第一章 解直角三角形培优试题（含解析）
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文档简介
浙教版数学九下第一章——解直角三角形培优卷（精选最新必考题含解析）
一．选择题（共10小题）
1．cos60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角∠A的余弦值的变化情况是（ ）
A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的2倍
C．都没有变化 D．不能确定
3．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．75° C．105° D．120°
4．如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为（+1）海里．观测站B到AC的距离BP是（ ）
A． B．1 C．2 D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则tanB＝（ ）
A． B．3 C． D．
6．在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
7．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边，OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内，已知AB＝2，AD＝8，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（ ）
A．2sinx+8sinx B．2cosx+8cosx
C．2sinx+8cosx D．2cosx+8sinx
8．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，连接DE，若＝，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
9．勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG，DG．若正方形ABCD与EFGH的边长之比为：1，则sin∠DGE等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，分别经过原点O和点A（4，0）的动直线a，b夹角∠OBA＝30°，点M是OB中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
11．在△ABC中，tanA＝，，CB＝5，则AB＝ ．
12．当∠A为锐角，且＜cosA＜时，∠A的取值范围是 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CD＝3，，则BC＝ ．
14．如图，湖的旁边有一建筑物AD，某数学兴趣小组决定测量它的高度．他们首先在点B处测得建筑物最高点A的仰角为30°，然后沿BD方向前进12米到达C处，又测得点A的仰角为45°．请你帮助该小组同学，计算建筑物AD的高度约为 米．（结果精确到1米，参考数据）
15．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，，AC＝BD＝5，则这个四边形的面积是 ．
16．在△ABC中，CE⊥AB于点E，点D在AC上，AD＝2AE，连接BD交CE于点F，2∠ECA+∠BFE＝90°，，BC＝39，则CD长为 ．
三．解答题（共8小题）
17．计算：
（1）2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°；
（2）（﹣1）2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°．
18．如图，四边形ABCD是某水库大坝的横截面示意图，坝高8米，背水坡的坡角为45°，现需要对大坝进行加固，使上底加宽2米，且加固后背水坡的坡度i＝1：2，求加固后坝底增加的宽度AF的长．
19．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求DE的长；
（2）求塔AB的高度．（tan27°取0.5，取1.7，结果取整数）
20．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＝105°，AC＝2，求BC的长．
21．黄果树是重庆的市树，走在重庆的大街小巷，总能看到它巨大的身影．某天凤鸣山中学九年级某班的两名同学小语和小航在校园的操场边看见一颗特别高大的黄果树，他们便准备测量这颗黄果树的高度．如图小宇在点A处观测到黄果树最高点P的仰角为45°，再沿正对黄果树的方向前进6m至B处测得最高点P的仰角为60°，小航先在点C处竖立一根长为2.6m标杆FC，再后退至其眼睛所在位置点D、标杆顶F、最高点P在一条直线上，此时测得最高点P的仰角为30°，已知两人身高均为1.6m（头顶到眼睛的距离忽略不计）．
（1）求黄果树PQ的高度．（结果保留一位小数）；（参考数据：≈1.73）
（2）测量结束时小宇站在点E处，小航在点D处，两人相约在树下Q点见面，小宇的速度为1.5m/s，小航速度是其2倍，你认为谁先到达Q点？请说明理由．
22．已知△ABC，∠B＝60°，．
（1）如图1，若BC＝2，求AC的长；
（2）如图2，试确定四边形ABCD，满足∠ADC+∠B＝180°，且AD＝2DC．（尺规作图，不需写作法，但要保留作图痕迹．）
23．已知：如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝8，cos∠BAC＝，BD⊥AC，垂足为点D，E是BD的中点，联结AE并延长，交边BC于点F．
（1）求∠EAD的正切值；
（2）求的值．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，sinB＝，点D、E分别在边AB、BC上，满足∠CDE＝∠B．点F是DE延长线上一点，且∠ECF＝∠ACD．
（1）当点D是AB的中点时，求tan∠BCD的值；
（2）如果AD＝3，求的值；
（3）如果△BDE是等腰三角形，求CF的长．
浙教版数学九下第一章——解直角三角形培优卷（精选最新必考题含解析）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．cos60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．
【解答】解：cos60°＝，
故选：D．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
2．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角∠A的余弦值的变化情况是（ ）
A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的2倍
C．都没有变化 D．不能确定
【分析】设出原来的各边，得到相应的余弦值，进而得到扩大后的各边，再得到扩大后的余弦值，比较即可．
【解答】解：设原来三角形的各边分别为a，b，c，
则cosA＝，
若把各边扩大为原来的3倍，
则各边为3a，3b，3c，
那么cosA＝＝，
所以余弦值不变．
故选：C．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．75° C．105° D．120°
【分析】根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：由题意得，sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，
即sinA＝，＝cosB，
解得，∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，
故选：C．
【点评】本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
4．如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为（+1）海里．观测站B到AC的距离BP是（ ）
A． B．1 C．2 D．
【分析】证△BCP是等腰直角三角形，得BP＝PC，再由含30°角的直角三角形的性质得PA＝BP，然后由PA+PC＝AC，得BP+BP＝+1，求解即可．
