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浙教版2023-2024学年数学七年级上册第6章图形的初步知识
6.9直线的相交（2）
【知识重点】
1.垂线：当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
2.垂线的性质：(1)在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线.
(2)连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
3.点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
【经典例题】
【例1】在下列图形中，线段的长表示点P到直线的距离的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】下列四个说法：①两点确定一条直线；②过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离，其中正确的说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例3】如图，直线AB、CD交于O，EO⊥AB于O，∠1与∠2的关系是（ ）
A．互余 B．对顶角 C．互补 D．相等
【例4】如图，点P为直线m外一点，点P到直线m上的三点A、B、C的距离分别为PA=4cm，PB=6cm，PC=3cm，则点P到直线m的距离为（ ）
A．3cm B．小于3cm C．不大于3cm D．以上结论都不对
【例5】如图，要把水渠中的水引到C点，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由．
【例6】如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB.
（1）若∠1＝∠2，证明：ON⊥CD；
（2）若∠1＝∠BOC，求∠BOD的度数.
【例7】已知，如图直线 与 相交于点O， ，过点O作射线 ， ， .
（1）求 度数；
（2）求 的度数；
（3）直接写出图中所有与 互补的角.
【基础训练】
1．下列生活实例中，应用到的数学原理解释错误的一项是（ ）
A．在两个村庄之间修一条最短的公路，原理是：两点之间线段最短
B．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．把一根木条固定到墙上需要两个钉子，原理是：两点确定一条直线
D．从一个货站向一条高速公路修一条最短的路，原理是：连结直线外一点与已知直线上各点的所有线段中，垂线段最短
2．如图，点P在直线外，，，则线段的值可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放法正确的是（ ）
A．A B．B C．C D．D
4．下列四个生活、生产现象：①用两枚钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③体育课上，老师测量某同学的跳远成绩；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中可用基本事实“两点确定一条直线”来解释的现象有（ ）
A．①②③ B．①② C．②④ D．①③④
5．如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，∠APC＝90°，则下列结论：①线段AP是点A到直线PC的距离；②线段BP的长是点P到直线l的距离；③PA，PB，PC三条线段中，PB最短；④线段PC的长是点P到直线l的距离，其中，正确的是（ ）
A．②③ B．①②③ C．③④ D．①②③④
6．如图，0M⊥NP，ON⊥NP，所以ON与OM重合，理由是（ ）
A．两点确定一条直线 B．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．过一点只能作一直线 D．垂线段最短
7．以下两条直线互相垂直的是（ ）
①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角；②两条直线相交所成的四个角相等；
③两条直线相交，有一组邻补角相等；④两条直线相交，对顶角互补．
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
8．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为点O．若∠BOE=40°6'，则∠AOC的度数为
9．如图，在公园绿化时，需要把管道l中的水引到A，B两处．工人师傅设计了一种又快又节省材料的方案如下：
画法：如图，
⑴连接AB；
⑵过点A画线段直线l于点C，所以线段AB和线段AC即为所求．
请回答：工人师傅的画图依据是 ．
10．已知直线 与直线 相交于点 ， ，垂足为 ．若 ，则 的度数为 ．(单位用度表示)
11．两条直线相交所构成的四个角，其中：①有三个角都相等；②有一对对顶角相等；③有一个角是直角；④有一对邻补角相等，能判定这两条直线垂直的有 ．
12．如图，已知线段AB和线段外一点C，按下列要求画出图形．
( 1 )画射线AC、直线BC，取AB的中点D，连结CD．
( 2 )在直线BC上找一点E，使线段DE的长最短．
13．如图，已知直线AB与CD相交于点0，OE⊥AB，OF⊥CD，OM是∠BOF的角平分线
（1）若∠AOC=25°，求∠BOD和∠COE的度数．
（2）若∠AOC=a，求∠EOM的度数(用含a的代数式表示)
【培优训练】
14．如图，点A是直线l外一点，过点A作于点B．在直线l上取一点C，连接，使，点P在线段上，连接，若，则线段的长不可能是（ ）
A．3.5 B．4.1 C．5 D．5.5
15．在同一平面内，已知线段AB的长为10厘米，点A，B到直线l的距离分别为6厘米和4厘米，则符合条件的直线l的条数为（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条
16．在 中，C，D分别为边 ， 上的点（不与顶点O重合）.对于任意锐角 ，下面三个结论：①点C和点D有无数个；②连接 ，存在 是直角；③点C到边 的距离不超过线段 的长.所有正确结论的序号是 .
