2023—2024学年浙教版八年级数学上册第2章特殊三角形单元达标测试卷（含解析）

浙教版八年级数学上册第2章特殊三角形单元达标测试卷
一、单选题
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，若 与 关于直线 对称， 交 于点 ，则下列说法中，不一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列四个图标中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．在下列条件中，能确定 是直角三角形的条件有（　　）
A． B．
C． D．
5．柯桥区作为浙江省试点先行区，四年前就开始实行垃圾分类，以下是几种垃圾分类的图标，其中哪个几何图标是轴对称图形（　　）
A． B． C． D．
6．对于题目：如图， 是 的角平分线， 于点 ，若 ，求 的度数．下面是打乱了的解题过程：①∵ ；② ；③∵ 平分 ，∴ ；④∵ ， ，则下列排序正确的是（　　）．
A．③④②① B．④②①③ C．③②④① D．③①④②
7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：①BD平分∠ABC；②AD=BD=BC；③△BDC的周长等于AB+BC；④D是AC中点.其中正确的命题序号是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
8．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（　　）
A．三个角的度数比为1：2：3 B．三条边的长度比为1：2：3
C．三条边满足关系a2+c2=b2 D．三个角满足关系∠B+∠C=∠A
9．下列各组数不是勾股数的是（　　）
A．2、3、4 B．3、4、5 C．6、8、10 D．5、12、13
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于CP+EP最小值的是（　　）
A．AC B．AD C．BE D．BC
二、填空题
11．如果一个直角二角形的两条直角边的长分别是5和12，那么这个直角三角形斜边长是　 　。
12．如图，A、B、C三点在同一条直线上，∠A＝50°，BD垂直平分AE，垂足为D，则∠EBC的度数为　 　．
13．如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出一种情形）：　 　
14．如图，在△ABC中，∠BAD=∠B，∠EAC=∠C，BC=12，则△ADE的周长为　 　．
三、解答题
15．已知在中，，线段的垂直平分线交于点，交射线于点，连接．
（1）如图1，当点在边上时，若，求的度数；
（2）如图2，当点在延长线上时，设，用含的式子表示的度数
16．如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高.若∠B＝40°，∠C＝62°，请说明∠DAE的度数.
17．如图，每个小方格的边长都为．
（1）求图中格点四边形的面积；
（2）请探究：与的位置关系，并说明理由．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，∠CAD＝40°，EF为过点A的一条直线，且EF∥BC，求∠BAE的度数．
四、综合题
19．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，EB平分∠DEC.
（1）求证：BC=CE；
（2）若CE=AB，EA=EB，求∠C的度数.
20．如图，在平面直角坐标系中完成下列各题：（不写作法，保留作图痕迹）
（1）在图一中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1并写出A1、B1、C1的坐标．
（2）在图二中x轴上画出点P，使PA+PB的值最小．
21．已知a、b、c是△ABC的三边长，a=4，b=6，设三角形的周长是x．
（1）直接写出c及x的取值范围；
（2）若x是小于18的偶数，①求c的长；
②判断△ABC的形状．
22．（1）如图1，长方体的长、宽、高分别为，，，如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要　 　；
（2）如图2，长方体的棱长分别为，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？
23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm.点P从A点出发沿A→C→B路径以每秒1cm的运动速度向终点B运动；同时点Q从B点出发沿B→C→A路径以每秒vcm的速度向终点A运动.分别过P和Q作PE⊥AB于E，QF⊥AB于F.
（1）设运动时间为t秒，当t＝　 　时，直线BP平分△ABC的面积.
（2）当Q在BC边上运动时（t＞0），且v＝1时，连接AQ、连接BP，线段AQ与BP可能相等吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由.
（3）当Q的速度v为多少时，存在某一时刻（或时间段）可以使得△PAE与△QBF全等.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不符合题意；
C 、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】 本题考查轴对称图形的概念. 轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ 与 关于直线 对称，
∴ ， ， ，
故答案为：B．
【分析】根据轴对称的性质逐一判断即可．
3．【答案】B
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】将一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，根据轴对称图形的概念一一判断即可.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：A、 ，
是等边三角形，故 选项不符合题意；
B、 ，
是直角三角形，故 选项 符合题意；
C、 ，
为最大角，
不是直角三角形；故 选项不符合题意；
D、 ，
所以不能判定 是直角三角形，
故 不符合题意，
故答案为：B.
