4.6 反证法 导学案
学习目标：
1、反证法的含义；
2、反证法的步骤(格式)。
一、反证法的含义：
1、《路边苦李》：（P100阅读）
王戎道：“树在道边而多子，此必苦李。”
推理方法是：①假设____________________________，
②则因为“树在道边”，李子__________________，这与_____________________矛盾。
③所以____________________不成立。
④即原命题(“树在道边而多子，此必苦李。”)成立。
2、归纳反证法含义（步骤）：
在证明一个命题时，人们有时先①__________________________（即反面成立）；
②从_____出发，经过推理，得出与_________________矛盾，或者与_____、______、______等矛盾。
③从而得出假设命题不成立，是错误的。
④即所求证的原命题正确的。
这样的证明方法叫做_________________。
二、例题学习：（P101）
例 求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角.
（补充）求证：在同一平面内，如果一条直线和两条平行线中的一条相交，那么和另一条也相交。
（几何证明题的步骤忘了吗？“一画二写三证”）
已知（题设）：_________________________________
求证(结论)：__________________________________.
证明：（反证法）
①假设______________________________
②则_____________________， 又∵已知______________。
这与____________________________________________矛盾。
③所以____________________不成立。
④即求证的命题成立。
三、合作学行的传递性（P101）
求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。
除了反证法，你还有什么办法？
已知（题设）：_________________________________
求证(结论)：__________________________________.
证明：①_____________________________________
②_____________________________________
_____________________________________
③_____________________________________
④_____________________________________
四、练习与巩固：
1、求证：“两条直线被第三条直线所截，如果内错角不相等，那么两条直线不平行。”（注意画图）
已知（题设）：________________________________
求证(结论)：__________________________________.
证明：①_______________________________________________
②_____________________________________
___________________________________________________
③_____________________________________
④_____________________________________
2、“两个三角形有两条边对应相等，如果所夹的角不相等，那么所对的边也不相等.”这个命题是真命题还是假命题，为什么？
课内2、用反证法证明：“三角形中，至少有一个角大于或等于600”
已知：______________________________，求证：___________________________
证明：①假设求证的结论不成立，即结论的反面成立
②则
这与_____________________________________相矛盾。
③所以_________不成立，④所求证的原命题成立。
作业2、求证：“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于450。”（仿照课内1做）
已知：______________________________，求证：___________________________
证明：①_____________________________________________________________
②__________________________________________________________________
③_____________________________________
④_____________________________________
作业1、已知：两条不重合的直线AB、CD相交，求证AB、CD只有一个交点。
（提示：与“经过两点有且只有一条直线”矛盾。）注意格式。
证明：①_____________________________________________________________
②__________________________________________________________________
③_____________________________________
④_____________________________________
五、自我反思：
你有什么收获？你还有什么疑问？
这是一个真命题，还是假命题？________
如果是真命题，从“正面”好证明吗？
如果不好证明，老师教你一种从“反面”
证明的方法试一试，学学看。
这个命题的真假，显而易见是____命题。
对于这种显而易见的真命题，从“正面”
又不好证明，可以尝试用反证法。
真命题，
一画
二写
三证
一画
二写
三证
一画
二写
三证4.6 反证法 教案
【教学目标】
1、了解反证法的含义.
2、了解反证法的基本步骤.
3、会利用反证法证明简单命题.
4、了解定理“在同一平面内，如果一条直线 ( http: / / www.21cnjy.com )和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.
【教学重点和难点】
本节教学的重点是反证法的含义和步骤.
课本“”合作学习”要求用两种方法完成平行线的传递性的证明，有较高难度，是本节教学的难点.
【教学准备】
课件
【教学设计】
一、情境导入
故事引入“反证法”：中国古代有一个叫 ( http: / / www.21cnjy.com )《路边苦李》的故事:王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的 他运用了怎样的推理方法
我们不得不佩服王戎，小小年纪就具备了 ( http: / / www.21cnjy.com )反证法的思维.反证法是数学中常用的一种方法.人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时，常常采用从反面考虑的策略，往往能达到柳暗花明又一村的境界.