17．如图，点 在直线 上，点 在直线 上，点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ，线段 的长度为 ，通过测量等方法可以判断在 ， ， 三个数据中，最大的是 ．
18．如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2，的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（3,2）的点共有 个．
19．已知直线上两点B，C及直线外一点A(如图)，按要求解答下列问题：
（1）画出射线CA、线段AB；过点C画CD⊥AB，垂足为点D．
（2）比较线段CD和线段CA的大小，并说明理由．
（3）在以上的图中，互余的角为 ，互补的角为 (各写出一对即可)
20．如图，直线AB与CD相交于点O，OM⊥AB于点O.
（1）如图1，若OC平分∠AOM，求∠BOD的度数；
（2）如图2，若，且平分，求的度数.
21．平面内有任意一点P和∠1，按要求解答下列问题：
（1）当点P在∠1外部时，如图1，过点P作PA⊥OM，PB_⊥ON，垂足分别为A，B，量一量∠APB和∠1的度数，用数学式子表达它们之间的数量关系．
（2）当点P在∠1内部时，如图2，以点P为顶点作∠APB，使∠APB的两边分别和∠1的两边垂直，垂足分别为A，B，量一量∠APB和∠1的度数，用数学式子表达∠APB和∠1的数量关系．
（3）由上述情形，用文字语言叙述结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角
（4）若∠1=50°，∠P的两边和∠1的两边垂直，则∠P的度数为
22．如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺AOB的直角顶点O放在互相垂直的两条直线PQ、MN的垂足O处，并使两条直角边落在直线PQ、MN上，将△AOB绕着点O顺时针旋转α°（0°<α<180°） ．
（1）如图2，若α=26°，则∠BOP= ，∠AOM+∠BOQ= ．
（2）若射线OC是∠BOM的角平分线，且∠POC=β°
①若△AOB旋转到图3的位置，∠BON的度数为多少？（用含β的代数式表示）
②△AOB在旋转过程中，若∠AOC=2∠AOM，求此时β的值．
23．如图（1）， 点 为直线 上一点，过点 作射线 ， 将一直角的直角顶点放在点 处，即 反向延长射线 ，得到射线 .
（1）当 的位置如图（1）所示时，使 ，若 ，求 的度数.
（2）当 的位置如图（2）所示时，使一边 在 的内部，且恰好平分 ，
问：射线 的反向延长线 是否平分 请说明理由：注意：不能用问题 中的条件
（3）当 的位置如图 所示时，射线 在 的内部，若 .试探究 与 之间的数量关系，不需要证明，直接写出结论.
【直击中考】
24．如图，设点P是直线 外一点，PQ⊥ ，垂足为点Q，点T是直线 上的一个动点，连结PT，则（ ）
A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ
25．如图，在线段 、 、 、 中，长度最小的是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
26．如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA=6cm，PB=5cm，PC=7cm，则点P到直线l的距离是 cm.
27．如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作锐角，使点C在格点上；
（2）在图2中的线段上作点Q，使最短．
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浙教版2023-2024学年数学七年级上册第6章图形的初步知识（解析版）
6.9直线的相交（2）
【知识重点】
1.垂线：当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
2.垂线的性质：(1)在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线.
(2)连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
3.点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
【经典例题】
【例1】在下列图形中，线段的长表示点P到直线的距离的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为A选项中PQ垂直于MN，选项B、C、D中PQ都不垂直于MN，所以线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是A选项.
故答案为：A.
【例2】下列四个说法：①两点确定一条直线；②过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离，其中正确的说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】①两点确定一条直线，故①正确；
②同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故②不正确；
③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故③正确
④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故④不正确，
故答案为：B.
【例3】如图，直线AB、CD交于O，EO⊥AB于O，∠1与∠2的关系是（ ）
A．互余 B．对顶角 C．互补 D．相等
【答案】A
【解析】∵EO⊥AB于O，∴∠AOE=90°，∴∠1+∠2=90°，
∴∠1与∠2互余，
故选：A．
【例4】如图，点P为直线m外一点，点P到直线m上的三点A、B、C的距离分别为PA=4cm，PB=6cm，PC=3cm，则点P到直线m的距离为（ ）
A．3cm B．小于3cm
C．不大于3cm D．以上结论都不对
【答案】C
【解析】由图可知，PC长度为3cm，是最小的，
则点P到直线m的距离小于或等于3cm，即不大于3cm．
故选C．
【例5】如图，要把水渠中的水引到C点，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由．
【答案】解：如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，
在D处开沟，则沟最短．
因为直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短．
【例6】如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB.
