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解直角三角形提升5
一、选择题（本大题共5小题，共15.0分）
1.如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于( )
A. B. C. D.
2.已知在中，，若，，则AB的长为( )
A. 6 B. C. D.
3.等腰三角形腰长为3，底边长为2，则底角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4.如图，将长、宽分别为12cm，3cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点若，则折叠后的图案阴影部分面积为
( )
A. B. C. D.
5.如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分交CD于点F，交AE于点若，则FG的长是( )
A. 3 B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
6.如图，平面直角坐标系中有一正方形ABCD，已知，，则__________.
7.如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，与关于直线EC对称，点B的对称点F在边AD上，G为CD中点，连结BG分别与CE，CF交于M，N两点.若，，则BN的长为__________，的值为__________.
8.图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，FA，EB均与地面垂直，测得，，
椅面CE的长度为__________
如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角的度数达到最小值时，A，B两点间的距离为__________结果精确到
参考数据：，，
9.图1是光伏发电场景，其示意图如图2，EF为吸热塔，在地平线EG上的点B，处各安装定日镜介绍见图绕各中心点旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F处．已知，，，在点A观测点F的仰角为
点F的高度EF为__________
设，，则与的数量关系是__________.
10.如图，，点C是射线BQ上的动点，连结AC，作，，动点E在AB延长线上，，连结CE，DE，当，时，BE的长是__________.
11.如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形ABCD，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形EFGH，直角顶点E，F，G，H分别在边BF，CG，DH，AE上.
若，，则BE的长是______
若，则的值是______ .
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）
12.如图，建筑物AB后有一座小山，，测得小山坡脚C点与建筑物水平距离米，若山坡上E点处有一凉亭，且凉亭与坡脚距离米，某人从建筑物顶端A点测得E点处的俯角为
求凉亭到地面的距离.
求建筑物AB的高精确到
参考数据：，，，，，，
13.如图，在离铁塔20m的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高AD为求铁塔高参考数据：，，
14.在日常生活中我们经常会使用到订书机装订机，如图，MN是订书机的底座，AB是订书机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC可绕着转轴B旋转.已知，
当托板与压柄夹角时，如图1，点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度.
当压柄BC从中的位置旋转到与底座AB的夹角时，如图求这个过程中点E滑动的距离结果保留根号，参考数据：，
15.如图，在中，，点B是AC边上一点，以AB为直径的圆O经过点D，点F是直径AB上一点不与A、B重合，延长DF交圆于点E，连接
求证：；
若，，
①求的度数；
②若，求AD的长.
16.如图，AB是的直径，弦于点E，点P在上，
求证：；
连接OC，当，时，求阴影部分的面积.
17.一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，，，当按压柄按压到底时，BD转动到，此时如图
求点D转动到点的路径长；
求点D到直线EF的距离结果精确到
参考数据：，，，，，
18.在扇形AOB中，半径，点P在OA上，连结PB，将沿PB折叠得到
如图1，若，且与所在的圆相切于点
①求的度数.
②求AP的长.
如图2，与相交于点D，若点D为的中点，且，求的长.
19.如图1，四边形ABCD内接于，BD为直径，上存在点E，满足，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点
若，请用含的代数式表示
如图2，连结CE，求证：
如图3，在的条件下，连结CG，
①若，求的周长.
②求CG的最小值.
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解直角三角形提升5
一、选择题（本大题共5小题，共15.0分）
1.如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】略
2.已知在中，，若，，则AB的长为( )
A. 6 B. C. D.
【答案】A
【解析】略
3.等腰三角形腰长为3，底边长为2，则底角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】略
4.如图，将长、宽分别为12cm，3cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点若，则折叠后的图案阴影部分面积为
( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
根据题意可知阴影部分的面积=长方形的面积-三角形ABC的面积，根据题中数据计算三角形ABC的面积即可．
本题主要考查翻折和矩形的性质等知识点，熟练掌握和应用翻折的性质是解题的关键．
【解答】
解：根据翻折可知，
，，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积 ，
故选：
5.如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分交CD于点F，交AE于点若，则FG的长是( )
A. 3 B. C. D.
【答案】B
【解析】解：如图，过点A作于点H，过点F作于点Q，
菱形ABCD的边长为4，
，
，
，
，
是BC的中点，
，
，
是BE的垂直平分线，
，
平分，
，
，
，
，
，
设，
，，
，
，
，
，
，
，
解得，
则FG的长是
故选：
过点A作于点H，过点F作于点Q，根据，可得，所以，然后证明AH是BE的垂直平分线，可得，设，根据，进而可以解决问题．
本题考查了菱形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
6.如图，平面直角坐标系中有一正方形ABCD，已知，，则__________.
