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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第5章一次函数
5.4一次函数的图像（2）
【知识重点】
正比例函数和一次函数及性质
正比例函数 一次函数
概 念 一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，是y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
自变量 范 围 x为全体实数
图 象 一条直线
必过点 （0，0）、（1，k） （0，b）和（，0）
走 向 k>0时，直线经过一、三象限； k<0时，直线经过二、四象限. k>0，b>0，直线经过第一、二、三象限 k>0，b<0，直线经过第一、三、四象限 k<0，b>0，直线经过第一、二、四象限 k<0，b<0，直线经过第二、三、四象限
增减性 k>0，y随x的增大而增大；(从左向右上升) k<0，y随x的增大而减小.(从左向右下降)
倾斜度 越大，越接近y轴；越小，越接近x轴.
【经典例题】
【例1】已知M（﹣3，y1），N（2，y2）是直线y＝﹣3x+1上的两个点，则y1、y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≥y2 D．y1＝y2
【例2】若正比例函数的图像经过点和点，当时，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例3】一次函数y＝（2m﹣1）x+2的值随x值的增大而增大，则常数m的取值范围为 .
【例4】一次函数y＝kx＋b（k≠0），当－2≤x≤3时，－1≤y≤9，则k＋b＝ ．
【例5】已知一次函数 ，求：
（1）m为何值时，y随 的增大而减少？
（2）m为何值时，函数图象与y轴的交点在 轴下方？
（3）m为何值时，图象经过第一、三、四象限？
（4）图象能否过第一、二、三象限？
【例6】学校计划为“用英语讲中国故事”演讲比赛购买奖品，已知购买4个A奖品和3个B奖品共需165元；购买6个A奖品和2个B奖品共需210元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共20个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【基础训练】
1．如图为正比例函数y＝kx（k≠0）的图象，则一次函数y＝x+k的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
2．关于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象过点 B．图象与轴的交点是
C．随的增大而增大 D．函数图象不经过第三象限
3．若正比例函数的图象经过点和点，当时，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．点是一次函数y＝－2x－b图像上的两点，则 ．（填“＞”、“＝”或“＜”）
5．已知正比例函数的图象经过第二、四象限，若点在该函数的图象上，则a b.（填“>”“<”或“=”）
6．请你写出一个图像经过点(0，2)，且y随x的增大而减小的一次函数解析式 .
7．若一次函数在范围内有最大值17，则k= .
8．一次函数y＝kx＋b中（k、b为常数，k≠0），若－3≤x≤2，则－1≤y≤9，求一次函数的解析式.
9．已知点P（m，n）在一次函数y＝2x﹣3的图象上，且m＞2n，求m的取值范围.
10．已知：一次函数．
（1）若一次函数的图象过原点，求实数m的值；
（2）当一次函数的图象经过第二、三、四象限时，求实数m的取值范围；
（3）当一次函数的图象不经过第三象限时，求实数m的取值范围．
11．已知y关于x的一次函数，当时，；当时，.
（1）求k、b的值；
（2）若，是该一次函数图象上的两点，求证：.
12．近年来，成都市聚焦实现碳达峰碳中和目标，着力推进空间、产业、交通、能源结构优化调整，坚定不移走生态优先、绿色低碳的高质量发展道路．成都某新能源光伏企业计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表．若工厂计划投入资金成本不超过38万元，且总利润不少于16万元．设生产A产品x件，总利润为y万元．（x取正整数）
A种产品 B种产品
成本（万元/件） 2 5
利润（万元/件） 1 3
（1）求出y与x的关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）请求出总利润的最大值．
13．某饮料厂生产一种饮料，经测算，用1吨水生产的饮料所获利润y（元）是1吨水的价格x（元）的一次函数．
（1）根据下表提供的数据，求y与x的函数关系式；当水价为每吨10元时，1吨水生产出的饮料所获的利润是多少？
1吨水价格x（元） 4 6
用1吨水生产的饮料所获利润y（元） 200 198
（2）为节约用水，这个市规定：该厂日用水量不超过20吨时，水价为每吨4元；日用水量超过20吨时，超过部分按每吨40元收费．已知该厂日用水量不少于20吨，设该厂日用水量为t吨，当日所获利润为W元，求W与t的函数关系式；该厂加强管理，积极节水，使日用水量不超过25吨，但仍不少于20吨，求该厂的日利润的取值范围．
【培优训练】
14．一次函数y＝－mx＋m与正比例函数y＝mx（m是常数，且m≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
15．若点 、 是一次函数 图象上不同的两点，记 ，当 时，a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．已知点A（-1，3），点B（-1，-4），若常数a使得一次函数y=ax+1与线段AB有交点，且使得关于x的不等式组 无解，则所有满足条件的整数a的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
17．已知一次函数．
若该函数图象与轴的交点位于轴的负半轴，则的取值范围是 ；
当时，函数有最大值，则的值为 ．
18．设0＜k＜1，关于x的一次函数y=kx+（1-x）．
（1）y随x的增大而 ；
（2）当1≤k≤2时y的最大值是 （用含k的式子表示）．
19．关于x的一次函数y＝（3a﹣7）x+a﹣2的图象与y轴的交点在x的下方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是 ．
20．若一次函数y=ax+b（a≠0)的图象经过点A(2，3)，且不经讨第四象限，则 4a+b的取值范围为 .