（1）若∠1＝∠2，证明：ON⊥CD；
（2）若∠1＝∠BOC，求∠BOD的度数.
【答案】（1）证明：∵OM⊥AB，
∴∠AOM＝∠BOM＝90°，
∴∠1+∠AOC＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠AOC＝90°，
即∠CON＝90°，
∴ON⊥CD；
（2）解：∵∠1＝ ∠BOC，
∴∠BOM＝2∠1＝90°，
解得：∠1＝45°，
∴∠BOD＝90°﹣45°＝45°
【例7】已知，如图直线 与 相交于点O， ，过点O作射线 ， ， .
（1）求 度数；
（2）求 的度数；
（3）直接写出图中所有与 互补的角.
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ =60°；
（2）解：∵ =60°，
∴ ；
（3）解：∵ ，
，
，
∴与 互补的角为： 、 、 .
【基础训练】
1．下列生活实例中，应用到的数学原理解释错误的一项是（ ）
A．在两个村庄之间修一条最短的公路，原理是：两点之间线段最短
B．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．把一根木条固定到墙上需要两个钉子，原理是：两点确定一条直线
D．从一个货站向一条高速公路修一条最短的路，原理是：连结直线外一点与已知直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【答案】B
【解析】A、在两个村庄之间修一条最短的公路，原理是：两点之间线段最短，故A不符合题意；
B、从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，原理是：连结直线外一点与已知直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故B符合题意；
C、把一根木条固定到墙上需要两个钉子，原理是：两点确定一条直线，故C不符合题意；
D、从一个货站向一条高速公路修一条最短的路，原理是：连结直线外一点与已知直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故D不符合题意.
故答案为：B.
2．如图，点P在直线外，，，则线段的值可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】∵，
∴于点B，
∴，
∴可能，
故答案为：D．
3．下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放法正确的是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【答案】C
【解析】A、CD与AB不垂直，故A不符合题意；
B、CD没有经过点P，故B不符合题意；
C、CD经过点P，且CD⊥AB， 故C符合题意；
D、CD与AB不垂直，故D不符合题意.
故答案为：C.
4．下列四个生活、生产现象：①用两枚钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③体育课上，老师测量某同学的跳远成绩；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中可用基本事实“两点确定一条直线”来解释的现象有（ ）
A．①②③ B．①② C．②④ D．①③④
【答案】B
【解析】①②现象可以用两点可以确定一条直线来解释；
③现象可以用垂线段最短来解释；
④现象可以用两点之间，线段最短来解释．
故答案为：B．
5．如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，∠APC＝90°，则下列结论：①线段AP是点A到直线PC的距离；②线段BP的长是点P到直线l的距离；③PA，PB，PC三条线段中，PB最短；④线段PC的长是点P到直线l的距离，其中，正确的是（ ）
A．②③ B．①②③ C．③④ D．①②③④
【答案】A
【解析】①线段AP是点A到直线PC的距离，错误；
②线段BP的长是点P到直线l的距离，正确；
③PA，PB，PC三条线段中，PB最短，正确；
④线段PC的长是点P到直线l的距离，错误．
故选A．
6．如图，0M⊥NP，ON⊥NP，所以ON与OM重合，理由是（ ）
A．两点确定一条直线 B．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．过一点只能作一直线 D．垂线段最短
【答案】B
【解析】如果OM⊥NP，ON⊥NP，所以直线ON与OM重合，
其理由是：经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
故选：B．
7．以下两条直线互相垂直的是（ ）
①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角；
②两条直线相交所成的四个角相等；
③两条直线相交，有一组邻补角相等；
④两条直线相交，对顶角互补．
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【解析】①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，是定义，能判断；
②两条直线相交所成的四个角相等，则四个角都是直角，能判断；
③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻的角相等，根据邻补角的定义能求出这两个角都是直角，能判断；
④两条直线相交所成的四个角中有一组对顶角的和为180°，根据对顶角相等求出这两个角都是直角，能判断．
所以，四个都能判断两条直线互相垂直．
故选D．
8．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为点O．若∠BOE=40°6'，则∠AOC的度数为
【答案】49°54'
【解析】 解：∵OE⊥CD，
∴∠EOC= 90°．
∵∠BOE=40°6'，
∴∠AOC= 180°- 90°-40°6' =49°54'．
故答案为：49°54'．
9．如图，在公园绿化时，需要把管道l中的水引到A，B两处．工人师傅设计了一种又快又节省材料的方案如下：
画法：如图，
⑴连接AB；
⑵过点A画线段直线l于点C，所以线段AB和线段AC即为所求．
请回答：工人师傅的画图依据是 ．
【答案】两点之间，线段最短；垂线段最短
【解析】由于两点之间距离最短，故连接AB，
由于垂线段最短可知，过点A作AC⊥直线l于点C，此时AC最短，
故答案为：两点之间，线段最短；垂线段最短．
10．已知直线 与直线 相交于点 ， ，垂足为 ．若 ，则 的度数为 ．(单位用度表示)
【答案】64.8°
【解析】由题意可得∠BOD=
∵
∴∠EOD=90°
∴.
