时补光灯的最高点G′与桌面的距离．
（结果精确到0.1．参考数据：sin22.60°≈0.38，sin12.6°≈0.22，cos22.6°≈0.92，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
22．（8分）（2021 九龙坡区模拟）重庆市某校数学兴趣小组在水库某段CD的附近借助无人机进行实物测量的社会实践活动．如图所示，兴趣小组在水库正面左岸的C处测得水库右岸D处某标志物DE顶端的仰角为α．在C处一架无人飞机以北偏西90°﹣β方向飞行100米到达点A处，无人机沿水平线AF方向继续飞行30米至B处，测得正前方水库右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．
（1）求无人机的飞行高度AM；
（2）求标志物DE的高度．（结果精确到0.1米）
（已知数据：sinα，cosα，tanα，sinβ，cosβ，tanβ＝2，1.732）
23．（8分）（2021秋 衢江区期末）阅读材料：关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，tan（α+β）．利用这些公式可以将两角和的三角函数值转化成两个三角函数值的和（差），如tan75°＝tan（30°+45°）2．
问题解决：根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下列问题．
（1）求sin75°；
（2）如图，边长为2的正△ABC沿直线滚动，设当△ABC滚动240°时，C点的位置在C′，当△ABC滚动480°时，A点的位置在A′．
①求tan∠CAC′的值；
②试确定∠CAC′+∠CAA′的度数．
解直角三角形章末测试卷（拔尖卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋 泉州期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列选项正确的是（ ）
A．sinA+sinB＜1 B．sinA+sinB＞1
C．sinA+sinB＝1 D．sinA+sinB≤1
【解题思路】根据锐角三角函数的定义表示sinA+sinB的和，再根据三角形的三边关系得出答案．
【解答过程】解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
∴sinA，sinB，
∴sinA+sinB，
又∵a+b＞c，
∴1，
即sinA+sinB＞1，
故选：B．
2．（3分）（2021 杭州一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC：BC＝1：2，则∠A的正弦值为（ ）
A． B． C．2 D．
【解题思路】先通过勾股定理求出斜边长度，再根据三角函数求解．
【解答过程】解：设AC为x，则BC＝2x，
由勾股定理得ABx，
∴sinA．
故选：B．
3．（3分）（2021秋 江阴市校级月考）如图，A（0，8），B（0，2），点E为x轴正半轴上一动点，设tan∠AEB＝m，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m B．0＜m C．m D．0＜m
【解题思路】点E为x轴正半轴上一动点，设tan∠AEB＝m，则m＞0，再求出m的最大值即可．过A、B、E三点的圆O′与x轴相切时，∠AEB最大，m的值最大．作O′D⊥AB于D，由垂径定理得出AD＝DBAB＝3，OD＝OA﹣AD＝5，那么⊙O′的半径为5．在直角△O′AD中，由勾股定理得出O′D4，则AE4，再作BC⊥AE于C．由S△AOEOA OE＝S△BOE+S△ABE，求出BC，CE，那么m的最大值为．
【解答过程】解：如图，过A、B、E三点的圆O′与x轴相切时，∠AEB最大．
方法1：作O′D⊥AB于D，则AD＝DBAB＝3，
∵OA＝8，
∴OD＝OA﹣AD＝5，
∴O′E＝O′A＝OD＝5，即⊙O′的半径为5．
在直角△O′AD中，由勾股定理得O′D4，
∴OE＝O′D＝4，
∴AE4，
作BC⊥AE于C．
∵S△AOEOA OE＝S△BOE+S△ABE，
∴8×42×44BC，
∴BC，
∵BE2＝OB2+OE2＝22+42＝20，
∴CE，
∴m的最大值为，
又∵m＞0，
∴0＜m．
方法2：作O′D⊥AB于D，则AD＝DBAB＝3，
∵OA＝8，
∴OD＝OA﹣AD＝5，
∴O′E＝O′A＝OD＝5，即⊙O′的半径为5．
在直角△O′AD中，由勾股定理得O′D4，
∵∠AEB＝∠AO′D，
∴tan∠AO′D，
∴m的最大值为，
又∵m＞0，
∴0＜m．
故选：A．
4．（3分）（2021 温江区校级自主招生）已知，则tanα＝（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答过程】解：设直角三角形中，锐角α所对的边为a，邻边为b，斜边为c，
则sinα，cosα，tanα，
因为sinα+cosα，即，
所以，
设c＝5k，则a+b＝7k，由勾股定理可得，a＝3k，b＝4k或a＝4k，b＝3k，
因为0°＜α＜45°，
所以tanα，
故选：A．
5．（3分）（2021秋 冷水滩区期末）关于三角函数有如下公式：
sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ
cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ
tan（α+β）（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°1
利用上述公式计算下列三角函数①sin105°，②tan105°＝﹣2，③sin15°，④cos90°＝0
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题思路】直接利用已知公式法分别代入计算得出答案．
【解答过程】解：①sin105°＝sin（45°+60°）
＝sin60°cos45°+cos60°sin45°
，故此选项正确；
②tan105°＝tan（60°+45°）
＝﹣2，故此选项正确；
③sin15°＝sin（60°﹣45°）
＝sin60°cos45°﹣cos60°sin45°
，故此选项正确；
④cos90°＝cos（45°+45°）
＝cos45°cos45°﹣sin45°sin45°
＝0，故此选项正确；
故正确的有4个．
故选：D．
6．（3分）（2021 杭州模拟）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B＝60°，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【解题思路】先过点A作AD⊥BC于D，构造直角三角形，结合∠B＝60°，利用sin60°，cos60°可求DB，AD，把这两个表达式代入到另一个Rt△ADC的勾股定理表达式中，化简可得即a2+c2＝b2+ac，再把此式代入通分后所求的分式中，可求其值等于1．
【解答过程】解：过A点作AD⊥BC于D，在Rt△BDA中，由于∠B＝60°，
∴DB，ADc，
在Rt△ADC中，DC2＝AC2﹣AD2，
∴（a）2＝b2c2，
即a2+c2＝b2+ac，
∴．
故选：C．
7．（3分）（2021 建湖县二模）在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
【解题思路】如图，取格点K，连接AK，BK．观察图形可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，推出∠AED＝∠ABK，解直角三角形求出tan∠ABK即可．
【解答过程】解：如图，取格点K，连接AK，BK．
观察图形可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，
∴∠AED＝∠ABK，
∴tan∠AED＝tan∠ABK，
故选：B．
