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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第5章一次函数（解析版）
5.5一次函数的简单应用（1）
【知识重点】
一、根据所给的条件求一次函数的表达式：
由两个条件求出一些简单的一次函数的表达式.
二、实际问题的一次函数的应用；
利用一次函数的图象分析、解决简单的实际问题.
三、实际问题情境中的数学思想：
1.函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.
2.数形结合思想：由函数图象解答问题的方法为“数形结合”，即在图象上由相应点（形的特征）得出对应坐标（数的表示），达到由数表示形，有形反映数，构成“数”与“形”的统一.
3.方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）使问题得以解决.
确定两个变量是否构成一次函数关系的一种常用方法是利用图象去获得经验公式,这种方法的基本步骤是:
(1)通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值.
(2)建立合适的直角坐标系,在坐标系中,以各对应值为坐标描点,并用描点法画出函数图象，
(3)观察图象特征,判定函数的类型.这样获得的函数表达式有时是近似的.
【经典例题】
【例1】如图，秤是我国传统的计重工具，方便了人们的生活，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．
x（厘米） 1 2 4 7 11 12
y（斤） 0.75 1.00 0.50 2.25 3.25 3.50
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）求秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为14厘米时，秤钩所挂物重是多少斤？
（3）求当秤钩所挂物重为4.50斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是多少厘米？
【答案】（1）解：依题意，设y与之间的函数关系式为（），
把，，，代入，
可得，
解得，
∴y与x之间的函数关系式是.
（2）解：当时，
，
∴秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为14厘米时，秤钩所挂物重是4斤.
（3）解：当时，
，
解得，
∴当秤钩所挂物重为4.50斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是16厘米.
【例2】小嘉同学想要挑战“自制弹簧测力计”项目，为此他需要了解弹簧在弹性限度内的弹簧长度与拉力的关系，再根据实验数据制作弹簧测力计.经过测量，他得到了5组拉力读数（N）与弹簧长度（cm）（）之间的数据，如下表所示：
（N） 1 2 3 4 5
（cm） 3.6 5.2 6.8 8.4 10
（1）请在上图的直角坐标系中描出各点，能否用你学过的函数模型来刻画这两个变量之间的关系？若能，试求出关于的函数表达式；
（2）当弹簧长度为7.6cm时，物体拉力是多少？
【答案】（1）解：描点如下，
能用一次函数模型来刻画这两个变量之间的关系，
设y与x之间的函数解析式为y=kx+b，
∵点（1，3.6），（5，10）在此函数图象上，
∴
解之：
∴y关于x的函数表达式为y=1.6x+2
（2）当y=7.6时，1.6x+2=7.6
解之：x=3.5
答： 当弹簧长度为7.6cm时，物体拉力是 3.5N
【例3】在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校，陈列馆离学校．李华从学校出发，匀速骑行到达书店；在书店停留后，匀速骑行到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离与离开学校的时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填表：
离开学校的时间 1 3
离学校的距离 2 __ 12 12 __
（2）填空：
①书店到陈列馆的距离为 ；
②李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为 ；
③当李华离学校的距离为时，他离开学校的时间为 ．
【答案】（1）10|20
（2）8；28；或
【解析】（1）如图，
当0≤x≤0.6时，设OA为：y=kx，
由图得：A（0.6，12），
∴0.6k=12，即k=20，
∴OA为：y=20x，
当x=0.5时，y=20×0.5=10；
由图得：当1.5≤x≤4.5时，y=20，
∴当x=3时，y=20.
故答案为：10；20.
（2）①∵已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校12km，陈列馆离学校20km，
∴书店到陈列馆的距离为20-12=8km.
故答案为：8
② 如（1）图，李华从陈列馆回学校途中，减速前骑行的图象为DE段，
由图得D（4.5，20），E（5，6），
∴这段骑行的路程：20-6=14km，时间为：5-4.5=0.5h，
∴李华从陈列馆回学校途中，减速前骑行的速度为：14÷0.5=28km/h.
故答案为：28.
