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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第5章一次函数（解析版）
5.2 函数（2）
【知识重点】
一、自变量的取值范围：一个函数中的自变量允许取值的范围，叫自变量的取值范围.
二、确定函数自变量的取值范围的方法：
（1）关系式为整式时，为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开平方式大于等于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，自变量的取值范围还要和实际情况相符合，使之有意义.
三、求函数自变量的取值范围时，要从两方面考虑：
1.代数式本身要有意义；2.符号的实际意义.
四、函数的三类基本问题：
1.求解析式；2.求自变量的取值范围；3.已知自变量的值求相应的函数值或者已知函数值求相应的自变量的值.
【经典例题】
【例1】若等腰 的周长是 ，一腰长为xcm，底边长为ycm，则y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】依题意，
根据三角形的三边关系得，
，得
，得
得， ．
故 与 的函数关系式及自变量 的取值范围是：
故答案为： ．
【例2】在某火车站托运物品时，不超过3kg的物品需付1.5元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元，则下列图象能表示出托运费y与物品重量x之间的函数关系式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可得，
当时，，
∵物品重量每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元，
∴托运费y与物品重量x之间的函数图象为：
故答案为：D.
【例3】已知长方形的周长为 16cm，其中一边长为 xcm，面积为
y ，则这个长方形的面积 y 与 x 之间的关系可表示为
【答案】
【解析】∵矩形周长为
∴两邻边之和为
∴若一边长为 ，则另一边长为 ；面积为
∴ 即 ．
故答案是：
【例4】如图，等腰△ABC周长为10，底边BC长为y，腰AB长为x.
（1）求y关于x的函数表达式（不需要求自变量的取值范围）
（2）当腰长时，求底边的长.
【答案】（1）解：由三角形的周长为10，得2x+y=10，
∴y=-2x+10；
（2）解：当AB=3，即x=3时，y=-2×3+10=4.
所以腰长AB=3时，底边的长为4.
【例5】科学家研究发现声音在空气中传播的速度y（米/秒）与气温x（℃）有关：当气温是0℃时，音速是330米/秒；当气温是5℃时，音速是333米秒；当气温是10℃时，音速是336米/秒；当气温是15℃时，音速是339米/秒；当气温是20℃时，音速是342米/秒；当气温是25℃时，音速是345米/秒；当气温是30℃时，音速是348米/秒.
（1）请用表格表示气温与音速之间的关系；
（2）表格反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（3）当气温是35℃时，估计音速y可能是多少？
（4）用一个式子来表示两个变量之间的关系.
【答案】（1）解：用表格表示气温与音速之间的关系如下：
气温x（℃） 0 5 10 15 20 25 30 ……
音速y（米/秒） 330 333 336 339 342 345 348 ……
（2）解：表格中反应的是音速y（米/秒）和气温x（℃）两个变量，
其中气温x（℃）是自变量，音速y（米/秒）是因变量；
（3）解：根据表格中音速y（米/秒）随着气温x（℃）的变化规律可知，
当气温再增加5℃，音速就相应增加3米/秒，即为348+3=351（米/秒），
答：当气温是35℃时，音速y可能是351米/秒；
（4）解：根据表格中两个变量的变化规律可得，
y=330+3×=330+0.6x，
也就是y=0.6x+330，
答：两个变量之间的关系可以表示为y=0.6x+330.
【例6】写出下列各问题中的函数关系式，并指出自变量的取值范围.
（1）如果直角三角形中一个锐角的度数为α，另一个锐角的度数β与α之间的关系；
（2）一支蜡烛原长为20cm，每分钟燃烧0.5cm，点燃x（分钟）后，蜡烛的长度y(cm)与x（分钟）之间的关系；
（3）有一边长为2cm的正方形，若其边长增加xcm，则增加的面积y（cm2）与x之间的关系.
【答案】（1）解：β＝90°－α，
∵α>0，β>0
∴0°<α<90°
（2）解：y＝20－0.5x，
∵20-0.5x≥0，x≥0
∴0≤x≤40
（3）解：y＝(x+2)2-22=x2＋4x，x>0.
【基础训练】
1．如果一盒圆珠笔有12支，售价18元，用 （元）表示圆珠笔的售价， 表示圆珠笔的支数，那么 与 之间的解析式为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵每盒圆珠笔有12支，售价18元，
∴每只平均售价为： =1.5（元），
∴y与x之间的关系是：
故答案为：A
2．圆面积S与直径d之间的函数表达式为S= .