【答案】
【解析】略
7.如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，与关于直线EC对称，点B的对称点F在边AD上，G为CD中点，连结BG分别与CE，CF交于M，N两点.若，，则BN的长为__________，的值为__________.
【答案】2 ；
【解析】【分析】
连接BF，FM，由翻折及可得四边形BEFM为菱形，再由菱形对角线的性质可得先证明≌得，再证明∽可得，进而求解．
本题考查矩形的翻折问题，解题关键是连接辅助线通过全等三角形及相似三角形的判定及性质求解．
【解答】
解：，
，
，
，
又，
，
，
为CD中点，
连接BF，FM，
由翻折可得，，
，
，
，
，
四边形BEFM为平行四边形，
，
四边形BEFM为菱形，
，，
，
平分，
，
，
，，，
，
，
设，
则，，
，
∽，
，
即，
解得舍或，
，
故答案为：2；
8.图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，FA，EB均与地面垂直，测得，，
椅面CE的长度为__________
如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角的度数达到最小值时，A，B两点间的距离为__________结果精确到
参考数据：，，
【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：40；
如图2，延长AD，BE交于点N，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
点H是CD的中点，
，
，
∽，
，
如图3，连接CD，过点H作于P，
，，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
故答案为：
由平行线的性质可得，由锐角三角函数可得，即可求解；
如图2，延长AD，BE交于点N，由“ASA”可证≌，可得，可求NE的长，由锐角三角函数可求DE的长，即可求DH的长，如图3，连接CD，过点H作于P，由锐角三角函数和等腰三角形的性质，可求DC的长，通过相似三角形的性质可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，求出CD的长是解题的关键．
9.图1是光伏发电场景，其示意图如图2，EF为吸热塔，在地平线EG上的点B，处各安装定日镜介绍见图绕各中心点旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F处．已知，，，在点A观测点F的仰角为
点F的高度EF为__________
设，，则与的数量关系是__________.
【答案】9
【解析】【分析】
本题考查了解直角三角形，涉及平行线的性质，三角形外角的性质，入射角与反射角的关系等，找出两反射角之间的关系是解题的关键．
连接并延长交EF于点H，易证四边形，HEBA，均为矩形，可得，，再根据在点A观测点F的仰角为，可得，即可求出FE的长；
作DC的法线AK，的法线，根据入射角等于反射角，可得，，根据，，解直角三角形可得，从而可得的度数，根据三角形外角的性质可得，再根据平行线的性质可表示和，从而可得与的数量关系．
【解答】
解：连接并延长交EF于点H，如图，
则四边形，HEBA，均为矩形，
，，，
在点A观测点F的仰角为，
，
，
，
；
作DC的法线AK，的法线，如图所示：
则，，
，，
，
，
，
太阳光线是平行光线，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
同理，，
，
即
10.如图，，点C是射线BQ上的动点，连结AC，作，，动点E在AB延长线上，，连结CE，DE，当，时，BE的长是__________.
【答案】5或
【解析】解：如图，过点C作于点T，过点D作交CT的延长线于点J，连接
，
可以假设，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，E，D，J四点共圆，
，
，
，
，
，
整理得，
，
和，
或，
故答案为：5或
【分析】如图，过点C作于点T，过点D作交CT的延长线于点J，连接由，可以假设，，证明≌，推出，，再利用勾股定理，构建方程求解即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，四点共圆，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
11.如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形ABCD，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形EFGH，直角顶点E，F，G，H分别在边BF，CG，DH，AE上.
若，，则BE的长是______
若，则的值是______ .
【答案】4 3
【解析】解：和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
即，
即，
，
，
，
故答案为：4；
设，
，
可设，，
四边形EFGH是正方形，
，
和都是等腰直角三角形，
，，，
，
，
四边形ABCD对角互补，
，
，
四边形EFGH是正方形，
，
，
，
，
，即，
整理得：，
解得，舍去，
故答案为：
将AE和FC用BE表示出来，再代入，即可求出BE的长；
由已知条件可以证明，从而得到，设，，，用x和k的式子表示出CG，再利用列方程，解出x，从而求出的值．
本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角函数定义，一元二次方程的解法等，弄清图中线段间的关系是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）
12.如图，建筑物AB后有一座小山，，测得小山坡脚C点与建筑物水平距离米，若山坡上E点处有一凉亭，且凉亭与坡脚距离米，某人从建筑物顶端A点测得E点处的俯角为
求凉亭到地面的距离.
求建筑物AB的高精确到
参考数据：，，，，，，
【答案】【小题1】
过点E作于M，，米，米.答：凉亭到地面的距离为10米.
【小题2】
过E作，交AB于点N，则米，，，在中，米，
米，在中，米，米.
答：建筑物AB的高约为米.