③当李华从学校到书店过程中距离学校4km时，
由（1）可知，y=20x，
当y=4时，20x=4，
解得：x=；
当李华从图书馆返回学校过程中距离学校4km时即EF段，如（1）图，
设EF为y=mx+n，由图得E（5，6），E（5.5，0），
∴，解得：，
∴EF为y=-12x+66，
当y=4时，-12x+66=4，
解得：x=.
故答案为： 或 .
【基础训练】
1．在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中，下表记录了实验中温度和时间变化的数据.
时间/分钟 0 5 10 15 20 25
温度/℃ 10 25 40 55 70 85
若温度的变化是均匀的，则18分钟时的温度是（ ）
A．62℃ B．64℃ C．66℃ D．68℃
【答案】B
【解析】根据图表可得：温度与时间的关系符合一次函数关系式，
设温度T与时间x的函数关系式为： ，将 ， ，代入解析式可得：
，
解得： ，
∴温度T与时间x的函数关系式为： ，将其他点代入均符合此函数关系式，
当 时，
，
故答案为：B.
2．某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16cm，44码鞋子的长度为27cm，则38码鞋子的长度为（ ）
A．23cm B．24cm C．25cm D．26cm
【答案】B
【解析】设 ，分别将 和 代入可得：
，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，
故答案为：B．
3．一蓄水池中有水，打开排水阀门开始放水后水池的水量与放水时间有如下关系：
放水时间/分 1 2 3 4 …
水池中水量/ 48 46 44 42 …
下列说法错误的是（ ）
A．蓄水池每分钟放水
B．放水18分钟后，水池中水量为
C．蓄水池一共可以放水25分钟
D．放水12分钟后，水池中水量为
【答案】D
【解析】设蓄水量为y立方米，时间为t分，
则可得，
蓄水池每分钟放水，故A不符合题意；
放水18分钟后，水池中水量为，故B不符合题意；
蓄水池一共可以放水25分钟，故C不符合题意；
放水12分钟后，水池中水量为，故D符合题意；
故答案为：D．
4．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y (cm)与所挂的物体的质量x(kg)之间有下面的关系：
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列说法错误的是（ ）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为0 cm
C．物体质量每增加1 kg，弹簧长度y增加0.5 cm
D．所挂物体质量为7 kg时，弹簧长度为13.5 cm
【答案】B
【解析】A.y随x的增加而增加，x是自变量，y是因变量，故A选项不符合题意；
B. 弹簧不挂重物时的长度为10cm，故B选项符合题意；
C. 物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，故C选项不符合题意；
D. 由C知，y=10+0.5x，则当x=7时，y=13.5，即所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm，故D选项不符合题意；
故答案为：B.
5．端午节三天假期的某一天，小明全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到某著名旅游景点游玩．该小汽车离家的距离S（千米）与时间t（小时）的关系如图所示．根据图象提供的有关信息，下列说法中错误的是（ ）
A．景点离小明家180千米 B．小明到家的时间为17点
C．返程的速度为60千米每小时 D．10点至14点，汽车匀速行驶
【答案】D
【解析】当t=0时，S=180，
∴景点离小明家180千米，
故A不符合题意；
当10点至14点，汽车停止运动，
故D符合题意；
设返回的解析式为y=kx+b，
根据题意，得
，
解得，
∴解析式为y=-60x+1020，
∴返程的速度为60千米每小时，
故C不符合题意；
当y=0时，-60x=1020，
解得x=17，
故B不符合题意；
故答案为：D．
6．某种气体的体积y (L)与气体的温度x (C)对应值如下表．若要使气体的体积至少为106升，则气体的温度不低于 ℃．
x(℃) …… 0 1 2 3 …… 10 ……
y(L) …… 100 100.3 100.6 100.9 …… 103 ……
【答案】20
【解析】由题意得：y与x的函数关系式为y=100+0.3x，
将y=106代入得x=20，
所以要使气体的体积至少为106升，则气体的温度不低于20摄氏度.
故答案为：20.
7．某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李.当行李的质量超过规定时，需付的行李费y（元）与行李质量 之间满足一次函数关系，部分对应值如下表：
… 30 40 50 …
y（元） … 4 6 8 …
则旅客最多可免费携带行李的质量是 kg.
