第5章《一元一次方程》单元测试卷（含解析）

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浙教版2023年七年级上册第5章《一元一次方程》单元测试卷
满分120分 建议时间100分钟
一、选择题（共30分）
1．下列式子：①；②；③；④．其中，方程有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列式子中，是一元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列方程的解是的方程是（ ）
A． B． C． D．
4．如果是关于的方程的解，那么等于（ ）
A． B． C．3 D．1
5．已知等式，则下列变形错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．将方程去分母，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．小峰在超市买1瓶A种饮料和3瓶B种饮料，一共用了19元，A种饮料每瓶4元，如果设B种饮料每瓶x元，那么下面所列方程正确的是 （　　）
A． B． C． D．
8．已知方程与关于的方程的解相同，则的值为（ ）
A．－26 B．－2 C．2 D．26
9．两件商品都卖84元，其中一件盈利，另一件亏损，则两件商品卖出后（ ）
A．亏本3元 B．盈利3元 C．盈利6.8元 D．不赢不亏
10．已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共24分）
11．若是关于的一元一次方程，则 ．
12．若，则下列式子中正确的是（填序号） ．
①，②，③，④．
13．下列各式中：①由系数化为1得；②由移项得；③由去分母得；④由去括号得． 其中正确的有 ．
14．若和互为相反数，则 ．
15．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17）．按此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为40，则这5个数中的最大数为 ．

16．已知关于的绝对值方程只有三个解，则 ．
三、解答题（共66分）
17．（6分）解方程：
(1)；
(2)．
18．（8分）解方程
(1)
(2)
19．（8分）下面是小武同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：．
解： 第①步；
第②步；
第③步；
第④步；
第⑤步．
(1)【任务一】填空：
①以上解方程的步骤中，第______步是进行去分母，去分母的依据是______；
②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______．
(2)【任务二】请帮小武改正错误，写出正确的解题过程．
20．（8分）一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做10天完成，现在由乙先独做几天后，剩下的部分由甲独做，共计12天完成，问乙做了几天？
21．（8分）用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制作盒身15个或盒底42个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有108张白铁皮，用多少张制作盒身，多少张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒？
22．（8分）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；
(2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
(3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解．
23．（10分）小明问小白：“你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？”看着小白一脸的茫然，小明热心地为小白讲解：
[小明提出问题]利用一元一次方程将化成分数．
[小明解答]解：设，方程两边都乘以，可得由，可知，即，可解得，即．
(1)请你仿照小明的方法把下列两个小数化成分数：① ；② ；
(2)请将化为分数，并写出解答过程：
(3)你能通过上述方法判断是否正确吗？说明你的理由．
24．（10分）如图，数轴上有三个点A，B，C，表示的数分别是，3．

(1)若使C、B两点的距离是A、B两点的距离的2倍，则需将点C向左移动 个单位；
(2)已知：点B和点C同时分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒．
①用含t的代数式填空（运动了t秒后，点B和点C分别表示的数）：
点B表示的数是 ，点C表示的数是 ；
②当t为多少时，点B与点C之间的距离为12个单位长度？请说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】此题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫方程，根据方程的定义解答．
【详解】解：：①，不是等式，故不是方程，不符合题意；
②，不含有未知数，故不是方程，不符合题意；
③，符合方程的定义，符合题意；
④，符合方程的定义，符合题意．
