第3章 圆的基本性质单元达标测试卷（含解析）2023-2024学年浙教版九年级数学上册

浙教版九年级数学上册第3章圆的基本性质单元达标测试卷
一、单选题
1．如图，图中的弦共有（　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2．平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为( ，1)，将OA绕原点O按逆时针方向旋转90°得OB，则点B的坐标为（　　）
A．(1， ) B．(-1， ) C．(- ，1) D．( ，-1)
3．如图，⊙O的直径为10，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC＝3，则弦AB的长为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．10
4．在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子的游戏，要在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最恰当的位置是△ABC的（　　）
A．三条高的交点 B．重心
C．内心 D．外心
5．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=100°，那么∠ACB的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
6．半径为 的圆的内接正六边形的边心距是（　　）
A． B． C． D．
7．如图所示，在中，，则的度数为（　　）.
A． B． C． D．
8．下列语句中，正确的有( )
(1)相等的圆心角所对的弧相等； (2)平分弦的直径垂直于弦；(3)长度相等的两条弧是等弧 (4) 圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．下列说法不正确的是（　　）
A．过不在同一直线上的三点能确定一个圆
B．平分弦的直径垂直于弦
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D．相等的弧所对的弦相等
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，将这个梯形绕点D按顺时针方向旋转，使点C落在边AD上的点C′处，点B落在点B′处，如果直线B′C′经过点C，那么旋转角等于　 　度．
12．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，则FM的长为　 　．
13．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB=6，则△AEC的面积为　 　．
14．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，点D是的中点，点E，F分别为半径OC，OB上的动点.若OB＝2，则△DEF周长的最小值为　 　.
三、解答题
15．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
求证：AC=BD.
16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB＝30°，CD＝ ，求阴影部分的面积．
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称；
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点B旋转到点B2所经过的路径长．
18．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°.判断△ABC的形状，并证明你的结论；
19．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OA∥PE
（1）求证：AP=AO；
（2）若弦AB=12，求tan∠OPB的值．
四、综合题
20．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，BD＝CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F.
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为5，∠CDF＝30°，求弧BD的长(结果保留π)．
21．如图，在 中， ， 于点D， 于点E.
（1）求证： ；
（2）若 ，求四边形 的面积.
22．如图，将矩形绕点B旋转得到矩形，点E在上，延长交于点H.
（1）求证：；
（2）连接，若，求的度数.
23．如图1，⊙O的直径AB为4，C为⊙O上一个定点，∠ABC=30°，动点P从A点出发沿半圆弧 向B点运动（点P与点C在直径AB的异侧)，当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点.
（1）求证：△ABC∽△PDC
（2）如图2，当点P到达B点时，求CD的长；
（3）设CD的长为 .在点P的运动过程中， 的取值范围为（请直接写出案）.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：图形中有弦AB和弦CD，共2条，
故答案为：B.
【分析】由连接圆上任意两点间的距离就是弦即可判断得出答案.
2．【答案】B
【解析】【解答】过点B作BC⊥x轴于点C，过点B作BC⊥y轴于点F，
∵点A的坐标为( ，1)，将OA绕原点O逆时针旋转90°到OB的位置，
∴BC ，CO=1，
∴点B的坐标为：(﹣1， ).
故答案为：B.
【分析】先根据旋转的性质作图，利用图象则可求得点B的坐标.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：连接OA，
∵OA＝5，OC＝3，OC⊥AB，
∴AC＝ ＝4，
∵OC⊥AB，
∴AB＝2AC＝2×4＝8．
故答案为：A．
【分析】连接OA，利用勾股定理求出AC的长，根据垂径定理可得AB＝2AC，从而求出AB的长.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．
故答案为：D．
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠AOB与∠ACB都对 ，且∠AOB=100°，
∴∠ACB= ∠AOB=50°，
故选C
【分析】根据图形，利用圆周角定理求出所求角度数即可．
6．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，过点O作OH垂直AB于点H，OH即为正六边形边心距.
∵六边形ABCDEF为正六边形
∴ ，OA=OB=AB=a，AH=BH= ，
∴
即半径为 的圆的内接正六边形的边心距是.
故答案为：C.
【分析】连接OA、OB，过点O作OH垂直AB于点H，OH即为正六边形边心距，根据正六边形的性质用勾股定理可求解.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C=（180°-∠A）=（180°-30°）=75°.
故答案为B：.
【分析】利用同圆和等圆中，相等的弧所对的弦相等，可证得AB=AC，利用等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠B的度数.
8．【答案】A
【解析】【解答】(1)、不符合题意，需要添加前提条件，即在同圆或等圆中；(2)、不符合题意，平分的弦不能是直径；(3)、不符合题意，等弧是指长度和度数都相等的弧；(4)、不符合题意，圆的对称轴是直径所在的直线.