21．一次函数y=（2a-3）x+a+2（a为常数）的图像，在-1≤x≤1的一段都在x轴上方，则a的取值范围是
22．如图，一次函数的图象和y轴交于点B，与正比例函数图象交于点.
（1）求m和n的值；
（2）求的面积.
（3）根据图像直接写出当时，x的取值范围.
23．定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”.
（1）点在的“逆反函数”图象上，则a= ；
（2） 图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，求点B的坐标；
（3）若和它的“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3，求b的值.
24．已知一次函数的图象过一、三、四象限．
（1）求的取值范围；
（2）对于一次函数，若对任意实数，都成立，求的取值范围．
25．如图，已知直线经过点、点，交轴于点，点是轴上一个动点，过点、作直线．
（1）求直线的表达式；
（2）已知点，当时，求点的坐标；
（3）设点的横坐标为，点，是直线上任意两个点，若时，，请直接写出的取值范围．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点B的直线交x轴与点
（1）点A坐标为 ，点B坐标为 ；
（2）求直线的表达式；
（3）若点D在直线上，且是以为腰的等腰三角形，点D的坐标.
27．某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表：
空调机 电冰箱
甲连锁店 200 170
乙连锁店 160 150
设集团调配给甲连锁店台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为（元）．
（1）求关于的函数关系式，并求出的取值范围；
（2）为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利元销售，其它的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配的方法，使总利润达到最大？最大利润为多少？
28．为推进美丽乡村建设，改善人居环境，创建美丽家园．我市甲、乙两工厂积极生产了某种建设物资共800吨，甲工厂的生产量是乙工厂的2倍少100吨，这批建设物资将运往A地420吨，B地380吨，运费如下：（单位：吨）
生产厂 A B
甲 25 20
乙 15 24
（1）求甲、乙两厂各生产了这批建设物资多少吨？
（2）设这批物资从甲工厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，写出x的取值范围并设计使总运费最少的调运方案；
（3）由于甲工厂到A地的路况得到了改善，缩短了运输距离和运输时间，运费每吨降低m元（0【直击中考】
29．下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（ ）
A． B． C． D．
30．一次函数的函数值y随x的增大而减小，当时，y的值可以是（ ）
A．2 B．1 C．－1 D．－2
31．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．随的增大而增大 B．
C．当时， D．关于，的方程组的解为
32．已知一次函数的图象如图所示，则，的取值范围是（ ）
A．， B．， C．， D．，
33．若 ，且 ，则 的取值范围为 .
34．关于x的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是 .
35．甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动．图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶 千米．
36．在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）的图象经过点（1，0）和（0，2）．
（1）当﹣2＜x≤3时，求y的取值范围；
（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m﹣n=4，求点P的坐标．
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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第5章一次函数（解析版）
5.4一次函数的图像（2）
【知识重点】
正比例函数和一次函数及性质
正比例函数 一次函数
概 念 一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，是y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
自变量 范 围 x为全体实数
图 象 一条直线
必过点 （0，0）、（1，k） （0，b）和（，0）
走 向 k>0时，直线经过一、三象限； k<0时，直线经过二、四象限. k>0，b>0，直线经过第一、二、三象限 k>0，b<0，直线经过第一、三、四象限 k<0，b>0，直线经过第一、二、四象限 k<0，b<0，直线经过第二、三、四象限
增减性 k>0，y随x的增大而增大；(从左向右上升) k<0，y随x的增大而减小.(从左向右下降)
倾斜度 越大，越接近y轴；越小，越接近x轴.
