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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第5章一次函数（解析版）
5.4一次函数的图像（1）
【知识重点】
一、函数的图像：
把一个函数的自变量x的值与函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象．
二、描点法画函数图形的一般步骤：
第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；
第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）.
三、一次函数y=kx＋b(k、b为常数， k≠0)的图象的画法：
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.
一般情况下：
(1)画正比例函数y=kx（k≠0）的图象时，只要描出点(0,0)，(1,k)即可；
(2)画一次函数y=kx＋b(k、b为常数， k≠0)的图象时只要描出点(0，b），.即描出直线与坐标轴的交点坐标即可.
四、一次函数y=kx＋b中，k、b的取值决定直线的位置：
b>0 b<0 b=0
k>0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限
k<0 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限
【经典例题】
【例1】下列各点在一次函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】把代入得，不在图象上，A选项不符合题意；
把代入得，不在图象上，B选项不符合题意；
把代入得，不在图象上，C选项不符合题意；
把代入得，在图象上，D选项符合题意；
故答案为：D．
【例2】一次函数y=x+2的图象与y轴的交点坐标为（ ）
A．(0，2) B．(0，-2) C．(2，0) D．(-2，0)
【答案】A
【解析】当x=0时，y=2。故一次函数图象与y轴的交点坐标为：（0，2）。
故答案为：A。
【例3】已知点在函数的图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
把（m，5）代入y=-2x+1得，5=-2m+1，∴m=-2
故答案为：C.
【例4】在平面直角坐标系中，已知函数 的图象过点 ，则该函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵函数 的图象过点 ，
∴ ，∴k=1，
∴该函数的解析式是y=x－1，
∴该直线与y轴交于点（0，﹣1），且过点（2，1）.
故答案为：D.
【例5】若直线 与 的交点在x轴上，那么 等于 ）
A．4 B．-4 C． D．
【答案】D
【解析】令 ，则 ，
解得 ，
，解得 ，
两直线交点在x轴上， ，
．
故答案为：D．
【例6】若一次函数y=2x+b与坐标轴围成的三角形面积为9，则这个一次函数的解析式为 ．
【答案】y=2x+6或y=2x-6
【解析】令x=0，则y=b
∴一次函数y=2x+b与y轴的交点是（0，b）
令y=0，则x=
∴一次函数y=2x+b与x轴的交点是（，0）
∵ 一次函数y=2x+b与坐标轴围成的三角形面积为9
∴ S==9
解得b=
则这个一次函数的解析式为y=2x+6或y=2x-6
故答案为： y=2x+6或y=2x-6 .
【例7】在下面的平面直角坐标系中画出一次函数的图象，并判断点是否在该函数的图象上．
【答案】解：当时，；
当时，，
∴该图象经过点和点．
一次函数在平面直角坐标系中的图象如图．
当时，．
∴点不在该函数图象上．
【例8】（1）在同一平面直角坐标系内用列表、描两点画直线，画出一次函数 和 的图象．
（2）利用图象求：
方程 的解；
（3）方程组 的解；
（4）不等式 的解集．
【答案】（1）解：列表：
0 1
-1 2
0 2
描点作图如图所示：
从图形观察可知两直线交与点(1，2)，
（2）解：由图象可知，直线 与 交点的横坐标为1，
则方程 的解为 ；
（3）解：由图象可知，直线 与 交点的坐标为(1，2)，
则方程组 即 的解为 ；
（4）解：由图象知，当 时，函数 的图象在函数 的图象上方，
则不等式 的解集为 ．
【例9】如图，在平面直角坐标系中，点A（2，2），点B（﹣4，0），直线AB交y轴于点C．
（1）求直线AB的表达式和点C的坐标；
（2）在直线OA上有一点P，使得△BCP的面积为4，求点P的坐标．
【答案】（1）解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（2，2），B（﹣4，0）分别代入得，解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+；
当x＝0时，y＝x+＝
∴C点坐标为（0，）；
（2）解：易得直线OA的解析式为y＝x，
作PQ∥y轴交直线AB于Q，如图，
设P（t，t），则Q（t，t+），
∵△BCP的面积为4，
∴×PQ×4＝4，即|t+﹣t|＝2，
∴t＝﹣1或t＝5，
∴P点坐标为（﹣1，﹣1）或（5，5）．
【基础训练】
1．下列各点一定在函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A、当时，，不符合题意；
B、当时，，符合题意；
C、当时，，不符合题意；
D、当时，，不符合题意；
故答案为B.
2．一次函数与x轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将代入得，解得
即一次函数与轴的交点坐标为，
故答案为：D.