【答案】
【解析】∵圆的直径是d，
∴圆的半径是
∴圆面积S与直径d之间的函数表达式为，
故答案为：.
3．计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n（个）与单价 a（元）的关系式是 ，其中变量是 ，常量是 .
【答案】；a，n；50
【解析】根据购买的总数=总钱数÷单价可得n与a的关系式，然后结合常量、变量的概念进行解答.
4．某等腰三角形的周长是50cm，底边长是xcm，腰长是ycm，则y与x之间的关系式是 .
【答案】y＝ （0＜x＜25）
【解析】由题意可得，
y＝ ，
∵
∴0＜x＜25，
即y关于x的函数解析式是y＝ （0＜x＜25）.
故答案为：y＝ （0＜x＜25）.
5．小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来，目前他已存有50元，从现在起他准备每个月存12元，请写出小张的存y款数（元）与从现在开始的月份数x（月）之间的函数关系式 .
【答案】y=50+12x
【解析】设小明的存款数为y元,月份x.则有
y=50+12x.
故答案为：y=50+12x.
6．等腰△ABC的周长为10厘米，底边BC长为y厘米，腰AB长为x厘米，则y与x的关系式为： ．当x=2厘米时，y= 厘米；当y=4厘米时，x= 厘米．
【答案】y=10-2x（0＜x＜5）；6；3
【解析】由题意得10=y+2x，
即y=10-2x（0＜x＜5）；
当x=2时y=10-4=6；
当y=4时，4=10-2x，x=3
7．洲际弹道导弹的速度会随着时间的变化而变化．某种型号的洲际弹道导弹的速度与时间之间的关系式为，则导弹发出后，第时的速度为 ．
【答案】
【解析】由题意得，将t=0.2代入 得，
，
所以导弹发出后，第时的速度为；
故答案为：1010.4.
8．如图，梯形上底长是5，下底长是x，高是8．
（1）写出梯形面积y与下底长x之间的关系式．
（2）当时，y等于多少．
【答案】（1）解：由题意得：；
（2）解：当时，．
9．已知等腰三角形的周长为12，设腰长为x，底边长为y.
（1）试写出y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围.
（2）当x=5时，求出函数值.
【答案】（1）解：由题意得12＝2x＋y，
∴y＝12－2x．
∵x，y是三角形的边长，
∴y＜2x，2x＞12－2x，
∴3＜x＜6．
（2）解：由(1)知y＝12－2x，
∴当x＝5时，y＝2．
10．一辆汽车油箱内有油升，从某地出发，每行驶千米，耗油升，如果设油箱内剩油量为升，行驶路程为千米，则随的变化而变化
（1）在上述变化过程中，自变量是 ；因变量是 ．
（2）用表格表示汽车从出发地行驶千米、千米、千米、千米时的剩油量．
请将表格补充完整：
行驶路程千米
油箱内剩油量升
（3）试写出与的关系式 ．
（4）这辆汽车行驶千米时剩油多少升？汽车剩油升时，行驶了多少千米？
【答案】（1）汽车行驶路程；邮箱内剩油量
（2）解：补充表格如下，
行驶路程千米
油箱内剩油量升 48 32
（3）
（4）解：当时，，
所以汽车行驶千米时剩油升；
当时，，
解得：，
所以汽车行驶千米时剩油升．
【解析】（1）由题意可得：汽车行驶路程是自变量，邮箱内剩油量是因变量；
（2）行驶100千米时，油箱内剩油量为56-100×0.08=56-8=48升；
行驶300千米时，油箱内剩油量为40-100×0.08=40-8=32升；
（3）∵油箱内有油56升，每行驶1千米，耗油0.08升，
∴y=56-0.08x.
