（第一次学期同步） 6.7角的和差—2023-2024学年浙教版七年级数学
一、选择题
1．如图，∠AOB=90° ，若∠1=35°，则∠2等于（ ）
A．35° B．45° C．55° D．70°
2．（2023七上·江北期末）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定相等的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022七上·昌邑期末）在一副三角尺中，每块都有一个角是，而其他两个角的和是（，），如果只用一副三角尺画角，不能画（ ）
A．角 B．角 C．角 D．角
4．（2021七上·西湖期末）如图，将一副三角板 与 的直角顶点 重合在一起，若 ， 为 的平分线，则 的度数为（ ）
A．36° B．54° C．63° D．72°
5．（2021七上·沈丘期末）如图，∠AOC=∠BOD，那么（ ）
A．∠AOD＞∠BOC B．∠AOD＝∠BOC
C．∠AOD＜∠BOC D．两角关系不能确定
6．（2021七上·瑞安期末）如图，将一副三角板摆放在直线AB上， ， ，设 ，则用x的代数式表示 的度数为（ ）
A．x B． C． D．
7．如图，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则a，β，γ三个角的数量关系为（ ）
A．a+β+γ=90° B．a+β-γ=90°
C．a-β+ γ= 90° D．a+2β-γ= 90°
8．（2023七上·益阳期末）如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）.下列结论：①；②；③；④.其中正确结论的个数有（ ）.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．（2018七上·梁子湖期末）如图，已知O为直线AB上一点，OC平分 ， ， ，则 的度数为
A． B． C． D．
10．（2020七上·祁县期末）如图，点 为线段 外一点，点 ， ， ， 为 上任意四点，连接 ， ， ， ，下列结论错误的是（ ）
A．以 为顶点的角共有15个
B．若 ， ，则
C．若 为 中点， 为 中点，则
D．若 平分 ， 平分 ， ，则
二、填空题
11．（2023七上·南岗开学考）计算： ．
12．（2023七上·苍南期末）如图，，射线在内部，，则 度.
13．（2022七上·句容期末）如图， 的度数是 .
14．如图所示，圆中两条半径把圆分成面积比为4：5的两个扇形，则∠AOB= .
15．（2022七上·句容期末）如图，将一副三角板摆放在直线AB上， ， ，设 ，则用x的代数式表示 的度数为 .
16．（2021七上·洪山期末）如图，点C，D在线段BE上（C在D的左侧），点A在线段BE外，连接AB，AC，AD，AE，已知∠BAE ＝ 120°，∠CAD ＝ 60°，有下列说法：①直线CD上以B，C，D，E为端点的线段共有6条；②作∠BAM＝ ∠BAD，∠EAN＝ ∠EAC.则∠MAN＝30°；③以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为420°；④若BC＝2，CD＝DE＝3，点F是线段BE上任意一点，则点F到点B，C，D，E的距离之和最大值为17，最小值为11.其中说法正确的有 .（填上所有正确说法的序号）
三、解答题
17．（2021七上·安宁期末）如图，点O是直线AB上一点， ， 平分 .求 的度数.
18．（2018七上·定安期末）如图，已知直线AB与CD交于点O，OM⊥CD，OA平分∠MOE，且∠BOD＝28°，求∠AOM，∠COE的度数．
19．如图，一副直角三角板叠放在一起，若∠CAD=4∠BAD，请计算∠CAE的度数．
20．（2021七上·泗县期末）填空，完成下列说理过程．
如图，点、、在同一条直线上，，分别平分和，求的度数；
解：因为是的平分线，
所以，
因为 ▲ ，
所以
所以 ▲
▲ °
＝ ▲
21．如图1，∠AOB=α，∠COD=β，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线．
（1）若∠AOB=50°，∠COD=30°，当∠COD绕着点O逆时针旋转至射线OB与OC重合时（如图2），则∠MON的大小为 ；
（2）在（1）的条件下，继续绕着点O逆时针旋转∠COD，当∠BOC=10°时（如图3），求∠MON的大小并说明理由；
（3）在∠COD绕点O逆时针旋转过程中，∠MON= ．（用含α，β的式子表示）．
22．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1∶2的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图①，若∠BOC＝2∠AOC，则OC是∠AOB的一条三分线．
（1）已知：如图①，OC是∠AOB的一条三分线，且∠BOC＞∠AOC，若∠AOB＝60°，求∠AOC的度数；
（2）已知：∠AOB＝90°，如图②，若OC，OD是∠AOB的两条三分线．
①求∠COD的度数；
②现以O为中心，将∠COD顺时针旋转n度得到∠C′OD′，当OA恰好是∠C′OD′的三分线时，求n的值．
23．（2023七上·玉林期末）已知O为直线上一点，射线位于直线上方，在的左侧，.