【答案】10
【解析】∵y是x的一次函数，
∴设y=kx+b（k≠0）
将x=30，y=4；x=40，y=6分别代入y=kx+b，得
，
解得： ，
∴函数表达式为y=0.2x-2，
当y=0时，0=0.2x-2，解得x=10，
∴旅客最多可免费携带行李的质量是10kg，
故答案为：10.
8．小明骑车回家过程中，骑行的路程s与时间t的关系如图所示.则经15分钟后小明离家的路程为 .
【答案】1.5千米
【解析】看图象可知，
∵全程是3.5千米，15分钟时行走的路程=2千米，
∴经15分钟后小明离家的路程为：3.5-2=1.5千米.
故答案为：1.5千米.
9．市场上甲种商品的采购价为60元/件，乙种商品的采购价为100元/件，某商店需要采购甲、乙两种商品共15件，且乙种商品的件数不少于甲种商品件数的2倍．设购买甲种商品 件（ >0），购买两种商品共花费 元．
（1）求出 与 的函数关系式（写出自变量 的取值范围）；
（2）试利用函数的性质说明，当采购多少件甲种商品时，所需要的费用最少？
【答案】（1）解：y=60x+100（15-x）=-40x+1500，
∵
∴0 x≤5，
即y=-40x+1500 （0 x≤5）
（2）解：∵k=-40＜0，
∴y随x的增大而减小．即当x取最大值5时，y最小；
此时y=-40×5+1500=1300，
∴当采购5件甲种商品时，所需要的费用最少
10．为庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案．方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠，方案二：如交纳300元会费成为该商都会员，则所有商品价格可获九折优惠．
（1）以x（元）表示商品价格，y（元）表示支出金额，分别写出两种购物方案中y关于x的函数解析式；
（2）若某人计划在商都购买价格为5880元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱？
【答案】（1）解：方案一：y=0.95x；
方案二：y=0.9x+300
（2）解：当x=5880时，
方案一：y=0.95x=5586（元），
方案二：y=0.9x+300=5592（元），
5586＜5592
所以选择方案一更省钱
11．某次大型活动，组委会启用无人机航拍活动过程，在操控无人机时应根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度为y（米），操控无人机的时间为x（分），y与x之间的函数图象如图所示.
（1）无人机的速度为 米/分；
（2）求线段BC所表示的y与x之间函数表达式；
（3）无人机在50米上空持续飞行时间为 分．（直接填结果）
【答案】（1）20
（2）解：由速度为20米/分，得C（6，60），设线段BC的表达式y=kx+b（k≠0），
由B（5，40）C（6，60）得， ， 解得： ，
∴线段BC的表达式为：y=20x－60；
（3）4
【解析】（1）由图象得出无人机从60米的空中下落到地面需3分钟即可求出无人机的速度。
（2）由速度为20米/分，得C（6，60），设线段BC的表达式y=kx+b（k≠0），将B，C两点的坐标代入求出线段BC所表示的y与x之间函数表达式。
（3）由C（6，60），D（9，60）即可求出无人机在50米上空持续飞行的时间。
12．甲、乙两家体育用品商店出售相同的羽毛球和羽毛球拍，羽毛球每个定价3元，羽毛球拍每副定价50元．现两家商店都搞促销活动：甲店每买一副球拍赠2个羽毛球；乙店按九折优惠．某班级需购球拍4副，羽毛球个．
（1）若在甲店购买付款元，在乙店购买付款元分别写出、与的函数关系式；
（2）买10个羽毛球时，在哪家商店购买合算？
【答案】（1）解：由题意可得，
，
，
即 ，
（2）解：当x=10时，
， ，
∵
∴买10个羽毛球时，在甲家商店购买合算．
【培优训练】
13．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h(cm)是时间t(min)的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录不符合题意，请排除后利用正确的数据确定当时间t为8时，对应的高度h为（ ）
t（min） …… 0 1 2 3 ……
h（cm） …… 0.7 1.2 1.5 1.9 ……
A．3.3 B．3.65 C．3.9 D．4.7
【答案】C
【解析】由表格数据可知：，不符合题意，
设水位与时间的一次函数关系式为，
代入表中数据得，
解得：，
水位与时间的一次函数关系式为．
把代入到中，得
，
故答案为：C．
14．早上8点，妈妈把小明送到游泳馆训练，之后马上回家准备午饭，烧好饭后去游泳馆等小明训练结束接其回家，妈妈两次从游泳馆回家的驾车速度相同，在家做饭和在游泳馆等小明的时间也相同.8点开始，妈妈离家的距离y关于时间x的函数图象如图所示，则妈妈从家出发去游泳馆等小明的路途中间的时刻（即图象中CD中点G所在的时刻）为（）
A．9点 B．9点10分 C．9点20分 D．9点30分
【答案】B
【解析】如图：
根据妈妈两次从游泳馆回家的驾车速度相同，即所用时间相同，在家做饭和在游泳馆等小明的时间也相同，而点G是CD的中点，
则妈妈从家出发去游泳馆等小明的路途中间的时刻为：8+，即9点10分.