【培优训练】
11．某学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据：
支撑物的高度 10 20 30 40 50 60 70 80
小车下滑的时间 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 1.50
下列说法错误的是（ ）
A．当h=60cm时，t=1.71s
B．随着h逐渐升高，t逐渐变小
C．h每增加10cm，t减小1.23s
D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快
【答案】C
【解析】解:A.当h=60cm时，t=1.71s，故A不符合题意；
B. 随着h逐渐升高，t逐渐变小，故B不符合题意；
C.h每增加10cm，t减小的值不一定，故C符合题意；
D. 随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快，故D不符合题意．
故答案为C．
12．小凡遇到了这样一道题目：选择适当的x值，并求代数式的值．他将同学们的答案进行了如下整理，并有3个大胆的猜测：
x 1 2 3 4 5 …
2 …
①当时，代数式的值随着x的增大而越来越小；
②代数式的值有可能等于1；
③当时，代数式的值随着x的减小而越来越接近于1．
推测正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】①，当时，的值随着x的增大而越来越小，
∴当时，代数式的值随着x的增大而越来越小，故该项符合题意；
②代数式的值随着x的增大越来越接近1，但不可能等于1，故该项不符合题意；
③，当时，代数式的值随着x的减小而越来越接近于1，故该项符合题意；
故答案为：C．
13．下面的表格列出了一个实验的统计数据，表示将皮球从高处落下时，弹跳高度b与下降高度d的关系，下面能表示这种关系的式子是（ ）
d 75 60 45 30
b 50 35 20 5
A．b=d-25 B． C． D．b=
【答案】A
【解析】有表格可知b是d的一次函数，设
，
将
和
分别代入，得
，解得
，
∴ ．
故答案为：A．
14．声音在空气中的传播速度v（m／s）与温度t（℃）的关系如下表：
温度（℃） 0 5 10 15 20
速度v（m／s） 331 336 341 346 351
则速度v与温度t之间的关系式为 ；当t＝30℃时，声音的传播速度为 m/s.
【答案】v＝331＋t；361
【解析】根据表格可得，v＝331＋t．
故速度v与时间t之间的关系式为：v＝331＋t．
当t＝30℃时，
v＝331＋30＝361（m/s）．
故当t＝30℃时，声音的传播速度为361m/s
故答案为：v＝331＋t；361．
15．如图，长方形ABCD的四个顶点在互相平行的两条直线上，AD=10cm，当B、C在平行线上运动时：
（1）如果设AB的长为x（cm），长方形ABCD面积为y（cm2），则可以表示为 ；
（2）当AB长15cm变到30cm时，长方形的面积从 cm2变到 cm2．
【答案】（1）y=10x
（2）150；300
【解析】（1）∵AB的长为xcm，长方形ABCD面积为ycm2，AD=10cm，
∴它可以表示为：y=10x；（2）∵AD=10cm，AB=15cm，AB=30cm时，它们的面积分别是：
∴长方形的面积是：
15×10=150，
10×30=300，
∴长方形的面积从150cm2变到300cm2
故填：y=10x，150cm2变到300cm2．
16．如图，长方形中，，，点E为边上一动点，连接，随着点E的运动，四边形的面积也发生变化．
（1）写出四边形的面积y与的长之间的关系式．
（2）当四边形的面积为25时，求的长．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴
∴四边形的面积y与的长x之间的关系式为：；
（2）解：把代入得：，
解得：，
∴．
17．将一些长30厘米，宽10厘米的长方形纸，按图所示方法粘合起来，粘合部分的宽为2厘米．
（1）求5张白纸粘合后的总长度为多少厘米？
（2）设x张白纸粘合后的总长度为y厘米，请写出y与x之间的关系式？
（3）求当x=20时，试求y的值为多少．
【答案】（1）解：由题意，得
30×5﹣2×（5﹣1）=142．
所以5张白纸粘合后的长度为142cm．
（2）解：y=30x﹣2（x﹣1）=28x+2．
所以y与x的关系式为y=28x+2．
（3）解：当x=20时，y=28×20+2=562．
所以当x=20时，y的值为562cm．
18．某文具店出售书包和文具盒，书包每个定价30元，文具盒每个定价5元．该店制定了两种优惠方案．
方案1：买一个书包赠送一个文具盒；
方案2：按总价的9折（总价的90%）付款．
某班学生需购买8个书包，文具盒若干（不少于8个），如果设文具盒数为x（个），付款数为y（元）．
（1）分别求出两种优惠方案中y与x之间的关系式；
（2）购买文具盒多少个时两种方案付款相同；购买文具盒数大于8个时，两种方案中哪一种更省钱？
【答案】（1）解：方案1：；方案2：
（2）解：若两种方案付款相同，则有，解得．
当文具盒数量多于32个时，方案2省钱，
当文具盒数量多于8个而少于32个时，方案1省钱．
【直击中考】
19．如图1，在中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则的长为（ ）
A． B． C．17 D．
【答案】C
【解析】由图象起点坐标（0，15）可知，t=0时，点P与点A重合，
∴BP=AB=15，
∴点P从点A运动到点B需要的时间为15÷2=7.5s，
图象末点的横坐标为11.5s，说明点P从点A运动到B点再到C点后停止共用时11.5s，
∴点P从点B运动到点C用的时间为11.5-7.5=4s，
∴BC=2×4=8，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=17.
故答案为：17.