8．（3分）（2021 温州自主招生）已知△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且2b＝a+c，延长CA到D，使AD＝AB，连接BD，则tan∠BCA的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】过点B作BH⊥AC于H，利用勾股定理得数量关系，过点B作BH⊥AC于H，建立等腰三角形，求角的关系，等量代换后，再用三角函数求值．
【解答过程】解：过点B作BH⊥AC于H，过点B作BH⊥AC于H．
设HC＝x，HA＝y，HB＝h，
∴x2+h2＝a2，y2+h2＝c2，x+y＝b．
解得：x（5a﹣3c），y（5c﹣3a），h（3c﹣a）（3a﹣c）．
∵CE＝CB，
∴∠E＝∠CBE，
∵∠BCA＝∠CBE+∠E，
∴∠E∠BCA，
∴tan∠BAC tan∠BCA＝tan∠D tan∠E．
故选：B．
9．（3分）（2021 平阳县一模）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．英国佩里加（H．Perigal，1801﹣1898）用“水车翼轮法”（图1）证明了勾股定理．该证法是用线段QX，ST，将正方形BIJC分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形ACYZ拼成大正方形AEFB（图2）．若AD，tan∠AON，则正方形MNUV的周长为（ ）
A． B．18 C．16 D．
【解题思路】延长QN交AE于H．解直角三角形求出OH，HN，OM即可解决问题．
【解答过程】解：延长QN交AE于H．
由题意AO＝AD＝DE，AE＝2，
在Rt△AOH中，∵tan∠AOH，
∴AH，
∴OH，DH＝EH＝AD，
∵△NHD∽△HAO，
∴，
∴DN＝1，HN，
∴ON＝OH﹣HN＝5，
∵OM＝DN＝1，
∴MN＝5﹣1＝4，
∴正方形MNUV的周长为16，
故选：C．
10．（3分）（2021 吴兴区一模）李白笔下“孤帆一片日边来”描述了在喷薄而出的红日映衬下，远远望见一叶帆船驶来的壮美河山之境．聪明的小芬同学利用几何图形，构造出了此意境！如图，半径为5的⊙O在线段AB上方，且圆心O在线段AB的中垂线上，到AB的距离为，AB＝20，线段PQ在边AB上（AP＜AQ），PQ＝6，以PQ中点C为顶点向上作Rt△CDE，其中∠D＝90°，CD＝3，sin∠DCE＝sin∠DCQ，设AP＝m，当边DE与⊙O有交点时，m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】如图1所示，当DE在圆O左侧有交点时，DE与圆O相切，延长ED至AB上于点F，记切点为点G，连接OG并延长至AB上于点H，过点O作OI⊥AB，根据已知条件得到△ECF为等腰三角形，求得CE＝CF＝5，得到PF＝8，由切线的性质得到OG⊥DE，即OG∥CD，根据线段垂直平分线的定义得到AI＝BI＝10，OI，解直角三角形得到AP＝m＝AF﹣PF＝AI+FI﹣PF＝10+（）﹣8；如图2所示，当DE在圆O右侧有交点时，点E在圆O上，延长ED交AB的延长线于点F，过点O作OI⊥AB，过点E作EJ⊥AB，EK⊥OI，由三角函数的定义得到DE＝DF＝4，CE＝CF＝5，求得EF＝8，根据三角形的面积公式得到EJ＝KI，根据勾股定理得到CJ，于是得到AP＝m＝AC﹣CP＝AI+CI﹣CP＝103，即可得到结论．
【解答过程】解：如图1所示，当DE在圆O左侧有交点时，DE与圆O相切，延长ED至AB上于点F，
记切点为点G，连接OG并延长至AB上于点H，过点O作OI⊥AB，
∵sin∠DCE＝sin∠DCQ，
∴∠DCE＝∠DCQ，
∵∠CDE＝90°，
∴△ECF为等腰三角形，
∵CD＝3，
∴CE＝CF＝5，
∵PQ＝6，点C为PQ的中点，
∴PC＝3，
∴PF＝8，
∵DE与圆O相切，切点为点G，
∴OG⊥DE，即OG∥CD，
∴sin∠OHI＝sin∠DCE，
∵圆心O在线段AB的中垂线上，
∴AI＝BI＝10，OI，
∴HI＝OI tan∠OHI，OH，
∴GH，
在Rt△FGH中，∵∠FHG＝∠FCD，
∴FH＝HG，
∴FI＝FH﹣HI，
∴AP＝m＝AF﹣PF＝AI+FI﹣PF＝10+（）﹣8；
如图2所示，当DE在圆O右侧有交点时，点E在圆O上，
延长ED交AB的延长线于点F，过点O作OI⊥AB，过点E作EJ⊥AB，EK⊥OI，
∵sin∠DCE＝sin∠DCQ，CD＝3，
∴DE＝DF＝4，CE＝CF＝5，
∴EF＝8，
∴△CEF的面积EF×CDCF×EJ，即8×35×EJ，
∴EJ＝KI，
∴CJ，OK＝OI﹣KI3，
在Rt△OKE中，EK＝JI＝4，∴CI，
∴AP＝m＝AC﹣CP＝AI+CI﹣CP＝103，
综上所述即可知m的取值范围是m，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2021秋 衢江区期末）tan1°tan2°tan3°…tan89°＝ 1 ．
【解题思路】根据锐角三角函数的概念，可以证明：互为余角的两个角的正切值互为倒数；熟记tan45°＝1．
【解答过程】解：tan1°tan2°tan3°…tan89°
＝（tan1° tan89°）（tan2° tan88°）…（tan44° tan46°） tan45°
＝1．
12．（3分）（2021 大石桥市校级模拟）如图，点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα，则t的值为 3 ．
【解题思路】根据点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα，可以求得t的值．
【解答过程】解：∵点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα，
∴tanα．
解得t＝3．
故答案为：3．
13．（3分）（2021秋 南安市月考）规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，sin（x+y）＝sinx cosy+cosx siny．据此判断下列等式成立的是 ②③④ （填序号）．
①cos（﹣60°）；②sin2x＝2sinx cosx；③sin（x﹣y）＝sinx cosy﹣cosx siny；④sin90°＝1．
【解题思路】根据给出的等式，分别对每个结论进行判断即可．
【解答过程】解：cos（﹣60°）＝cos60°，因此①不正确；
sin2x＝sin（x+x）＝sinx cosx+cosx sinx＝2sinx cosx，因此②正确；
sin（x﹣y）＝sinx cos（﹣y）+cosx sin（﹣y）＝sinx cosy﹣cosx siny，因此③正确；
sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°1，因此④正确；
综上所述，正确的有②③④，
故答案为：②③④．
14．（3分）（2021秋 诸暨市期末）如图，某同学用圆规BOA画一个半径为4cm的圆，测得此时∠O＝90°，为了画一个半径更大的同心圆，固定A端不动，将B端向左移至B′处，此时测得∠O′＝120°，则BB′的长为 24 ．
【解题思路】△ABO是等腰直角三角形，利用三角函数即可求得OA的长，过O'作O'D⊥AB于点D，在直角△AO'D中利用三角函数求得AD的长，则AB'＝2AD，然后根据BB'＝AB'﹣AB即可求解．
【解答过程】解：在等腰直角△OAB中，AB＝4，则OAAB＝2cm，
∠AO'D120°＝60°，
过O'作O'D⊥AB于点D．
则AD＝AO' sin60°＝2．
则AB'＝2AD＝2，
故BB'＝AB'﹣AB＝24．
故答案是：24．
15．（3分）（2021 新洲区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，M是射线AB上的一动点，以AM为斜边在△ABC外作Rt△AMN，且使tan∠MAN，O是BM的中点，连接ON．则ON长的最小值为 2 ．
【解题思路】作NP⊥AB于点P，设AM长为x，用含x代数式表示出ON，然后通过配方求解．
【解答过程】解：作NP⊥AB于点P，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：
AB5，
设AM长为x，则BM＝5x，