故答案为：B.
15．元旦期间，李华到市体育馆进行体有锻炼，锻炼一段时间后返回家中， 如图反映了这个过程中，李华离家的距离S（km）与时间t（h）之间的对应关系，根据图象，下列说法中：①体育馆与李华家之间的距离是6km；②李华在体育馆锻炼了2h；③李华从体育馆返回家中的平均速度是km/h；④李华离家4k m时的时间是h或h．其中正确的说法是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【解析】由题意，体育馆和李华家之间的距离为6km，所以说法①符合题意；
李华在体育馆锻炼了：（h），所以说法②符合题意；
李华从体育馆返回家中的平均速度为：km/h，所以说法③不符合题意；
设李华离家4km时的时间为xh，则有：或，
解得： 或，即李华离家4k m时的时间是h或h，所以说法④符合题意．
所以正确的说法有：①②④．
故答案为：D
16．甲、乙两人骑车分别从A、B两地同时出发，沿同一路线匀速骑行，两人先相向而行，甲到达B地后停留20min 再以原速返回A地，当两人到达A地后停止骑行.设甲出发x min后距离A地的路程为y km.图中的折线表示甲在整个骑行过程中y与x的函数关系.在整个骑行过程中，两人只相遇了1次，乙的骑行速度（单位：km/min）可能是（ ）
A．0.1 B．0.15 C．0.2 D．0.25
【答案】D
【解析】由函数图象知，A、B两地的距离为25km，甲往返的时间为50+50+20=120（min），
∵两人到达A地后停止骑行，且在整个骑行过程中，两人只相遇了1次，
∴乙的骑行的速度至少为25÷120= （km/min），
∵＞0.2，＜0.25，
∴乙的骑行速度可能是0.25km/min，
故答案为：D.
17．某地出租车计费方法如图所示，其中x（单位：km）表示行驶里程，y（单位：元）表示车费．若某乘客一次乘出租车的里程为5km，则这位乘客需支付的费用为 元．
【答案】9.5
【解析】由图象得：出租车的起步价是5元；
设当x＞2时，y与x的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0），
由函数图象，得： ，
解得： ，
故当x＞2时，y与x的函数关系式为：y＝1.5x＋2；
∴当x＝5时，y＝9.5，
即这位乘客需支付的费用为9.5元．
故答案为：9.5．
18．小亮从学校步行回家，图中的折线反映了小亮离家的距离S（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，给出以下结论：①他在前12分钟的平均速度是70米/分钟；②他在第19分钟到家；③他在第15分钟离家的距离和第24分钟离家的距离相等；④他在第33分钟离家的距离是720米．其中正确的序号为 ．
【答案】①④
【解析】由图象知，前12分中的平均速度为：（1800 960）÷12＝70（米/分），
故①符合题意；
由图象知，小亮第19分中又返回学校，分别求出小亮故②不符合题意；
小亮在返回学校时的速度为：（1800 960）÷（19 12）＝840÷7＝120（米/分），
∴第15分离家距离：960＋（15 12）×120＝1320，
从21分到41分小亮的速度为：1800÷（41 21）＝1800÷20＝90（米/分），
∴第24分离家距离：1800 （24 21）×90＝1800 270＝1530（米），
∵1320≠1530，
故③不符合题意；
小亮在33分离家距离：1800 （33 21）×90＝1800 1080＝720（米），
故④符合题意，
故答案为：①④．
19．小张骑车从图书馆回家，中途在文具店买笔耽误了1分钟，然后继续骑车回家.若小张骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小张离家的距离 （单位：米）与时间 （单位：分钟）的对应关系如图所示，则文具店与小张家的距离为 .