20．小韦同学周末的红色之旅，坐爸爸的车去百色起义纪念馆，从家里行驶7千米后，进入高速公路，在高速公路上保持匀速行驶，小韦记录高速公路上行驶的时间（和路程）数据如下表，按照这个速度行驶了2小时进入高速路出口匝道，再行驶5千米抵达纪念馆，则小韦家到纪念馆的路程是 千米.
t小时 0.2 0.6 0.8
s千米 20 60 80
【答案】212
【解析】在高速公路上行驶的速度为平均每小时：20÷0.2=100（千米）
在高速公路上行驶的路程为：100×2=200（千米）
所以小韦家到纪念馆的路程是：7+200+5=212（千米）.
故答案为：212.
21．如图，李大爷用24米长的篱笆靠墙围成一个矩形 菜园，若菜园靠墙的一边 长为 （米），那么菜园的面积 （平方米）与 的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得：2AB+x=24，
∴AB=
；
∴
故答案为：C.
22．同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数表达式是y= x+32．若某一温度的摄氏度数值与华氏度数值恰好相等，则此温度的摄氏度数为 ℃．
【答案】﹣40
【解析】根据题意得 x+32=x，
解得x=﹣40．
故答案是：﹣40．
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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第5章一次函数
5.2 函数（2）
【知识重点】
一、自变量的取值范围：一个函数中的自变量允许取值的范围，叫自变量的取值范围.
二、确定函数自变量的取值范围的方法：
（1）关系式为整式时，为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开平方式大于等于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，自变量的取值范围还要和实际情况相符合，使之有意义.
三、求函数自变量的取值范围时，要从两方面考虑：
1.代数式本身要有意义；2.符号的实际意义.
四、函数的三类基本问题：
1.求解析式；2.求自变量的取值范围；3.已知自变量的值求相应的函数值或者已知函数值求相应的自变量的值.
【经典例题】
【例1】若等腰 的周长是 ，一腰长为xcm，底边长为ycm，则y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是
A． B．
C． D．
【例2】在某火车站托运物品时，不超过3kg的物品需付1.5元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元，则下列图象能表示出托运费y与物品重量x之间的函数关系式的是（ ）
A． B． C． D．
【例3】已知长方形的周长为 16cm，其中一边长为 xcm，面积为
y ，则这个长方形的面积 y 与 x 之间的关系可表示为
【例4】如图，等腰△ABC周长为10，底边BC长为y，腰AB长为x.
（1）求y关于x的函数表达式（不需要求自变量的取值范围）
（2）当腰长时，求底边的长.
【例5】科学家研究发现声音在空气中传播的速度y（米/秒）与气温x（℃）有关：当气温是0℃时，音速是330米/秒；当气温是5℃时，音速是333米秒；当气温是10℃时，音速是336米/秒；当气温是15℃时，音速是339米/秒；当气温是20℃时，音速是342米/秒；当气温是25℃时，音速是345米/秒；当气温是30℃时，音速是348米/秒.
（1）请用表格表示气温与音速之间的关系；
（2）表格反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（3）当气温是35℃时，估计音速y可能是多少？
（4）用一个式子来表示两个变量之间的关系.
【例6】写出下列各问题中的函数关系式，并指出自变量的取值范围.
（1）如果直角三角形中一个锐角的度数为α，另一个锐角的度数β与α之间的关系；
（2）一支蜡烛原长为20cm，每分钟燃烧0.5cm，点燃x（分钟）后，蜡烛的长度y(cm)与x（分钟）之间的关系；
（3）有一边长为2cm的正方形，若其边长增加xcm，则增加的面积y（cm2）与x之间的关系.
【基础训练】
1．如果一盒圆珠笔有12支，售价18元，用 （元）表示圆珠笔的售价， 表示圆珠笔的支数，那么 与 之间的解析式为（ ）.
A． B． C． D．
2．圆面积S与直径d之间的函数表达式为S= .
3．计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n（个）与单价 a（元）的关系式是 ，其中变量是 ，常量是 .
4．某等腰三角形的周长是50cm，底边长是xcm，腰长是ycm，则y与x之间的关系式是 .
5．小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来，目前他已存有50元，从现在起他准备每个月存12元，请写出小张的存y款数（元）与从现在开始的月份数x（月）之间的函数关系式 .