（1）如图1，，当平分时，求的度数.
（2）如图2，若，且，求的度数（用含的代数式表示）；
（3）若，点F在射线上，若射线绕点O顺时针旋转平分，当时，求n的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：C.
【分析】根据角的和差计算即可.
2．【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：A、，故不符合题意；
B、由同角的余角相等可得=，故符合题意；
C、∵，，
∴与不相等，故不符合题意；
D、，，
∴与不相等，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据一副三角形板中每一个角的度数，并结合角的和差、平角的定义及同角的余角相等一一计算，即可判断得出答案.
3．【答案】D
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由于，，，
所以用一副三角尺可以画出角、角、角，而，
所以只用一副三角尺不能画出角．
故答案为：D
【分析】用30°、45°、60°、90°进行加减运算，能得到的角度可用三角尺画角，不能得到的角度不能用三角尺画出.
4．【答案】D
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠AOB=90°，∠COD=90°，
∴∠AOB+∠COD=180°，
∵∠AOB=∠AOC+∠BOC，∠COD=∠BOC+∠BOD ，
∴∠AOC+∠BOC+∠BOC+∠BOD=180° ，
∴∠AOD+∠BOC=180°，
∵∠AOD=4∠BOC，
∴4∠BOC+∠BOC=180°，
∴∠BOC=36°，
∵OE 为 ∠BOC 的平分线，
∴∠COE= ∠BOC=18°，
∴∠DOE=∠COD ∠COE=90° 18°=72°，
故答案为：D.
【分析】 根据∠AOD＋∠BOC＝180°，∠AOD＝4∠BOC，求出∠BOC的度数，再根据角平分线求出∠COE的度数，由角的构成∠DOE＝∠COD ∠COE即可求解．
5．【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解： ∠AOC=∠BOD，∠COD为∠AOC与∠BOD的公共角，
∠AOC-∠COD =∠BOD-∠COD，
∠AOD＝∠BOC，
故答案为：B.
【分析】根据题意∠AOC=∠BOD，再根据图得知∠COD为∠AOC与∠BOD公共角，从而得出答案.
6．【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：如图， ，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】∠GDB=180°-∠EDC-∠EDF-∠FDG.
7．【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：对原图进行标注，如下图，
∵
∴
∵
∵
∴
∴
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质，得出各个角之间的角度关系，进而根据等量代换即可求出a，β，γ三个角的数量关系.
8．【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
而∠COE=∠BOE，
∴∠AOE=∠DOE，所以①正确；
∠AOD+∠COB=∠AOD+∠AOC+90°=90°+90°=180°，所以②正确；
∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，
而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确；
∵E、O、F三点共线
∴∠BOE+∠BOF=180°，
∵∠COE=∠BOE，
∴∠COE+∠BOF=180°，所以④正确.
所以，正确的结论有3个.
故答案为：B.
【分析】根据同角的余角相等可得∠AOC=∠BOD，由已知条件可知∠COE=∠BOE，然后根据等式的性质可判断①；∠AOD+∠COB=∠AOD+∠AOC+90°，据此判断②；∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，据此判断③；由平角的概念可得∠BOE+∠BOF=180°，结合∠COE=∠BOE可判断④.