【经典例题】
【例1】已知M（﹣3，y1），N（2，y2）是直线y＝﹣3x+1上的两个点，则y1、y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≥y2 D．y1＝y2
【答案】B
【解析】一次函数k=3＜0，y随x的增大而减小，又﹣3＜2，∴y1＞y2
故答案为：B
【例2】若正比例函数的图像经过点和点，当时，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵正比例函数的图像经过点和点，当时，
∴ 正比例函数的图象上y随x的增大而减小
∴ 1-2m＜0
解得：m＞
故答案为：D.
【例3】一次函数y＝（2m﹣1）x+2的值随x值的增大而增大，则常数m的取值范围为 .
【答案】m＞
【解析】∵一次函数y＝（2m﹣1）x+2中，函数值y随自变量x的增大而增大，
∴2m﹣1＞0，解得m＞ .
故答案为：m＞ .
【例4】一次函数y＝kx＋b（k≠0），当－2≤x≤3时，－1≤y≤9，则k＋b＝ ．
【答案】5或3
【解析】当k＞0时，图象经过点（-2，-1）和（3，9），
∴，∴，
∴k+b=2+3=5；
当k＜0时，图象经过点（-2，9）和（3，-1），
∴，∴， ∴k+b=-2+5=3.
所以k+b=5或3。
故答案为：5或3
【例5】已知一次函数 ，求：
（1）m为何值时，y随 的增大而减少？
（2）m为何值时，函数图象与y轴的交点在 轴下方？
（3）m为何值时，图象经过第一、三、四象限？
（4）图象能否过第一、二、三象限？
【答案】（1）解：利用函数性质，4-2m<0，所以m<-2
（2）解：由题意得m-4<0，解得m<4
（3）解：由题意得，解得－2＜m＜4.
所以当m＞4时图象经过第一、三、四象限.
（4）解：由题意得，解得m>4.
所以当－2＜m＜4时图象经过第一、二、三象限。
【例6】学校计划为“用英语讲中国故事”演讲比赛购买奖品，已知购买4个A奖品和3个B奖品共需165元；购买6个A奖品和2个B奖品共需210元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共20个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】（1）解：设A奖品单价为x元，B奖品单价为y元，
根据题意，得，
解得，，
∴A奖品单价30元，B奖品单价15元
（2）解：设购买A奖品z个，则购买B奖品为个，购买奖品的花费为元，
由题意可知，，解得，
，
∴随着z的增大而增大，
当时，有最小值为390元，
∴，
∴购买A奖品6个，购买B奖品14个，花费最少．
【基础训练】
1．如图为正比例函数y＝kx（k≠0）的图象，则一次函数y＝x+k的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
2．关于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象过点 B．图象与轴的交点是
C．随的增大而增大 D．函数图象不经过第三象限
【答案】D
【解析】一次函数
当x=1时，y=1，图象过点故A选项错误；
当y=0时，x=，则，图象与轴的交点是，故B选项错误；
k<0，y随x的增大而减小，故C选项错误；
k<0，b>0，可得函数图象不经过第三象限，故D选项正确
故答案为：D．
3．若正比例函数的图象经过点和点，当时，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知：Y随X的增大而减小，
则K＜0，即1-2m＜0，m＞
故答案为：D.
4．点是一次函数y＝－2x－b图像上的两点，则 ．（填“＞”、“＝”或“＜”）
【答案】>
【解析】∵-2＜0，
∴一次函数y＝－2x－b 中y随x的增大而减小，
∵，∴y1＞y2.
故答案为：＞。
5．已知正比例函数的图象经过第二、四象限，若点在该函数的图象上，则a b.（填“>”“<”或“=”）
【答案】<
【解析】∵正比例函数的图象经过第二、四象限，
∴，
∴y随x的增大而减小，
∴
故答案为：<.