3．若一次函数 的图像与 轴分别交于 两点，则 的面积为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
【答案】A
【解析】根据题意，
∵ ，
令 ，则 ；令 ，则 ，
∴点A为（ ，0），点B为（0， ），
∴OA=2，OB=4，
∴ 的面积为： ；
故答案为：A．
4．已知等腰三角形周长为40，则腰长y关于底边长x的函数图象是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】 等腰三角形的周长为40，其中腰长为y，底边长为x，
∵ x+2y=40，
∴ y= ，
∵ 20<2y<40，
∴ 自变量x的取值范围是0故答案为：D．
5．若一次函数经过点，则 ．
【答案】-5
6．已知一次函数y＝﹣3x＋6，完成下列问题．
（1）在如下的平面直角坐标系中画出函数图象并求出与x轴的交点坐标．
（2）根据图像回答：当x 时，y＞3
【答案】（1）解：当 时， ；当 时， ；
∴点A（0，6），点B（2，0），连接后函数图象如图所示；
函数图象与x轴的交点坐标为点B（2，0）；
（2）＜1
【解析】（2）根据图象可得：当 时， ，结合图象可得：
当 时， ，
故答案为：＜1.
7．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与y轴交于点B．求点的坐标．
【答案】解：将代入得，，则
将代入得，，则
8．已知，一次函数 的图象与 轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）画出该函数图象；
（3）求AB的长．
【答案】（1）解：令y＝ =0，则x＝6；令x＝0，则y＝3；
∴点A坐标为（6，0）；点B坐标为（0，3）
（2）函数y＝ 的图象如下：
（3）∵点A坐标为（6，0）；点B坐标为（0，3）
∴AO=6，OB=3
∴AB= ．
【培优训练】
9．如图，在平面直角坐标系中，点 在第一象限，若点 关于 轴的对称点 在直线 上，则 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】∵点A（3，m），
∴点A关于x轴的对称点B（3， m），
∵B在直线y＝ x＋1上，
∴ m＝ 3＋1＝ 2，
∴m＝2，
故答案为：C．
10．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，O为坐标原点，则在△OAB内部(包括边界)，纵坐标、横坐标都是整数的点共有（ ）
A．90个 B．92个 C．104个 D．106个
【答案】D
【解析】当x＝0时，y＝﹣15，
∴B（0，﹣15），
当y＝0时，0x﹣15，
∴x＝12，
∴A（12，0），
x＝0时，y＝﹣15，共有16个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝1时，y1﹣15＝﹣13，共有14个纵坐标、横坐标都是整数的点，
同理x＝2时，y＝﹣12，共有13个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝3时，y＝﹣11，共有12个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝4时，y＝﹣10，共有11个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝5时，y＝﹣8，有9个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝6时，y＝﹣7，有8个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝7时，y＝﹣6，有7个纵坐标、横坐标都是整数的点
x＝8时，y＝﹣5，共有6个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝9时，y＝﹣3，共有4个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝10时，y＝﹣2，共有3个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝11时，y＝﹣1，共有2个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝12时，y＝0，共有1个即A点，纵坐标、横坐标都是整数的点．在△OAB内部（包括边界），纵坐标、横坐标都是整数的点有16+14+13+12+11+9+8+7+6+4+3+2+1＝106个．
故答案为：D．
11．已知一次函数y=ax—4与y=bx＋2图象在x轴上相交于同一点，则的值是（ ）
A．4 B．-2 C． D．-
【答案】B
【解析】将y=0分别代入y=ax-4和y=bx＋2，
可得：ax-4=0，bx+2=0，
∴x=，
∵一次函数y=ax-4与y=bx＋2图象在x轴上相交于同一点，
∴，
∴，
故答案为：D.
12．若一次函数y=ax+3（a＞0）的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则一次函数的表达式为
【答案】y=x+3
【解析】将x=0代入y=ax+3，可得y=3，
∴一次函数与y轴的交点坐标为（0，3），
将y=0代入y=ax+3，可得x=，
∴一次函数与x轴的交点坐标为（，0），
∵一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为3，
∴，
解得：a=，
∴一次函数的解析式为 y=x+3
故答案为： y=x+3 .
13．若关于x的方程有且只有一个解，则a的取值范围为 .
【答案】a＜-1或a＞1
【解析】设，，
当时，，当时，，
直线经过点，
如图，画出，的图像，
由图像知，当时，与只有一个交点，
故若关于x的方程有且只有一个解，则a的取值范围为a＜-1或a＞1.
故答案为：a＜-1或a＞1.
14．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，若平分交y轴于点D，则点D的坐标为 .
