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浙教版2023-2024学年数学七年级上册第6章图形的初步知识（解析版）
6.9直线的相交（1）
【知识重点】
1. 两条直线相交:如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交.该公共点叫做这两条直线的交点.
2. 对顶角:顶点相同且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线的两个角叫对顶角.
3.对顶角的性质：对顶角相等.
【经典例题】
【例1】如图，∠1和∠2是对顶角的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据对顶角的定义，一个角的两条边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角是对顶角，
观察图形，只有图D中的∠1和∠2是对顶角，
故答案为：D.
【例2】如图，直线 、 交于点 ，则下列结论中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵直线 AC 、DE 交于点 B ，∴ ， ， ，
故A、C错误，不符合题意；B正确，符合题意；
无法确定∠ABD与∠DBC的数量关系，故D错误，不符合题意.
故答案为：B.
【例3】如果同一平面内有三条直线，那么它们交点个数是（ ）个.
A．3个 B．1或3个 C．1或2或3个 D．0或1或2或3个
【答案】D
【解析】
② ③ ④
①如图，三条直线全都平行，此时交点个数为0个
②如图，三条直线中，有两条直线平行，第三条直线交这两条直线，此时交点个数为2个
③如图，三条直线两两相交，当组成一个三角形时，此时交点个数为3个
④如图，三条直线两两相交，交点个数为1个
故答案为：D.
【例4】如图，直线EF分别交∠AOB的两边于C，D两点，图中有 对对顶角，分别是
【答案】4；∠OCE与∠ACD，∠ACE与∠OCD，∠CDO与∠BDF，∠CDB与∠ODF
【解析】∵EF和AO相交于点C，
∴对顶角为∠ACE与∠OCD，∠OCE与∠ACD.
∵EF与OB相交于点D，
∴对顶角为：∠CDO与∠BDF，∠CDB与∠ODF.
∴对顶角有4对.
故答案案为：4；∠OCE与∠ACD，∠ACE与∠OCD，∠CDO与∠BDF，∠CDB与∠ODF.
【例5】如图，直线AB，CD和EF相交于点O．
（1）写出∠AOC，∠BOF的对顶角．
（2）如果∠AOC=70°，∠BOF=20，求∠BOC和∠DOE的度数．
【答案】（1）∠ AOC的对顶角为∠BOD，∠BOF的对顶角为∠AOE．
（2）∵∠AOC=70°，∠AOC+∠BOC= 180° ，
∴∠BOC= 110°．
∵∠BOF= 20°，
∴∠COF=∠BOC-∠BOF= 90°，
∴∠DOE=∠COF= 90°．
【解析】（1）∵CD与AB相交于点O，
∴∠ AOC的对顶角为∠BOD，
∵AB与EF相交于点O，
∴∠BOF的对顶角为∠AOE．
【例6】 如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE平分∠BOF．
（1）∠AOD的对顶角是 ，∠BOC的邻补角是
（2）若∠AOD=20°，∠DOF ：∠FOB=1：7，求∠EOC的度数．
【答案】（1）∠ BOC；∠ AOC，∠BOD
（2）解：∵∠DOF ：∠FOB=1 ： 7，∠AOD= 20° ，
∴∠DOF= ∠BOD= ×(180°- 20°)= 20°．
∴∠BOF=140°，
∵OE平分∠BOF，
∴∠BOE= ∠BOF= ×140°=70°，
∴∠EOC=∠BOE+∠BOC=70°+20°=90°．
【解析】（1）∵AB和CD相交于点O，
∴∠AOD的对顶角是∠ BOC，
∴∠BOC的邻补角是∠ AOC，∠BOD.
【基础训练】
1．下列选项中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A、和是互余，不符合题意；B、和不是对顶角，不符合题意；
C、和不是对顶角，不符合题意；D、和是对顶角，符合题意.
故答案为：D.
2．下列各图形中，有对顶角的是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【答案】B
【解析】∵B中有两条直线相交，
∴B中有对顶角.
故答案为：B.
3．如图，直线AB，CD相交于点O，∠2=3∠1，∠BOD=108°，则∠1=（ ）
A．27° B．36° C．81° D．72°
【答案】A
【解析】∵∠BOD=108° ，∴∠AOC=108°，
∵∠2=3∠1，∠2+∠1=108°，∴3∠1+∠1=108°，∴∠1=27°.
故答案为：A.
4．如图，三条直线l1，l2，l3相交于一点，则∠1＋∠2＋∠3＝（ ）
A．90° B．120° C．180° D．360°
【答案】C
【解析】如图，
∵∠2与∠4是对顶角，
∴∠2=∠4，
∵∠1＋∠4＋∠3＝180°，
∴∠1＋∠2＋∠3＝180°.