6．请你写出一个图像经过点(0，2)，且y随x的增大而减小的一次函数解析式 .
【答案】y=﹣x+2（答案不唯一）
【解析】设函数（k≠0，k，b为常数），
∵图像经过点（0，2），
∴b=2，
又∵y随x的增大而减小，
∴k＜0，可取k=﹣1.
这样满足条件的函数可以为：y=﹣x+2.
故答案为：y=﹣x+2（答案不唯一）
7．若一次函数在范围内有最大值17，则k= .
【答案】3或－12
【解析】分两种情况讨论：
①当 时，y有最大值17，则
解得
②当 时，y有最大值17，则
解得
在 范围内，y有最大值17，k的值为-12或3
故答案为：3或－12.
8．一次函数y＝kx＋b中（k、b为常数，k≠0），若－3≤x≤2，则－1≤y≤9，求一次函数的解析式.
【答案】解：当k＞0时，将（-3，-1），（2，9）代入y=kx+b，
得： 解得：
∴一次函数的解析式为y=2x+5；
当k＜0时，将（-3，9），（2，-1）代入y=kx+b，
得：
解得：
∴一次函数的解析式为y=-2x+3.
综上所述：一次函数解析式为y=2x+5或y=-2x+3.
9．已知点P（m，n）在一次函数y＝2x﹣3的图象上，且m＞2n，求m的取值范围.
【答案】解： 点P（m，n）在一次函数y＝2x﹣3的图象上，
m＞2n， ＞
＞ ＜
＜
10．已知：一次函数．
（1）若一次函数的图象过原点，求实数m的值；
（2）当一次函数的图象经过第二、三、四象限时，求实数m的取值范围；
（3）当一次函数的图象不经过第三象限时，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：5
（2）解：3＜m＜5
（3）解：m≥5
【解析】（1）函数过原点，把（0，0）代入函数解析式，可得m=5；（2）一次函数过第二、三、四象限，则说明自变量x的系数3-m＜0，常数项m-5＜0，可得m的范围；（3）一次函数不过第三象限，则说明一次函数可能过第一、二、四象限或第二、四、象限，可得3-m＜0且m-5≥0，可得m的取值范围。
11．已知y关于x的一次函数，当时，；当时，.
（1）求k、b的值；
（2）若，是该一次函数图象上的两点，求证：.
【答案】（1）解：把，；，代入，得
，解得
（2）证明：由（1）可知：函数解析式为，
把，代入解析式得：
，，
∴
12．近年来，成都市聚焦实现碳达峰碳中和目标，着力推进空间、产业、交通、能源结构优化调整，坚定不移走生态优先、绿色低碳的高质量发展道路．成都某新能源光伏企业计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表．若工厂计划投入资金成本不超过38万元，且总利润不少于16万元．设生产A产品x件，总利润为y万元．（x取正整数）
A种产品 B种产品
成本（万元/件） 2 5
利润（万元/件） 1 3
（1）求出y与x的关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）请求出总利润的最大值．
【答案】（1）解：由题意得：，
∵工厂计划投入资金成本不超过38万元，且总利润不少于16万元，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴y随x增大而减小，
∴当时，y有最大值，最大值为，
∴总利润的最大值为22万元．
【解析】（1） 设生产A产品x件，则B产品（10-x）件，设总利润为y万元，由表格可知，A产品每件利润1万元，B产品每件利润3万元，可得y=x+3（10-x），整理为y=-2x+30；由表格可知，A产品每件成本2万元，B产品每件利润5万元，根据工厂计划投入资金成本不超过38万元，可得2x+5（10-x）≤38①，根据总利润不少于16万元，可得：-2x+30≥16②，联合①②组成不等式组，可求得自变量的取值范围；
（2）y=-2x+30，因为-2小于0，根据函数的性质，当x取最小值时，函数值最大，由（1）知4≤x≤7可知：当x=4时，函数y的值最大，求出此时的函数值即可。
13．某饮料厂生产一种饮料，经测算，用1吨水生产的饮料所获利润y（元）是1吨水的价格x（元）的一次函数．
（1）根据下表提供的数据，求y与x的函数关系式；当水价为每吨10元时，1吨水生产出的饮料所获的利润是多少？
1吨水价格x（元） 4 6
用1吨水生产的饮料所获利润y（元） 200 198
（2）为节约用水，这个市规定：该厂日用水量不超过20吨时，水价为每吨4元；日用水量超过20吨时，超过部分按每吨40元收费．已知该厂日用水量不少于20吨，设该厂日用水量为t吨，当日所获利润为W元，求W与t的函数关系式；该厂加强管理，积极节水，使日用水量不超过25吨，但仍不少于20吨，求该厂的日利润的取值范围．
【答案】（1）解：设y关于x的一次函数式为： 根据题意得： 解得 ， ∴所求一次函数式是y= x+204， 当x=10时，y= 10+204=194(元)
（2）解：当1吨水的价格为40元时，所获利润是：y= 40+204=164(元). ∴W与t的函数关系式是w=200×20+(t 20)×164， 即w=164t+720， ∵ 20≤ t ≤25， ∴ 4000≤W≤4820.
