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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第5章一次函数
5.4一次函数的图像（图像平移）
【知识重点】
一、正比例函数与一次函数之间的关系（直线的平移）
(1)左右平移：图像的左右平移与k，b无关，只与自变量x有关系，向左移动x的值增加，向右移动x的值减小.左右平移的规律：左加右减 .
(2)上下平移：一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.图像的上下平移与k无关，与b有关，图像向上移动b的值增加，图像向下移动b的值减小.上下平移的规律：上加下减 .
二、直线（）与（）的位置关系
(1)两直线平行且
(2)两直线相交（特殊情况，时，两直线于y轴的（0，b1）.
(3)两直线重合且
(4)两直线垂直
【经典例题】
【例1】函数图象向右平移个单位后，对应函数为（ ）
A． B． C． D．
【例2】若把直线向下平移个单位长度，得到图象对应的函数解析式是（ ）
A． B． C． D．
【例3】已知直线经过点和，将直线向左平移个单位得到直线，若直线与y轴交于点，则m的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【例4】将直线向左平移（）个单位长度后，经过点，则的值为 ．
【例5】如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，6）、B（﹣4，﹣3），将一次函数图象向下平移5个单位后经过点（m，﹣5），则m的值为 ．
【例6】已知直线y=kx向上平移4个单位后，经过点(-1，2)，求所得直线的函数表达式.
【例7】如图，已知直线经过点．
（1）求的值；
（2）①当 时，函数值为负数；
②将这条直线沿轴向 （填“上”或“下”）平移 个单位长度，与正比例函数 的图象重合．
【基础训练】
1．已知：将直线y=x-1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是（ ）
A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于(-1，0)
C．与y轴交于(0，2) D．y随x的增大而减小
2．将一次函数的图像向右平移5个单位后，所得的直线与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ）
A．4 B．6 C．9 D．49
3．在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移2个单位后恰好经过原点，则的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
4．在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移个单位后，得到一条新的直线，该直线与轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．把直线先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的新直线与x轴的交点为，则m的值为（ ）
A．3 B．1 C． D．
6．将直线向上平移个单位长度，平移后直线的解析式为 ．
7．在平面直角坐标系中，将直线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，则得到平移后的直线解析式为： ．
8．在平面直角坐标系中，将一条直线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到直线，则平移前的直线解析式为： ．
9．先将函数y＝kx+1（k≠0）的图象向下平移2个单位长度，再将函数y＝3x+b的图象向上平移1个单位长度，若平移后的两个函数的图象重合，则＝ .
10．在平面直角坐标系中，一个正比例函数的图象经过点，把此正比例函数的图象向上平移5个单位，得到直线；直线l与x轴交于点A．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）求A点的坐标．
11．若函数y=（2m-1）x+m+3的图象平行于直线y=3x-3 .
（1）求函数解析式；
（2）将该函数的图象向下平移3个单位，则平移后的图象与x轴的交点的横坐标为 ．
12．已知一次函数y＝kx－4，当x＝2时，y＝－3．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将该函数的图象向上平移6个单位，求平移后的图象与x轴交点的坐标．
【培优训练】
13． 要从的图象得到直线，就要将直线（ ）
A．向上平移个单位 B．向下平移个单位
C．向上平移个单位 D．向下平移个单位
14．如图，已知点P1为直线I：y=-2x+6上一点，先将点P向下平移a个单位，再向右平移3个单位至点P2，然后再将点P2向下平移2个单位，向右平移b个单位至点P3。若点P3恰好落在直线l上，则a，b应满足的关系（ ）
A．a-2b=4 B．b-2a=1 C．a+2b=8 D．2a+b=7
15．已知直线：，将直线向下平移个单位，得到直线，设直线与直线的交点为P，若，则m的值为 ．
16．把直线y＝－x＋3向上平移m个单位后，与直线y＝2x＋4的交点在第一象限，则m的取值范围是 .
17．把直线y=﹣2x向上平移后得到直线AB，直线AB经过点（m，n），且2m+n=6，则直线AB的解析式为 .