∵tan∠MAN，
∴AN＝2MN，
∴AMMN，
∴MNAMx，AN＝2MNx，
同理，在Rt△ANP中可得NPx，AP＝2NPx，
∵O为BM中点，
∴BOBM，
∴AO＝AB﹣BO，
∴OP＝AO﹣APx，
在Rt△ONP中，由勾股定理得ON2＝OP2+NP2，
即ON2＝（）2+（x）2（25x2﹣150x+3125）（x2﹣6x+125）（x﹣3）2+20，
∴当x＝3时，ON2取最小值为20，
∴ON最小值为2．
故答案为：2．
16．（3分）（2021 武汉模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC边上一点，连BD，过C点作BD的垂线与过A点作AC的垂线交于点E．当tan∠ABD，cos∠E，则的值是 ．
【解题思路】在△AHE中，设AE＝a，则AG＝AEsinα＝asinα，GE＝acosα，则GHAGasinα，则EH＝GE+GH＝acosαasinα，在Rt△AEG中，EC，再求出HC；在△BHC中，求得BC，在Rt△BCD中，求得CD，进而求解．
【解答过程】解：设直线AB交CE于点H，BD交CE于点N，
设∠E＝α，则cos∠Ecosα，则sinα，tanα＝4，
∵tan∠ABD，则tan∠BHN＝2，
∵AE⊥AC，BC⊥AC，
∴AE∥BC，
∴∠E＝∠ECB＝α，
∵∠NDC+∠NCD＝90°，∠NCB+∠NCD＝90°，
∴∠NCB＝∠NDC＝α，
在△AHE中，设AE＝a，则AG＝AEsinα＝asinα，GE＝acosα，
则GHAGasinα，则EH＝GE+GH＝acosαasinα，
在Rt△AEC中，EC，
则HC＝EC﹣EH（acosαasinα）；
在△BHC中，tan∠BHN＝2，tanα＝4，HC（acosαasinα），
同理可得：BC，
在Rt△BCD中，CDa（），
AD＝AC﹣CD＝4a，
则，
故答案为．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2021秋 高新区期中）计算
（1）cos60°
（2）|1﹣tan60°|
【解题思路】（1）根据特殊角的三角函数值进行计算即可；
（2）先代入特殊角的三角函数值，再去绝对值和根号，计算即可．
【解答过程】解：（1）原式
1
＝2；
（2）原式|1|
|1|
＝|1|﹣（1）
＝11
．
18．（6分）（2021秋 吉林期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sinA，BC＝8，D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠ABE的值．
【解题思路】（1）在△ABC中根据正弦的定义得到sinA，则可计算出AB＝10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CDAB＝5；
（2）在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC＝6，在根据三角形面积公式得到S△BDC＝S△ADC，则S△BDCS△ABC，即 CD BE AC BC，于是可计算出BE，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解．
【解答过程】解：（1）在△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∴sinA，
而BC＝8，
∴AB＝10，
∵D是AB中点，
∴CDAB＝5；
（2）在Rt△ABC中，∵AB＝10，BC＝8，
∴AC6，
∵D是AB中点，
∴BD＝5，S△BDC＝S△ADC，
∴S△BDCS△ABC，即 CD BE AC BC，
∴BE，
在Rt△BDE中，cos∠DBE，
即cos∠ABE的值为 ．
19．（8分）（2021 佛山）如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．
（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m，试比较PE、PF的大小；
（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．
【解题思路】（1）利用三角函数的定义，根据两个角的正弦的大小进行比较即可得到结果；
（2）运用两个角的正弦函数，根据正弦值的变化规律进行比较．
【解答过程】解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBPsin40°
在Rt△BPF中，sin∠FBPsin20°
又sin40°＞sin20°
∴PE＞PF；
（2）根据（1）得
sin∠EBPsinα，sin∠FBPsinβ
又∵α＞β
∴sinα＞sinβ
∴PE＞PF．
20．（8分）（2021秋 锡山区校级月考）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP与CD相交于点E．
（1）如果BC＝6，AC＝8，且P为AC的中点，求线段BE的长；
（2）连接PD，如果PD⊥AB，且CE＝2，ED＝4，求cosA的值；
（3）连接PD，如果BP2＝2CD2，且CE＝3，ED＝5，求线段PD的长．
【解题思路】（1）根据已知条件得到CP＝4，求得BP＝2，根据三角形重心的性质即可得到结论；
（2）如图1，过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F，根据平行线分线段成比例定理得到 ，求得，设CP＝k，则PA＝4k，得到PA＝PB＝4k根据三角函数的定义即可得到结论；
（3）根据直角三角形的性质得到CD＝BDAB，推出△PBD∽△ABP，根据相似三角形的性质得到∠BPD＝∠A，推出△DPE∽△DCP，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答过程】解：（1）∵P为AC的中点，AC＝8，
∴CP＝4，
∵∠ACB＝90°，BC＝6，
∴BP2，
∵D是边AB的中点，P为AC的中点，
∴点E是△ABC的重心，
∴BEBP；
（2）如图1，过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F，
∴，
∵BD＝DA，
∴FD＝DC，BF＝AC，
∵CE＝2，ED＝4，则CD＝6，
∴EF＝6+4＝10，
∴，
∴，
∴，
设CP＝k，则PA＝4k，
∵PD⊥AB，D是边AB的中点，
∴PA＝PB＝4k
∴BCk，
∵AC＝4k，
∴AB2k，
∴cosA；
（3）∵∠ACB＝90°，D是边AB的中点，
∴CD＝BDAB，
∵PB2＝2CD2，
∴BP2＝2CD CD＝BD AB，
∵∠PBD＝∠ABP，
∴△PBD∽△ABP，
∴∠BPD＝∠A，
∵∠A＝∠DCA，
∴∠DPE＝∠DCP，
∵∠PDE＝∠CDP，
∴△DPE∽△DCP，
∴PD2＝DE DC，
∵CE＝3，ED＝5，
∴DC＝3+5＝8，PD2．
21．（8分）（2021 江西模拟）图1是一个放置在水平桌面上的可调节的手机直播架，忽略部件的粗细，它的正面简化结构图如图2所示．中轴HC垂直于水平桌面．已知B为中轴HC上一点，BC＝10cm．支架AD＝AE＝26cm，滑动条EP＝DP，且P可在BC之间滑动．当三脚架完全合拢时，点P与点B重合，点D，E与点C重合．圆形补光灯的直径为20cm，它与中轴HC连接，且能够绕点H前后旋转，当圆形补光灯直立时，补光灯的最高点G与C，B，A，H在同一条直线上．
（1）打开支架，使点P与点C重合，图3是直播架脚部左侧的一部分几何图形，求此时∠DAC的度数；
（2）在（1）的条件下，已知点H与桌面MN的距离为34cm，因直播需要将补光灯绕点H向前旋转35°（图4为此时的左侧面简化图），求此时补光灯的最高点G′与桌面的距离．
（结果精确到0.1．参考数据：sin22.60°≈0.38，sin12.6°≈0.22，cos22.6°≈0.92，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