【解答】解：由题意得：∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝90°+15°＝105°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°，
∵BP⊥AC，
∴∠BPA＝∠BPC＝90°，
∵∠C＝45°，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴BP＝PC，
∵∠BAC＝30°，
∴PA＝BP，
∵PA+PC＝AC，
∴BP+BP＝+1，
解得：BP＝1（海里），
故选：B．
【点评】本题考查了的解直角三角形的应用—方向角问题，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则tanB＝（ ）
A． B．3 C． D．
【分析】根据正切函数的定义求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，
∴tanB＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是掌握正切函数的定义．
6．在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】如图，取格点K，连接AK，BK．观察图形可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，推出∠AED＝∠ABK，解直角三角形求出tan∠ABK即可．
【解答】解：如图，取格点K，连接AK，BK．
观察图形可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，
∴∠AED＝∠ABK，
∴tan∠AED＝tan∠ABK＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
7．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边，OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内，已知AB＝2，AD＝8，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（ ）
A．2sinx+8sinx B．2cosx+8cosx
C．2sinx+8cosx D．2cosx+8sinx
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A到OC的距离，本题得以解决．
【解答】解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，
∴∠EAB＝x，
∴∠FBA＝x，
∵AB＝2，AD＝8，
∴FO＝FB+BO＝2cosx+8sinx，
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，连接DE，若＝，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解．
【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠BEA，
∴△ABE∽△ACD，
∴＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴＝＝，
设AD＝2a，则AC＝5a，
根据勾股定理得到CD＝a，
因而sinA＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形，能证出△AED∽△ABC是解决本题的关键．
9．勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG，DG．若正方形ABCD与EFGH的边长之比为：1，则sin∠DGE等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意得：，解得：，进而求解．
【解答】解：过点D作ND⊥GE交GE的延长线于点N，
由题意知，两个正方形之间是4个相等的三角形，
设△ABG的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为x，小正方形的边长为x，
即ED＝BG＝HC＝AF＝b，AG＝BH＝CE＝DF＝a，EG＝b，
由题意得：，解得：，
在△GDE中，EG＝GH＝b，则NE＝ND＝ED＝b＝x，EG＝GH＝（a﹣b）＝x，
则tan∠DGE＝＝＝，
则sin∠DGE＝，
故选：A．
【点评】本题为解直角三角形综合运用题，涉及到正方形的性质，确定a、b和x之间的关系是解题的关键．
10．如图，分别经过原点O和点A（4，0）的动直线a，b夹角∠OBA＝30°，点M是OB中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】作△AOB的外接圆⊙T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM．证明KM＝TB＝2，推出点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动，当AM与⊙K相切时，∠OAM的值最大，此时sin∠OAM的值最大．
【解答】解：如图，作△AOB的外接圆⊙T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM．
∵∠ATO＝2∠ABO＝60°，TO＝TA，
∴△OAT是等边三角形，
∵A（4，0），
∴TO＝TA＝TB＝4，
∵OK＝KT，OM＝MB，
∴KM＝TB＝2，
∴点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动，
当AM与⊙K相切时，∠OAM的值最大，此时sin∠OAM的值最大，
∵△OTA是等边三角形，OK＝KT，
∴AK⊥OT，
∴AK＝＝＝2，
∵AM是切线，KM是半径，
∴AM⊥KM，
∴AM＝＝＝2，
过点M作ML⊥OA于点L，KR⊥OA于点R，MP⊥RK于点P．
∵∠PML＝∠AMK＝90°，
∴∠PMK＝∠LMA，
∵∠P＝∠MLA＝90°，
∴△MPK∽△MLA，
∴＝＝＝＝，
设PK＝x，PM＝y，则有ML＝y，AL＝x，
∴y＝+x①，y＝3﹣x，
解得，x＝，y＝，
∴ML＝y＝，
∴sin∠OAM＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，三角形的外接圆，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
二．填空题（共6小题）
11．在△ABC中，tanA＝，，CB＝5，则AB＝ 5或11 ．
【分析】分两种情况：当∠ABC为钝角时或锐角时，根据正切的定义和勾股定理即可求出答案．
【解答】解：如图，当∠ABC为钝角时，作CD⊥AB，交AB延长线于点D，
∵tanA＝，
∴＝，
设CD＝x，则AD＝2x，
∵AD2+CD2＝AC2，
∴4x2+x2＝80，
解得x＝4，
∴AD＝8，BD＝＝3，
∴AB＝8﹣3＝5，
当∠ABC为锐角时，作CD⊥AB于点D，
由上可知AD＝8，BD＝3，
∴AB＝8+3＝11，
∴AB＝5或11．
故答案为：5或11．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是关键．
12．当∠A为锐角，且＜cosA＜时，∠A的取值范围是 30°＜∠A＜60° ．
【分析】根据题意先判断出cosA值在锐角范围内随着角度的增大变小，再根据特殊角的三角函数值进行解题即可．
【解答】解：由题可知，
∵∠A为锐角，
∴cosA在锐角范围内，∠A的值越大，cosA的值越小，
∵＜cosA＜时，
∴30°＜∠A＜60°．
故答案为：30°＜∠A＜60°．
【点评】本题考查锐角三角函数的增减性和特殊角的三角函数值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CD＝3，，则BC＝ ．
【分析】根据CD⊥AB，得出tan∠BCD＝，再根据∠A＝∠BCD，得出tan∠BCD＝，根据CD＝3，则BD＝2，根据勾股定理即可得出BC的长．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴tan∠BCD＝，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴tan∠BCD＝，