故答案为：64.8°．
11．两条直线相交所构成的四个角，其中：①有三个角都相等；②有一对对顶角相等；③有一个角是直角；④有一对邻补角相等，能判定这两条直线垂直的有 ．
【答案】①③④
【解析】①如图，
若∠AOC=∠COB=∠BOD，
∵∠AOD=∠COB，∴∠AOC=∠COB=∠BOD=∠AOD，
∵∠AOC+∠COB+∠BOD+∠AOD=360°，∴∠AOC=∠COB=∠BOD=∠AOD=90°，
∴AB⊥CD；
所以此选项能判定这两条直线垂直；
②∠AOC=∠BOD，∠AOD=∠COB，但不能说明有角为90°，
所以此选项不能判定这两条直线垂直；
③若∠AOC=90°，∴AB⊥CD，
所以此选项能判定这两条直线垂直；
④若∠AOC=∠AOD，
∵∠AOC+∠AOD=180°，
∴∠AOC=∠BOD=90°，
所以此选项能判定这两条直线垂直；
故能判定这两条直线垂直的有：①③④；
故答案为：①③④．
12．如图，已知线段AB和线段外一点C，按下列要求画出图形．
( 1 )画射线AC、直线BC，取AB的中点D，连结CD．
( 2 )在直线BC上找一点E，使线段DE的长最短．
【答案】解：(1) 如图，射线AC、直线BC、线段CD为所作．
(2)如图，线段DE为所作．
13．如图，已知直线AB与CD相交于点0，OE⊥AB，OF⊥CD，OM是∠BOF的角平分线
（1）若∠AOC=25°，求∠BOD和∠COE的度数．
（2）若∠AOC=a，求∠EOM的度数(用含a的代数式表示)
【答案】（1）解： ∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°，
又∵∠AOC=25°，
∴∠COE=∠AOE-∠AOC=90°-25°=65°，∠BOD=∠AOC=25°，
（2）解： ∵∠AOC=α，
∴∠BOD=∠AOC=α，
∵OF⊥CD，
∴∠DOF=90°，
∴∠BOF=∠DOF-∠DOB=90°-α，
又∵OM平分∠BOF，
∴∠BOM=∠BOF=（90°-α）=45°-α，
∵OE⊥AB，
∴∠BOE=90°，
∴∠EOM=∠BOE-∠BOM，
=90°-（45°-α），
=45°+α.
【培优训练】
14．如图，点A是直线l外一点，过点A作于点B．在直线l上取一点C，连接，使，点P在线段上，连接，若，则线段的长不可能是（ ）
A．3.5 B．4.1 C．5 D．5.5
【答案】D
【解析】∵过点A作于点B．在直线l上取一点C，连接，使，点P在线段上，连接，
又∵，∴，∴，
∴不可能是5.5，故D符合题意．
故答案为：D．
15．在同一平面内，已知线段AB的长为10厘米，点A，B到直线l的距离分别为6厘米和4厘米，则符合条件的直线l的条数为（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条
【答案】B
【解析】①如图1
，
在线段AB的两旁可分别画一条满足条件的直线；
②作线段AB的垂线，将线段AB分成6cm，4cm两部分．
故选：B．
16．在 中，C，D分别为边 ， 上的点（不与顶点O重合）.对于任意锐角 ，下面三个结论：①点C和点D有无数个；②连接 ，存在 是直角；③点C到边 的距离不超过线段 的长.所有正确结论的序号是 .
【答案】①②③
【解析】①如图所示：C、D分别为 的边OA、OB上的点，
∵OA、OB为射线，
∴这样的点有无数个，
故结论①正确；
如图所示：连接CD，∠ODC的大小不确定，但过点C有且只有一条直线与OB垂直，
∴当CD⊥OB时，∠ODC一定是直角，
故结论②正确；
如图所示：CD可看作是点C到射线OB上任意一点的连线，
∵直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∴点C到边OB的距离一定小于等于CD的长，
故结论③正确.