【解题思路】（1）由题意，在Rt△ACD中，AD＝26cm，CD＝BC＝10cm，可得sin∠DAC0.38，由此可得结论．
（2）如图4中，过点G′作G′T⊥GH于T．解直角三角形求出TH，可得结论．
【解答过程】解：（1）如图3中，
由题意，在Rt△ACD中，AD＝26cm，CD＝BC＝10cm，
∴sin∠DAC0.38，
∴∠DAC＝22.60°．
（2）如图4中，过点G′作G′T⊥GH于T．
在Rt△THG′中，HG′＝10cm，∠THG′＝35°，
∴TH＝HG′ cos35°＝8.2（cm），
∴TC＝HC+HT＝34+8.2＝42.2（cm）．
∴此时补光灯的最高点G′与桌面的距离为42.2cm．
22．（8分）（2021 九龙坡区模拟）重庆市某校数学兴趣小组在水库某段CD的附近借助无人机进行实物测量的社会实践活动．如图所示，兴趣小组在水库正面左岸的C处测得水库右岸D处某标志物DE顶端的仰角为α．在C处一架无人飞机以北偏西90°﹣β方向飞行100米到达点A处，无人机沿水平线AF方向继续飞行30米至B处，测得正前方水库右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．
（1）求无人机的飞行高度AM；
（2）求标志物DE的高度．（结果精确到0.1米）
（已知数据：sinα，cosα，tanα，sinβ，cosβ，tanβ＝2，1.732）
【解题思路】（1）根据题意可得∠ACM＝β，AC＝100米，根据锐角三角函数即可得无人机的飞行高度AM；
（2）根据题意可得∠ECD＝α，AB＝30米，∠FBD＝30°，作BG⊥MC于点G交AC于点H，由△HBA∽△HGC，可得AB：GC＝BH：HG，即30：GC＝60：140，解得GC的长，根据锐角三角函数即可求出标志物DE的高度．
【解答过程】解：（1）根据题意可知：∠ACM＝β，AC＝100米，
∴AM＝AC sinβ＝100200（米），
答：无人机的飞行高度AM为200米；
（2）根据题意可知：∠ECD＝α，AB＝30米，∠FBD＝30°，
如图，作BG⊥MC于点G交AC于点H，
∵AB∥CM，
∴∠BAH＝∠ACM＝β，
∴BH＝AB tanβ＝30×2＝60（米），
∴HG＝BG﹣BH＝200﹣60＝140（米），
∵AB∥CM，
∴△HBA∽△HGC，
∴AB：GC＝BH：HG，
∴30：GC＝60：140，
解得GC＝70（米），
∵∠GBD＝90°﹣30°＝60°，
∴GD＝BG tan∠GBD＝200200（米），
∴CD＝GD﹣GC＝（20070）米，
∴DE＝CD tanα＝（20070）207.3（米）．
答：标志物DE的高度为207.3米．
23．（8分）（2021秋 衢江区期末）阅读材料：关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，tan（α+β）．利用这些公式可以将两角和的三角函数值转化成两个三角函数值的和（差），如tan75°＝tan（30°+45°）2．
问题解决：根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下列问题．
（1）求sin75°；
（2）如图，边长为2的正△ABC沿直线滚动，设当△ABC滚动240°时，C点的位置在C′，当△ABC滚动480°时，A点的位置在A′．
①求tan∠CAC′的值；
②试确定∠CAC′+∠CAA′的度数．
【解题思路】（1）把75°转化为30°+45°，再套入公式即可；
（2）①过C′作C′E⊥l于E，根据等边三角形的性质可得C′E和AE的长，再根据正切的定义可得答案；
②根据①的思路得到tan∠CAA′的值，再利用tan（α+β）代入可得答案．
【解答过程】解：（1）sin75°＝sin（30°+45°）
＝sin30° cos45°+cos30° sin45°
；
（2）①过C′作C′E⊥l于E，
∵△ABC是等边三角形且边长为2，
∴C′E，AE＝2+2+1＝5，
∴tan∠CAC′；
②过A′作A′F⊥l于F，
∵△ABC是等边三角形且边长为2，
∴A′F，AF＝2+2+2+2+1＝9，
∴tan∠CAA′．
设∠CAC′＝α，∠CAA′＝β，
tan（α+β），
∴α+β＝30°，
∴∠CAC′+CAA′＝30°．
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解直角三角形章末测试卷（拔尖卷）
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋 泉州期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列选项正确的是（ ）
A．sinA+sinB＜1 B．sinA+sinB＞1
C．sinA+sinB＝1 D．sinA+sinB≤1
2．（3分）（2021 杭州一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC：BC＝1：2，则∠A的正弦值为（ ）
A． B． C．2 D．
3．（3分）（2021秋 江阴市校级月考）如图，A（0，8），B（0，2），点E为x轴正半轴上一动点，设tan∠AEB＝m，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m B．0＜m C．m D．0＜m
4．（3分）（2021 温江区校级自主招生）已知，则tanα＝（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2021秋 冷水滩区期末）关于三角函数有如下公式：
sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ
cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ
tan（α+β）（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°1
利用上述公式计算下列三角函数①sin105°，②tan105°＝﹣2，③sin15°，④cos90°＝0
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（3分）（2021 杭州模拟）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B＝60°，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
7．（3分）（2021 建湖县二模）在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
8．（3分）（2021 温州自主招生）已知△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且2b＝a+c，延长CA到D，使AD＝AB，连接BD，则tan∠BCA的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）（2021 平阳县一模）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．英国佩里加（H．Perigal，1801﹣1898）用“水车翼轮法”（图1）证明了勾股定理．该证法是用线段QX，ST，将正方形BIJC分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形ACYZ拼成大正方形AEFB（图2）．若AD，tan∠AON，则正方形MNUV的周长为（ ）
A． B．18 C．16 D．
10．（3分）（2021 吴兴区一模）李白笔下“孤帆一片日边来”描述了在喷薄而出的红日映衬下，远远望见一叶帆船驶来的壮美河山之境．聪明的小芬同学利用几何图形，构造出了此意境！如图，半径为5的⊙O在线段AB上方，且圆心O在线段AB的中垂线上，到AB的距离为，AB＝20，线段PQ在边AB上（AP＜AQ），PQ＝6，以PQ中点C为顶点向上作Rt△CDE，其中∠D＝90°，CD＝3，sin∠DCE＝sin∠DCQ，设AP＝m，当边DE与⊙O有交点时，m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2021秋 衢江区期末）tan1°tan2°tan3°…tan89°＝ ．