【分析】确定三角形是直角三角形的条件是有一个角是直角，然后根据三角形的内角和定理分别进行解答并判断即可.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误.
故答案为：B.
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴,根据轴对称图形的定义，依次对各选项进行判断即可.
6．【答案】A
【解析】【解答】∵ 平分
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：A．
【分析】根据角平分线的性质，可得，利用垂直的定义得出，根据直角三角形两锐角互余得出 ，从而求出，据此判断即可.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=36°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
∴∠CBD=∠ABD=36°，
即BD平分∠ABC；故①正确；
∴∠BDC=∠C=72°，
∴BC=BD，
∴BC=BD=AD，故②正确；
∴△BDC的周长为：BC+CD+BD=BC+CD+AD=AC+BC=AB+BC；故③正确；
∵CD＜BD，
∴CD＜AD，
∴D不是AC中点.故④错误.
故答案为：A.
【分析】由AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，可得AD=BD，即可求得∠ABD=∠A=36°，又由AB=AC，即可求得∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=∠C=72°，继而证得AD=BD=BC，△BDC的周长等于AB+BC.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：A、三个角的度数比为1：2：3，最大角的度数是90°，是直角三角形，不符合题意；
B、三条边的比为1：2：3，12+22≠32，不是直角三角形，符合题意；
C、三条边满足关系a2+c2=b2，是直角三角形，不符合题意；
D、三个角满足关系∠B+∠C=∠A，所以∠A=90°，是直角三角形，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义判断即可。
9．【答案】A
【解析】【解答】 解：A. 22+32≠42，故A选项不是勾股数；
B. 32+42=52，故B选项是勾股数；
C. 62+82=102 ，故C选项是勾股数；
D. 52+122=132，故D选项是勾股数；故选A.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接PB，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PC+PE=PB+PE，
∵PE+PB≥BE，
∴P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度，
故答案为：C．
【分析】如图连接PB，只要证明PB=PC，即可推出PC+PE=PB+PE，由PE+PB≥BE，可得P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度．
11．【答案】13
【解析】【解答】
因为5 +12 =13
所以斜边等于13
【分析】考查勾股定理的性质；难题较低且属于常考题型。在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。注意求解出来的结果取的是正根
12．【答案】100°
【解析】【解答】∵BD垂直平分AE，
∴
∴
∴
故答案为100°．
【分析】根据线段垂直平分线的性质，得 根据等腰三角形的性质，得 再根据三角形外角的性质即可求解．
13．【答案】①③
【解析】【解答】答：由①③条件可判定△ABC是等腰三角形．
证明：∵∠EBO=∠DCO，∠EOB=∠DOC，（对顶角相等）
BE=CD，
∴△EBO≌△DCO，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
【分析】根据已知条件求证△EBO≌△DCO，然后可得∠OBC=∠OCB再利用两角相等即可判定△ABC是等腰三角形．此题答案不唯一．　
14．【答案】12
【解析】【解答】解：∵∠BAD=∠B，∠EAC=∠C，
∴AD=BD，AE=EC，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=12．
故答案是：12．
【分析】根据∠BAD=∠B，∠EAC=∠C，可得AD=BD，AE=EC，则△ADE的周长等于BC的长．
15．【答案】（1）解：垂直平分，
，
，
，
，
设，
在中，，
解得：，
；
（2）解：垂直平分，
，
，
，
，
设，
则，
在中，，
解得：，
∴．
【解析】【分析】（1）垂直平分线的性质的运用是解决本题的关键，利用其性质求得的等腰三角形AEC，进而得出底角相等∠C=∠EAC，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理就可以求得角的度数；
（2）类比（1）的思路进行求解即可.
16．【答案】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵ 是 边上的高，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】先根据三角形内角和定理求∠BAC的度数，则可根据角平分线的定义求∠DAC，然后根据直角三角形的性质求出∠EAC，最后根据角的和差关系求∠DAE即可.
17．【答案】（1）解：，，
四边形的面积；
（2）解：由勾股定理，得，，
由题意可知，
，
为直角三角形，
，
．
【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式结合图形计算求解即可；
（2）利用勾股定理求出AD和CD的值，再求出△ACD为直角三角形，最后求解即可。
18．【答案】解：∵AB=AC， AD为BC边上的中线，
∴∠B=∠C，∠BAD=∠CAD=40°（三线合一），
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=80°，
∴，
∵EF∥BC，
∴∠BAE=∠B=50°.