故答案为：C.
5．为了测量一座古塔外墙底部的底角∠AOB的度数，李潇同学设计了如下测量方案：分别作AO，BO的延长线OD，OC，量出∠COD的度数，从而得到∠AOB的度数．这个测量方案的依据是
【答案】对顶角相等
【解析】∵作AO，BO的延长线OD，OC，量出∠COD的度数 ，
∴∠COD和∠AOB属于对顶角，
∵对顶角相等，
∴测量方案为：对顶角相等.
6．若∠1的对顶角是∠2，∠2的邻补角是∠3，且∠3是54°，则∠1＝ ．
【答案】126°
【解析】∵∠3是54° ， ∠2的邻补角是∠3 ，
∴∠2=180°-54°=126°，
∵∠1的对顶角是∠2，
∴∠1=126°.
故答案为：126°.
7．如图，直线AB，CD交于点O，∠AOC：∠COE=1：2．若∠BOD=28°，则∠COE等于 度．
【答案】56
【解析】∵∠BOD=∠AOC=28°， ∠AOC：∠COE=1：2
∴∠COE=2∠AOC=2×28°=56°.
故答案为：56
8．如图，直线与相交于点，且，的度数为 ．
【答案】150°
【解析】，，
，
．
故答案为：150°.
9．如图，已知直线 和 相交于点O， 平分 ， ，试求 的度数．
【答案】解：因为 ，
所以 ，
因为 和 是邻补角，
所以 ，
即 ，
解得
因为 和 是对顶角，
所以 ，
因为 平分 ，
所以 ．
10．如图，已知直线 ， 相交于点 ， 与 互余．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，求 的度数．
【答案】（1）解：因为 与 是对顶角，
所以 ，
因为 与 互余，
所以 ，
所以 ；
（2）解：因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
，
又 ，
，
所以 ．
【培优训练】
11．如图，直线AB、CD相交于点O， ，OF平分∠AOE，∠1=15°30′，则下列结论中，错误的是（ ）
A．∠2=45° B．∠1=∠3
C．∠AOD与∠1互为补角 D．∠1的余角等于75°30′
【答案】D
【解析】根据 ，得∠AOE＝∠BOE＝90°，根据OF平分∠AOE可得：∠2=45°，故A正确，不符合题意；
根据对顶角的性质可得∠1=∠3，故B正确，不符合题意；
根据补角的性质可得：∠AOD+∠3=∠AOD+∠1=180°；故C正确，不符合题意；
∠1的余角为：90°－15°30′=74°30′.故D错误，符合题意；
故答案为：D.
12．如图，直线 与 相交于点 与 互余， ，则 的度数是（ ）
A．55° B．45° C．35° D．65°
【答案】A
【解析】∵ ，
，
∴ ，
∵ 与
互余，
∴ ，
∴ .
故答案为：A.
13．平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是m个，最多是n个，则m+n的值为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】C
【解析】平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是1个，即m＝1，
平面内两两相交的7条直线，其交点个数最多是1+2+3+4+5+6＝21（个），即n＝21，
所以m+n＝22，
故答案为：C．
14．若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是(7x- 80)°和(100-2x)°，则x=
【答案】20或32
【解析】根据题意可得，
(7x- 80)°=(100-2x)°或(7x- 80) °+(100-2x)°= 180° ，
解得x=20或x=32．
15．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，∠α与∠β一定相等的图形有 (填序号)
【答案】①③
【解析】①∵∠α与∠β是对顶角，∴∠α=∠β，
②∵∠α=45°，∠β=60°，∴∠α≠∠β，
③∵∠α与∠β是同一个角的余角，∴∠α=∠β，
④∵∠α=135°，∠β=120°，∴∠α≠∠β，
∴∠α与∠β一定相等的图形有①③.
故答案为：①③.