【答案】
【解析】对于，当时，；当时，
∴
在中，；
在x轴的负半轴上取点C，使，连接，如图
∵平分
∴
又
∴
∴
设点D的坐标为，
∴
又
在中，
∵，
∴，
解得，
∴点D的坐标为.
故答案为：.
15．直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点C是x轴上一点，若将沿折叠，使点A恰好落在y轴上，则点C的坐标为 ．
【答案】或
【解析】直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，
当时，，当时，，
点A的坐标为，点B坐标为，
点C是x轴上一点，将沿折叠，使点A恰好落在y轴上，
当点C在x轴正半轴时，画出图如图所示，
设，则有，，，
，，解得：，点C的坐标为；
当点C在x轴负半轴时，画出图如图所示，
设，则有，，，
，
，
解得：，
点C的坐标为，
综上所述：点C的坐标为：或．
16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式．
【答案】解：∵一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，
∴当x=0时，y=－3，当y=0时，x=，
∴A（，0），B（0，﹣3），
∴OA=，OB=3，
过点A作AF⊥AB交BC于F，过点F作FE⊥x轴于E．
则∠AOB=∠FEA=∠BAF=90°，
∵∠OAB+∠EAF=90°，∠AFE+∠EAF=90°，∴∠OAB=∠AFE．
又∵∠ABF＝45°，∠BAF＝90°，∴∠AFB＝45°，
∴∠ABF＝∠AFB，∴ AB＝AF
∴△AOB≌△FEA（AAS）∴AE＝OB，EF＝OA，
∴ OE＝AE+OA＝3+＝，EF＝OA＝，
∴F（，－）．
设直线BC为y＝kx－3，把点F（，－）代入y＝kx－3中，
∴－＝k－3，
∴k＝，
∴直线BC的函数表达式为．
17．定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”.
（1）点在的“逆反函数”图象上，则a= ；
（2） 图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，求点B的坐标；
（3）若和它的“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3，求b的值.
【答案】（1）-2
（2）解：∵，
∴的“逆反函数”为，
∵图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，
∴，
解得：
∴；
（3）解：∵，
∴它的“逆反函数”为，
∴两函数与y轴的交点分别为，，
由，解得：，
∴两函数的交点为，
∵和它的“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3，
∴，
∴或.
【解析】（1）∵，
∴的“逆反函数”为，
∵点在的“逆反函数”图象上，
∴，
∴，
故答案为：；
18．如图1，平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B，与直线y=2x交于点C（a，4）．
（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；
（2）如图2，在x轴上有一点E，过点E作直线 ⊥x轴，交直线y=2x于点F，交直线y=kx+b于点G，若GF的长为3．求点E的坐标；
（3）在y轴上是否存在一点F，使以O、C、F为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：∵点C在直线y=2x上，把（a，4）代入得：
2a=4解得a=2，
∴C(2，4)
将点A（6，0）点C（2，4）代入直线y=kx+b得：
解得
∴直线AB的表达式为：y=-x+6
（2）解：根据题意，设点E的坐标为（m，0）
∵点E、F、G三点在同一直线上，且点F在直线y=2x上，点G在直线y=-x+6上
∴F(m，2m)，G(m，-m+6)
又∵
∴ 即
则有 或
解得：m=3或m=1
故E(3，0)或（1，0）
（3）存在．
【解析】（3）根据题意： 为等腰三角形，点F在y轴上，如下图，则有：
当OC=OF时
根据勾股定理的OC= ，故 (0， )，
当CF=OC时
根据等腰三角形三线合一，可知底边O 上的高过点C，且平分底边，故 (0，8)
当FC=FO时，
由FD是OC的线段垂直平分线，则 ，
过点C作 轴于P，连接 ，设 ，
则
，
解得 ，
所以
【直击中考】
19．下列各点在函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
A、当x=-1时，y=-3，A不符合题意；
B、当x=0时，y=-1，B不符合题意；
C、当x=1时，y=1，C不符合题意；
D、当x=2时，y=3，故在函数图象上，D符合题意；
故答案为：D
20．一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】∵一次函数的解析式为，
∴k=1>0，b=1>0，
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，
∴一次函数的图象不经过第四象限，
故答案为：D.
21．如图，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是（ ）
A．（2，5） B．（3，5） C．（5，2） D．（，2）
【答案】C
【解析】y=x+3，令x=0，得y=3；令y=0，得x=2，
∴A（2，0），B（0，3），
∴OA=2，OB=3.
由旋转的性质可得AC=OA=2，CD=OB=3，
∴OD=OA+CD=2+3=5，
∴D（3，2）.
故答案为：C.
