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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第一章
课标要求 1.了解二次根式的概念2.了解最简二次根式的概念3.了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则4.会用二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则进行简单的四则运算。
内容分析 本章是浙教版八年级下册第一章《二次根式》，属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域中的“数与式”.主要内容有二次根式、二次根式的性质和运算。本单元首先以平方根及平方根的性质复习回顾为导入探究二次根式的概念，让学生经历二次根式概念的发生过程，要求学生根据算术平方根的意义会求二次根式根号内字母的取值范围。再通过合作学习体验并理解二次根式的性质，进而通过二次根式的性质探究二次根式的运算，经过整式运算的某些法则在二次根式四则运算中的应用,使学生体验迁移、化归等数学思想，学习二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则.经过本章的学习，有助于学生初步形成抽象能力、推理能力，是学生感悟数学的语言表达现实世界的重要载体，有利于提升运算能力.
学情分析 《二次根式》这一章是在学生已经学方根，知道平方根的性质及算术平方根的意义的基础上进行构建的。本章知识是在此基础上，全面研究常二次根式、二次根式的性质和运算。《义务教育数学课程标准》把二次根式列入实数的范畴，且二次根式主要是数的算术平方根，且二次根式的性质的依据是算术平方根的概念.二次根式是由于实际计算的需要而产生的，在日常生活和实际生活中有着广泛应用。二次根式的学习有利于发展学生的迁移、化归等数学思想，有助于提高学生的抽象能力、推理能力和运算能力，在教材中有着重要的地位。教师应该在传授知识的过程中引导学生认识和体会相关的数学思想方法，加强学生对知识之间内在联系的认识，提高学生的基本能力。
单元目标 （一）教学目标1.了解二次根式的概念.2.会求二次根式的值.3.了解二次根式的性质，了解最简二次根式的概念.4.会运用二次根式的性质将二次根式化简.5.了解二次根式加、减、乘、除的运算法则.6.会进行二次根式的简单四则运算.7.会运用二次根式的运算解决简单的实际问题. （二）教学重点、难点教学重点：二次根式的性质教学难点：二次根式的四则混合运算
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1.1二次根式11.2二次根式的性质21.3二次根式的运算3
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务1.1二次根式1.经历二次根式概念的发生过程.2.了解二次根式的概念.3.理解二次根式何时有意义，何时无意义.会在简单情况下求根号内所含字母的取值范围. 4.会求二次根式的值.1.会在简单情况下求根号内所含字母的取值范围.2.会求二次根式的值.活动一：复习导入，回顾平方根的概念及平方根的性质.活动二：探究新知，经历二次根式概念的发生过程，会求二次根式根号内字母的取值范围.活动三：例题精讲，使学生会求二次根式的值.活动四：针对训练，请学生回答问题.1.2.1二次根式的性质1.经历二次根式的性质:=a(a≥0);==的发现过程,体验归纳、猜想的思想方法.2.了解二次根式的上述两个性质.3.会运用上述两个性质进行有关计算.能够运用二次根式的性质进行有关计算.活动一：复习导入，回顾二次根式的概念.活动二：合作学习，经历二次根式的性质的发现过程.活动三：例题精讲，运用二次根式的性质进行有关计算.活动四：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题1.2.2二次根式的性质1.经历二次根式的性质:=(a≥0，b≥0);=(a≥0，b>0)的发现过程,体验归纳、类比的思想方法.2.了解二次根式的上述两个性质.3.会运用二次根式的性质将简单二次根式化简.能够运用二次根式的性质将简单二次根式化简.活动一：复习导入，回顾二次根式的性质活动二：探究新知，通过计算发现二次根式的积和商的性质活动三：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题1.3.1二次根式的运算1.了解二次根式的运算法则是由二次根式的性质得到的.2.会进行简单的二次根式的乘除运算.能够进行简单的二次根式的乘除运算.活动一：复习导入，回顾二次根式的性质.活动二：探究新知，能够运用二次根式的性质进行运算.活动三：巩固练习，请学生回答问题.1.3.2二次根式的运算1.会进行简单的二次根式的四则混合运算.2.通过整式运算的某些法则在二次根式四则运算中的应用,体验迁移、化归等数学思想.能够进行简单的二次根式的四则混合运算.活动一：温故知新，回顾整式的运算法则.活动二：探究新知，会进行简单的二次根式的四则混合运算.活动三：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题.1.3.3二次根式的运算1.会应用二次根式解决简单的实际问题.2.进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值.能够应用二次根式解决简单的实际问题.活动一：复习导入，回顾二次根式的运算法则活动二：例题精讲，应用二次根式解决简单的实际问题活动三：巩固练习，请学生回答问题
《二次根式》大单元教学设计
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1.1二次根式
浙教版 八年级下册
内容总览
教学目标
01
复习回顾
02
探究新知
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
教材分析
二次根式是“浙教版八年级数学（下）”第一章第一节的内容。本节课的主要内容是让学生经历二次根式概念的发生过程，了解二次根式的概念，通过合作思考，使学生根据算术平方根的意义探究二次根式根号内字母的取值范围，要求学生在简单情况下求根号内所含字母的取值范围及会求二次根式的值.二次根式有利于解决长度、高度及面积计算等问题，在教材中有着非常重要的地位和作用.