16．在同一平面中，两条直线相交有一个交点，三条直线两两相交最多有3个交点，四条直线两两相交最多有6个交点……由此猜想，当相交直线的条数为n时，最多可有的交点数m与直线条数n之间的关系式为：m= .（用含n的代数式填空）
【答案】
【解析】∵3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点．
而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，
∴可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=
个交点．即
故答案为： ．
17．如图
（ 1 ）两条直线相交于一点有2组不同的对顶角；
（ 2 ）三条直线相交于一点有6组不同的对顶角；
（ 3 ）四条直线相交于一点有12组不同的对顶角；
（ 4 ）n条直线相交于同一点有 组不同对顶角．（如图所示）
【答案】n（n-1）
【解析】观察图形可知，n条直线相交于同一点有（1+2+…+n-1）×2= ×2=n（n-1）组不同对顶角．故答案为：n（n-1）．
18．如图，直线MD，CN相交于点O，OA是∠MOC内的一条射线，OB是∠NOD内的一条射线，∠MON=70°．
（1）若∠BOD=∠COD，求∠BON的度数．
（2）若∠AOD=2∠BOD，∠BOC=3∠AOC，求∠BON的度数．
【答案】（1）解：∵∠MON=70°，
∴∠COD=∠MON=70°，
∴∠BOD= ∠COD= ×70°=35°，
∴∠BON= 180°-∠_MON-∠BOD= 180°-70°- 35°= 75°．
（2）设∠AOC=x° ，则∠BOC=3x°，
∵∠COD=∠MON=70°，
∴∠BOD=∠BOC-∠COD= 3x°- 70°．
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=x°+70°．
∵∠AOD=2∠BOD，
∴x+70= = 2(3x一70)，
解得x=42，
∴∠BOD=3x°- 70°=3×42°- 70°=56°，
∴∠BON= 180°-∠MON-∠BOD= 180°-70°-56°= 54°．
19．如图1，已知射线OB在∠AOC内，若满足∠BOC+∠AOC＝180°，则称射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”.
（1）如图2，已知点O是直线AD上一点，射线OB、OC在直线AD同侧，且射线OC平分∠BOD.试说明：射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”；
（2）如图3，已知直线AB、CD相交于点O，射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，若∠AOD＝136°，求∠DOE的度数；
（3）如图4，已知射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，且射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，试判断∠BOC+∠EOF的度数是否为定值，若为定值，求出定值的度数；若不为定值，请说明理由.
【答案】（1）证明：OC平分∠BOD
射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”
（2）解：射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，
（3）解：射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，
射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，
∴
∴
∴
∴
20．在下列各图中，点O为直线AB上一点，∠AOC＝60°
（1）如图1，三角板一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，则∠BOC的度数 °，∠CON的度数为 °；
（2）如图2，三角板一边OM恰好在∠BOC的角平分线OE上，另一边ON在直线AB的下方，此时∠BON的度数为 ；
（3）在图2中，延长线段NO得到射线OD，如图3，则AOD的度数为 °；∠DOC与∠BON的数量关系是∠DOC ∠BON．（填“＞”、“＝”或“＜”）．
【答案】（1）120；150
（2）30°
（3）30；＝
【解析】（1）解：∵∠MON=90°，
∴∠AON=180°-∠MON=180°-90°=90°，
∵∠AOC=60°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-60°=120°，
∴∠CON=∠AOC+∠AON=60°+90°=150°，
故答案为120；150；
（2）解：∵∠AOC=60°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-60°=120°，
∵OM平分∠BOC，
∴∠COM=∠MOB=，
∴∠BON=∠MON-∠MOB=90°-60°=30°，
故答案为30°；
（3）解：∵∠MOD=180°-∠MON=180°-90°=90°，
∠AOM=∠AOC+∠COM=60°+60°=120°，
∴∠AOD=∠AOM-∠MOD=120°-90°=30°，
∴∠COD=∠AOC-∠AOD=60°-30°=30°，
∴∠COD=∠AOD，
∵∠AOD=∠BON，
∴∠DOC=∠BON．
故答案为＝．
【直击中考】
21．如图，直线 相交于点 ；若 ，则 的度数是（ ）
A．30° B．40° C．60° D．150°
【答案】A
【解析】∵直线AB，CD交于点O，
∴∠1=∠2=30°.
故答案为：A.
22．一副三角板如图所示摆放，则 与 的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ∵ ；
∴ ；
∵ ， ；
∴
故答案为：B
23．如图，两直线交于点O，若∠1+∠2=76°，则∠1= 度．
【答案】38
【解析】∵两直线交于点O，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠2=76°，
∴∠1=38°．
故答案为：38．
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6.9直线的相交（1）
【知识重点】
1. 两条直线相交:如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交.该公共点叫做这两条直线的交点.
2. 对顶角:顶点相同且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线的两个角叫对顶角.
3.对顶角的性质：对顶角相等.
【经典例题】
【例1】如图，∠1和∠2是对顶角的图形是（ ）
A． B． C． D．
【例2】如图，直线 、 交于点 ，则下列结论中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【例3】如果同一平面内有三条直线，那么它们交点个数是（ ）个.