9．【答案】C
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】设∠DOE=x，则∠BOE=2x，
∵∠BOD=∠BOE+∠EOD，
∴∠BOD=3x，
∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-3x．
∵OC平分∠AOD，
∴∠COD= ∠AOD= （180°-3x）=90°- x．
∵∠COE=∠COD+∠DOE=90°- x+x=90°- ，
由题意有90°- =α，
解得x=180°-2α，即∠DOE=180°-2α，
∴∠BOE=360-4α，
故选：C
【分析】此题可以设未知数表示题中角的度数的关系，设∠DOE=x，则∠BOE=2x，∠BOD=3x，根据平角的定义，由∠AOD=180°-∠BOD表示出∠AOD的度数，根据角平分线的定义，由∠COD= ∠AOD表示出∠COD的度数，根据∠COE=∠COD+∠DOE表示出∠COE，然后根据 ，即可列出方程，求解即可求出x的值，进而表示出∠BOE的度数。
10．【答案】B
【知识点】角的概念；角的运算；线段的计算
【解析】【解答】解：以O为顶点的角有 个，
所以A选项不符合题意；
，
，
，即 ，
所以B选项符合题意；
由中点定义可得： ， ，
，
，
，
所以C选项不符合题意；
由角平分线的定义可得： ， ，
，
，
，
，
，
所以D选项不符合题意，
所以错误的只有B，
故答案为：B.
【分析】A，根据以O为顶点射线有6条，形成角的个数为求解即可；
B，根据线段的关系判断即可；
C，根据中点的概念及线段的和差即可判断结论；
D，根据角平分线的概念及角的关系可得出结论。
11．【答案】
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】按照有理数的乘法进行运算，若超过60′则需要进1°即可.
12．【答案】150
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵，
，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：150.
【分析】根据周角定义可得∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，根据垂直定义得∠AOD=90°，进而根据角的和差，由∠DOC=∠AOC-∠AOD，∠BOD=∠BOC+∠DOC，代入计算即可.
13．【答案】35
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由题可得，
∠AOC=70°，∠BOC=35°，
∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=35°.
故答案为：35.
【分析】由题意可得：∠AOC=70°，∠BOC=35°，然后根据∠AOB=∠AOC-∠BOC进行计算.
14．【答案】160°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵圆中两条半径把圆分成面积比为4：5的两个扇形，
∴设∠AOB的度数为4x，则另一个角的度数为5x，
∴4x+5x=360°，
解之：x=40°，
∴4x= 160°.
故答案为：160°
【分析】利用已知条件设∠AOB的度数为4x，则另一个角的度数为5x，根据两个扇形的圆心角之和为360°，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到∠AOB的度数.
15．【答案】45°-x
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠FDG=90°，∠EDC=45°，∠EDF=x，
∴∠GDB=180°-∠CDE-∠EDF-∠FDG
=180°-45°-x-90°
=45°-x.
故答案为：45°-x.
【分析】根据平角的概念可得∠GDB=180°-∠CDE-∠EDF-∠FDG，据此计算.
16．【答案】①③④
【知识点】直线、射线、线段；角的运算
【解析】【解答】解：①以B、C、D、E为端点的线段BC、BD、BE、CE、CD、DE共6条，故①正确；
②如图所示，
当AM、AN在三角形外部时，
∠BAD+∠EAC=120°＋60°=180°，
∠BAM+∠EAN ＝ ∠BAD+ ∠EAC=90°，
∠MAN＝360°-120°-90°＝150°.
∠MAN≠30°；故②不正确；
③由∠BAE＝120°，∠DAC＝60°，根据图形则有∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE＝120°+120°+120°+60°＝420°，故③正确；
④当F在线段CD上，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小为FB+FE+FD+FC＝11，当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为FB+FE+FD+FC＝8+0+6+3＝17，故④正确.
故答案为：①③④.
【分析】根据线段的概念找出直线CD上线段的条数，据此判断①；当AM、AN在三角形外部时，易得∠BAD+∠EAC=120°＋60°=180°，则∠BAM+∠EAN=∠BAD+∠EAC=90°，结合周角的概念可得∠MAN＝150°，据此判断②；根据图形可得∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE＝420°，据此判断③；当F在线段CD上，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小为FB+FE+FD+FC，当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为FB+FE+FD+FC，据此判断④.