18．如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，若过原点的直线，将图形分成面积相等的两部分．则将直线l向右平移3个单位后所得到直线l’的函数关系式为 ．
19．如图，已知直线：经过点，将直线向上平移4个单位得到直线，与交于点D．
（1）分别求直线与的解析式；
（2）点E是x轴上一点，当的周长最短时，求出点E的坐标．
20．已知直线，记为．
（1）填空：直线可以看做是由直线向 平移 个单位得到；
（2）将直线沿x轴向右平移4个单位得到直线，解答下列问题：
①求直线的函数解析式；
②若x取任意实数时，函数的值恒大于直线的函数值，结合 图象求出m的取值范围．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴交于B、A两点.
（1）求A、B两点的坐标；
（2）将线段AB向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到线段CD，如图所示
①点C的坐标为 ▲ ，并求出线段CD所在直线的解析式；
②连接AC、BC，若直线AC的解析式为，直线BC的解析式为，直接写出关于x的不等式组的解集.
22．如图，在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A坐标为 ，将直线 绕点O顺时针旋转45后得到直线 ．
（1）求直线 的表达式；
（2）求k的值；
（3）在直线 上有一点B，其纵坐标为1．若x轴上存在点C，使 是等腰三角形，请直接写出满足要求的点C的坐标．
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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第5章一次函数（解析版）
5.4一次函数的图像（图像平移）
【知识重点】
一、正比例函数与一次函数之间的关系（直线的平移）
(1)左右平移：图像的左右平移与k，b无关，只与自变量x有关系，向左移动x的值增加，向右移动x的值减小.左右平移的规律：左加右减 .
(2)上下平移：一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.图像的上下平移与k无关，与b有关，图像向上移动b的值增加，图像向下移动b的值减小.上下平移的规律：上加下减 .
二、直线（）与（）的位置关系
(1)两直线平行且
(2)两直线相交（特殊情况，时，两直线于y轴的（0，b1）.
(3)两直线重合且
(4)两直线垂直
【经典例题】
【例1】函数图象向右平移个单位后，对应函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将函数图象向右平移个单位后的解析式为：，
故答案为：D.
【例2】若把直线向下平移个单位长度，得到图象对应的函数解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵直线向下平移个单位长度，
∴直线变为
故答案为：D.
【例3】已知直线经过点和，将直线向左平移个单位得到直线，若直线与y轴交于点，则m的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】设直线l1的解析式为：
把（2，0）和代入得：
∴
∴直线l1的解析式为，
∵将直线l1向左平移m个单位得到直线l2，
∴，
将（0，3）代入解得m=4.
故答案为：A.
【例4】将直线向左平移（）个单位长度后，经过点，则的值为 ．
【答案】1
【解析】∵将直线向左平移（）个单位长度，所得直线解析式为，
∴把代入得：，
解得：，
故答案为：1．
【例5】如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，6）、B（﹣4，﹣3），将一次函数图象向下平移5个单位后经过点（m，﹣5），则m的值为 ．
【答案】﹣2
【解析】AB解析式：,向下平移5个单位得：，即，
把y=-5，代入函数得：；解得：x=-2
【例6】已知直线y=kx向上平移4个单位后，经过点(-1，2)，求所得直线的函数表达式.
【答案】解：直线y=kx向上平移4个单位后所得直线的函数表达式为y= kx+4．
把(-1，2)代入y=kx+4，得2=一k+4，
解得k=2，
所以所得直线的函数表达式为y=2x+4．
【例7】如图，已知直线经过点．
（1）求的值；
（2）①当 时，函数值为负数；
②将这条直线沿轴向 （填“上”或“下”）平移 个单位长度，与正比例函数 的图象重合．
【答案】（1）解：根据题意，得P（-3，1）
代入得，
，
∴.
（2）；上；2；
【解析】（2）①由（1）可得， ，
当 时， ，
根据图象可得，当 时，函数值 为负数.