故答案为：A.
【分析】在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，据此判断（1）；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，据此判断（2）；能重合的弧叫做等弧，据此判断（3）；圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是对称轴，据此判断（4）.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：A、过不在同一直线上的三点能确定一个圆，正确，不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，符合题意；
C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确，不符合题意；
D、相等的弧所对的弦相等，正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据确定圆的条件可判断A；根据垂径定理可判断B；根据轴对称图形、中心对称图形的概念可判断C；根据弧、弦的关系可判断D.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：如图连接PC．
在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝4，
根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，
∴A′P＝PB′，
∴PC＝ A′B′＝2，
∵CM＝BM＝1，
又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，
∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．
故答案为：B．
【分析】连接PC，根据∠A＝30°，BC＝2，可知AB的值，根据旋转的性质可知A′B′＝AB，进而可知A′P、PB′、PC的知，结合图形和三角形三边关系即可得出PM的取值范围，进而可知P、C、M共线时，PM值最大，即可选出答案.
11．【答案】60
【解析】【解答】解：连接CC′，如图所示：
则B′、C′、C在一条直线上，
由旋转的性质得：∠1=∠2，DC′=DC，
∴∠3=∠4，
∵A′D′∥B′C′，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3=∠4，
∴△CDC′是等边三角形，
∴∠CDC′=60°；
故答案为：60．
【分析】根据旋转的性质“对应点与旋转中心连线所成的角度都等于旋转的角度”可求解。
12．【答案】2.5
【解析】【解答】∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴F、C、M三点共线，∴DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°，∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°，
在△DEF和△DMF中， ，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF=MF，设EF=MF=x，
∵AE=CM=1，且BC=3，∴BM=BC+CM=3+1=4，∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=4﹣x，
∵EB=AB﹣AE=3﹣1=2，在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2， 即22+（4﹣x）2=x2，
解得：x= ， ∴FM= ．
【分析】 根据旋转的性质得出F、C、M三点共线，DE=DM，∠EDM=90°，进而得出∠FDM=∠EDF=45°，然后利用SAS判断出△DEF≌△DMF，根据全等三角形的对应边相等得出EF=MF，设EF=MF=x，然后根据勾股定理建立方程，求解即可得出答案
13．【答案】
【解析】【解答】解：∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD= AC′= AC，
∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°，
∴∠DAD′=60°，∴∠DAE=30°，
∴∠EAC=∠ACD=30°，∴AE=CE．
在Rt△ADE中，设AE=EC=x，
则有DE=DC﹣EC=AB﹣EC=6﹣x，AD= ×6=2 ，
根据勾股定理得：x2=（6﹣x）2+（2 ）2，
解得：x=4，∴EC=4，
则S△AEC= EC AD=4 ．
故答案为：4 ．
【分析】根据旋转的性质及中点的定义得出AD= AC′= AC，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出在Rt△ACD中，∠ACD=30°，故DAC=60°，进而得出∠DAD′=60°，∠DAE=30°，∠EAC=∠ACD=30°，根据等角对等边得出AE=CE．在Rt△ADE中，设AE=EC=x，则有DE=DC﹣EC=AB﹣EC=6﹣x，AD=，根据UGG多了建立方程，求解得出x的值，然后滚局三角形的面积计算方算出答案。
14．【答案】
【解析】【解答】解：连接OD，分别作D点关于OB、OC的对称点M、N，连接OM、ON，MN，MN交OB于F，交OC于E，交OD于P，如图，
∵ED＝EN，FM＝FD，
∴△DEF的周长＝ED+EF+FD＝EN+EF+FM＝MN，
∴此时△DEF的周长最小，
∵点D是 的中点，
∴∠BOD＝∠COD＝ ∠BOC＝30°，
∵M点与D点关于OB对称，
∴∠MOB＝∠BOD＝30°，OM＝OD＝2，
同理得∠NOC＝∠COD＝30°，ON＝OD＝2，
∵∠MON＝120°，OM＝ON＝2，
而∠MOP＝60°，
∴OP⊥MN，∠OMN＝∠ONM＝30°，
∴PM＝PN，
在Rt△OPM中，OP＝ OM＝1，
∴PM＝ OP＝ ，
∴MN＝2PM＝2 ，
∴△DEF周长的最小值为2 .
故答案为：2 .
【分析】连接OD，分别作D点关于OB、OC的对称点M、N，连接OM、ON，MN，MN交OB于F，交OC于E，交OD于P，如图，由ED＝EN，FM＝FD，得△DEF周长＝ED+EF+FD＝EN+EF+FM＝MN，根据两点之间线段最短可知此时△DEF的周长最小.求出∠MON＝120°，OM＝ON＝2，继而求出EF即可.