12．（3分）（2021 大石桥市校级模拟）如图，点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα，则t的值为 ．
13．（3分）（2021秋 南安市月考）规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，sin（x+y）＝sinx cosy+cosx siny．据此判断下列等式成立的是 （填序号）．
①cos（﹣60°）；②sin2x＝2sinx cosx；③sin（x﹣y）＝sinx cosy﹣cosx siny；④sin90°＝1．
14．（3分）（2021秋 诸暨市期末）如图，某同学用圆规BOA画一个半径为4cm的圆，测得此时∠O＝90°，为了画一个半径更大的同心圆，固定A端不动，将B端向左移至B′处，此时测得∠O′＝120°，则BB′的长为 ．
15．（3分）（2021 新洲区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，M是射线AB上的一动点，以AM为斜边在△ABC外作Rt△AMN，且使tan∠MAN，O是BM的中点，连接ON．则ON长的最小值为 ．
16．（3分）（2021 武汉模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC边上一点，连BD，过C点作BD的垂线与过A点作AC的垂线交于点E．当tan∠ABD，cos∠E，则的值是 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2021秋 高新区期中）计算
（1）cos60°
（2）|1﹣tan60°|
18．（6分）（2021秋 吉林期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sinA，BC＝8，D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠ABE的值．
19．（8分）（2021 佛山）如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．
（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m，试比较PE、PF的大小；
（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．
20．（8分）（2021秋 锡山区校级月考）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP与CD相交于点E．
（1）如果BC＝6，AC＝8，且P为AC的中点，求线段BE的长；
（2）连接PD，如果PD⊥AB，且CE＝2，ED＝4，求cosA的值；
（3）连接PD，如果BP2＝2CD2，且CE＝3，ED＝5，求线段PD的长．
21．（8分）（2021 江西模拟）图1是一个放置在水平桌面上的可调节的手机直播架，忽略部件的粗细，它的正面简化结构图如图2所示．中轴HC垂直于水平桌面．已知B为中轴HC上一点，BC＝10cm．支架AD＝AE＝26cm，滑动条EP＝DP，且P可在BC之间滑动．当三脚架完全合拢时，点P与点B重合，点D，E与点C重合．圆形补光灯的直径为20cm，它与中轴HC连接，且能够绕点H前后旋转，当圆形补光灯直立时，补光灯的最高点G与C，B，A，H在同一条直线上．
（1）打开支架，使点P与点C重合，图3是直播架脚部左侧的一部分几何图形，求此时∠DAC的度数；
（2）在（1）的条件下，已知点H与桌面MN的距离为34cm，因直播需要将补光灯绕点H向前旋转35°（图4为此时的左侧面简化图），求此时补光灯的最高点G′与桌面的距离．
（结果精确到0.1．参考数据：sin22.60°≈0.38，sin12.6°≈0.22，cos22.6°≈0.92，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
22．（8分）（2021 九龙坡区模拟）重庆市某校数学兴趣小组在水库某段CD的附近借助无人机进行实物测量的社会实践活动．如图所示，兴趣小组在水库正面左岸的C处测得水库右岸D处某标志物DE顶端的仰角为α．在C处一架无人飞机以北偏西90°﹣β方向飞行100米到达点A处，无人机沿水平线AF方向继续飞行30米至B处，测得正前方水库右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．
（1）求无人机的飞行高度AM；
（2）求标志物DE的高度．（结果精确到0.1米）
（已知数据：sinα，cosα，tanα，sinβ，cosβ，tanβ＝2，1.732）
23．（8分）（2021秋 衢江区期末）阅读材料：关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，tan（α+β）．利用这些公式可以将两角和的三角函数值转化成两个三角函数值的和（差），如tan75°＝tan（30°+45°）2．
问题解决：根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下列问题．
（1）求sin75°；
（2）如图，边长为2的正△ABC沿直线滚动，设当△ABC滚动240°时，C点的位置在C′，当△ABC滚动480°时，A点的位置在A′．
①求tan∠CAC′的值；
②试确定∠CAC′+∠CAA′的度数．
解直角三角形章末测试卷（拔尖卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋 泉州期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列选项正确的是（ ）
A．sinA+sinB＜1 B．sinA+sinB＞1
C．sinA+sinB＝1 D．sinA+sinB≤1
【解题思路】根据锐角三角函数的定义表示sinA+sinB的和，再根据三角形的三边关系得出答案．
【解答过程】解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
∴sinA，sinB，
∴sinA+sinB，
又∵a+b＞c，
∴1，
即sinA+sinB＞1，
故选：B．
2．（3分）（2021 杭州一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC：BC＝1：2，则∠A的正弦值为（ ）
A． B． C．2 D．
【解题思路】先通过勾股定理求出斜边长度，再根据三角函数求解．
【解答过程】解：设AC为x，则BC＝2x，
由勾股定理得ABx，
∴sinA．
故选：B．
3．（3分）（2021秋 江阴市校级月考）如图，A（0，8），B（0，2），点E为x轴正半轴上一动点，设tan∠AEB＝m，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m B．0＜m C．m D．0＜m
【解题思路】点E为x轴正半轴上一动点，设tan∠AEB＝m，则m＞0，再求出m的最大值即可．过A、B、E三点的圆O′与x轴相切时，∠AEB最大，m的值最大．作O′D⊥AB于D，由垂径定理得出AD＝DBAB＝3，OD＝OA﹣AD＝5，那么⊙O′的半径为5．在直角△O′AD中，由勾股定理得出O′D4，则AE4，再作BC⊥AE于C．由S△AOEOA OE＝S△BOE+S△ABE，求出BC，CE，那么m的最大值为．
【解答过程】解：如图，过A、B、E三点的圆O′与x轴相切时，∠AEB最大．
方法1：作O′D⊥AB于D，则AD＝DBAB＝3，
∵OA＝8，
∴OD＝OA﹣AD＝5，
∴O′E＝O′A＝OD＝5，即⊙O′的半径为5．
在直角△O′AD中，由勾股定理得O′D4，
∴OE＝O′D＝4，
∴AE4，
作BC⊥AE于C．
∵S△AOEOA OE＝S△BOE+S△ABE，
∴8×42×44BC，
∴BC，
∵BE2＝OB2+OE2＝22+42＝20，
∴CE，
∴m的最大值为，
又∵m＞0，
∴0＜m．