∴＝，
∴BD＝2，
∴BC＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是关键．
14．如图，湖的旁边有一建筑物AD，某数学兴趣小组决定测量它的高度．他们首先在点B处测得建筑物最高点A的仰角为30°，然后沿BD方向前进12米到达C处，又测得点A的仰角为45°．请你帮助该小组同学，计算建筑物AD的高度约为 16 米．（结果精确到1米，参考数据）
【分析】根据题意可得：AD⊥BD，BC＝12米，然后设CD＝x米，则BD＝（x+12）米，在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：AD⊥BD，BC＝12米，
设CD＝x米，
∴BD＝BC+CD＝（x+12）米，
在Rt△ABD中，∠B＝30°，
∴AD＝BD tan30°＝（x+12）米，
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
∴AD＝CD tan45°＝x（米），
∴x＝（x+12），
解得：x＝6+6，
∴AD＝6+6≈16（米），
∴建筑物AD的高度约为16米，
故答案为：16．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
15．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，，AC＝BD＝5，则这个四边形的面积是 10 ．
【分析】过点B作BE⊥AC于E，过点D作DF⊥AC于F，设OB＝m，则OD＝5﹣m，利用勾股定理和三角函数定义可得：BE＝OB＝m，DF＝（5﹣m），再由S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝AC BE+AC DF，即可求得答案．
【解答】解：过点B作BE⊥AC于E，过点D作DF⊥AC于F，
设OB＝m，则OD＝5﹣m，
∵tan∠AOD＝，
∴＝＝，
设DF＝4x，OF＝3x，
∵DF2+OF2＝OD2，
∴（4x）2+（3x）2＝m2，
∵x＞0，m＞0，
∴m＝5x，
∴sin∠AOD＝sin∠BOC＝，
∴BE＝OB＝m，DF＝（5﹣m），
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD
＝AC BE+AC DF
＝AC （BE+DF）
＝×5×[m+（5﹣m）
＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了勾股定理，三角函数定义，三角形面积等，熟练掌握三角函数定义是解题关键．
16．在△ABC中，CE⊥AB于点E，点D在AC上，AD＝2AE，连接BD交CE于点F，2∠ECA+∠BFE＝90°，，BC＝39，则CD长为 ．
【分析】利用“2∠ECA+∠BFE＝90°”构造全等形，利用“”得到EC，AE，AC之间的关系，从而得出BE，CD与它们之间的关系，最后在Rt△BCE中利用勾股定理解出即可．
【解答】解：在BE上取一点G，使EG＝EA，连接GC，
则AG＝2AE，
∵AD＝2AE，
∴AD＝AG，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝∠GEC＝90°，
在△ACE和△GCE中，
∴△ACE≌△GCE（SAS），
∴∠ECA＝∠ECG，
∴∠ACG＝2∠ECA，
∵CE⊥AB，
∴∠ABD+∠BFE＝90°，
∵2∠ECA+∠BFE＝90°，
∴∠ABD＝2∠ECA，
∴∠ABD＝∠ACG，
在△ABD和△ACG中，
∴△ABD≌△ACG（ASA），
∴AB＝AC，
∵，
∴设EC＝12k，AE＝5k，
∴AD＝2AE＝10k，
∴CD＝AC﹣AD＝13k﹣10k＝3k，
在Rt△AEC中，
AC＝＝＝13k，
∴AB＝13k，
∴BE＝AB﹣AE＝13k﹣5k＝8k，
在Rt△BCE中，
BE2+CE2＝BC2，
∵BE＝8k，CE＝12k，BC＝39，
∴（8k）2+（12k）2＝392，
解得k＝．
∵CD＝3k＝，
故答案为：．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等，构造出全等三角形是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
17．计算：
（1）2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°；
（2）（﹣1）2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°．
【分析】根据特殊角的三角函数值进行解题即可．
【解答】解：（1）原式＝2×﹣+×
＝﹣+
＝；
（2）原式＝﹣1+2×﹣++（）2
＝﹣1++3
＝2+．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值的应用，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
18．如图，四边形ABCD是某水库大坝的横截面示意图，坝高8米，背水坡的坡角为45°，现需要对大坝进行加固，使上底加宽2米，且加固后背水坡的坡度i＝1：2，求加固后坝底增加的宽度AF的长．
【分析】分别过E、D作AB的垂线，设垂足为G、H．在Rt△EFG中，根据坡面的铅直高度（即坝高）及坡比，即可求出FG的长，同理可在Rt△ADH中求出AH的长；由AF＝FG+GH﹣AH求出AF的长．
【解答】解：分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H，
∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，
∴DH平行且等于EG，
故四边形EGHD是矩形，
∴ED＝GH，
在Rt△ADH中，AH＝DH÷tan∠DAH＝8÷tan45°＝8（米），
在Rt△FGE中，i＝1：2＝，
∴FG＝2EG＝16（米），
∴AF＝FG+GH﹣AH＝16+2﹣8＝10（米）．
答：加固后坝底增加的宽度AF的长是10米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度，难度一般．
19．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求DE的长；
（2）求塔AB的高度．（tan27°取0.5，取1.7，结果取整数）
【分析】（1）根据题意可得：DE⊥EC，然后在Rt△DEC中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答；
（2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，设AB＝h m，根据题意得：DF＝EA＝（+h）m，DE＝FA＝3m，则BF＝（h﹣3）m，然后在Rt△BDF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而列出关于h的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：DE⊥EC，
在Rt△DEC中，
CD＝6m，∠DCE＝30°，
∴DE＝CD＝3（m），
∴DE的长为3m；
（2）由题意得：BA⊥EA，
在Rt△DEC中，DE＝3m，∠DCE＝30°，
∴CE＝DE＝（m），
在Rt△ABC中，
设AB＝h m，
∵∠BCA＝45°，
∴AC＝＝h（m），
∴AE＝EC+AC＝（+h）m，
∴线段EA的长为（+h）m；
过点D作DF⊥AB，垂足为F，
由题意得：DF＝EA＝（+h）m，DE＝FA＝3m，
∵AB＝h m，
∴BF＝AB﹣AF＝（h﹣3）m，
在Rt△BDF中，
∵∠BDF＝27°，
∴BF＝DF tan27°≈0.5（+h）m，
∴h﹣3＝0.5（+h），
解得：h＝+6≈11，
∴AB＝11m，
∴塔AB的高度约为11m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＝105°，AC＝2，求BC的长．
【分析】作AD⊥BC于D，构造了一个等腰直角三角形ABD和30度的直角三角形ACD，根据30度的直角三角形的性质求得AD＝1，CD＝，再根据等腰直角三角形的性质可以求得BD＝AD＝1，那么BC＝CD+BD．
【解答】解：经过A点作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵∠B＝45°，∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝45°，