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了一元一次方程的识别．一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式 ．熟记相关定义即可．
【详解】解：A：符合一元一次方程的定义，正确；
B：不是等式，错误；
C：未知数的最高次数为，错误；
D：含有两个未知数，错误；
故选：A
3．A
【分析】本题考查方程的解的定义，把代入方程的左右两边，判断左边和右边是否相等即可判断．
【详解】解：A．当时，左边右边，故此选项符合题意；
B．当时，左边右边，故此选项不符合题意；
C．当时，左边右边，故此选项不符合题意；
D．当时，左边右边，故此选项不符合题意．
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了方程的解．根据方程解的定义，将方程的解代入方程即可得到关于系数的一元一次方程，从而求出的值．
【详解】解：把代入方程，
得，即，
故．
故选：B．
5．B
【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立．
【详解】解：A、由，可以得到，变形正确，不符合题意；
B、当时，由不可以得到，变形错误，符合题意；
C、由，可以得到，变形正确，不符合题意；
D、由，可以得到，则，变形正确，不符合题意；
故选B．
6．C
【分析】本题考查了解一元一次方程——去分母，根据去分母的运算法则即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】解：去分母，得：，
故选C．
7．B
【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据买1瓶A种饮料和3瓶B种饮料，一共用了19元，列出方程即可．
【详解】解：设B种饮料每瓶x元，由题意，得：；
故选B．
8．C
【分析】本题考查一元一次方程的解与解一元一次方程、求代数式的值；首先求出的解，把解代入中，求得k的值，即可求得代数式的值．
【详解】解：解方程，得：
由于方程与方程解相同，
把代入中得：，
则；
故选：C．
9．B
【分析】先根据题意设出赚钱的和亏本的衣服的本钱x，y，列出关于x，y的方程，求得两件衣服的本钱，再根据售价即可得出盈利3元．本题考查一元一次方程的应用，正确的列出方程，是解题的关键．
【详解】解：设赚钱的衣服的进价为x元，赔钱的衣服的进价为y元，
则，解得，，解得，
∴元．
答：两件商品卖后赢利3元，
故选：B．
10．C
【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案．
【详解】解：
去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
将系数化为1，得
是非负整数解
或，，时，的解都是非负整数
则
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．
11．
【分析】根据一元一次方程的定义列式计算即可；注意是解题的关键．
【详解】解：∵是关于的一元一次方程，
∴且，解得．
故答案为．
12．①③④
【分析】根据等式的性质逐项判断即可求解．
【详解】解：根据等式性质1，两边都减2，即可得到，故①正确；
根据等式性质2，两边都乘以，即可得到，故②错误；
根据等式性质2，两边都乘以，即可得到，故③正确；
根据等式性质2，两边都乘，5，即可得到，再根据等式性质1，两边都减1，可得，故④正确；
故正确的是①③④．
故答案为：①③④
【点睛】本题考查了等式的性质，等式的性质1：等式的两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式的性质2：等式的两边同时乘以一个数或除以一个不为0的数，结果仍相等．熟知等式的两条性质是解题关键．
13．④
【分析】根据解一元一次方程的各步骤的运算要求来判断各式是否正确，即可获解．
【详解】解：①由系数化为1得，故①错误，不符合题意；
②由移项得，故②错误，不符合题意；
③由去分母得，故③错误，不符合题意；
④由去括号得，故④正确，符合题意；
其中正确的有：④；
故答案为：④．
【点睛】此题考查了一元一次方程中的解法，熟练掌握解一元一次方程的去分母、去括号、移项、系数化为1等各个步骤，是解答此题的关键．
14．1
【分析】根据互为相反数的两个数和为零求解．
【详解】由于互为相反数的两个数和为零，
，
解得．
故答案为：1，
【点睛】本题主要考查相反数的定义和一元一次方程的应用，熟练掌握互为相反数的两个数和为零是解题的关键．
15．27
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设这5个数中的最大数为，则最小数为，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案．
【详解】解：设这5个数中的最大数为，则最小数为，
根据题意，可得，
解得．
故答案为：27．
16．
【分析】首先根据绝对值的意义得到或，解方程得到或或或，当时，方程只有两个解，不符合题意，则，由方程只有三个解得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵
∴或，
∴或，
∴或或或，
∴或或或，
当时，则，即此时方程只有两个解，不符合题意；
∴，
∴，
∵关于的绝对值方程只有三个解，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了解含有绝对值的一元一次方程，正确理解绝对值的意义是关键．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