A．3个 B．1或3个 C．1或2或3个 D．0或1或2或3个
【例4】如图，直线EF分别交∠AOB的两边于C，D两点，图中有 对对顶角，分别是
【例5】如图，直线AB，CD和EF相交于点O．
（1）写出∠AOC，∠BOF的对顶角．
（2）如果∠AOC=70°，∠BOF=20，求∠BOC和∠DOE的度数．
【例6】如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE平分∠BOF．
（1）∠AOD的对顶角是 ，∠BOC的邻补角是
（2）若∠AOD=20°，∠DOF ：∠FOB=1：7，求∠EOC的度数．
【基础训练】
1．下列选项中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各图形中，有对顶角的是（ ）
A．A B．B C．C D．D
3．如图，直线AB，CD相交于点O，∠2=3∠1，∠BOD=108°，则∠1=（ ）
A．27° B．36° C．81° D．72°
4．如图，三条直线l1，l2，l3相交于一点，则∠1＋∠2＋∠3＝（ ）
A．90° B．120° C．180° D．360°
5．为了测量一座古塔外墙底部的底角∠AOB的度数，李潇同学设计了如下测量方案：分别作AO，BO的延长线OD，OC，量出∠COD的度数，从而得到∠AOB的度数．这个测量方案的依据是
6．若∠1的对顶角是∠2，∠2的邻补角是∠3，且∠3是54°，则∠1＝ ．
7．如图，直线AB，CD交于点O，∠AOC：∠COE=1：2．若∠BOD=28°，则∠COE等于 度．
8．如图，直线与相交于点，且，的度数为 ．
9．如图，已知直线 和 相交于点O， 平分 ， ，试求 的度数．
10．如图，已知直线 ， 相交于点 ， 与 互余．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，求 的度数．
【培优训练】
11．如图，直线AB、CD相交于点O， ，OF平分∠AOE，∠1=15°30′，则下列结论中，错误的是（ ）
A．∠2=45° B．∠1=∠3 C．∠AOD与∠1互为补角 D．∠1的余角等于75°30′
12．如图，直线 与 相交于点 与 互余， ，则 的度数是（ ）
A．55° B．45° C．35° D．65°
13．平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是m个，最多是n个，则m+n的值为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
14．若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是(7x- 80)°和(100-2x)°，则x=
15．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，∠α与∠β一定相等的图形有 (填序号)
16．在同一平面中，两条直线相交有一个交点，三条直线两两相交最多有3个交点，四条直线两两相交最多有6个交点……由此猜想，当相交直线的条数为n时，最多可有的交点数m与直线条数n之间的关系式为：m= .（用含n的代数式填空）
17．如图
（ 1 ）两条直线相交于一点有2组不同的对顶角；
（ 2 ）三条直线相交于一点有6组不同的对顶角；
（ 3 ）四条直线相交于一点有12组不同的对顶角；
（ 4 ）n条直线相交于同一点有 组不同对顶角．（如图所示）
18．如图，直线MD，CN相交于点O，OA是∠MOC内的一条射线，OB是∠NOD内的一条射线，∠MON=70°．
（1）若∠BOD=∠COD，求∠BON的度数．
（2）若∠AOD=2∠BOD，∠BOC=3∠AOC，求∠BON的度数．
19．如图1，已知射线OB在∠AOC内，若满足∠BOC+∠AOC＝180°，则称射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”.
（1）如图2，已知点O是直线AD上一点，射线OB、OC在直线AD同侧，且射线OC平分∠BOD.试说明：射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”；
（2）如图3，已知直线AB、CD相交于点O，射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，若∠AOD＝136°，求∠DOE的度数；
（3）如图4，已知射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，且射线OE、OF分别平分∠AOC、∠BOC，试判断∠BOC+∠EOF的度数是否为定值，若为定值，求出定值的度数；若不为定值，请说明理由.
20．在下列各图中，点O为直线AB上一点，∠AOC＝60°
（1）如图1，三角板一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，则∠BOC的度数 °，∠CON的度数为 °；
（2）如图2，三角板一边OM恰好在∠BOC的角平分线OE上，另一边ON在直线AB的下方，此时∠BON的度数为 ；
（3）在图2中，延长线段NO得到射线OD，如图3，则AOD的度数为 °；∠DOC与∠BON的数量关系是∠DOC ∠BON．（填“＞”、“＝”或“＜”）．
【直击中考】
21．如图，直线 相交于点 ；若 ，则 的度数是（ ）
A．30° B．40° C．60° D．150°
22．一副三角板如图所示摆放，则 与 的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
23．如图，两直线交于点O，若∠1+∠2=76°，则∠1= 度．
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