②当 时， ，
∴将这条直线沿 轴向上平移 个单位长度，与正比例函数 的图象重合．
故答案为： ；上； ；
【基础训练】
1．已知：将直线y=x-1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是（ ）
A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于(-1，0)
C．与y轴交于(0，2) D．y随x的增大而减小
【答案】B
【解析】直线y=x-1向上平移2个单位长度后得到的直线为y=x-1+2 即y=x+1，当y=0时，x=-1；当x=0时，y=-1；即平移后的图形与x轴的交点为（-1，0），与y轴的交点为（0，1）；图像经过一、二、三象限；y随着x的增大而增大.所以A、C、D错误，B正确.
故答案为：B.
2．将一次函数的图像向右平移5个单位后，所得的直线与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ）
A．4 B．6 C．9 D．49
【答案】C
【解析】 一次函数的图像向右平移5个单位得y=2（x-5）+4=2x-6，
当x=0时y=-6，当y=0时x=3，
∴直线y=2x-6与坐标轴的交点为（0，-6），（3，0）
∴ 所得的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为×3×6=9；
故答案为：C.
3．在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移2个单位后恰好经过原点，则的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】B
【解析】设平移后的函数解析式为y=2x+b-2，
∵直线y=2x+b-2经过原点，
∴b-2=0
解之：b=2.
故答案为：B.
4．在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移个单位后，得到一条新的直线，该直线与轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 将直线沿y轴向下平移6个单位，
∴新直线的解析式为：，
令y=0，则，
解得：x=-2，
∴新直线与x轴的交点坐标为（-2，0）.
故答案为：A.
5．把直线先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的新直线与x轴的交点为，则m的值为（ ）
A．3 B．1 C． D．
【答案】B
【解析】 把直线先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得y=-3（x-2）-3，即y=-3x+3，
把（m，0）代入y=-3x+3得：-3m+3=0，
解得：m=1，
故答案为：B.
6．将直线向上平移个单位长度，平移后直线的解析式为 ．
【答案】
【解析】直线y＝﹣2x+1向上平移2个单位长度后的直线解析式为：y＝﹣2x+1+2，
故答案为：y＝﹣2x+3.
7．在平面直角坐标系中，将直线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，则得到平移后的直线解析式为： ．
【答案】
【解析】直线y=2x+1向下平移3个单位长度后，得直线y=2x+1-3=2x-2；
再向右平移2个单位后得，y=2（x-2）-2=2x-6.
故答案为：y=2x-6.
8．在平面直角坐标系中，将一条直线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到直线，则平移前的直线解析式为： ．
【答案】y＝2x+1
【解析】将一条直线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到直线y＝2x﹣6，
则平移前的直线解析式为：y＝2（x+2）﹣6+3＝2x+1．
故答案为：y＝2x+1．
9．先将函数y＝kx+1（k≠0）的图象向下平移2个单位长度，再将函数y＝3x+b的图象向上平移1个单位长度，若平移后的两个函数的图象重合，则＝ .
【答案】
【解析】将函数y=kx+1（k≠0）的图象向下平移2个单位长度，所得函数为y=kx-1，
将函数y=3x+b的图象向上平移1个单位长度，所得函数为y=3x+b+1，
∵平移后的两个函数的图象重合，
∴k=3，b+1=-1，
∴b=-2，
∴，
故答案为：.
10．在平面直角坐标系中，一个正比例函数的图象经过点，把此正比例函数的图象向上平移5个单位，得到直线；直线l与x轴交于点A．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）求A点的坐标．
【答案】（1）解：设正比例函数为y=kx，
正比例函数的图象经过点（1，2），
，
正比例函数为，
把此正比函数的图象向上平移5个单位，得到直线l的函数解析式为：；
（2）解：令直线l中，则，
解得，
.
11．若函数y=（2m-1）x+m+3的图象平行于直线y=3x-3 .