∵∠BAC＝105°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝105°﹣45°＝60°，
∴∠C＝30°，
∴AD＝AC＝1，CD＝AD＝．
在Rt△ABD中，BD＝AD＝1，
∴BC＝CD+BD＝+1．
【点评】本题考查了解直角三角形，含30度的直角三角形的性质及等腰直角三角形的性质，作BC边上的高，构造两个特殊的直角三角形是解题的关键．
21．黄果树是重庆的市树，走在重庆的大街小巷，总能看到它巨大的身影．某天凤鸣山中学九年级某班的两名同学小语和小航在校园的操场边看见一颗特别高大的黄果树，他们便准备测量这颗黄果树的高度．如图小宇在点A处观测到黄果树最高点P的仰角为45°，再沿正对黄果树的方向前进6m至B处测得最高点P的仰角为60°，小航先在点C处竖立一根长为2.6m标杆FC，再后退至其眼睛所在位置点D、标杆顶F、最高点P在一条直线上，此时测得最高点P的仰角为30°，已知两人身高均为1.6m（头顶到眼睛的距离忽略不计）．
（1）求黄果树PQ的高度．（结果保留一位小数）；（参考数据：≈1.73）
（2）测量结束时小宇站在点E处，小航在点D处，两人相约在树下Q点见面，小宇的速度为1.5m/s，小航速度是其2倍，你认为谁先到达Q点？请说明理由．
【分析】（1）设PQ与AD相交于点G，根据题意可得：AB＝6m，BE＝GQ＝1.6m，然后设BG＝x m，则AG＝（x+6）m，在Rt△BPG中，利用锐角三角函数的定义求出PG的长，再在Rt△APG中，利用锐角三角函数的定义可得AG＝PG，从而列出关于x的方程，进而求出PG的长，最后进行计算即可解答；
（2）设FC与AD相交于点H，根据题意可得：CH＝BE＝1.6m，则FH＝1m，然后在Rt△PGD中，利用含30度角的直角三角形的性质求出DG的长，再在Rt△DFH中，利用含30度角的直角三角形的性质求出DH的长，最后分别求出他们所用的时间，进行比较即可解答．
【解答】解：（1）设PQ与AD相交于点G，
由题意得：
AB＝6m，BE＝GQ＝1.6m，
设BG＝x m，
∴AG＝AB+BG＝（x+6）m，
在Rt△BPG中，∠PBG＝60°，
∴PG＝BG tan60°＝x（m），
在Rt△APG中，∠PAG＝45°，
∴tan45°＝＝1，
∴PG＝AG，
∴x＝x+6，
∴x＝3+3，
∴PG＝x＝（9+3）m，
∴PQ＝PG+GQ＝9+3+1.6≈15.8（m），
∴黄果树PQ的高度约为15.8m；
（2）小宇先到达塔底，
理由：设FC与AD相交于点H，
由题意得：
CH＝BE＝1.6m，
∵FC＝2.6m，
∴FH＝FC﹣CH＝1（m），
在Rt△PGD中，PG＝（9+3）m，∠PDG＝30°，
∴DG＝PG＝（9+9）m，
∵小宇的速度为1.5m/s，小航速度是其2倍，
∴小航的速度为3m/s，
∴＝＝2（+1）（s），＝＝3（1）（s），
∵2（1）＜3（+1），
∴小宇先到达塔底．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．已知△ABC，∠B＝60°，．
（1）如图1，若BC＝2，求AC的长；
（2）如图2，试确定四边形ABCD，满足∠ADC+∠B＝180°，且AD＝2DC．（尺规作图，不需写作法，但要保留作图痕迹．）
【分析】（1）过C作CH⊥AB于H，由BC＝2，∠B＝60°，得BH＝，CH＝BH＝3，根据＝，可得AB＝3，AH＝AB﹣BH＝2，用勾股定理得AC的长为；
（2）作△ABC的外接圆，再以A为圆心，BC为半径作弧与外接圆交点即为D．
【解答】解：（1）过C作CH⊥AB于H，如图：
∵BC＝2，∠B＝60°，
∴BH＝，CH＝BH＝3，
∵＝，
∴AB＝BC＝×2＝3，
∴AH＝AB﹣BH＝2，
在Rt△AHC中，
AC＝＝＝，
答：AC的长为；
（2）如图：
四边形ABCD即为所求四边形．
【点评】本题考查直角三角形的边角关系及尺规作图，解题的关键是掌握基本的尺规作图方法．
23．已知：如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝8，cos∠BAC＝，BD⊥AC，垂足为点D，E是BD的中点，联结AE并延长，交边BC于点F．
（1）求∠EAD的正切值；
（2）求的值．
【分析】（1）先根据三角函数值求AD的长，由勾股定理得BD的长，根据三角函数定义可得结论；
（2）作平行线，构建平行线分线段成比例定理可设CG＝3x，FG＝5x，分别表示BF和FC的长，代入可得结论．
【解答】解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADE＝90°，
Rt△ADB中，AB＝13，cos∠BAC＝，
∴AD＝5，
由勾股定理得：BD＝＝＝12，
∵E是BD的中点，
∴ED＝6，
∴∠EAD的正切＝＝；
（2）过D作DG∥AF交BC于G，
∵AC＝8，AD＝5，
∴CD＝3，
∵DG∥AF，
∴＝，
设CG＝3x，FG＝5x，
∵EF∥DG，BE＝ED，
∴BF＝FG＝5x，
∴．
【点评】本题是考查了解直角三角形的问题，熟练掌握三角函数的定义，在直角三角形中，根据三角函数的定义列式，如果没有直角三角形，或将角转化到直角三角形内，或作垂线构建直角三角形．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，sinB＝，点D、E分别在边AB、BC上，满足∠CDE＝∠B．点F是DE延长线上一点，且∠ECF＝∠ACD．
（1）当点D是AB的中点时，求tan∠BCD的值；
（2）如果AD＝3，求的值；
（3）如果△BDE是等腰三角形，求CF的长．
【分析】（1）过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H，利用等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，三角形的中位线定理解答即可；
（2）利用等腰三角形的判定与相似三角形的判定与性质解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法分①当BD＝BE时，②当ED＝BE时，③当BD＝BE时三种情形讨论解答：利用等腰三角形的性质，平行线的判定和三角形的内角和定理求得前两种情形不存在，对于③利用等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理和相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】解：（1）过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H，如图，
∵AB＝AC＝10，
∴BG＝GC，
∵sinB＝，sinB＝，
∴AG＝6．
∴BG＝＝＝8．
∴CG＝BG＝8．
∵AG⊥BC，DH⊥BC，
∴AG∥DH，
∵D是AB的中点，
∴DH是△ABG的中位线，
∴DH＝HG＝BG＝4，DH＝AG＝3，
∴CH＝CG+GH＝12．
在Rt△CDH中，
tan∠BCD＝；
（2）∵∠ECF＝∠ACD，
∴∠ACB＝∠DCF．
∵∠B＝∠CDE，
∴△ABC∽△FCD，
∴∠BAC＝∠F．
∵AB＝AC，
∴FD＝FC．
∵∠BAC＝∠F，∠ACD＝∠FCE，
∴△ACD∽△FCE，
∴．
∵AB＝10，AD＝3，
∴，
∵DE+EF＝FC，
∴；
（3）如果△BDE是等腰三角形，
①当BD＝DE时，
则∠B＝∠DEB．
∵∠CDE＝∠B，
∴∠CDE＝∠DEB，
∴CD∥BC，这与已知条件不符，
∴此种情况不存在；
②当ED＝BE时，
则∠B＝∠EDB，
∵∠CDE＝∠B，
∴∠CDB＝2∠B，
∴∠CDA＝180°﹣2∠B，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣2∠B，
∴∠A＝∠CDA，
∵∠A为钝角，
∴此种情况不存在；
③当BD＝BE时，
过点E作EK⊥AB于点K，如图，
由题意得：sinB＝，
∴，
∴EK＝BE＝BD，
∴BK＝BD，
∴DK＝BD．
∴DE＝＝BD．
∵∠CDE＝∠B，∠DCE＝∠BCD，
∴△CDE∽△CBD，
∴，
∴，
∴CD＝．
由（1）知：△ABC∽△FCD，
∴，
∴．
∴CF＝2．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，三角形的内角和定理，相似三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