【培优训练】
14．一次函数y＝－mx＋m与正比例函数y＝mx（m是常数，且m≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】A：根据正比例函数图象经过第一，第三象限，所以可得m＞0，所以一次函数经过第一，第二，第四象限，所以A不符合题意；
B：根据正比例函数图象经过第一，第三象限，所以可得m＞0，所以一次函数经过第一，第二，第四象限，所以B不符合题意；
C：根据正比例函数图象经过第二，第四象限，所以可得m＜0，所以一次函数经过第一，第三，第四象限，所以C不符合题意；
D：根据正比例函数图象经过第二，第四象限，所以可得m＜0，所以一次函数经过第一，第三，第四象限，所以D符合题意；
故答案为：D。
15．若点 、 是一次函数 图象上不同的两点，记 ，当 时，a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，
∵ ,
∴a+1>0,
∴a>-1.
故答案为：D.
16．已知点A（-1，3），点B（-1，-4），若常数a使得一次函数y=ax+1与线段AB有交点，且使得关于x的不等式组 无解，则所有满足条件的整数a的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】把点A（﹣1，3）代入y＝ax+1得，3＝﹣a+1，解得a＝﹣2，
把点B（﹣1，﹣4）代入y＝ax+1得，﹣4＝﹣a+1，解得a＝5，
∵一次函数y＝ax+1与线段AB有交点，
∴﹣2≤a≤5，且a≠0，
解不等式组 得 ，
∵不等式组无解，
∴a﹣ ≤ ，
解得：a≤4，
则所有满足条件的整数a有：﹣2，﹣1，1，2，3，4.
故答案为：D.
17．已知一次函数．
若该函数图象与轴的交点位于轴的负半轴，则的取值范围是 ；
当时，函数有最大值，则的值为 ．
【答案】a>3；9.5
18．设0＜k＜1，关于x的一次函数y=kx+（1-x）．
（1）y随x的增大而 ；
（2）当1≤k≤2时y的最大值是 （用含k的式子表示）．
【答案】（1）减小
（2）k
【解析】（1）根据题意可得：y=kx+（1-x）=kx+-=,
∵0∴，
∴函数值y随x的增大而减小；
故答案为：减小；
（2）由（1）可得y随x的增大而减小，
∵1≤x≤2，
∴当x=1时，y取得最大值，此时y=（）×1+=k，
故答案为：k.
19．关于x的一次函数y＝（3a﹣7）x+a﹣2的图象与y轴的交点在x的下方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是 ．
【答案】a<2
【解析】根据题意可得：，
解得：，
∴不等式的解集为a<2.
故答案为：a<2.
20．若一次函数y=ax+b（a≠0)的图象经过点A(2，3)，且不经讨第四象限，则 4a+b的取值范围为 .
【答案】3<4a+b<6
【解析】∵y=ax+b（a≠0)的图象经过点A(2，3)，
∴3=2a+b，即2a=3-b，b=3-2a，
∴4a+b=4a+3-2a=2a+3，
又∵图象不经过第四象限，
∴a＞0，b≥0
∴2a+3＞3，3-2a≥0
∴3＜4a+b≤6
故答案为：3<4a+b<6.