教学目标
1.经历二次根式概念的发生过程.
2.了解二次根式的概念.
3.理解二次根式何时有意义，何时无意义.会在简单情况下求根号内所含字母的取值范围.
4.会求二次根式的值.
5.提高学生分析问题、解决问题的能力.
复习回顾
平方根是什么？什么是算术平方根？
一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做a的二次方根.
正数的正平方根和零的平方根统称算术平方根,用(a≥0)表示.
平方根的性质是什么？
一个正数a有两个平方根，它们互为相反数，记做±
零的平方根是零
负数没有平方根
复习回顾
小试牛刀：
1.如果x2=5,那么x= .
2. 9的平方根是 ,9的算术平方根 .
3.﹣7有没有平方根？有没有算术平方根？
负数没有平方根.
因为正数的正平方根和零的平方根统称算术平方根，所以负数没有算术平方根.
±
±3
3
探究新知
根据图所示的直角三角形、正方形和等腰直角三角形的条件,完成以下填空:
直角三角形的斜边长是 .
∵直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方
∴斜边的平方=a2+22
∴斜边长=
探究新知
根据图所示的直角三角形、正方形和等腰直角三角形的条件,完成以下填空:
正方形的边长是 .
∵正方形的面积=边长2
∴b-3=边长2
∴边长=
探究新知
根据图所示的直角三角形、正方形和等腰直角三角形的条件,完成以下填空:
等腰直角三角形的腰长是 .
∵等腰直角三角形=腰长×腰长
∴S= 腰长×腰长
∴腰长=
思考：你认为所得的各代数式的共同特点是什么
探究新知
, , 的共同特点：
1.都表示算术平方根.
2.根号里面的式子都含有字母.
像, , 这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式.
探究新知
思考：如何求二次根式根号内字母的取值范围？
∵正数的正平方根和零的平方根统称算术平方根,
∴在二次根式中，要求字母a必须满足条件a≥0，即被开方数是非负的.
∴当a≥0时，二次根式有意义，
当a<0时，二次根式意义.
根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零.
例题精讲
解：(1)由a+1≥0,得a≥-1,
所以字母a的取值范围是大于或等于-1的实数.
(2)由>0,得1-2a>0,即a<,
所以字母a的取值范围是小于的实数.
(3)因为无论a取何值,都有≥0,
所以a的取值范围是全体实数.
例1求下列二次根式中字母a的取值范围:
（1） （2） （3）
例题精讲
解：将x=-4代入二次根式,
得 =
=
=3
例2当x=-4 时,求二次根式的值
课堂练习
1.使代数式有意义的x的取值范围是（ ）
A．
B．
C．且
D．
【知识技能类作业】
必做题
C
课堂练习
2.若a=5，则下列各式是二次根式的是( )
A．
B．
C．
D．
【知识技能类作业】
必做题
B
课堂练习
3.求下列二次根式中字母x的取值范围:
(1) (2)
(3) (4)
【知识技能类作业】
必做题
答案：(1)x≥1
(2)x为任意实数
(3)x>
(4)x≤0
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
1.如果=a，=b，用含有a，b的式子表示，下列表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．2ab
B
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
2.下列选项中，使根式有意义的a的取值范围为a＜1的是（ ）
A．
B．
C．
D．
D
课堂练习
【综合实践类作业】
一艘轮船先向东北方向航行2小时，再向西北方向航行t小时．船的航速是每小时25千米．
(1)用关于t的代数式表示船离出发地的距离．
(2)求当t=3时，船离出发地的距离（精确到0.01千米）．
解： (1)根据已知可得
向东北方向航行的距离为2×25=50km，向西北方向航行了25t km,
由于东北方向和西北方向互相垂直,
根据勾股定理，可知船离出发地的距离为=25 (km) (t>0) .即船离出发地的距离是25km.