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一．选择题（共10小题）
1．cos60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角∠A的余弦值的变化情况是（ ）
A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的2倍
C．都没有变化 D．不能确定
3．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．75° C．105° D．120°
4．如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为（+1）海里．观测站B到AC的距离BP是（ ）
A． B．1 C．2 D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则tanB＝（ ）
A． B．3 C． D．
6．在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
7．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边，OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内，已知AB＝2，AD＝8，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（ ）
A．2sinx+8sinx B．2cosx+8cosx
C．2sinx+8cosx D．2cosx+8sinx
8．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，连接DE，若＝，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
9．勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG，DG．若正方形ABCD与EFGH的边长之比为：1，则sin∠DGE等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，分别经过原点O和点A（4，0）的动直线a，b夹角∠OBA＝30°，点M是OB中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
11．在△ABC中，tanA＝，，CB＝5，则AB＝ ．
12．当∠A为锐角，且＜cosA＜时，∠A的取值范围是 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CD＝3，，则BC＝ ．
14．如图，湖的旁边有一建筑物AD，某数学兴趣小组决定测量它的高度．他们首先在点B处测得建筑物最高点A的仰角为30°，然后沿BD方向前进12米到达C处，又测得点A的仰角为45°．请你帮助该小组同学，计算建筑物AD的高度约为 米．（结果精确到1米，参考数据）
15．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，，AC＝BD＝5，则这个四边形的面积是 ．
16．在△ABC中，CE⊥AB于点E，点D在AC上，AD＝2AE，连接BD交CE于点F，2∠ECA+∠BFE＝90°，，BC＝39，则CD长为 ．
三．解答题（共8小题）
17．计算：
（1）2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°；
（2）（﹣1）2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°．
18．如图，四边形ABCD是某水库大坝的横截面示意图，坝高8米，背水坡的坡角为45°，现需要对大坝进行加固，使上底加宽2米，且加固后背水坡的坡度i＝1：2，求加固后坝底增加的宽度AF的长．
19．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求DE的长；
（2）求塔AB的高度．（tan27°取0.5，取1.7，结果取整数）
20．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＝105°，AC＝2，求BC的长．
21．黄果树是重庆的市树，走在重庆的大街小巷，总能看到它巨大的身影．某天凤鸣山中学九年级某班的两名同学小语和小航在校园的操场边看见一颗特别高大的黄果树，他们便准备测量这颗黄果树的高度．如图小宇在点A处观测到黄果树最高点P的仰角为45°，再沿正对黄果树的方向前进6m至B处测得最高点P的仰角为60°，小航先在点C处竖立一根长为2.6m标杆FC，再后退至其眼睛所在位置点D、标杆顶F、最高点P在一条直线上，此时测得最高点P的仰角为30°，已知两人身高均为1.6m（头顶到眼睛的距离忽略不计）．
（1）求黄果树PQ的高度．（结果保留一位小数）；（参考数据：≈1.73）
（2）测量结束时小宇站在点E处，小航在点D处，两人相约在树下Q点见面，小宇的速度为1.5m/s，小航速度是其2倍，你认为谁先到达Q点？请说明理由．
22．已知△ABC，∠B＝60°，．
（1）如图1，若BC＝2，求AC的长；
（2）如图2，试确定四边形ABCD，满足∠ADC+∠B＝180°，且AD＝2DC．（尺规作图，不需写作法，但要保留作图痕迹．）
23．已知：如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝8，cos∠BAC＝，BD⊥AC，垂足为点D，E是BD的中点，联结AE并延长，交边BC于点F．
（1）求∠EAD的正切值；
（2）求的值．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，sinB＝，点D、E分别在边AB、BC上，满足∠CDE＝∠B．点F是DE延长线上一点，且∠ECF＝∠ACD．
（1）当点D是AB的中点时，求tan∠BCD的值；
（2）如果AD＝3，求的值；
（3）如果△BDE是等腰三角形，求CF的长．
浙教版数学九下第一章——解直角三角形培优卷（精选最新必考题含解析）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．cos60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．
【解答】解：cos60°＝，
故选：D．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
2．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角∠A的余弦值的变化情况是（ ）
A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的2倍
C．都没有变化 D．不能确定
【分析】设出原来的各边，得到相应的余弦值，进而得到扩大后的各边，再得到扩大后的余弦值，比较即可．
【解答】解：设原来三角形的各边分别为a，b，c，
则cosA＝，
若把各边扩大为原来的3倍，
则各边为3a，3b，3c，
那么cosA＝＝，
所以余弦值不变．
故选：C．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．75° C．105° D．120°
【分析】根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：由题意得，sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，
即sinA＝，＝cosB，
解得，∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，
故选：C．
【点评】本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
4．如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为（+1）海里．观测站B到AC的距离BP是（ ）
A． B．1 C．2 D．
【分析】证△BCP是等腰直角三角形，得BP＝PC，再由含30°角的直角三角形的性质得PA＝BP，然后由PA+PC＝AC，得BP+BP＝+1，求解即可．