方法2：作O′D⊥AB于D，则AD＝DBAB＝3，
∵OA＝8，
∴OD＝OA﹣AD＝5，
∴O′E＝O′A＝OD＝5，即⊙O′的半径为5．
在直角△O′AD中，由勾股定理得O′D4，
∵∠AEB＝∠AO′D，
∴tan∠AO′D，
∴m的最大值为，
又∵m＞0，
∴0＜m．
故选：A．
4．（3分）（2021 温江区校级自主招生）已知，则tanα＝（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答过程】解：设直角三角形中，锐角α所对的边为a，邻边为b，斜边为c，
则sinα，cosα，tanα，
因为sinα+cosα，即，
所以，
设c＝5k，则a+b＝7k，由勾股定理可得，a＝3k，b＝4k或a＝4k，b＝3k，
因为0°＜α＜45°，
所以tanα，
故选：A．
5．（3分）（2021秋 冷水滩区期末）关于三角函数有如下公式：
sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ
cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ
tan（α+β）（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°1
利用上述公式计算下列三角函数①sin105°，②tan105°＝﹣2，③sin15°，④cos90°＝0
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题思路】直接利用已知公式法分别代入计算得出答案．
【解答过程】解：①sin105°＝sin（45°+60°）
＝sin60°cos45°+cos60°sin45°
，故此选项正确；
②tan105°＝tan（60°+45°）
＝﹣2，故此选项正确；
③sin15°＝sin（60°﹣45°）
＝sin60°cos45°﹣cos60°sin45°
，故此选项正确；
④cos90°＝cos（45°+45°）
＝cos45°cos45°﹣sin45°sin45°
＝0，故此选项正确；
故正确的有4个．
故选：D．
6．（3分）（2021 杭州模拟）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B＝60°，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【解题思路】先过点A作AD⊥BC于D，构造直角三角形，结合∠B＝60°，利用sin60°，cos60°可求DB，AD，把这两个表达式代入到另一个Rt△ADC的勾股定理表达式中，化简可得即a2+c2＝b2+ac，再把此式代入通分后所求的分式中，可求其值等于1．
【解答过程】解：过A点作AD⊥BC于D，在Rt△BDA中，由于∠B＝60°，
∴DB，ADc，
在Rt△ADC中，DC2＝AC2﹣AD2，
∴（a）2＝b2c2，
即a2+c2＝b2+ac，
∴．
故选：C．
7．（3分）（2021 建湖县二模）在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
【解题思路】如图，取格点K，连接AK，BK．观察图形可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，推出∠AED＝∠ABK，解直角三角形求出tan∠ABK即可．
【解答过程】解：如图，取格点K，连接AK，BK．
观察图形可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，
∴∠AED＝∠ABK，
∴tan∠AED＝tan∠ABK，
故选：B．
8．（3分）（2021 温州自主招生）已知△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且2b＝a+c，延长CA到D，使AD＝AB，连接BD，则tan∠BCA的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】过点B作BH⊥AC于H，利用勾股定理得数量关系，过点B作BH⊥AC于H，建立等腰三角形，求角的关系，等量代换后，再用三角函数求值．
【解答过程】解：过点B作BH⊥AC于H，过点B作BH⊥AC于H．
设HC＝x，HA＝y，HB＝h，
∴x2+h2＝a2，y2+h2＝c2，x+y＝b．
解得：x（5a﹣3c），y（5c﹣3a），h（3c﹣a）（3a﹣c）．
∵CE＝CB，
∴∠E＝∠CBE，
∵∠BCA＝∠CBE+∠E，
∴∠E∠BCA，
∴tan∠BAC tan∠BCA＝tan∠D tan∠E．
故选：B．
9．（3分）（2021 平阳县一模）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．英国佩里加（H．Perigal，1801﹣1898）用“水车翼轮法”（图1）证明了勾股定理．该证法是用线段QX，ST，将正方形BIJC分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形ACYZ拼成大正方形AEFB（图2）．若AD，tan∠AON，则正方形MNUV的周长为（ ）
A． B．18 C．16 D．
【解题思路】延长QN交AE于H．解直角三角形求出OH，HN，OM即可解决问题．
【解答过程】解：延长QN交AE于H．
由题意AO＝AD＝DE，AE＝2，
在Rt△AOH中，∵tan∠AOH，
∴AH，
∴OH，DH＝EH＝AD，
∵△NHD∽△HAO，
∴，
∴DN＝1，HN，
∴ON＝OH﹣HN＝5，
∵OM＝DN＝1，
∴MN＝5﹣1＝4，
∴正方形MNUV的周长为16，
故选：C．
10．（3分）（2021 吴兴区一模）李白笔下“孤帆一片日边来”描述了在喷薄而出的红日映衬下，远远望见一叶帆船驶来的壮美河山之境．聪明的小芬同学利用几何图形，构造出了此意境！如图，半径为5的⊙O在线段AB上方，且圆心O在线段AB的中垂线上，到AB的距离为，AB＝20，线段PQ在边AB上（AP＜AQ），PQ＝6，以PQ中点C为顶点向上作Rt△CDE，其中∠D＝90°，CD＝3，sin∠DCE＝sin∠DCQ，设AP＝m，当边DE与⊙O有交点时，m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】如图1所示，当DE在圆O左侧有交点时，DE与圆O相切，延长ED至AB上于点F，记切点为点G，连接OG并延长至AB上于点H，过点O作OI⊥AB，根据已知条件得到△ECF为等腰三角形，求得CE＝CF＝5，得到PF＝8，由切线的性质得到OG⊥DE，即OG∥CD，根据线段垂直平分线的定义得到AI＝BI＝10，OI，解直角三角形得到AP＝m＝AF﹣PF＝AI+FI﹣PF＝10+（）﹣8；如图2所示，当DE在圆O右侧有交点时，点E在圆O上，延长ED交AB的延长线于点F，过点O作OI⊥AB，过点E作EJ⊥AB，EK⊥OI，由三角函数的定义得到DE＝DF＝4，CE＝CF＝5，求得EF＝8，根据三角形的面积公式得到EJ＝KI，根据勾股定理得到CJ，于是得到AP＝m＝AC﹣CP＝AI+CI﹣CP＝103，即可得到结论．
【解答过程】解：如图1所示，当DE在圆O左侧有交点时，DE与圆O相切，延长ED至AB上于点F，
记切点为点G，连接OG并延长至AB上于点H，过点O作OI⊥AB，
∵sin∠DCE＝sin∠DCQ，
∴∠DCE＝∠DCQ，
∵∠CDE＝90°，
∴△ECF为等腰三角形，
∵CD＝3，
∴CE＝CF＝5，
∵PQ＝6，点C为PQ的中点，
∴PC＝3，
∴PF＝8，
∵DE与圆O相切，切点为点G，
∴OG⊥DE，即OG∥CD，
∴sin∠OHI＝sin∠DCE，
∵圆心O在线段AB的中垂线上，
∴AI＝BI＝10，OI，
∴HI＝OI tan∠OHI，OH，
∴GH，
在Rt△FGH中，∵∠FHG＝∠FCD，
∴FH＝HG，
∴FI＝FH﹣HI，
∴AP＝m＝AF﹣PF＝AI+FI﹣PF＝10+（）﹣8；
如图2所示，当DE在圆O右侧有交点时，点E在圆O上，
延长ED交AB的延长线于点F，过点O作OI⊥AB，过点E作EJ⊥AB，EK⊥OI，
∵sin∠DCE＝sin∠DCQ，CD＝3，