21．一次函数y=（2a-3）x+a+2（a为常数）的图像，在-1≤x≤1的一段都在x轴上方，则a的取值范围是
【答案】 ＜a＜5或 ＜a＜
【解析】因为y=（2a-3）x+a+2是一次函数，
所以2a-3≠0，a≠ ，
当2a-3＞0时，y随x的增大而增大，由x=-1得：y=-a+5，
根据函数的图象在x轴的上方，则有-a+5＞0，
解得： ＜a＜5．
当2a-3＜0时，y随x的增大而减小，由x=1得：y=3a-1，根据函数的图象在x轴的上方，
则有：3a-1＞0，解得： ＜a＜ ．
故答案为： ＜a＜5或 ＜a＜ ．
22．如图，一次函数的图象和y轴交于点B，与正比例函数图象交于点.
（1）求m和n的值；
（2）求的面积.
（3）根据图像直接写出当时，x的取值范围.
【答案】（1）解：把代入得，
所以点坐标为，
把代入得，解得，
即和的值分别为4.2
（2）解：∵令，则，
故点坐标为，，
∴；
（3）解：
【解析】（3）解：因为点坐标为，
所以不等式的解集是.
23．定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”.
（1）点在的“逆反函数”图象上，则a= ；
（2） 图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，求点B的坐标；
（3）若和它的“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3，求b的值.
【答案】（1）-2
（2）解：∵，
∴的“逆反函数”为，
∵图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，
∴，
解得：
∴；
（3）解：∵，
∴它的“逆反函数”为，
∴两函数与y轴的交点分别为，，
由，解得：，
∴两函数的交点为，
∵和它的“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3，
∴，
∴或.
【解析】（1）∵，
∴的“逆反函数”为，
∵点在的“逆反函数”图象上，
∴，
∴，
故答案为：；
24．已知一次函数的图象过一、三、四象限．
（1）求的取值范围；
（2）对于一次函数，若对任意实数，都成立，求的取值范围．
【答案】（1）解：依题意，得，且，
解得，
∴的取值范围．
（2）解：依题意，得，
∴，
∵对任意实数，都成立，
∴．
解得．
∵，
∴的取值范围．
25．如图，已知直线经过点、点，交轴于点，点是轴上一个动点，过点、作直线．
（1）求直线的表达式；
（2）已知点，当时，求点的坐标；
（3）设点的横坐标为，点，是直线上任意两个点，若时，，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：设直线的解析式为（），
、点在直线上，
，
解得：，
直线的表达式为；
（2）解：直线交轴于，
令，则，
解得：，
，
，
，
过点作轴于，
，
，
，
，
，
设点，
，
，，
的坐标或；
（3）
26．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点B的直线交x轴与点
（1）点A坐标为 ，点B坐标为 ；
（2）求直线的表达式；
（3）若点D在直线上，且是以为腰的等腰三角形，点D的坐标.
【答案】（1）(3，0)；（0，4）
（2）解：设过点、的直线解析式为，
则有：
，
解得：，
故直线的表达式
（3）解：由（1）可知，
，，
当时，此时D与B重合，
D点坐标为，
当时，如图，D点在的垂直平分线上，
此时D点的横坐标为：，
将代入，
求得，
D点坐标为，
故D点坐标为或.
【解析】（1）直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
令即，解得，
令得，
即点A坐标为，点B坐标为，
故答案为：(3，0)，（0，4）.