22．已知一次函数的图象经过点和，则 ．
【答案】-6
【解析】∵一次函数y=kx+b经过点（1，3），
∴k+b=3，
∵一次函数y=kx+b经过点（-1，2），
∴-k+b=2，即k-b=-2，
∴（k+b）（k-b）=3×（-2）=-6，
∴k2-b2=-6.
故答案为：-6.
23．如图，直线（k为常数，）与x，y轴分别交于点A，B，则的值是 ．
【答案】1
【解析】将x=0代入得，y=-2k+3，
∴B（0，-2k+3），
∴OB=-2k+3，
将y=0代入得，
∴A（，0），
∴OA=
∴，
故答案为：1
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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第5章一次函数
5.4一次函数的图像（1）
【知识重点】
一、函数的图像：
把一个函数的自变量x的值与函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象．
二、描点法画函数图形的一般步骤：
第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；
第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）.
三、一次函数y=kx＋b(k、b为常数， k≠0)的图象的画法：
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.
一般情况下：
(1)画正比例函数y=kx（k≠0）的图象时，只要描出点(0,0)，(1,k)即可；
(2)画一次函数y=kx＋b(k、b为常数， k≠0)的图象时只要描出点(0，b），.即描出直线与坐标轴的交点坐标即可.
四、一次函数y=kx＋b中，k、b的取值决定直线的位置：
b>0 b<0 b=0
k>0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限
k<0 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限
【经典例题】
【例1】下列各点在一次函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】一次函数y=x+2的图象与y轴的交点坐标为（ ）
A．(0，2) B．(0，-2) C．(2，0) D．(-2，0)
【例3】已知点在函数的图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例4】在平面直角坐标系中，已知函数 的图象过点 ，则该函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【例5】若直线 与 的交点在x轴上，那么 等于 ）
A．4 B．-4 C． D．
【例6】若一次函数y=2x+b与坐标轴围成的三角形面积为9，则这个一次函数的解析式为 ．
【例7】在下面的平面直角坐标系中画出一次函数的图象，并判断点是否在该函数的图象上．
【例8】（1）在同一平面直角坐标系内用列表、描两点画直线，画出一次函数 和 的图象．
（2）利用图象求：
方程 的解；
（3）方程组 的解；
（4）不等式 的解集．
32．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，2），点B（﹣4，0），直线AB交y轴于点C．
（1）求直线AB的表达式和点C的坐标；
（2）在直线OA上有一点P，使得△BCP的面积为4，求点P的坐标．
【基础训练】
1．下列各点一定在函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
2．一次函数与x轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．若一次函数 的图像与 轴分别交于 两点，则 的面积为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
4．已知等腰三角形周长为40，则腰长y关于底边长x的函数图象是
A． B． C． D．
5．若一次函数经过点，则 ．
6．已知一次函数y＝﹣3x＋6，完成下列问题．
（1）在如下的平面直角坐标系中画出函数图象并求出与x轴的交点坐标．
（2）根据图像回答：当x 时，y＞3
7．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与y轴交于点B．求点的坐标．
8．已知，一次函数 的图象与 轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）画出该函数图象；
（3）求AB的长．
【培优训练】
9．如图，在平面直角坐标系中，点 在第一象限，若点 关于 轴的对称点 在直线 上，则 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
10．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，O为坐标原点，则在△OAB内部(包括边界)，纵坐标、横坐标都是整数的点共有（ ）
A．90个 B．92个 C．104个 D．106个
11．已知一次函数y=ax—4与y=bx＋2图象在x轴上相交于同一点，则的值是（ ）
A．4 B．-2 C． D．-
12．若一次函数y=ax+3（a＞0）的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则一次函数的表达式为
13．若关于x的方程有且只有一个解，则a的取值范围为 .
14．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，若平分交y轴于点D，则点D的坐标为 .
15．直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点C是x轴上一点，若将沿折叠，使点A恰好落在y轴上，则点C的坐标为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式．
17．定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”.
（1）点在的“逆反函数”图象上，则a= ；
（2） 图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，求点B的坐标；
（3）若和它的“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3，求b的值.
18．如图1，平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B，与直线y=2x交于点C（a，4）．
（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；
（2）如图2，在x轴上有一点E，过点E作直线 ⊥x轴，交直线y=2x于点F，交直线y=kx+b于点G，若GF的长为3．求点E的坐标；
（3）在y轴上是否存在一点F，使以O、C、F为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，说明理由．
【直击中考】
19．下列各点在函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
20．一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
21．如图，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是（ ）
A．（2，5） B．（3，5） C．（5，2） D．（，2）
22．已知一次函数的图象经过点和，则 ．
23．如图，直线（k为常数，）与x，y轴分别交于点A，B，则的值是 ．
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