【解答】解：由题意得：∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝90°+15°＝105°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°，
∵BP⊥AC，
∴∠BPA＝∠BPC＝90°，
∵∠C＝45°，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴BP＝PC，
∵∠BAC＝30°，
∴PA＝BP，
∵PA+PC＝AC，
∴BP+BP＝+1，
解得：BP＝1（海里），
故选：B．
【点评】本题考查了的解直角三角形的应用—方向角问题，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则tanB＝（ ）
A． B．3 C． D．
【分析】根据正切函数的定义求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，
∴tanB＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是掌握正切函数的定义．
6．在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】如图，取格点K，连接AK，BK．观察图形可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，推出∠AED＝∠ABK，解直角三角形求出tan∠ABK即可．
【解答】解：如图，取格点K，连接AK，BK．
观察图形可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，
∴∠AED＝∠ABK，
∴tan∠AED＝tan∠ABK＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
7．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边，OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内，已知AB＝2，AD＝8，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（ ）
A．2sinx+8sinx B．2cosx+8cosx
C．2sinx+8cosx D．2cosx+8sinx
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A到OC的距离，本题得以解决．
【解答】解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，
∴∠EAB＝x，
∴∠FBA＝x，
∵AB＝2，AD＝8，
∴FO＝FB+BO＝2cosx+8sinx，
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，连接DE，若＝，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解．
【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠BEA，
∴△ABE∽△ACD，
∴＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴＝＝，
设AD＝2a，则AC＝5a，
根据勾股定理得到CD＝a，
因而sinA＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形，能证出△AED∽△ABC是解决本题的关键．
9．勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG，DG．若正方形ABCD与EFGH的边长之比为：1，则sin∠DGE等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意得：，解得：，进而求解．
【解答】解：过点D作ND⊥GE交GE的延长线于点N，
由题意知，两个正方形之间是4个相等的三角形，
设△ABG的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为x，小正方形的边长为x，
即ED＝BG＝HC＝AF＝b，AG＝BH＝CE＝DF＝a，EG＝b，
由题意得：，解得：，
在△GDE中，EG＝GH＝b，则NE＝ND＝ED＝b＝x，EG＝GH＝（a﹣b）＝x，
则tan∠DGE＝＝＝，
则sin∠DGE＝，
故选：A．
【点评】本题为解直角三角形综合运用题，涉及到正方形的性质，确定a、b和x之间的关系是解题的关键．
10．如图，分别经过原点O和点A（4，0）的动直线a，b夹角∠OBA＝30°，点M是OB中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】作△AOB的外接圆⊙T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM．证明KM＝TB＝2，推出点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动，当AM与⊙K相切时，∠OAM的值最大，此时sin∠OAM的值最大．
【解答】解：如图，作△AOB的外接圆⊙T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM．
∵∠ATO＝2∠ABO＝60°，TO＝TA，
∴△OAT是等边三角形，
∵A（4，0），
∴TO＝TA＝TB＝4，
∵OK＝KT，OM＝MB，
∴KM＝TB＝2，
∴点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动，
当AM与⊙K相切时，∠OAM的值最大，此时sin∠OAM的值最大，
∵△OTA是等边三角形，OK＝KT，
∴AK⊥OT，
∴AK＝＝＝2，
∵AM是切线，KM是半径，
∴AM⊥KM，
∴AM＝＝＝2，
过点M作ML⊥OA于点L，KR⊥OA于点R，MP⊥RK于点P．
∵∠PML＝∠AMK＝90°，
∴∠PMK＝∠LMA，
∵∠P＝∠MLA＝90°，
∴△MPK∽△MLA，
∴＝＝＝＝，
设PK＝x，PM＝y，则有ML＝y，AL＝x，
∴y＝+x①，y＝3﹣x，
解得，x＝，y＝，
∴ML＝y＝，
∴sin∠OAM＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，三角形的外接圆，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
二．填空题（共6小题）
11．在△ABC中，tanA＝，，CB＝5，则AB＝ 5或11 ．
【分析】分两种情况：当∠ABC为钝角时或锐角时，根据正切的定义和勾股定理即可求出答案．
【解答】解：如图，当∠ABC为钝角时，作CD⊥AB，交AB延长线于点D，
∵tanA＝，
∴＝，
设CD＝x，则AD＝2x，
∵AD2+CD2＝AC2，
∴4x2+x2＝80，
解得x＝4，
∴AD＝8，BD＝＝3，
∴AB＝8﹣3＝5，
当∠ABC为锐角时，作CD⊥AB于点D，
由上可知AD＝8，BD＝3，
∴AB＝8+3＝11，
∴AB＝5或11．
故答案为：5或11．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是关键．
12．当∠A为锐角，且＜cosA＜时，∠A的取值范围是 30°＜∠A＜60° ．
【分析】根据题意先判断出cosA值在锐角范围内随着角度的增大变小，再根据特殊角的三角函数值进行解题即可．
【解答】解：由题可知，
∵∠A为锐角，
∴cosA在锐角范围内，∠A的值越大，cosA的值越小，
∵＜cosA＜时，
∴30°＜∠A＜60°．
故答案为：30°＜∠A＜60°．
【点评】本题考查锐角三角函数的增减性和特殊角的三角函数值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CD＝3，，则BC＝ ．
【分析】根据CD⊥AB，得出tan∠BCD＝，再根据∠A＝∠BCD，得出tan∠BCD＝，根据CD＝3，则BD＝2，根据勾股定理即可得出BC的长．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴tan∠BCD＝，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴tan∠BCD＝，
∴＝，
∴BD＝2，
∴BC＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是关键．