【解析】见答案
见答案
13.如图，在离铁塔20m的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高AD为求铁塔高参考数据：，，
【答案】过点A作，垂足为E，则，，在中，，，
答：铁塔高BC约为
【解析】见答案
14.在日常生活中我们经常会使用到订书机装订机，如图，MN是订书机的底座，AB是订书机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC可绕着转轴B旋转.已知，
当托板与压柄夹角时，如图1，点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度.
当压柄BC从中的位置旋转到与底座AB的夹角时，如图求这个过程中点E滑动的距离结果保留根号，参考数据：，
【答案】【小题1】
如图1，作于H，
在中，，，，
，，
，
，，
，
答：连接杆DE的长度为
【小题2】
如图2，作的延长线于点F，
，
，，
在中，，
，
在中，，
，
，
点E滑动的距离为
答：这个过程中点E滑动的距离为
【解析】见答案
见答案
15.如图，在中，，点B是AC边上一点，以AB为直径的圆O经过点D，点F是直径AB上一点不与A、B重合，延长DF交圆于点E，连接
求证：；
若，，
①求的度数；
②若，求AD的长.
【答案】解：，
，
又，
连接OE，
，，
，
，
且，
②作于G，
，
，
，
，
，，，
，
【解析】根据等腰三角形的性质，得到，根据圆周角定理得出，即可求解．
①连接OE，由圆周角定理得到，再由可求解；②作，只要证明为等腰直角三角形即可求解．
本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
16.如图，AB是的直径，弦于点E，点P在上，
求证：；
连接OC，当，时，求阴影部分的面积.
【答案】证明：，，
，
；
解：连接
，
，
，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
阴影部分的面积=扇形OBC的面积的面积
【解析】证明可得结论；
证明是等边三角形，可得结论．
本题考查扇形的面积，圆周角定理，解直角三角形，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17.一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，，，当按压柄按压到底时，BD转动到，此时如图
求点D转动到点的路径长；
求点D到直线EF的距离结果精确到
参考数据：，，，，，
【答案】解：，，
，
，
，
，
点D转动到点的路径长为；
过D作于G，过E作于H，如图：
中，，
中，，
，
，
点D到直线EF的距离约为，
答：点D到直线EF的距离约为
【解析】本题考查圆的弧长及解直角三角形的应用，解题的关键是掌握弧长公式，熟练运用三角函数解直角三角形．
由，求出，可得，根据弧长公式即可求出点D转动到点的路径长为；
过D作于G，过E作于H，中，求出，中，，故，即点D到直线EF的距离为，
18.在扇形AOB中，半径，点P在OA上，连结PB，将沿PB折叠得到
如图1，若，且与所在的圆相切于点
①求的度数.
②求AP的长.
如图2，与相交于点D，若点D为的中点，且，求的长.
【答案】解：①如图1中，是的切线，
，
由翻折的性质可知，，，
，
，
，
②如图1中，过点B作于H，在BH上取一点F，使得，连接
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
或舍弃，
，，
在中，，
解法二：连接交PB于T，则，
在中，，
在中，，
，
如图2中，连接AD，
，
，，
由翻折的性质可知，，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
的长
【解析】①利用三角形内角和定理求解即可。
②如图1中，过点B作于H，在BH上取一点F，使得，连接想办法求出OH，PH，可得结论。
如图2中，连接AD，证明可得结论。
本题属于圆综合题，考查了切线的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，圆心角，弧，弦之间的关系，弧长公式，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题。
19.如图1，四边形ABCD内接于，BD为直径，上存在点E，满足，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点
若，请用含的代数式表示
如图2，连结CE，求证：
如图3，在的条件下，连结CG，
①若，求的周长.
②求CG的最小值.
【答案】解：为的直径，
，
，
，
；
为的直径，
，
，
，
，，
，
又，，
≌，
；
①如图，连接DE，
为的直径，
，
在中，，，
，
，
，
即，
，
，
，
在中，，
，，
，
在中，，
，，
在中，，
，
的周长为；
②如图，过点C作于H，
≌，
，，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
设，
，
，
在中，，
，
当时，的最小值为3，
的最小值为
【解析】利用直径所对的圆周角为和在同一圆中，等弧所对的圆周角相等，即可得结果．
证线段相等只需证线段所在的两个三角形全等即可．利用全等三角形的判定可得≌可得结论，
①连接DE，，由弧相等得出弧所对的弦相等，在中，，得，在中，，可得，，
在中，由勾股定理得，即可求得周长的值．②如图，过点C作于H，可得≌，得，由相似三角形的判定可得∽，设，由相似的性质得，在中，由勾股定理知，即可得最小值．
本题考查圆的综合应用，解本题的关键要熟练掌握圆的性质．全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等基本知识点．
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