17．【答案】解：∵点O为直线AB上一点，
∴∠AOB=180°.
∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=60°.
∵OD平分∠AOC，
∴∠COD= ∠AOC.
∴∠COD=30°.
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】根据平角定义可得∠AOC的度数，根据 OD平分∠AOC可得∠COD= ∠AOC.
18．【答案】解：由OM⊥CD可知：∠COM=90°，∠AOC=∠BOD=28°，所以∠AOM=90°﹣28°=62°，∠AOE=∠AOM=62°，∠COE=∠AOE﹣∠AOC=62°﹣28°=34°
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】根据OA平分∠MOE得∠AOE=∠AOM，∠COE=∠AOE﹣∠AOC。
19．【答案】解：∵
∴
∴
【知识点】角的运算
【解析】【分析】根据题干：求出的度数，最后根据角的和差即可计算出的度数.
20．【答案】解：因为是的平分线，
所以
因为是的平分线，
所以
所以
=
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】根据已知条件和角平分线的性质：一个角的平分线把这个角分成两个大小相同的角，据此逐项填空即可。
21．【答案】（1）40°
（2）解：如图3，
∵∠BOD=∠BOC+∠COD=10°+30°=40°，ON平分∠BOD，
∴∠BON= ∠BOD= ×40°=20°．
∵∠AOC=∠BOC+∠AOB=10°+50°=60°，OM平分∠AOC，
∴∠COM= ∠AOC= ×60°=30°．
∴∠BOM=∠COM﹣∠BOC=30°﹣10°=20°．
∴∠MON=∠MOB+∠BON=20°+20°=40°
（3） 或180°﹣
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：⑴如图2，∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，
∴∠BOM= ∠AOB，∠BON= ∠BOD，
∴∠MON= （∠AOB+∠BOD）．
又∵∠AOB=50°，∠COD=30°，
∴∠MON= （∠AOB+∠BOD）= ×（50°+30°）=40°．
故答案是：40°；
⑶∵OM为∠AOD的平分线，ON为∠BOC的平分线，∠AOB=α，∠COD=β，
∴∠MON= α+ β= （α+β）；
同理，当∠AOB是钝角时，∠MON=180°- （α+β）；
故答案是： 或180°﹣ ．
【分析】（1）当OB与OC两边重合时，∠AOD=∠AOB+∠DOB，由OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线得∠MOC=∠AOC，∠NOB=∠BOD，∠MON=∠MOC+∠NOB=∠AOC+∠BOD=∠AOD.
（2）当∠COD继续逆时针旋转时，由OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线得∠MOB=∠AOC，∠NOC=∠BOD，由图可知∠AOC=∠AOB+∠BOC、∠BOD=∠COD+∠BOC，根据∠MON=∠MOC+∠NOB-∠BOC=∠AOC+∠BOD-∠BOC即可求得∠NOM的度数。
（3）此题为开放题，要分两种情况进行讨论，一种情况是：当∠COD的一边在∠AOB的内部时，∠MON的度数为∠AOB与∠COD度数和的一半；另一种情况是：当∠AOB为钝角且∠COD的两边都不在∠AOB内部时，∠MON的度数为180 减去∠AOB与∠COD度数和的一半。
22．【答案】（1）解：∵OC是∠AOB的一条三分线，且∠BOC＞∠AOC，∴∠AOC＝ ∠AOB＝ ×60°＝20°
（2）解：①∵∠AOB＝90°，OC，OD是∠AOB的两条三分线，
∴∠BOC＝∠AOD＝ ∠AOB＝ ×90°＝30°，
∴∠COD＝∠AOB－∠BOC－∠AOD＝90°－30°－30°＝30°.
②分两种情况：当OA是∠C′OD′的三分线，且∠AOD′＞∠AOC′时，如图①，
∠AOC′＝ ∠C′OD′＝10°，
∴∠DOC′＝∠AOD－∠AOC′＝30°－10°＝20°，
∴∠DOD′＝∠DOC′＋∠C′OD′＝20°＋30°＝50°；
当OA是∠C′OD′的三分线，且∠AOD′＜∠AOC′时，如图②，
∠AOC′＝20°，
∴∠DOC′＝∠AOD－∠AOC′＝30°－20°＝10°，
∴∠DOD′＝∠DOC′＋∠C′OD′＝10°＋30°＝40°.