14．如图，湖的旁边有一建筑物AD，某数学兴趣小组决定测量它的高度．他们首先在点B处测得建筑物最高点A的仰角为30°，然后沿BD方向前进12米到达C处，又测得点A的仰角为45°．请你帮助该小组同学，计算建筑物AD的高度约为 16 米．（结果精确到1米，参考数据）
【分析】根据题意可得：AD⊥BD，BC＝12米，然后设CD＝x米，则BD＝（x+12）米，在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：AD⊥BD，BC＝12米，
设CD＝x米，
∴BD＝BC+CD＝（x+12）米，
在Rt△ABD中，∠B＝30°，
∴AD＝BD tan30°＝（x+12）米，
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
∴AD＝CD tan45°＝x（米），
∴x＝（x+12），
解得：x＝6+6，
∴AD＝6+6≈16（米），
∴建筑物AD的高度约为16米，
故答案为：16．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
15．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，，AC＝BD＝5，则这个四边形的面积是 10 ．
【分析】过点B作BE⊥AC于E，过点D作DF⊥AC于F，设OB＝m，则OD＝5﹣m，利用勾股定理和三角函数定义可得：BE＝OB＝m，DF＝（5﹣m），再由S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝AC BE+AC DF，即可求得答案．
【解答】解：过点B作BE⊥AC于E，过点D作DF⊥AC于F，
设OB＝m，则OD＝5﹣m，
∵tan∠AOD＝，
∴＝＝，
设DF＝4x，OF＝3x，
∵DF2+OF2＝OD2，
∴（4x）2+（3x）2＝m2，
∵x＞0，m＞0，
∴m＝5x，
∴sin∠AOD＝sin∠BOC＝，
∴BE＝OB＝m，DF＝（5﹣m），
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD
＝AC BE+AC DF
＝AC （BE+DF）
＝×5×[m+（5﹣m）
＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了勾股定理，三角函数定义，三角形面积等，熟练掌握三角函数定义是解题关键．
16．在△ABC中，CE⊥AB于点E，点D在AC上，AD＝2AE，连接BD交CE于点F，2∠ECA+∠BFE＝90°，，BC＝39，则CD长为 ．
【分析】利用“2∠ECA+∠BFE＝90°”构造全等形，利用“”得到EC，AE，AC之间的关系，从而得出BE，CD与它们之间的关系，最后在Rt△BCE中利用勾股定理解出即可．
【解答】解：在BE上取一点G，使EG＝EA，连接GC，
则AG＝2AE，
∵AD＝2AE，
∴AD＝AG，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝∠GEC＝90°，
在△ACE和△GCE中，
∴△ACE≌△GCE（SAS），
∴∠ECA＝∠ECG，
∴∠ACG＝2∠ECA，
∵CE⊥AB，
∴∠ABD+∠BFE＝90°，
∵2∠ECA+∠BFE＝90°，
∴∠ABD＝2∠ECA，
∴∠ABD＝∠ACG，
在△ABD和△ACG中，
∴△ABD≌△ACG（ASA），
∴AB＝AC，
∵，
∴设EC＝12k，AE＝5k，
∴AD＝2AE＝10k，
∴CD＝AC﹣AD＝13k﹣10k＝3k，
在Rt△AEC中，
AC＝＝＝13k，
∴AB＝13k，
∴BE＝AB﹣AE＝13k﹣5k＝8k，
在Rt△BCE中，
BE2+CE2＝BC2，
∵BE＝8k，CE＝12k，BC＝39，
∴（8k）2+（12k）2＝392，
解得k＝．
∵CD＝3k＝，
故答案为：．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等，构造出全等三角形是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
17．计算：
（1）2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°；
（2）（﹣1）2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°．
【分析】根据特殊角的三角函数值进行解题即可．
【解答】解：（1）原式＝2×﹣+×
＝﹣+
＝；
（2）原式＝﹣1+2×﹣++（）2
＝﹣1++3
＝2+．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值的应用，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
18．如图，四边形ABCD是某水库大坝的横截面示意图，坝高8米，背水坡的坡角为45°，现需要对大坝进行加固，使上底加宽2米，且加固后背水坡的坡度i＝1：2，求加固后坝底增加的宽度AF的长．
【分析】分别过E、D作AB的垂线，设垂足为G、H．在Rt△EFG中，根据坡面的铅直高度（即坝高）及坡比，即可求出FG的长，同理可在Rt△ADH中求出AH的长；由AF＝FG+GH﹣AH求出AF的长．
【解答】解：分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H，
∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，
∴DH平行且等于EG，
故四边形EGHD是矩形，
∴ED＝GH，
在Rt△ADH中，AH＝DH÷tan∠DAH＝8÷tan45°＝8（米），
在Rt△FGE中，i＝1：2＝，
∴FG＝2EG＝16（米），
∴AF＝FG+GH﹣AH＝16+2﹣8＝10（米）．
答：加固后坝底增加的宽度AF的长是10米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度，难度一般．
19．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求DE的长；
（2）求塔AB的高度．（tan27°取0.5，取1.7，结果取整数）
【分析】（1）根据题意可得：DE⊥EC，然后在Rt△DEC中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答；
（2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，设AB＝h m，根据题意得：DF＝EA＝（+h）m，DE＝FA＝3m，则BF＝（h﹣3）m，然后在Rt△BDF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而列出关于h的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：DE⊥EC，
在Rt△DEC中，
CD＝6m，∠DCE＝30°，
∴DE＝CD＝3（m），
∴DE的长为3m；
（2）由题意得：BA⊥EA，
在Rt△DEC中，DE＝3m，∠DCE＝30°，
∴CE＝DE＝（m），
在Rt△ABC中，
设AB＝h m，
∵∠BCA＝45°，
∴AC＝＝h（m），
∴AE＝EC+AC＝（+h）m，
∴线段EA的长为（+h）m；
过点D作DF⊥AB，垂足为F，
由题意得：DF＝EA＝（+h）m，DE＝FA＝3m，
∵AB＝h m，
∴BF＝AB﹣AF＝（h﹣3）m，
在Rt△BDF中，
∵∠BDF＝27°，
∴BF＝DF tan27°≈0.5（+h）m，
∴h﹣3＝0.5（+h），
解得：h＝+6≈11，
∴AB＝11m，
∴塔AB的高度约为11m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＝105°，AC＝2，求BC的长．
【分析】作AD⊥BC于D，构造了一个等腰直角三角形ABD和30度的直角三角形ACD，根据30度的直角三角形的性质求得AD＝1，CD＝，再根据等腰直角三角形的性质可以求得BD＝AD＝1，那么BC＝CD+BD．
【解答】解：经过A点作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵∠B＝45°，∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝45°，