课堂练习
【综合实践类作业】
一艘轮船先向东北方向航行2小时，再向西北方向航行t小时．船的航速是每小时25千米．
(1)用关于t的代数式表示船离出发地的距离．
(2)求当t=3时，船离出发地的距离（精确到0.01千米）．
解: (2)将t=3代入25,得
2590.14 (km)
所以当t=3时，船离出发地90.14千米.
课堂总结
二次根式是什么？
像, , 这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式.
使二次根式有意义的条件是什么？
在二次根式中，要求字母a必须满足条件a≥0，即被开方数是非负的.所以当a≥0时，二次根式有意义，当a<0时，二次根式意义.
作业布置
【知识技能类作业】
1．代数式有意义的条件是（ ）
A．m≥-5
B．m>0
C．m>-5
D．m≥0
B
作业布置
【知识技能类作业】
2.若有意义，则=________________．
3.若与互为相反数，则______．
4.已知y＝1＋＋，则2x＋3y的算术平方根为_____．
1
-8
2
作业布置
【综合实践类作业】
已知a、b为实数，且=b+4，求a、b的值.
解：
∵ =b+4，
∴，
由①得a≥5，
由②得a≤5,
∴a=5
∴b+4=0即b=-4
板书设计
二次根式：
二次根式有意义的条件：
1.1二次根式
习题讲解书写部分
谢谢
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《二次根式》教学设计
第一课时《二次根式》教学设计
课型 新授课
教学内容分析 二次根式是“浙教版八年级数学（下）”第一章第一节的内容。本节课的主要内容是让学生经历二次根式概念的发生过程，了解二次根式的概念，通过合作思考，使学生根据算术平方根的意义探究二次根式根号内字母的取值范围，要求学生在简单情况下求根号内所含字母的取值范围及会求二次根式的值.二次根式有利于解决长度、高度及面积计算等问题，在教材中有着非常重要的地位和作用.
学习者分析 八年级的学生具备了一定的独立思考、合作探究、归纳概括的能力，能够进行简单的推理论证.教师可以通过已学知识引导学生列出代数式，通过观察思考得出二次根式的概念.教师在教学过程中要注意引导学生分析二次根式何时有意义，何时无意义，且教师的教学要面向全体学生，发挥学生的主体作用，让学生积极参与进来.
教学目标 1.经历二次根式概念的发生过程. 2.了解二次根式的概念. 3.理解二次根式何时有意义，何时无意义.会在简单情况下求根号内所含字母的取值范围. 4.会求二次根式的值. 5.提高学生分析问题、解决问题的能力
教学重点 二次根式的概念
教学难点 确定二次根式中字母的取值范围
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习导入，回顾旧知教师活动1： 教师提问：平方根是什么？什么是算术平方根？ 教师带领回顾：一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做a的二次方根. 正数的正平方根和零的平方根统称算术平方根,用(a≥0)表示. 教师提问：平方根的性质是什么？ 教师带领回顾： 1.一个正数a有两个平方根，它们互为相反数，记做± 2.零的平方根是零 3.负数没有平方根 小试牛刀： 1.如果x2=5,那么x= . 2.9的平方根是 ,9的算术平方根 . 3.﹣7有没有平方根？有没有算术平方根？ 答案：1.± 2.±，3 3.负数没有平方根. 因为正数的正平方根和零的平方根统称算术平方根，所以负数没有算术平方根.学生活动1： 学生回顾旧知，举手回答问题 学生跟随教师回顾旧知 学生回顾旧知，完成习题，举手回答问题，教师进行评价和讲析 学生认真听讲活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：探究新知，合作交流教师活动2： 根据图所示的直角三角形、正方形和等腰直角三角形的条件,完成以下填空: 1.直角三角形的斜边长是 . 教师讲授： ∵直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方 ∴斜边的平方=a2+22 ∴斜边长= 2.正方形的边长是 . 教师讲授： ∵正方形的面积=边长2 ∴b-3=边长2 ∴边长= 3.等腰直角三角形的腰长是 . 