【答案】900m
【解析】由图象及题意可得小张骑车从图书馆到家所需时间为5分钟，则有：
.
故答案为：900m.
20．星期天，小明上午8：00从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家.他离家的距离y（千米）与时间t（分钟）的关系如图所示，则上午8：45小明离家的距离是 千米.
【答案】1.5
【解析】设当40≤t≤60时，距离y（千米）与时间t（分钟）的函数关系为y=kt+b.
∵图象经过（40，2）（60，0），
∴ ，解得： ，
∴y与t的函数关系式为y=﹣ ，
当t=45时，y=﹣ ×45+6=1.5.
故答案为：1.5.
21．我市为创建“国家级森林城市”，政府决定对江边一处废弃荒地进行绿化，要求栽植甲、乙两种不同的树苗共6000棵，且甲种树苗不得多于乙种树苗．某承包商以26万元的报价中标承包了这项工程．根据调查及相关资料表明：移栽一棵树苗的平均费用为8元，甲、乙两种树苗的购买价及成活率如表：
品种 购买价（元/棵） 成活率
甲 20 90%
乙 32 95%
设购买甲种树苗x棵，承包商获得的利润为y元．请根据以上信息解答下列问题：
（1）设y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）承包商要获得不低于中标价16%的利润，应如何选购树苗？
（3）政府与承包商的合同要求，栽植这批树苗的成活率必须不低于93%，否则承包商出资补栽；若成货率达到94%以上（含94%），则政府另给予工程款总额6%的奖励，该承包商应如何选购树苗才能获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）解：y＝260000－[20x＋32（6000－x）＋8×6000]＝12x＋20000
自变量的取值范围是：0＜x≤3000
（2）解：由题意，得12x＋20000≥260000×16%，解得：x≥1800，
∴1800≤x≤3000，
购买甲种树苗不少于1800棵且不多于3000棵；
（3）解：①若成活率不低于93%且低于94%时，由题意得：解得1200＜x≤2400在y＝12x＋20000中，∵12＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x＝2400时，y最大＝48800，
②若成活率达到94%以上（含94%），则0.9x＋0.95（6000－x）≥0.94×6000，解得：x≤1200，
由题意得y＝12x＋20000＋260000×6%＝12x＋35600，∵12＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x＝1200时，y最大值＝5000，综上所述，50000＞48800∴购买甲种树苗1200棵，一种树苗4800棵，可获得最大利润，最大利润是50000元．
22．《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水查流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：
（实验观察）实验小组通过观察，每2小时记录次箭尺读数，得到下表：
供水时间x（小时） 0 2 4 6 8
箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54
（探索发现）
（1）建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x．纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点．
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．
（结论应用）应用上述发现的规律估算：
（3）供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？
（4）如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）
【答案】（1）解：将表格中各点在直角坐标系中描出来如下图所示：
（2）分析表格中数据发现，供水时间每增加2小时，箭尺读数增加12cm，观察(1)中直角坐标系点的特点，发现它们位于同一直线上，
设直线解析式为 ，代入点(0，6)和点(2，18)，
得到 ，解得 ，
∴直线的表达式为： ；
（3）当供水时间达到12小时时，即 时，代入 中，
解得 cm，
∴此时箭尺的读数为 ；
（4）当箭尺读数为90厘米时，即 时，代入 中，
解得 (小时)，
∴经过14小时后箭尺读数为90厘米，
∵实验记录的开始时间是上午8：00，
∴箭尺读数为90厘米时对应的时间为8+14=22，即对应当天晚上的22：00．
【直击中考】
23．下表中记录了一次试验中时间和温度的数据.
时间/分钟 0 5 10 15 20 25
温度/℃ 10 25 40 55 70 85
若温度的变化是均匀的，则14分钟时的温度是 ℃.
【答案】52
【解析】设时间为t分钟，此时的温度为T，
由表格中的数据可得，
每5分钟，升高15℃，故规律是每过1分钟，温度升高3℃，
函数关系式是T=3t+10；
则第14分钟时，即t=14时，T=3 14+10=52℃，
故答案为：52.