综上所述，n＝40或50.
【知识点】角的运算
【解析】【分析】（1）根据OC是∠AOB的一条三分线，计算出∠AOC的度数。
（2）根据OC、OD是∠AOB的两条三分线，求出∠COD的度数；当OA是∠C′OD′的三分线，考虑∠AOD′＜∠AOC′和∠AOD′＞∠AOC′的情况。
23．【答案】（1）解：∵平分，
∴，
，
，
；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：①在的内部时，如图所示：
令，则，
∴，解得：，则，
∴的值为168；
②在射线的两侧时，如图所示：
令，则，
∴，解得：，则，
综上所述得：旋转的角度为或者，即n的值为168或72.
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠AOD=∠COD=60°，则∠COE=∠DOE-∠COD=12°，由平角的概念∠EOB=180°-∠AOC-∠COE，据此计算；
（2）由题意可得∠DOC=80°，则∠COE=∠DOC-∠EOD=80°-α，然后根据∠EOB=∠EOC+∠COB进行计算；
（3）①当∠DOE在∠AOC的内部时，令∠AOD=x°，则∠AOF=2x°，∠EOC=30°-x°，∠EOH=(30°-x°)，表示出∠HOF，结合∠HOF=120°可得x的度数，据此求解；②当∠DOE在射线OC的两侧时，同理求解即可.
1 / 1（第一次学期同步） 6.7角的和差—2023-2024学年浙教版七年级数学
一、选择题
1．如图，∠AOB=90° ，若∠1=35°，则∠2等于（ ）
A．35° B．45° C．55° D．70°
【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：C.
【分析】根据角的和差计算即可.
2．（2023七上·江北期末）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：A、，故不符合题意；
B、由同角的余角相等可得=，故符合题意；
C、∵，，
∴与不相等，故不符合题意；
D、，，
∴与不相等，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据一副三角形板中每一个角的度数，并结合角的和差、平角的定义及同角的余角相等一一计算，即可判断得出答案.
3．（2022七上·昌邑期末）在一副三角尺中，每块都有一个角是，而其他两个角的和是（，），如果只用一副三角尺画角，不能画（ ）
A．角 B．角 C．角 D．角
【答案】D
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由于，，，
所以用一副三角尺可以画出角、角、角，而，
所以只用一副三角尺不能画出角．
故答案为：D
【分析】用30°、45°、60°、90°进行加减运算，能得到的角度可用三角尺画角，不能得到的角度不能用三角尺画出.
4．（2021七上·西湖期末）如图，将一副三角板 与 的直角顶点 重合在一起，若 ， 为 的平分线，则 的度数为（ ）
A．36° B．54° C．63° D．72°
【答案】D
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠AOB=90°，∠COD=90°，
∴∠AOB+∠COD=180°，
∵∠AOB=∠AOC+∠BOC，∠COD=∠BOC+∠BOD ，
∴∠AOC+∠BOC+∠BOC+∠BOD=180° ，
∴∠AOD+∠BOC=180°，
∵∠AOD=4∠BOC，
∴4∠BOC+∠BOC=180°，
∴∠BOC=36°，
∵OE 为 ∠BOC 的平分线，
∴∠COE= ∠BOC=18°，
∴∠DOE=∠COD ∠COE=90° 18°=72°，
故答案为：D.
【分析】 根据∠AOD＋∠BOC＝180°，∠AOD＝4∠BOC，求出∠BOC的度数，再根据角平分线求出∠COE的度数，由角的构成∠DOE＝∠COD ∠COE即可求解．
5．（2021七上·沈丘期末）如图，∠AOC=∠BOD，那么（ ）
A．∠AOD＞∠BOC B．∠AOD＝∠BOC
C．∠AOD＜∠BOC D．两角关系不能确定
【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解： ∠AOC=∠BOD，∠COD为∠AOC与∠BOD的公共角，
∠AOC-∠COD =∠BOD-∠COD，
∠AOD＝∠BOC，
故答案为：B.