∴DE＝DF＝4，CE＝CF＝5，
∴EF＝8，
∴△CEF的面积EF×CDCF×EJ，即8×35×EJ，
∴EJ＝KI，
∴CJ，OK＝OI﹣KI3，
在Rt△OKE中，EK＝JI＝4，∴CI，
∴AP＝m＝AC﹣CP＝AI+CI﹣CP＝103，
综上所述即可知m的取值范围是m，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2021秋 衢江区期末）tan1°tan2°tan3°…tan89°＝ 1 ．
【解题思路】根据锐角三角函数的概念，可以证明：互为余角的两个角的正切值互为倒数；熟记tan45°＝1．
【解答过程】解：tan1°tan2°tan3°…tan89°
＝（tan1° tan89°）（tan2° tan88°）…（tan44° tan46°） tan45°
＝1．
12．（3分）（2021 大石桥市校级模拟）如图，点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα，则t的值为 3 ．
【解题思路】根据点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα，可以求得t的值．
【解答过程】解：∵点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα，
∴tanα．
解得t＝3．
故答案为：3．
13．（3分）（2021秋 南安市月考）规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，sin（x+y）＝sinx cosy+cosx siny．据此判断下列等式成立的是 ②③④ （填序号）．
①cos（﹣60°）；②sin2x＝2sinx cosx；③sin（x﹣y）＝sinx cosy﹣cosx siny；④sin90°＝1．
【解题思路】根据给出的等式，分别对每个结论进行判断即可．
【解答过程】解：cos（﹣60°）＝cos60°，因此①不正确；
sin2x＝sin（x+x）＝sinx cosx+cosx sinx＝2sinx cosx，因此②正确；
sin（x﹣y）＝sinx cos（﹣y）+cosx sin（﹣y）＝sinx cosy﹣cosx siny，因此③正确；
sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°1，因此④正确；
综上所述，正确的有②③④，
故答案为：②③④．
14．（3分）（2021秋 诸暨市期末）如图，某同学用圆规BOA画一个半径为4cm的圆，测得此时∠O＝90°，为了画一个半径更大的同心圆，固定A端不动，将B端向左移至B′处，此时测得∠O′＝120°，则BB′的长为 24 ．
【解题思路】△ABO是等腰直角三角形，利用三角函数即可求得OA的长，过O'作O'D⊥AB于点D，在直角△AO'D中利用三角函数求得AD的长，则AB'＝2AD，然后根据BB'＝AB'﹣AB即可求解．
【解答过程】解：在等腰直角△OAB中，AB＝4，则OAAB＝2cm，
∠AO'D120°＝60°，
过O'作O'D⊥AB于点D．
则AD＝AO' sin60°＝2．
则AB'＝2AD＝2，
故BB'＝AB'﹣AB＝24．
故答案是：24．
15．（3分）（2021 新洲区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，M是射线AB上的一动点，以AM为斜边在△ABC外作Rt△AMN，且使tan∠MAN，O是BM的中点，连接ON．则ON长的最小值为 2 ．
【解题思路】作NP⊥AB于点P，设AM长为x，用含x代数式表示出ON，然后通过配方求解．
【解答过程】解：作NP⊥AB于点P，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：
AB5，
设AM长为x，则BM＝5x，
∵tan∠MAN，
∴AN＝2MN，
∴AMMN，
∴MNAMx，AN＝2MNx，
同理，在Rt△ANP中可得NPx，AP＝2NPx，
∵O为BM中点，
∴BOBM，
∴AO＝AB﹣BO，
∴OP＝AO﹣APx，
在Rt△ONP中，由勾股定理得ON2＝OP2+NP2，
即ON2＝（）2+（x）2（25x2﹣150x+3125）（x2﹣6x+125）（x﹣3）2+20，
∴当x＝3时，ON2取最小值为20，
∴ON最小值为2．
故答案为：2．
16．（3分）（2021 武汉模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC边上一点，连BD，过C点作BD的垂线与过A点作AC的垂线交于点E．当tan∠ABD，cos∠E，则的值是 ．
【解题思路】在△AHE中，设AE＝a，则AG＝AEsinα＝asinα，GE＝acosα，则GHAGasinα，则EH＝GE+GH＝acosαasinα，在Rt△AEG中，EC，再求出HC；在△BHC中，求得BC，在Rt△BCD中，求得CD，进而求解．
【解答过程】解：设直线AB交CE于点H，BD交CE于点N，
设∠E＝α，则cos∠Ecosα，则sinα，tanα＝4，
∵tan∠ABD，则tan∠BHN＝2，
∵AE⊥AC，BC⊥AC，
∴AE∥BC，
∴∠E＝∠ECB＝α，
∵∠NDC+∠NCD＝90°，∠NCB+∠NCD＝90°，
∴∠NCB＝∠NDC＝α，
在△AHE中，设AE＝a，则AG＝AEsinα＝asinα，GE＝acosα，
则GHAGasinα，则EH＝GE+GH＝acosαasinα，
在Rt△AEC中，EC，
则HC＝EC﹣EH（acosαasinα）；
在△BHC中，tan∠BHN＝2，tanα＝4，HC（acosαasinα），
同理可得：BC，
在Rt△BCD中，CDa（），
AD＝AC﹣CD＝4a，
则，
故答案为．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2021秋 高新区期中）计算
（1）cos60°
（2）|1﹣tan60°|
【解题思路】（1）根据特殊角的三角函数值进行计算即可；
（2）先代入特殊角的三角函数值，再去绝对值和根号，计算即可．
【解答过程】解：（1）原式
1
＝2；
（2）原式|1|
|1|
＝|1|﹣（1）
＝11
．
18．（6分）（2021秋 吉林期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sinA，BC＝8，D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠ABE的值．
【解题思路】（1）在△ABC中根据正弦的定义得到sinA，则可计算出AB＝10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CDAB＝5；
（2）在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC＝6，在根据三角形面积公式得到S△BDC＝S△ADC，则S△BDCS△ABC，即 CD BE AC BC，于是可计算出BE，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解．
【解答过程】解：（1）在△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∴sinA，
而BC＝8，
∴AB＝10，
∵D是AB中点，
∴CDAB＝5；
（2）在Rt△ABC中，∵AB＝10，BC＝8，
∴AC6，
∵D是AB中点，
∴BD＝5，S△BDC＝S△ADC，
∴S△BDCS△ABC，即 CD BE AC BC，
∴BE，
在Rt△BDE中，cos∠DBE，
即cos∠ABE的值为 ．
19．（8分）（2021 佛山）如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．
（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m，试比较PE、PF的大小；
（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．