24．如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成.小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为 ，单层部分的长度为 .经测量，得到下表中数据.
双层部分长度 2 8 14 20
单层部分长度 148 136 124 112
（1）根据表中数据规律，求出y与x的函数关系式；
（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为 时为最佳背带长.请计算此时双层部分的长度；
（3）设背带长度为 ，求L的取值范围.
【答案】（1）解：根据观察y与x是一次函数的关系，所以设
依题意，得
解得， ；
∴y与x的函数关系式：
（2）解：设背带长度是
则
当 时，
解得，
（3）解：∵ ，∴
解得， 又
∴
∴
即
25．某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，得到的数据记录如下：
时间t/s 0 10 20 30 40
油温y/ 10 30 50 70 90
（1）小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y（单位：）与加热的时间t（单位：s）符合初中学习过的某种函数关系，填空：可能是 函数关系（请选填“正比例”“一次”“二次”“反比例”）；
（2）根据以上判断，求y关于t的函数解析式；
（3）当加热时，油沸腾了，请推算沸点的温度．
【答案】（1）一次
（2）解：设这个一次函数的解析式为，
当时，；当时，，
，
解得，
∴y关于t的函数解析式为；
（3）解：当时，
答：当加热时，油沸腾了，推算沸点的温度为．
【解析】（1）根据表格中两个变量对应值变化的规律可知，时间每增加10s，油温上升20℃，故锅中油温y与加热时间t可能是一次函数关系.
故答案为：一次.
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浙教版2023-2024学年数学八年级上册第5章一次函数
5.5一次函数的简单应用（1）
【知识重点】
一、根据所给的条件求一次函数的表达式：
由两个条件求出一些简单的一次函数的表达式.
二、实际问题的一次函数的应用；
利用一次函数的图象分析、解决简单的实际问题.
三、实际问题情境中的数学思想：
1.函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.
2.数形结合思想：由函数图象解答问题的方法为“数形结合”，即在图象上由相应点（形的特征）得出对应坐标（数的表示），达到由数表示形，有形反映数，构成“数”与“形”的统一.
3.方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）使问题得以解决.
确定两个变量是否构成一次函数关系的一种常用方法是利用图象去获得经验公式,这种方法的基本步骤是:
(1)通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值.
(2)建立合适的直角坐标系,在坐标系中,以各对应值为坐标描点,并用描点法画出函数图象，
(3)观察图象特征,判定函数的类型.这样获得的函数表达式有时是近似的.
【经典例题】
【例1】如图，秤是我国传统的计重工具，方便了人们的生活，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．
x（厘米） 1 2 4 7 11 12
y（斤） 0.75 1.00 0.50 2.25 3.25 3.50
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）求秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为14厘米时，秤钩所挂物重是多少斤？
（3）求当秤钩所挂物重为4.50斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是多少厘米？
【例2】小嘉同学想要挑战“自制弹簧测力计”项目，为此他需要了解弹簧在弹性限度内的弹簧长度与拉力的关系，再根据实验数据制作弹簧测力计.经过测量，他得到了5组拉力读数（N）与弹簧长度（cm）（）之间的数据，如下表所示：
（N） 1 2 3 4 5
（cm） 3.6 5.2 6.8 8.4 10
（1）请在上图的直角坐标系中描出各点，能否用你学过的函数模型来刻画这两个变量之间的关系？若能，试求出关于的函数表达式；
（2）当弹簧长度为7.6cm时，物体拉力是多少？
【例3】在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校，陈列馆离学校．李华从学校出发，匀速骑行到达书店；在书店停留后，匀速骑行到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离与离开学校的时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填表：
离开学校的时间 1 3
离学校的距离 2 __ 12 12 __
（2）填空：
①书店到陈列馆的距离为 ；
②李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为 ；
③当李华离学校的距离为时，他离开学校的时间为 ．
【基础训练】
1．在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中，下表记录了实验中温度和时间变化的数据.