6．等腰△ABC的周长为10厘米，底边BC长为y厘米，腰AB长为x厘米，则y与x的关系式为： ．当x=2厘米时，y= 厘米；当y=4厘米时，x= 厘米．
7．洲际弹道导弹的速度会随着时间的变化而变化．某种型号的洲际弹道导弹的速度与时间之间的关系式为，则导弹发出后，第时的速度为 ．
8．如图，梯形上底长是5，下底长是x，高是8．
（1）写出梯形面积y与下底长x之间的关系式．
（2）当时，y等于多少．
9．已知等腰三角形的周长为12，设腰长为x，底边长为y.
（1）试写出y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围.
（2）当x=5时，求出函数值.
10．一辆汽车油箱内有油升，从某地出发，每行驶千米，耗油升，如果设油箱内剩油量为升，行驶路程为千米，则随的变化而变化
（1）在上述变化过程中，自变量是 ；因变量是 ．
（2）用表格表示汽车从出发地行驶千米、千米、千米、千米时的剩油量．
请将表格补充完整：
行驶路程千米
油箱内剩油量升
（3）试写出与的关系式 ．
（4）这辆汽车行驶千米时剩油多少升？汽车剩油升时，行驶了多少千米？
【培优训练】
11．某学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据：
支撑物的高度 10 20 30 40 50 60 70 80
小车下滑的时间 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 1.50
下列说法错误的是（ ）
A．当h=60cm时，t=1.71s B．随着h逐渐升高，t逐渐变小
C．h每增加10cm，t减小1.23s D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快
12．小凡遇到了这样一道题目：选择适当的x值，并求代数式的值．他将同学们的答案进行了如下整理，并有3个大胆的猜测：
x 1 2 3 4 5 …
2 …
①当时，代数式的值随着x的增大而越来越小；
②代数式的值有可能等于1；
③当时，代数式的值随着x的减小而越来越接近于1．
推测正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
13．下面的表格列出了一个实验的统计数据，表示将皮球从高处落下时，弹跳高度b与下降高度d的关系，下面能表示这种关系的式子是（ ）
d 75 60 45 30
b 50 35 20 5
A．b=d-25 B． C． D．b=
14．声音在空气中的传播速度v（m／s）与温度t（℃）的关系如下表：
温度（℃） 0 5 10 15 20
速度v（m／s） 331 336 341 346 351
则速度v与温度t之间的关系式为 ；当t＝30℃时，声音的传播速度为 m/s.
15．如图，长方形ABCD的四个顶点在互相平行的两条直线上，AD=10cm，当B、C在平行线上运动时：
（1）如果设AB的长为x（cm），长方形ABCD面积为y（cm2），则可以表示为 ；
（2）当AB长15cm变到30cm时，长方形的面积从 cm2变到 cm2．
16．如图，长方形中，，，点E为边上一动点，连接，随着点E的运动，四边形的面积也发生变化．
（1）写出四边形的面积y与的长之间的关系式．
（2）当四边形的面积为25时，求的长．
17．将一些长30厘米，宽10厘米的长方形纸，按图所示方法粘合起来，粘合部分的宽为2厘米．
（1）求5张白纸粘合后的总长度为多少厘米？
（2）设x张白纸粘合后的总长度为y厘米，请写出y与x之间的关系式？
（3）求当x=20时，试求y的值为多少．
18．某文具店出售书包和文具盒，书包每个定价30元，文具盒每个定价5元．该店制定了两种优惠方案．
方案1：买一个书包赠送一个文具盒；
方案2：按总价的9折（总价的90%）付款．
某班学生需购买8个书包，文具盒若干（不少于8个），如果设文具盒数为x（个），付款数为y（元）．
（1）分别求出两种优惠方案中y与x之间的关系式；
（2）购买文具盒多少个时两种方案付款相同；购买文具盒数大于8个时，两种方案中哪一种更省钱？
【直击中考】
19．如图1，在中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则的长为（ ）
A． B． C．17 D．
20．小韦同学周末的红色之旅，坐爸爸的车去百色起义纪念馆，从家里行驶7千米后，进入高速公路，在高速公路上保持匀速行驶，小韦记录高速公路上行驶的时间（和路程）数据如下表，按照这个速度行驶了2小时进入高速路出口匝道，再行驶5千米抵达纪念馆，则小韦家到纪念馆的路程是 千米.
t小时 0.2 0.6 0.8
s千米 20 60 80
21．如图，李大爷用24米长的篱笆靠墙围成一个矩形 菜园，若菜园靠墙的一边 长为 （米），那么菜园的面积 （平方米）与 的关系式为（ ）
A． B． C． D．
22．同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数表达式是y= x+32．若某一温度的摄氏度数值与华氏度数值恰好相等，则此温度的摄氏度数为 ℃．
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