（1）按步骤：合并同类型，系数化为1，进行求解即可；
（2）按步骤：移项，合并同类型，系数化为1，进行求解即可．
【详解】（1）解：合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2）解：移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
18．(1)
(2)
【分析】（1）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．
【详解】（1）
（2）
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
19．(1)①，等式的性质，③，移项没变符号
(2)见解析
【分析】（1）找出第一步去分母的依据，找出出错的步骤，分析其原因即可；
（2）解方程求出方程的正确解即可．
【详解】（1）解：以上解题过程中，第①步是去分母，依据等式的性质进行变形的；从第③步开始出现错误，原因是：移项没变符号，
故答案为：①，等式的性质，③，移项没变符号；
（2）解：
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得，
原方程的解为．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并，把未知数系数化为1，熟练掌握解一元一次方程的过程是解题关键．
20．乙做了8天
【分析】设乙做了x天，根据“甲单独做20天完成，乙单独做10天完成，现在由乙先独做几天后，剩下的部分由甲独做，共计12天完成”列出方程，即可求解．
【详解】解：设乙做了x天，根据题意得：
，
解得，
答：乙做了8天．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确列出方程是解题的关键．
21．63张盒身，45张盒底
【分析】设用x张制作盒身，则用张铁皮制作盒底，可以正好制成配套罐头盒，根据盒底的个数为盒身的2倍，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设用张制作盒身，张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒．
根据题意，得．
解得．
所以．
答：用63张制作盒身，45张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
22．(1)
(2)或
(3)
【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键．
（1）先表示两个方程的解，再求解；
（2）根据条件建立关于n的方程，再求解；
（3）由题意，可求出的解为，再将
变形为，则，从而求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
∵关于x的方程与方程是“美好方程”，
，
；
（2）解：∵“美好方程”的两个解的和为1，其中一个解为n，
∴另一个方程的解为：，
∵两个解的差为8，
∴或，
∴或；
（3）解：∵，
，
∵关于x的一元一次方程和是“美好方程”，
∴关于x的一元一次方程的解为：，
关于y的一元一次方程可化为：，
，
．
23．(1)①；②
(2)；
(3)，理由见解析
【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，无限循环小数转化为分数的方法的运用，一元一次方程解法的运用．
（1）①根据阅读材料设，方程两边都乘以10，转化为，求出其解即可；②设，程两边都乘以100，转化为，求出其解即可；
（2）设，仿照例题的解法即可得出结论；
（3）根据题目例子解答即可．
【详解】（1）解：①设，则，
∴．
故答案是：；
②设，方程两边都乘以100，可得．
由，可知；
即，可解得，即．
故答案为：；
（2）解：设，
方程两边都乘以1000，可得.
由，可知，
即，
解得，
故；
（3）解：，理由如下：
设，
方程两边都乘10，得，由，
得．所以，
解得．
故．
24．(1)1或9
(2)①，；②当t为7时，点B与点C之间的距离为12个单位长度．理由减解析
【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，解绝对值方程，一元一次方程的应用，熟知数轴上两点距离计算公式是解题的关键．
（1）根据数轴上两点距离计算公式求出，进而得到，由此求出移动后点C表示的数即可得到答案；
（2）①根据数轴上两点距离计算公式进行求解即可；②根据（2）①所求结合两点距离计算公式建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵数轴上有两个点A，B，，表示的数分别是，
∴
∵移动后C、B两点的距离是A、B两点的距离的2倍，
∴，
∴移动后点C表示的数为或，
当移动后点C表示的数为2时，则需要将点C向左移动1个单位长度，若移动后点C表示的数为时，则需要将点C向左移动个单位长度，
故答案为：1或9；
（2）解：①由题意得，点B表示的数为，点C表示的数为，
故答案为：，；
②当t为7时，点B与点C之间的距离为12个单位长度，理由如下：
∵点B与点C之间的距离为12个单位长度，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得或（舍去），
∴当t为7时，点B与点C之间的距离为12个单位长度．