时间/分钟 0 5 10 15 20 25
温度/℃ 10 25 40 55 70 85
若温度的变化是均匀的，则18分钟时的温度是（ ）
A．62℃ B．64℃ C．66℃ D．68℃
2．某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16cm，44码鞋子的长度为27cm，则38码鞋子的长度为（ ）
A．23cm B．24cm C．25cm D．26cm
3．一蓄水池中有水，打开排水阀门开始放水后水池的水量与放水时间有如下关系：
放水时间/分 1 2 3 4 …
水池中水量/ 48 46 44 42 …
下列说法错误的是（ ）
A．蓄水池每分钟放水 B．放水18分钟后，水池中水量为
C．蓄水池一共可以放水25分钟 D．放水12分钟后，水池中水量为
4．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y (cm)与所挂的物体的质量x(kg)之间有下面的关系：
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列说法错误的是（ ）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为0 cm
C．物体质量每增加1 kg，弹簧长度y增加0.5 cm
D．所挂物体质量为7 kg时，弹簧长度为13.5 cm
5．端午节三天假期的某一天，小明全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到某著名旅游景点游玩．该小汽车离家的距离S（千米）与时间t（小时）的关系如图所示．根据图象提供的有关信息，下列说法中错误的是（ ）
A．景点离小明家180千米 B．小明到家的时间为17点
C．返程的速度为60千米每小时 D．10点至14点，汽车匀速行驶
6．某种气体的体积y (L)与气体的温度x (C)对应值如下表．若要使气体的体积至少为106升，则气体的温度不低于 ℃．
x(℃) …… 0 1 2 3 …… 10 ……
y(L) …… 100 100.3 100.6 100.9 …… 103 ……
7．某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李.当行李的质量超过规定时，需付的行李费y（元）与行李质量 之间满足一次函数关系，部分对应值如下表：
… 30 40 50 …
y（元） … 4 6 8 …
则旅客最多可免费携带行李的质量是 kg.
8．小明骑车回家过程中，骑行的路程s与时间t的关系如图所示.则经15分钟后小明离家的路程为 .
9．市场上甲种商品的采购价为60元/件，乙种商品的采购价为100元/件，某商店需要采购甲、乙两种商品共15件，且乙种商品的件数不少于甲种商品件数的2倍．设购买甲种商品 件（ >0），购买两种商品共花费 元．
（1）求出 与 的函数关系式（写出自变量 的取值范围）；
（2）试利用函数的性质说明，当采购多少件甲种商品时，所需要的费用最少？
10．为庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案．方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠，方案二：如交纳300元会费成为该商都会员，则所有商品价格可获九折优惠．
（1）以x（元）表示商品价格，y（元）表示支出金额，分别写出两种购物方案中y关于x的函数解析式；
（2）若某人计划在商都购买价格为5880元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱？
11．某次大型活动，组委会启用无人机航拍活动过程，在操控无人机时应根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度为y（米），操控无人机的时间为x（分），y与x之间的函数图象如图所示.
（1）无人机的速度为 米/分；
（2）求线段BC所表示的y与x之间函数表达式；
（3）无人机在50米上空持续飞行时间为 分．（直接填结果）
12．甲、乙两家体育用品商店出售相同的羽毛球和羽毛球拍，羽毛球每个定价3元，羽毛球拍每副定价50元．现两家商店都搞促销活动：甲店每买一副球拍赠2个羽毛球；乙店按九折优惠．某班级需购球拍4副，羽毛球个．
（1）若在甲店购买付款元，在乙店购买付款元分别写出、与的函数关系式；
（2）买10个羽毛球时，在哪家商店购买合算？
【培优训练】
13．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h(cm)是时间t(min)的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录不符合题意，请排除后利用正确的数据确定当时间t为8时，对应的高度h为（ ）
t（min） …… 0 1 2 3 ……
h（cm） …… 0.7 1.2 1.5 1.9 ……
A．3.3 B．3.65 C．3.9 D．4.7
14．早上8点，妈妈把小明送到游泳馆训练，之后马上回家准备午饭，烧好饭后去游泳馆等小明训练结束接其回家，妈妈两次从游泳馆回家的驾车速度相同，在家做饭和在游泳馆等小明的时间也相同.8点开始，妈妈离家的距离y关于时间x的函数图象如图所示，则妈妈从家出发去游泳馆等小明的路途中间的时刻（即图象中CD中点G所在的时刻）为（）
A．9点 B．9点10分 C．9点20分 D．9点30分
15．元旦期间，李华到市体育馆进行体有锻炼，锻炼一段时间后返回家中， 如图反映了这个过程中，李华离家的距离S（km）与时间t（h）之间的对应关系，根据图象，下列说法中：①体育馆与李华家之间的距离是6km；②李华在体育馆锻炼了2h；③李华从体育馆返回家中的平均速度是km/h；④李华离家4k m时的时间是h或h．其中正确的说法是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④