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质求出∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，则可求出∠BAC的度数，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B的度数，再根据平行线的性质求∠BAE度数即可.
19．【答案】（1）证明：∵EB平分∠DEC，
∴∠DEB=∠BEC.
∵DE∥BC.
∴∠DEB=∠EBC，
∴∠BEC=∠EBC，
∴BC=CE
（2）解：∵BC=CE，CE=AB，
∴BC=AB，
∴∠C=∠A，
设∠C=∠A=x，
∵EA=EB，
∴∠A=∠ABE=x，
∴∠EBC=∠BEC=∠A+∠ABE=2x，
∴2x+2x+x=180°，
∴∠C=x=36°
【解析】【分析】(1)根据角平分线以及平行线的性质：两直线平行内错角相等，即可得到∠BEC=∠EBC，再根据等腰三角形的判定，即可证明BC=CE.
(2)根据等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，即可得到∠C=∠A，设∠A=∠C=x，又根据题意以及等腰三角形的性质可得∠A=∠ABE=x，根据三角形的任一外角等于与它不相邻的两个内角之和，再根据三角形的内角和为180°，即可列出方程，解出答案即可.
20．【答案】（1）解：如图一所示；
，
由图可知，A1（﹣1，2），B1（﹣3，1），C1（2，﹣1）
（2）解：如图二所示．
【解析】【分析】（1）画出各点关于y轴的对称点，再顺次连接并写出各点坐标即可；（2）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，则点P即为所求点．
21．【答案】（1）解：2＜c＜10；12＜x＜20
（2）解：①因为周长为小于18的偶数，所以x=16或x=14．
当x为16时，c=6；当x为14时，c=4．
②当c=6时，b=c，△ABC为等腰三角形；
当c=4时，a=c，△ABC为等腰三角形．
综上，△ABC是等腰三角形．
【解析】【解答】解：（1）因为a=4，b=6，所以2＜c＜10．故周长x的范围为12＜x＜20
【分析】（1）根据三角形三边关系求出c的取值范围即可；
（2）①根据偶数的定义以及x的取值范围求出答案即可；
②利用等腰三角形的判定方法求出答案即可。
22．【答案】（1）
（2）解：设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟，
如图，在中，
∵长方体的棱长分别为，，
∴cm，cm，cm，cm，
∴，
解得：.
答：昆虫乙至少需要秒钟才能捕捉到昆虫甲.
【解析】【解答】解：（1）如图，将长方体展开，连接，
∵长方体的长、宽、高分别为，，，
∴这根细线最短的长为：m；
故答案为：.
【分析】（1）将长方体展开，连接AC，然后根据勾股定理计算即可求出这根细线最短的长；
（2）设昆虫甲从顶点C1沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟，由题意可得AB=BC=6cm，AA1=14cm，AF=xcm，C1F=xcm，CF=(14-x)cm，AC=12cm，然后利用勾股定理求解即可.
23．【答案】（1）4
（2）解：假设可能相等.则有82+（6﹣t）2＝62+（8﹣t）2，
解得t＝0，不符合题意，
所以当Q在BC边上运动时（t＞0），且v＝1时、线段AQ与BP不可能相等.
（3）解：①当点Q在线段BC上时，
在Rt△AEP和Rt△BFQ中，
∵∠AEP＝∠BFQ＝90°，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠B+∠BQF＝90°，
∴∠A＝∠BQF，
∴当PA＝BQ时，△AEP≌△FQB，
∴当v＝1cm/s时，0＜t≤6时，△PAE与△QBF全等.
②当P，Q在AC边上相遇时，且PA＝PB时，△PAE与△QBF全等.设此时PA＝PB＝x，
在Rt△PBC中，∵PB2＝PC2+BC2，
∴x2＝（8﹣x）2+62，
∵当P，Q在AC边上相遇，可得
解得
∴当v＝ cm/s时.t＝ 时，△PAE与△QBF全等.
【解析】【解答】解：（1）当AP＝PC时，直线BP平分△ABC的面积.此时t＝4.
故答案为4.
【分析】（1） 根据直线BP平分△ABC的面积进行解答即可；
（2）假设AQ=BP，利用勾股定理构建方程，进行解答并检验即可；
（3） 分两种情况，①当点Q在线段BC上时，②当P，Q在AC边上相遇时，且PA＝PB时，△PAE与△QBF全等 ，据此分别解答即可.