∵∠BAC＝105°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝105°﹣45°＝60°，
∴∠C＝30°，
∴AD＝AC＝1，CD＝AD＝．
在Rt△ABD中，BD＝AD＝1，
∴BC＝CD+BD＝+1．
【点评】本题考查了解直角三角形，含30度的直角三角形的性质及等腰直角三角形的性质，作BC边上的高，构造两个特殊的直角三角形是解题的关键．
21．黄果树是重庆的市树，走在重庆的大街小巷，总能看到它巨大的身影．某天凤鸣山中学九年级某班的两名同学小语和小航在校园的操场边看见一颗特别高大的黄果树，他们便准备测量这颗黄果树的高度．如图小宇在点A处观测到黄果树最高点P的仰角为45°，再沿正对黄果树的方向前进6m至B处测得最高点P的仰角为60°，小航先在点C处竖立一根长为2.6m标杆FC，再后退至其眼睛所在位置点D、标杆顶F、最高点P在一条直线上，此时测得最高点P的仰角为30°，已知两人身高均为1.6m（头顶到眼睛的距离忽略不计）．
（1）求黄果树PQ的高度．（结果保留一位小数）；（参考数据：≈1.73）
（2）测量结束时小宇站在点E处，小航在点D处，两人相约在树下Q点见面，小宇的速度为1.5m/s，小航速度是其2倍，你认为谁先到达Q点？请说明理由．
【分析】（1）设PQ与AD相交于点G，根据题意可得：AB＝6m，BE＝GQ＝1.6m，然后设BG＝x m，则AG＝（x+6）m，在Rt△BPG中，利用锐角三角函数的定义求出PG的长，再在Rt△APG中，利用锐角三角函数的定义可得AG＝PG，从而列出关于x的方程，进而求出PG的长，最后进行计算即可解答；
（2）设FC与AD相交于点H，根据题意可得：CH＝BE＝1.6m，则FH＝1m，然后在Rt△PGD中，利用含30度角的直角三角形的性质求出DG的长，再在Rt△DFH中，利用含30度角的直角三角形的性质求出DH的长，最后分别求出他们所用的时间，进行比较即可解答．
【解答】解：（1）设PQ与AD相交于点G，
由题意得：
AB＝6m，BE＝GQ＝1.6m，
设BG＝x m，
∴AG＝AB+BG＝（x+6）m，
在Rt△BPG中，∠PBG＝60°，
∴PG＝BG tan60°＝x（m），
在Rt△APG中，∠PAG＝45°，
∴tan45°＝＝1，
∴PG＝AG，
∴x＝x+6，
∴x＝3+3，
∴PG＝x＝（9+3）m，
∴PQ＝PG+GQ＝9+3+1.6≈15.8（m），
∴黄果树PQ的高度约为15.8m；
（2）小宇先到达塔底，
理由：设FC与AD相交于点H，
由题意得：
CH＝BE＝1.6m，
∵FC＝2.6m，
∴FH＝FC﹣CH＝1（m），
在Rt△PGD中，PG＝（9+3）m，∠PDG＝30°，
∴DG＝PG＝（9+9）m，
∵小宇的速度为1.5m/s，小航速度是其2倍，
∴小航的速度为3m/s，
∴＝＝2（+1）（s），＝＝3（1）（s），
∵2（1）＜3（+1），
∴小宇先到达塔底．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．已知△ABC，∠B＝60°，．
（1）如图1，若BC＝2，求AC的长；
（2）如图2，试确定四边形ABCD，满足∠ADC+∠B＝180°，且AD＝2DC．（尺规作图，不需写作法，但要保留作图痕迹．）
【分析】（1）过C作CH⊥AB于H，由BC＝2，∠B＝60°，得BH＝，CH＝BH＝3，根据＝，可得AB＝3，AH＝AB﹣BH＝2，用勾股定理得AC的长为；
（2）作△ABC的外接圆，再以A为圆心，BC为半径作弧与外接圆交点即为D．
【解答】解：（1）过C作CH⊥AB于H，如图：
∵BC＝2，∠B＝60°，
∴BH＝，CH＝BH＝3，
∵＝，
∴AB＝BC＝×2＝3，
∴AH＝AB﹣BH＝2，
在Rt△AHC中，
AC＝＝＝，
答：AC的长为；
（2）如图：
四边形ABCD即为所求四边形．
【点评】本题考查直角三角形的边角关系及尺规作图，解题的关键是掌握基本的尺规作图方法．
23．已知：如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝8，cos∠BAC＝，BD⊥AC，垂足为点D，E是BD的中点，联结AE并延长，交边BC于点F．
（1）求∠EAD的正切值；
（2）求的值．
【分析】（1）先根据三角函数值求AD的长，由勾股定理得BD的长，根据三角函数定义可得结论；
（2）作平行线，构建平行线分线段成比例定理可设CG＝3x，FG＝5x，分别表示BF和FC的长，代入可得结论．
【解答】解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADE＝90°，
Rt△ADB中，AB＝13，cos∠BAC＝，
∴AD＝5，
由勾股定理得：BD＝＝＝12，
∵E是BD的中点，
∴ED＝6，
∴∠EAD的正切＝＝；
（2）过D作DG∥AF交BC于G，
∵AC＝8，AD＝5，
∴CD＝3，
∵DG∥AF，
∴＝，
设CG＝3x，FG＝5x，
∵EF∥DG，BE＝ED，
∴BF＝FG＝5x，
∴．
【点评】本题是考查了解直角三角形的问题，熟练掌握三角函数的定义，在直角三角形中，根据三角函数的定义列式，如果没有直角三角形，或将角转化到直角三角形内，或作垂线构建直角三角形．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，sinB＝，点D、E分别在边AB、BC上，满足∠CDE＝∠B．点F是DE延长线上一点，且∠ECF＝∠ACD．
（1）当点D是AB的中点时，求tan∠BCD的值；
（2）如果AD＝3，求的值；
（3）如果△BDE是等腰三角形，求CF的长．
【分析】（1）过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H，利用等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，三角形的中位线定理解答即可；
（2）利用等腰三角形的判定与相似三角形的判定与性质解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法分①当BD＝BE时，②当ED＝BE时，③当BD＝BE时三种情形讨论解答：利用等腰三角形的性质，平行线的判定和三角形的内角和定理求得前两种情形不存在，对于③利用等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理和相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】解：（1）过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H，如图，
∵AB＝AC＝10，
∴BG＝GC，
∵sinB＝，sinB＝，
∴AG＝6．
∴BG＝＝＝8．
∴CG＝BG＝8．
∵AG⊥BC，DH⊥BC，
∴AG∥DH，
∵D是AB的中点，
∴DH是△ABG的中位线，
∴DH＝HG＝BG＝4，DH＝AG＝3，
∴CH＝CG+GH＝12．
在Rt△CDH中，
tan∠BCD＝；
（2）∵∠ECF＝∠ACD，
∴∠ACB＝∠DCF．
∵∠B＝∠CDE，
∴△ABC∽△FCD，
∴∠BAC＝∠F．
∵AB＝AC，
∴FD＝FC．
∵∠BAC＝∠F，∠ACD＝∠FCE，
∴△ACD∽△FCE，
∴．
∵AB＝10，AD＝3，
∴，
∵DE+EF＝FC，
∴；
（3）如果△BDE是等腰三角形，
①当BD＝DE时，
则∠B＝∠DEB．
∵∠CDE＝∠B，
∴∠CDE＝∠DEB，
∴CD∥BC，这与已知条件不符，
∴此种情况不存在；
②当ED＝BE时，
则∠B＝∠EDB，
∵∠CDE＝∠B，
∴∠CDB＝2∠B，
∴∠CDA＝180°﹣2∠B，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣2∠B，
∴∠A＝∠CDA，
∵∠A为钝角，
∴此种情况不存在；
③当BD＝BE时，
过点E作EK⊥AB于点K，如图，
由题意得：sinB＝，
∴，
∴EK＝BE＝BD，
∴BK＝BD，
∴DK＝BD．
∴DE＝＝BD．
∵∠CDE＝∠B，∠DCE＝∠BCD，
∴△CDE∽△CBD，
∴，
∴，
∴CD＝．
由（1）知：△ABC∽△FCD，
∴，
∴．
∴CF＝2．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，三角形的内角和定理，相似三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
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