教师讲授：∵等腰直角三角形=腰长×腰长 ∴S=腰长×腰长 ∴腰长= 合作交流：你认为所得的各代数式的共同特点是什么 教师讲授： , , 的共同特点： 1.都表示算术平方根. 2.根号里面的式子都含有字母. 像,,这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式. 思考：如何求二次根式根号内字母的取值范围？ ∵正数的正平方根和零的平方根统称算术平方根, ∴在二次根式中，要求字母a必须满足条件a≥0，即被开方数是非负的. ∴当a≥0时，二次根式有意义， 当a<0时，二次根式意义. 根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零.学生活动2： 学生认真思考，举手回答问题，教师进行评价和讲解 学生认真听讲 学生认真思考，举手回答问题，教师进行评价和讲解 学生认真思考，举手回答问题，教师进行评价和讲解 学生认真听讲 学生认真思考，观察各代数式的共同特点，合作交流，举手回答问题，教师进行评价和讲析 学生认真听讲 学生认真思考，举手回答问题，教师进行评价和讲析 学生认真听讲 活动意图说明：学生通过合作探究不仅促进了学生的合作意识，还有利于提高学生解决问题的能力，能促进学生的全面发展。环节三：例题精讲，再探新知教师活动3： 例1求下列二次根式中字母a的取值范围: （1） （2） （3） 解: (1)由a+1≥0,得a≥-1, 所以字母a的取值范围是大于或等于-1的实数. (2)由>0,得1-2a>0,即a<, 所以字母a的取值范围是小于的实数. (3)因为无论a取何值,都有≥0, 所以a的取值范围是全体实数. 例2当x=-4时,求二次根式的值 解：将x=-4代入二次根式, 得= = =3学生活动3： 学生认真思考，举手回答问题，教师进行评价和讲解 学生认真听讲 学生认真思考，举手回答问题，教师进行评价和讲解 学生认真听讲 活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂小结，总结归纳
教师活动4： 教师提问：二次根式是什么？ 教师讲授：像, , 这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式. 教师提问：使二次根式有意义的条件是什么？ 教师讲授：在二次根式中，要求字母a必须满足条件a≥0，即被开方数是非负的.所以当a≥0时，二次根式有意义，当a<0时，二次根式意义.学生活动4： 学生回忆知识要点，举手回答问题，用自己的语言进行描述，教师进行评价和讲解 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．使代数式有意义的x的取值范围是（ ） A． B． C．且 D． 2.若a=5，则下列各式是二次根式的是( ) A． B． C． D． 3.求下列二次根式中字母x的取值范围: (1) (2) (3) (4) 选做题： 1．如果=a，=b，用含有a，b的式子表示，下列表示正确的是（ ） A． B． C． D．2ab 2.下列选项中，使根式有意义的a的取值范围为a＜1的是（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类作业】 一艘轮船先向东北方向航行2小时，再向西北方向航行t小时．船的航速是每小时25千米． (1)用关于t的代数式表示船离出发地的距离． (2)求当t=3时，船离出发地的距离（精确到0.01千米）．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．代数式有意义的条件是（ ） A．m≥-5 B．m>0 C．m>-5 D．m≥0 2．若有意义，则=________________． 3.若与互为相反数，则______． 4.已知y＝1＋＋，则2x＋3y的算术平方根为_____． 【综合拓展类作业】 已知a、b为实数，且=b+4，求a、b的值.
教学反思 本设计基于教材，又对教材进行再创造，通过复习导入激发学生学习的兴趣。安排学生探索新知，观察思考，从而获得数学活动经验，直观感知知识。本设计例题习题安排恰当，缺点是题目梯度设置不够明显，教师需要积累题目素材，做到题目难度能面向全体学生。另外教师在课堂上要根据学生的实时反应调整教学方式，不能拘泥于教学设计，教师需要灵活变通，这就需要教师努力提升自身专业知识。
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