那么什么叫反证法呢？（板书课题）
二、探究新知
（一）整体感知
在证明一个命题时,人们有时 ( http: / / www.21cnjy.com )先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.
用反证法证明命题实际上是这样 ( http: / / www.21cnjy.com )一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的.这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定.既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了.
你能说出下列结论的反面吗
1.a⊥b
2. d是正数
3. a≥0
4. a∥b
（二）师生互动
例 求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角.
（引导学生独立解决）
1、求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.
把本题改编成填空题：
已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P.
求证: l3与l2相交.
证明: 假设____________,即_________.
∵_________（已知）,
∴过直线l2外一点P有两条直线和l2平行,
这与 “_______________________ _____________”矛盾.
∴假设不成立,即求证的命题正确.
∴l3与l2相交.
教师简单引导学生小结：证明两直线相交的又一判定方法.
2、根据上述填空，请同学们归纳一下用反证法证题的步骤.（教师板书步骤）
生：①假定结论不成立（即结论的反面 ( http: / / www.21cnjy.com )成立）；②从假设出发，结合已知条件，经过推理论证，推出与已知条件或定义、定理、公理相矛盾；③由矛盾判定假设不正确；④肯定命题的结论成立.
明确 用反证法证题的基本思路及步骤.
（三）学以致用，完善新知
1、课内练习1
明确 在运用反证法的过程，往往要仔细分析结论的反面，特别要注意语句的转换及表达.
2、合作学习
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
（1）你首选的是哪一种方法？
（2）如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？
（3）能不用反证法吗？你准备怎样证明？
教师在例后要引导学生比较体会反证法 ( http: / / www.21cnjy.com )的优点：当正面证明比较繁杂或较难证明时，用反证法证明是一种证明的思路，并指出本题的结论是判定两直线平行的又一判定定理.
三、实践应用，知识迁移
1、课内练习2
2、链接生活
反证法的思想也时常体现在人们的日常交流中，下面是有关的一个例子：
妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天下在外出旅游.
小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!
上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么 （小芳全家没外出旅游.）
他是如何推断该命题的正确性的
在你的日常生活中也有类似的例子吗 请举一至两个例子.
3、议一议：
甲、乙、丙、丁、戊五人在运动会上分获一百米、二百米、跳高、跳远和铅球冠军，有四个人猜测比赛结果：
A说：乙获铅球冠军，丁获跳高冠军；
B说：甲获百米冠军，戊获跳远冠军；
C说：丙获跳远冠军，丁获二百米冠军；
D说：乙获跳高冠军，戊获铅球冠军.
其中每个人都只说对一句，说错一句.你知道五人各获哪项冠军吗？
四、学习小结
同学们，学了这节课，你们有何收获与体会？
（1）引导学生作知识总结，学习了反证法证题的思路与步骤.
（2）教师扩展：在直接法无法证明或很难证明的情况选用反证法.
五、课后作业
1. 书本作业题A组必做.
2.课外活动：收集反证法在生活中应用的例子，在班上交流.
【板书设计】
屏幕 4.6 反证法步骤： 合作学习①提出假设②推理论证 ③得出矛盾 学生练习④结论成立
【资料：数学小故事】
反证法也称为归谬法，英国数学家哈代（G. ( http: / / www.21cnjy.com )H.Hardy，1877－1947）对于这种证法给过一个很有意思的评估.在棋类比赛中，经常采用一种策略，叫“弃子取势”，即牺牲一些棋子以换取优势.哈代指出，归谬法是远比任何棋术更为高超的一种策略.棋手可以牺牲的是几个棋子，而数学家可以牺牲整个一盘棋.归谬法就是作为一种可以想象的最了不起的策略而产生的.