16．甲、乙两人骑车分别从A、B两地同时出发，沿同一路线匀速骑行，两人先相向而行，甲到达B地后停留20min 再以原速返回A地，当两人到达A地后停止骑行.设甲出发x min后距离A地的路程为y km.图中的折线表示甲在整个骑行过程中y与x的函数关系.在整个骑行过程中，两人只相遇了1次，乙的骑行速度（单位：km/min）可能是（ ）
A．0.1 B．0.15 C．0.2 D．0.25
17．某地出租车计费方法如图所示，其中x（单位：km）表示行驶里程，y（单位：元）表示车费．若某乘客一次乘出租车的里程为5km，则这位乘客需支付的费用为 元．
18．小亮从学校步行回家，图中的折线反映了小亮离家的距离S（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，给出以下结论：①他在前12分钟的平均速度是70米/分钟；②他在第19分钟到家；③他在第15分钟离家的距离和第24分钟离家的距离相等；④他在第33分钟离家的距离是720米．其中正确的序号为 ．
19．小张骑车从图书馆回家，中途在文具店买笔耽误了1分钟，然后继续骑车回家.若小张骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小张离家的距离 （单位：米）与时间 （单位：分钟）的对应关系如图所示，则文具店与小张家的距离为 .
20．星期天，小明上午8：00从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家.他离家的距离y（千米）与时间t（分钟）的关系如图所示，则上午8：45小明离家的距离是 千米.
21．我市为创建“国家级森林城市”，政府决定对江边一处废弃荒地进行绿化，要求栽植甲、乙两种不同的树苗共6000棵，且甲种树苗不得多于乙种树苗．某承包商以26万元的报价中标承包了这项工程．根据调查及相关资料表明：移栽一棵树苗的平均费用为8元，甲、乙两种树苗的购买价及成活率如表：
品种 购买价（元/棵） 成活率
甲 20 90%
乙 32 95%
设购买甲种树苗x棵，承包商获得的利润为y元．请根据以上信息解答下列问题：
（1）设y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）承包商要获得不低于中标价16%的利润，应如何选购树苗？
（3）政府与承包商的合同要求，栽植这批树苗的成活率必须不低于93%，否则承包商出资补栽；若成货率达到94%以上（含94%），则政府另给予工程款总额6%的奖励，该承包商应如何选购树苗才能获得最大利润？最大利润是多少？
22．《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水查流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：
（实验观察）实验小组通过观察，每2小时记录次箭尺读数，得到下表：
供水时间x（小时） 0 2 4 6 8
箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54
（探索发现）
（1）建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x．纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点．
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．
（结论应用）应用上述发现的规律估算：
（3）供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？
（4）如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）
【直击中考】
23．下表中记录了一次试验中时间和温度的数据.
时间/分钟 0 5 10 15 20 25
温度/℃ 10 25 40 55 70 85
若温度的变化是均匀的，则14分钟时的温度是 ℃.
24．如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成.小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为 ，单层部分的长度为 .经测量，得到下表中数据.
双层部分长度 2 8 14 20
单层部分长度 148 136 124 112
（1）根据表中数据规律，求出y与x的函数关系式；
（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为 时为最佳背带长.请计算此时双层部分的长度；
（3）设背带长度为 ，求L的取值范围.
25．某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，得到的数据记录如下：
时间t/s 0 10 20 30 40
油温y/ 10 30 50 70 90
（1）小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y（单位：）与加热的时间t（单位：s）符合初中学习过的某种函数关系，填空：可能是 函数关系（请选填“正比例”“一次”“二次”“反比例”）；
（2）根据以上判断，求y关于t的函数解析式；
（3）当加热时，油沸腾了，请推算沸点的温度．
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