（1）求函数解析式；
（2）将该函数的图象向下平移3个单位，则平移后的图象与x轴的交点的横坐标为 ．
【答案】（1）解：∵函数y=（2m-1）x+m+3的图像平行于直线y=3x-3
∴2m-1=3，
解得 m=2
∴所求函数解析式为y=3x+5
（2）
【解析】（2）直线 y=3x+5向下平移3个单位，可得y=3x+2，
当y=0时，即3x+2=0，解得x=，
∴ 平移后的图象与x轴的交点的横坐标为；
12．已知一次函数y＝kx－4，当x＝2时，y＝－3．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将该函数的图象向上平移6个单位，求平移后的图象与x轴交点的坐标．
【答案】（1）解：代入x＝2，y＝－3到解析式得：－3＝2k－4，∴，
∴函数解析式为
（2）解：平移后函数解析式为，
∴与x轴交点为（－4，0）．
【培优训练】
13． 要从的图象得到直线，就要将直线（ ）
A．向上平移个单位 B．向下平移个单位
C．向上平移个单位 D．向下平移个单位
【答案】A
【解析】直线化为+，
∴把直线向上平移个单位得直线.
故答案为：A.
14．如图，已知点P1为直线I：y=-2x+6上一点，先将点P向下平移a个单位，再向右平移3个单位至点P2，然后再将点P2向下平移2个单位，向右平移b个单位至点P3。若点P3恰好落在直线l上，则a，b应满足的关系（ ）
A．a-2b=4 B．b-2a=1 C．a+2b=8 D．2a+b=7
【答案】A
【解析】∵ 点P1为直线I：y=-2x+6上一点，
∴设P1（m，-2m+6）
，∵ 将点P1向下平移a个单位，再向右平移3个单位至点P2，
∴P2 （m+3，-2m+6-a），
∵ 将点P2向下平移2个单位，向右平移b个单位至点P3，
∴P3 （m+3+b，-2m+4-a）， 点P3恰好落在直线l上，
∴-2m+4-a=-2（m+3+b）+6，化简得a-2b=4.
故答案为：A
15．已知直线：，将直线向下平移个单位，得到直线，设直线与直线的交点为P，若，则m的值为 ．
【答案】2或6
【解析】
直线L2的解析式为y=-x+4-m， 解得，，
即P点坐标为()
∴OP= 解得：m=2或m=6
故答案为：2或6
16．把直线y＝－x＋3向上平移m个单位后，与直线y＝2x＋4的交点在第一象限，则m的取值范围是 .
【答案】m>1
【解析】直线y=-x+3向上平移m个单位后可得：y=-x+3+m，
联立两直线解析式得：，解得：，
即交点坐标为（，），
∵交点在第一象限，∴，解得：m＞1．
17．把直线y=﹣2x向上平移后得到直线AB，直线AB经过点（m，n），且2m+n=6，则直线AB的解析式为 .
【答案】y=-2x+6
【解析】∵直线AB是直线y=-2x平移后得到的，
∴直线AB的k是-2（直线平移后，其斜率不变）
∴设直线AB的方程为y-y0=-2（x-x0） ①
把点（m，n）代入①并整理，得
y=-2x+（2m+n） ②
∵2m+n=6 ③
把③代入②，解得y=-2x+6
即直线AB的解析式为y=-2x+6.
18．如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，若过原点的直线，将图形分成面积相等的两部分．则将直线l向右平移3个单位后所得到直线l’的函数关系式为 ．
【答案】y=x-
【解析】设直线l和八个正方形最上面的交点为A，过A作AB⊥OB于点B，过 A作AC⊥OC于点C，如图：
∵正方形边长为1，
∴OB=3，
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴S△AOB=4+1=5，
∴×OB×AB=5，
∴AB=，
∴OC=，
∴A（3，），
设直线l方程为y=kx，
∵直线l经过点A，
∴3k=，
∴k=，
∴直线l解析式为：y=x.
∵ 将直线l向右平移3个单位后所得到直线l’，
∴直线l’的函数关系式为：y=（x-3）=x-.
故答案为：y=x-.