故答案为：①、②、③.
17．如图，点 在直线 上，点 在直线 上，点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ，线段 的长度为 ，通过测量等方法可以判断在 ， ， 三个数据中，最大的是 ．
【答案】
【解析】过点A作AD垂直于 垂足为D，过点B作BH垂直于 垂足为H，连接AB，
由题意得：AD=a， BH=b，AB=c；
根据点到直线垂线段最短，可知AB＞AD，AB＞BH
∴c＞a，c＞b；
∴c最大
故答案：c
18．如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2，的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（3,2）的点共有 个．
【答案】4
【解析】因为两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1，l2的距离分别是3，2的点，即距离坐标是（3，2）的点，因而共有4个，
故答案为4．
19．已知直线上两点B，C及直线外一点A(如图)，按要求解答下列问题：
（1）画出射线CA、线段AB；过点C画CD⊥AB，垂足为点D．
（2）比较线段CD和线段CA的大小，并说明理由．
（3）在以上的图中，互余的角为 ，互补的角为 (各写出一对即可)
【答案】（1）解：如图，射线CA、线段AB及线段CD就是所求的图形；
（2）解：CA>CD，理由如下：
∵CD⊥AD，
∴CA>CD；
（3）∠DAC，∠DCA（或∠DBC，∠DCB）；∠ADC，∠BDC．
【解析】（3）∵∠DAC+∠DCA= 90°，
∴∠DAC与∠DCA互余． (答案不唯一，也可以写∠DBC和∠DCB)
∵∠ADC+∠BDC=90°+ 90°= 180°，
∴∠ADC与∠BDC互补．
故答案为：∠DAC，∠DCA（或∠DBC，∠DCB）；∠ADC，∠BDC．
20．如图，直线AB与CD相交于点O，OM⊥AB于点O.
（1）如图1，若OC平分∠AOM，求∠BOD的度数；
（2）如图2，若，且平分，求的度数.
【答案】（1）解：∵OM⊥AB，
∴∠AOM＝90°，
∵OC平分∠AOM，
∴∠AOC＝45°，
∴∠BOD=∠AOC＝45°。
（2）解：∵OM⊥AB，
∴∠AOM＝∠BOM＝90°，
∵OM平分∠NOC，
∴∠COM＝∠NOM，
∴∠AOC＝∠BON＝∠BOD，
∵∠BOC＋∠AOC＝180°，∠BOC＝4∠NOB，
∴∠NOB＝36°，
∴∠MON＝90° ∠NOB＝90° 36°＝54°
21．平面内有任意一点P和∠1，按要求解答下列问题：
（1）当点P在∠1外部时，如图1，过点P作PA⊥OM，PB_⊥ON，垂足分别为A，B，量一量∠APB和∠1的度数，用数学式子表达它们之间的数量关系．
（2）当点P在∠1内部时，如图2，以点P为顶点作∠APB，使∠APB的两边分别和∠1的两边垂直，垂足分别为A，B，量一量∠APB和∠1的度数，用数学式子表达∠APB和∠1的数量关系．
（3）由上述情形，用文字语言叙述结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角
（4）若∠1=50°，∠P的两边和∠1的两边垂直，则∠P的度数为
【答案】（1）∠APB=∠1
（2）∠APB+∠1=180°
（3）相等或互补
（4）50°或130°
【解析】（1）如图，∠APB=∠1，
故答案为：∠APB=∠1；
（2）如图，∠APB+∠1=180°，
故答案为：∠APB+∠1=180°；
（3） 结合（1）和（2）的结论得：
如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补，
故答案为：相等或互补；
（4）结合（3）的结论得： ∠P=∠1=50°或 ∠P=180°-∠1=130°，
故答案为：50°或130°.