27．某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表：
空调机 电冰箱
甲连锁店 200 170
乙连锁店 160 150
设集团调配给甲连锁店台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为（元）．
（1）求关于的函数关系式，并求出的取值范围；
（2）为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利元销售，其它的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配的方法，使总利润达到最大？最大利润为多少？
【答案】（1）解：根据题意知：调配给甲连锁店电冰箱台，调配给乙连锁店空调机台，电冰箱台，
则
即
∴，
∴
（2）解：按题意知：，
即，
∵，
∴．
①当时，，即调配给甲连锁店空调机40台，电冰箱30台，乙连锁店空调机0台，电冰箱30台；最大利润为元．
②当时，的取值在10≤≤40内的所有方法利润相同；最大利润为16800元．
③当时，，即调配给甲连锁店空调机10台，电冰箱60台，乙连锁店空调机30台，电冰箱0台；最大利润为元．
28．为推进美丽乡村建设，改善人居环境，创建美丽家园．我市甲、乙两工厂积极生产了某种建设物资共800吨，甲工厂的生产量是乙工厂的2倍少100吨，这批建设物资将运往A地420吨，B地380吨，运费如下：（单位：吨）
生产厂 A B
甲 25 20
乙 15 24
（1）求甲、乙两厂各生产了这批建设物资多少吨？
（2）设这批物资从甲工厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，写出x的取值范围并设计使总运费最少的调运方案；
（3）由于甲工厂到A地的路况得到了改善，缩短了运输距离和运输时间，运费每吨降低m元（0【答案】（1）解：设这批建设物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨．
根据题意，得，．
解得，．
答：甲、乙两厂分别生产了这批建设物资500吨和300吨．
（2）解：．
解不等式组得，，
∴y与x之间的函数关系式为，
∴y是关于x的一次函数．
∵k=14﹥0，y随x的增大而增大，
∴当x=120时，总运费最小．此时，
500-x=380，420-x=300，．
∴总运费最少的调运的方案是：
甲工厂运往A地120吨，运往B地380吨；乙工厂运往A地300吨．
（3）解：由题意可得，y=14x+13420﹣mx=（14﹣m）x+13420．
分三种情况：
（i）当0＜m＜14时，
14－m＞0，y随x的增大而增大．
∴当x=120时，y取得最小值，此时有．
解得，0＜m≤9；
（ii）当m=14时，14﹣m=0，y=13420<14020，不合题意，舍去；
（iii）当14＜m≤15时，14－m＜0，y随x的增大而减少．
∴当x=420时，y取得最小值，此时有，．
此不等式组无解．
∴当14＜m≤15时，这种情况不符合题意，舍去．
综合上述三种情况，可得m的取值范围是0＜m≤9．
【直击中考】
29．下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得y随x的增大而减小的函数是，
故答案为：D
30．一次函数的函数值y随x的增大而减小，当时，y的值可以是（ ）
A．2 B．1 C．－1 D．－2
【答案】D
【解析】∵一次函数的函数值y随x的增大而减小，
∴函数经过第二、三、四象限，
∵b=-1，
∴当时，y的值可以是-2，
故答案为：D
31．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．随的增大而增大 B．
C．当时， D．关于，的方程组的解为
【答案】C
【解析】A. 由图象可知，随x的增大而增大，故A不符合题意；
B.当x=0时，，，
由图像可知，，则，故B不符合题意；
C.由图像可知，当时，，故C符合题意；
D.由图象可知，两条直线的交点为（2，3），∴的解为：，故D不符合题意；
故答案为：C.
32．已知一次函数的图象如图所示，则，的取值范围是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】由图象可得k>0，b<0.
故答案为：A.
33．若 ，且 ，则 的取值范围为 .
【答案】
【解析】根据 可得y＝﹣2x+1，
∴k＝﹣2＜0
∵ ，
∴当y＝0时，x取得最大值，且最大值为 ，
当y＝1时，x取得最小值，且最小值为0，
∴
故答案为： .
34．关于x的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】∵关于x的一次函数y=（2a+1）x+a-2，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，
∴，
解得.
故答案为：.
35．甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动．图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶 千米．
【答案】
【解析】∵据函数图形知：甲用了30分钟行驶了12千米，乙用（18﹣6）分钟行驶了12千米，
∴甲每分钟行驶12÷30= 千米，
乙每分钟行驶12÷12=1千米，
∴每分钟乙比甲多行驶1﹣ = 千米，
故答案为： ．
36．在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）的图象经过点（1，0）和（0，2）．
（1）当﹣2＜x≤3时，求y的取值范围；
（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m﹣n=4，求点P的坐标．
【答案】（1）解：设解析式为：y=kx+b，
将（1，0），（0，﹣2）代入得： ，
解得： ，
∴这个函数的解析式为：y=﹣2x+2；
把x=﹣2代入y=﹣2x+2得，y=6，
把x=3代入y=﹣2x+2得，y=﹣4，
∴y的取值范围是﹣4≤y＜6
（2）解：∵点P（m，n）在该函数的图象上，
∴n=﹣2m+2，
∵m﹣n=4，
∴m﹣（﹣2m+2）=4，
解得m=2，n=﹣2，
∴点P的坐标为（2，﹣2）
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