19．如图，已知直线：经过点，将直线向上平移4个单位得到直线，与交于点D．
（1）分别求直线与的解析式；
（2）点E是x轴上一点，当的周长最短时，求出点E的坐标．
【答案】（1）解：∵：经过点，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
将直线向上平移4个单位得到的直线的解析式为：；
（2）解：联立，
解得：，即点，
∵关于x轴的对称点为．
连接交x轴于点E，则点E即为所求点，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
所以直线的解析式为：，
令，得， 即点E的坐标为．
20．已知直线，记为．
（1）填空：直线可以看做是由直线向 平移 个单位得到；
（2）将直线沿x轴向右平移4个单位得到直线，解答下列问题：
①求直线的函数解析式；
②若x取任意实数时，函数的值恒大于直线的函数值，结合 图象求出m的取值范围．
【答案】（1）上；1（或向左平移2个单位）
（2）解：①∵当沿x轴向右平移4个单位后经过点(4，0)，
∴平移得到的直线的函数解析式为；
②如下图所示，画出的图象，
的函数图象可以看作是沿x轴水平移动m个单位，
当时，向右平移m个单位，
当时，向左平移m个单位，
要是函数的值恒大于直线的函数值，则函数的图象位于直线的上方，
由函数图象可知当m<4时函数的图象位于直线的上方，
∴m的取值范围为m<4．
【解析】(1)如下图所示，是由向上平移1个单位得到的，或向左平移2个单位得到的；
故答案为：上，1或左，2；
21．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴交于B、A两点.
（1）求A、B两点的坐标；
（2）将线段AB向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到线段CD，如图所示
①点C的坐标为 ▲ ，并求出线段CD所在直线的解析式；
②连接AC、BC，若直线AC的解析式为，直线BC的解析式为，直接写出关于x的不等式组的解集.
【答案】（1）解：将x=0代入得：y=2；
将y=0代入得：x=3，
∴A（0，2）；B（3，0）
（2）解：①（-2，-2）；
∵直线CD由直线AB平移得到，
∴设直线CD的解析式为：，
将C（-2，-2）代入得：，
∴直线CD的解析式为；
②
【解析】（2）解：①根据平移路径，C点坐标为（-2，-2），
②由函数图象可知，不等式的解集为：；
不等式的解集为：，
∴原不等式组的解集为：.
22．如图，在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A坐标为 ，将直线 绕点O顺时针旋转45后得到直线 ．
（1）求直线 的表达式；
（2）求k的值；
（3）在直线 上有一点B，其纵坐标为1．若x轴上存在点C，使 是等腰三角形，请直接写出满足要求的点C的坐标．
【答案】（1）解：设直线OA的解析式为y=mx，将点A坐标代入，得
3m=4，
解得m= ，
∴直线OA的解析式为y= x；
（2）解：如图，作AE⊥OA交直线y=kx于E，AD⊥x轴于D，EH⊥AD于H，
∵∠AOE= ，∠OAE= ，
∴∠AEO=∠AOE= ，
∴OA=AE，
∵AD⊥x，EH⊥AD，
∴∠ADO=∠AHE=∠OAE= ，
∴∠OAD+∠HAE=∠HAE+∠AEH= ，
∴∠OAD=∠AEH，
∴△OAD≌△AEH，
∴AH=OD=3，EH=AD=4，
∴HD=1，
∴点E的坐标为（7，1），
将点E的坐标代入y=kx中，得7k=1，
解得k= ；
（3）当△ABC是等腰三角形时，点C的坐标为（ ，0）或（6，0）或（ ，0）
【解析】（3）∵点B在直线y= x上，纵坐标为1，
∴点B与点E重合，即B（7，1），
∵A（3，4），B（7，1），
∴AB= ，
分三种情况：
①当AC=BC时，作CM⊥AB，则AM=BM，
∴M(5，2.5)，
∵CM∥OA，
∴设直线CM的解析式为y= x+n，
∴ ，
解得n= ，
∴y= x ，
当y=0时， x =0，解得x= ，
∴点C的坐标为（ ，0）；
②当AB=AC=5时，
∵OA=AB，
∴AC=OA，
∴OC=6，
∴点C的坐标为（6，0）；
③当AB=BC=5时，作BN⊥x轴于N，
∵ON=7，BN=1，BC=5，
∴CN= = ，
∴OC=ON+CN= ，
∴点C的坐标为（ ，0），
综上，当△ABC是等腰三角形时，点C的坐标为（ ，0）或（6，0）或（ ，0）．
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