22．如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺AOB的直角顶点O放在互相垂直的两条直线PQ、MN的垂足O处，并使两条直角边落在直线PQ、MN上，将△AOB绕着点O顺时针旋转α°（0°<α<180°） ．
（1）如图2，若α=26°，则∠BOP= ，∠AOM+∠BOQ= ．
（2）若射线OC是∠BOM的角平分线，且∠POC=β°
①若△AOB旋转到图3的位置，∠BON的度数为多少？（用含β的代数式表示）
②△AOB在旋转过程中，若∠AOC=2∠AOM，求此时β的值．
【答案】（1）64°；180°
（2）①∵∠MOP=90°，∠POC=β°，
∴∠MOC=90°-β°，
∵OC是∠BOM的角平分线，
∴∠MOB=2∠MOC=180°-2β°，
∴∠BOP=90°-∠MOB=90°-（180°-2β°）=2β°-90°，
∵∠PON=90°，
∴∠BON=∠BOP+∠PON=2β°-90°+90°=2β°；
②如图，当OB旋转到OP的左侧时，
∵OC是∠BOM的角平分线，
∴∠COB=∠MOC，
∵∠AOC=2∠AOM，
∴∠AOM=∠MOC，
∴∠COB=∠MOC=∠AOM，
∵∠COB+∠MOC+∠AOM=90°，
∴∠COB=∠MOC=∠AOM=30°，
∴∠POC=β°=90°-∠MOC=90°-30°=60°，
②如图，当OB旋转到OP的右侧时，
设∠AOM=x，
∵∠AOC=2∠AOM=2x，
∴∠MOC=3∠AOM=3x，
∵∠COB+∠MOC+∠AOM=90°，
∴∠COB=∠MOC=∠AOM=30°，
∵OC是∠BOM的角平分线，
∴∠COB=∠MOC=3x，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=5x=90°，
∴x=18°，
∴∠MOC=3x=54°，
∴∠POC=β°=90°-∠MOC=90°-54°=36°，
综上，β的值为60°或36°.
【解析】（1）∵∠MOP=90°，α=26°，
∴∠BOP=90°-26°=64°，
∵∠AOB=∠MOQ=90°，
∴∠AOM=90°-∠BOM，∠BOQ=90°+∠BOM，
∴∠AOM+∠BOQ=90°-∠BOM+90°+∠BOM=180°，
故答案为：64°；180°；
23．如图（1）， 点 为直线 上一点，过点 作射线 ， 将一直角的直角顶点放在点 处，即 反向延长射线 ，得到射线 .
（1）当 的位置如图（1）所示时，使 ，若 ，求 的度数.
（2）当 的位置如图（2）所示时，使一边 在 的内部，且恰好平分 ，
问：射线 的反向延长线 是否平分 请说明理由：注意：不能用问题 中的条件
（3）当 的位置如图 所示时，射线 在 的内部，若 .试探究 与 之间的数量关系，不需要证明，直接写出结论.
【答案】（1）解：∵∠NOB=20°，∠BOC=120°
∠NOB+∠BOC+∠COD=180°
∴∠COD=180°-20°-120°=40°
（2）解：OD平分∠AOC
∵∠MON=∠MOD=90°
∴∠DOC+COM=∠MOB+∠BON
∵OM平分∠BOC
∴∠COM=∠MOB
∴∠DOC=∠BON
∵∠BON=∠AOD（对顶角相等）
∴∠AOD=∠DOC
∴OD平分∠AOC
（3）解：∵∠BOC=120°
∴∠AOC=180°-120°=60°
∵∠MON=90°
∴∠MON-∠AOC=30°
∴∠AOM+∠AON-∠AON-∠NOC=30°
∴∠AOM-∠NOC=30°
【直击中考】
24．如图，设点P是直线 外一点，PQ⊥ ，垂足为点Q，点T是直线 上的一个动点，连结PT，则（ ）
A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ
【答案】C
【解析】根据点 是直线 外一点， ，垂足为点 ，
是垂线段，即连接直线外的点 与直线上各点的所有线段中距离最短，
当点 与点 重合时有 ，
综上所述： ，
故答案为：C.
25．如图，在线段 、 、 、 中，长度最小的是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【答案】B
【解析】由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B.
故答案为：B.
26．如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA=6cm，PB=5cm，PC=7cm，则点P到直线l的距离是 cm.
【答案】5
【解析】∵PB⊥l，PB=5cm，
∴P到l的距离是垂线段PB的长度5cm，
故答案为：5．
27．如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作锐角，使点C在格点上；
（2）在图2中的线段上作点Q，使最短．
【答案】（1）解：如图，即为所求作的三角形；
（2）解：如图，即为所求作的点；
【解析】（1）先找出点K，它满足∠AKB=90°，且AK=BK，然后找到如图所示的点C，满足∠ACB＜∠AKB，即∠ACB＜90°，且△ABC是等腰三角形，所以底角不可能大于或等于90°，所以△ABC是锐角三角形；
（2）根据垂线段最短，需要满足PQ⊥AB，如图，根据正方形的对角线互相垂直，找到点Q的位置即可。
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