15．【答案】解：过O作OE⊥AB于点E，
则CE=DE，AE=BE，
∴BE-DE=AE-CE.
即AC=BD.
【解析】【分析】过O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理可知CE=DE、AE=BE，利用等式性质即可证明。
16．【答案】解：连接OD．
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝ CD＝ （垂径定理），
故S△OCE＝S△ODE，
∴S阴＝S扇形OBD，
又∵∠CDB＝30°，
∴∠COB＝60°（圆周角定理），
∴OC＝2，
故S扇形OBD＝ ＝ ，
即阴影部分的面积为 ．
【解析】【分析】根据圆的轴对称性可将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，因此计算出扇形OBD面积即为所求。
17．【答案】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
点B旋转到点B2所经过的路径长为：=π．
故点B旋转到点B2所经过的路径长是π．
【解析】【分析】（1）根据网格特点，找出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）分别找出点A、B、C绕点O逆时针旋转90°的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，观察可知点B所经过的路线是半径为，圆心角是90°的扇形，然后根据弧长公式进行计算即可求解．
18．【答案】解：△ABC是等边三角形.
证明如下：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是弧BC所对的圆周角，∠ABC与∠APC是弧AC所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°=∠ACB，
∴△ABC为等边三角形.
【解析】【分析】利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；
19．【答案】（1）证明：如图，
∵PG平分∠EPF，
∴∠CPO=∠APO．
∵AO∥PD，
∴∠CPO=∠AOP，
∴∠APO=∠AOP，
∴AP=AO．
（2）解：过点O作OH⊥AB于H，如图．
根据垂径定理可得AH=BH=AB=6，
∴PH=PA+AH=AO+AH=10+6=16．
在Rt△AHO中，
OH==8，
∴tan∠OPB==．
∴tan∠OPB的值为．
【解析】【分析】（1）由PG平分∠EPF可得∠CPO=∠APO，由AO∥PD可得∠CPO=∠AOP，从而有∠APO=∠AOP，则有AP=AO．
（2）过点O作OH⊥AB于H，如图2．根据垂径定理可得AH=BH=6，从而可求出PH，在Rt△AHO中，运用勾股定理可求出OH，然后运用锐角三角函数的定义就可解决问题．
20．【答案】（1）证明：连接OD，如图所示．
∵DF是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF=90°
∵BD=CD，OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠CFD=∠ODF=90°，
∴DF⊥AC．
（2）解：∵∠CDF=30°，
由（1）得∠ODF=90°，
∴∠ODB=180°-∠CDF-∠ODF=60°
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∴BD弧的长=
【解析】【分析】（1）连接OD，先证明OD是△ABC的中位线，可得OD∥AC，求出∠CFD=∠ODF=90°，即可得到DF⊥AC；
（2）先证明△OBD是等边三角形， 可得∠BOD=60°，再利用弧长公式求出答案即可。
21．【答案】（1）证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）利用等弧所对的圆心角相等，可证得∠AOC=∠BOC；再利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得CD=CE.
（2）利用∠AOB的度数，可求出∠OC=60°，从而可求出∠OCD=30°；再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CD的长；然后利用勾股定理求出CD的长，利用三角形的面积公式，可求出△CDO的面积.
22．【答案】（1）证明：
∵四边形是矩形，
∴，，
由旋转性质，得：，，
∴，，
∵在矩形中，，
∴，
在和中，
，
∴，
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即的度数为.
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得，， ， 结合旋转的性质可得推出 ，，，利用平行线的性质可得，根据AAS证明；
（2）根据矩形的性质可得， 利用全等三角形的性质及等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解.
23．【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠PCD，
又∵∠A=∠P，
∴△ABC∽△PDC
（2）解：∵∠ABC=30°，AB=4，
∴BC= ，
∵△ABC∽△PDC，
∴∠D=∠ABC=30°，
∴CD=6
（3）解：如图，
∵AB是直径，∠ABC=30°，AB=4
∴∠ACB=90°，∠A=∠P=60°，AC=2，
∵CD⊥PC，
∴∠PCD=90°，CD=PC tan60°，
∵PC的最小值=AC=2，PC的最大值为直径=4，
∴CD的最小值为2 ，最大值为4 ，
∴2 ≤CD≤4
【解析】【分析】（1）利用圆周角定理，进而用"两角法"证出相似；（2）利用30度角的正切，由AB求出BC，再求出CD；（3）可用PC及三角函数表示出CD，当PC最小时，CD最小，CD最大，PC最大.