【解题思路】（1）利用三角函数的定义，根据两个角的正弦的大小进行比较即可得到结果；
（2）运用两个角的正弦函数，根据正弦值的变化规律进行比较．
【解答过程】解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBPsin40°
在Rt△BPF中，sin∠FBPsin20°
又sin40°＞sin20°
∴PE＞PF；
（2）根据（1）得
sin∠EBPsinα，sin∠FBPsinβ
又∵α＞β
∴sinα＞sinβ
∴PE＞PF．
20．（8分）（2021秋 锡山区校级月考）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP与CD相交于点E．
（1）如果BC＝6，AC＝8，且P为AC的中点，求线段BE的长；
（2）连接PD，如果PD⊥AB，且CE＝2，ED＝4，求cosA的值；
（3）连接PD，如果BP2＝2CD2，且CE＝3，ED＝5，求线段PD的长．
【解题思路】（1）根据已知条件得到CP＝4，求得BP＝2，根据三角形重心的性质即可得到结论；
（2）如图1，过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F，根据平行线分线段成比例定理得到 ，求得，设CP＝k，则PA＝4k，得到PA＝PB＝4k根据三角函数的定义即可得到结论；
（3）根据直角三角形的性质得到CD＝BDAB，推出△PBD∽△ABP，根据相似三角形的性质得到∠BPD＝∠A，推出△DPE∽△DCP，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答过程】解：（1）∵P为AC的中点，AC＝8，
∴CP＝4，
∵∠ACB＝90°，BC＝6，
∴BP2，
∵D是边AB的中点，P为AC的中点，
∴点E是△ABC的重心，
∴BEBP；
（2）如图1，过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F，
∴，
∵BD＝DA，
∴FD＝DC，BF＝AC，
∵CE＝2，ED＝4，则CD＝6，
∴EF＝6+4＝10，
∴，
∴，
∴，
设CP＝k，则PA＝4k，
∵PD⊥AB，D是边AB的中点，
∴PA＝PB＝4k
∴BCk，
∵AC＝4k，
∴AB2k，
∴cosA；
（3）∵∠ACB＝90°，D是边AB的中点，
∴CD＝BDAB，
∵PB2＝2CD2，
∴BP2＝2CD CD＝BD AB，
∵∠PBD＝∠ABP，
∴△PBD∽△ABP，
∴∠BPD＝∠A，
∵∠A＝∠DCA，
∴∠DPE＝∠DCP，
∵∠PDE＝∠CDP，
∴△DPE∽△DCP，
∴PD2＝DE DC，
∵CE＝3，ED＝5，
∴DC＝3+5＝8，PD2．
21．（8分）（2021 江西模拟）图1是一个放置在水平桌面上的可调节的手机直播架，忽略部件的粗细，它的正面简化结构图如图2所示．中轴HC垂直于水平桌面．已知B为中轴HC上一点，BC＝10cm．支架AD＝AE＝26cm，滑动条EP＝DP，且P可在BC之间滑动．当三脚架完全合拢时，点P与点B重合，点D，E与点C重合．圆形补光灯的直径为20cm，它与中轴HC连接，且能够绕点H前后旋转，当圆形补光灯直立时，补光灯的最高点G与C，B，A，H在同一条直线上．
（1）打开支架，使点P与点C重合，图3是直播架脚部左侧的一部分几何图形，求此时∠DAC的度数；
（2）在（1）的条件下，已知点H与桌面MN的距离为34cm，因直播需要将补光灯绕点H向前旋转35°（图4为此时的左侧面简化图），求此时补光灯的最高点G′与桌面的距离．
（结果精确到0.1．参考数据：sin22.60°≈0.38，sin12.6°≈0.22，cos22.6°≈0.92，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
【解题思路】（1）由题意，在Rt△ACD中，AD＝26cm，CD＝BC＝10cm，可得sin∠DAC0.38，由此可得结论．
（2）如图4中，过点G′作G′T⊥GH于T．解直角三角形求出TH，可得结论．
【解答过程】解：（1）如图3中，
由题意，在Rt△ACD中，AD＝26cm，CD＝BC＝10cm，
∴sin∠DAC0.38，
∴∠DAC＝22.60°．
（2）如图4中，过点G′作G′T⊥GH于T．
在Rt△THG′中，HG′＝10cm，∠THG′＝35°，
∴TH＝HG′ cos35°＝8.2（cm），
∴TC＝HC+HT＝34+8.2＝42.2（cm）．
∴此时补光灯的最高点G′与桌面的距离为42.2cm．
22．（8分）（2021 九龙坡区模拟）重庆市某校数学兴趣小组在水库某段CD的附近借助无人机进行实物测量的社会实践活动．如图所示，兴趣小组在水库正面左岸的C处测得水库右岸D处某标志物DE顶端的仰角为α．在C处一架无人飞机以北偏西90°﹣β方向飞行100米到达点A处，无人机沿水平线AF方向继续飞行30米至B处，测得正前方水库右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．
（1）求无人机的飞行高度AM；
（2）求标志物DE的高度．（结果精确到0.1米）
（已知数据：sinα，cosα，tanα，sinβ，cosβ，tanβ＝2，1.732）
【解题思路】（1）根据题意可得∠ACM＝β，AC＝100米，根据锐角三角函数即可得无人机的飞行高度AM；
（2）根据题意可得∠ECD＝α，AB＝30米，∠FBD＝30°，作BG⊥MC于点G交AC于点H，由△HBA∽△HGC，可得AB：GC＝BH：HG，即30：GC＝60：140，解得GC的长，根据锐角三角函数即可求出标志物DE的高度．
【解答过程】解：（1）根据题意可知：∠ACM＝β，AC＝100米，
∴AM＝AC sinβ＝100200（米），
答：无人机的飞行高度AM为200米；
（2）根据题意可知：∠ECD＝α，AB＝30米，∠FBD＝30°，
如图，作BG⊥MC于点G交AC于点H，
∵AB∥CM，
∴∠BAH＝∠ACM＝β，
∴BH＝AB tanβ＝30×2＝60（米），
∴HG＝BG﹣BH＝200﹣60＝140（米），
∵AB∥CM，
∴△HBA∽△HGC，
∴AB：GC＝BH：HG，
∴30：GC＝60：140，
解得GC＝70（米），
∵∠GBD＝90°﹣30°＝60°，
∴GD＝BG tan∠GBD＝200200（米），
∴CD＝GD﹣GC＝（20070）米，
∴DE＝CD tanα＝（20070）207.3（米）．
答：标志物DE的高度为207.3米．
23．（8分）（2021秋 衢江区期末）阅读材料：关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，tan（α+β）．利用这些公式可以将两角和的三角函数值转化成两个三角函数值的和（差），如tan75°＝tan（30°+45°）2．
问题解决：根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下列问题．
（1）求sin75°；
（2）如图，边长为2的正△ABC沿直线滚动，设当△ABC滚动240°时，C点的位置在C′，当△ABC滚动480°时，A点的位置在A′．
①求tan∠CAC′的值；
②试确定∠CAC′+∠CAA′的度数．
【解题思路】（1）把75°转化为30°+45°，再套入公式即可；
（2）①过C′作C′E⊥l于E，根据等边三角形的性质可得C′E和AE的长，再根据正切的定义可得答案；
②根据①的思路得到tan∠CAA′的值，再利用tan（α+β）代入可得答案．
【解答过程】解：（1）sin75°＝sin（30°+45°）
＝sin30° cos45°+cos30° sin45°
；
（2）①过C′作C′E⊥l于E，
∵△ABC是等边三角形且边长为2，
∴C′E，AE＝2+2+1＝5，
∴tan∠CAC′；
②过A′作A′F⊥l于F，
∵△ABC是等边三角形且边长为2，
∴A′F，AF＝2+2+2+2+1＝9，
∴tan∠CAA′．
设∠CAC′＝α，∠CAA′＝β，
tan（α+β），
∴α+β＝30°，
∴∠CAC′+CAA′＝30°．
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