【分析】根据题意∠AOC=∠BOD，再根据图得知∠COD为∠AOC与∠BOD公共角，从而得出答案.
6．（2021七上·瑞安期末）如图，将一副三角板摆放在直线AB上， ， ，设 ，则用x的代数式表示 的度数为（ ）
A．x B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：如图， ，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】∠GDB=180°-∠EDC-∠EDF-∠FDG.
7．如图，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则a，β，γ三个角的数量关系为（ ）
A．a+β+γ=90° B．a+β-γ=90°
C．a-β+ γ= 90° D．a+2β-γ= 90°
【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：对原图进行标注，如下图，
∵
∴
∵
∵
∴
∴
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质，得出各个角之间的角度关系，进而根据等量代换即可求出a，β，γ三个角的数量关系.
8．（2023七上·益阳期末）如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）.下列结论：①；②；③；④.其中正确结论的个数有（ ）.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
而∠COE=∠BOE，
∴∠AOE=∠DOE，所以①正确；
∠AOD+∠COB=∠AOD+∠AOC+90°=90°+90°=180°，所以②正确；
∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，
而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确；
∵E、O、F三点共线
∴∠BOE+∠BOF=180°，
∵∠COE=∠BOE，
∴∠COE+∠BOF=180°，所以④正确.
所以，正确的结论有3个.
故答案为：B.
【分析】根据同角的余角相等可得∠AOC=∠BOD，由已知条件可知∠COE=∠BOE，然后根据等式的性质可判断①；∠AOD+∠COB=∠AOD+∠AOC+90°，据此判断②；∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，据此判断③；由平角的概念可得∠BOE+∠BOF=180°，结合∠COE=∠BOE可判断④.
9．（2018七上·梁子湖期末）如图，已知O为直线AB上一点，OC平分 ， ， ，则 的度数为
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】设∠DOE=x，则∠BOE=2x，
∵∠BOD=∠BOE+∠EOD，
∴∠BOD=3x，
∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-3x．
∵OC平分∠AOD，
∴∠COD= ∠AOD= （180°-3x）=90°- x．
∵∠COE=∠COD+∠DOE=90°- x+x=90°- ，
由题意有90°- =α，
解得x=180°-2α，即∠DOE=180°-2α，
∴∠BOE=360-4α，
故选：C
【分析】此题可以设未知数表示题中角的度数的关系，设∠DOE=x，则∠BOE=2x，∠BOD=3x，根据平角的定义，由∠AOD=180°-∠BOD表示出∠AOD的度数，根据角平分线的定义，由∠COD= ∠AOD表示出∠COD的度数，根据∠COE=∠COD+∠DOE表示出∠COE，然后根据 ，即可列出方程，求解即可求出x的值，进而表示出∠BOE的度数。
10．（2020七上·祁县期末）如图，点 为线段 外一点，点 ， ， ， 为 上任意四点，连接 ， ， ， ，下列结论错误的是（ ）
A．以 为顶点的角共有15个
B．若 ， ，则
C．若 为 中点， 为 中点，则
D．若 平分 ， 平分 ， ，则
【答案】B
【知识点】角的概念；角的运算；线段的计算
【解析】【解答】解：以O为顶点的角有 个，
所以A选项不符合题意；
，
，
，即 ，
所以B选项符合题意；
由中点定义可得： ， ，
，
，
，
所以C选项不符合题意；
由角平分线的定义可得： ， ，
，
，
，
，
，
所以D选项不符合题意，
所以错误的只有B，
故答案为：B.
【分析】A，根据以O为顶点射线有6条，形成角的个数为求解即可；
B，根据线段的关系判断即可；
C，根据中点的概念及线段的和差即可判断结论；
D，根据角平分线的概念及角的关系可得出结论。
二、填空题
11．（2023七上·南岗开学考）计算： ．
【答案】
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】按照有理数的乘法进行运算，若超过60′则需要进1°即可.
12．（2023七上·苍南期末）如图，，射线在内部，，则 度.
【答案】150
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵，
，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：150.
【分析】根据周角定义可得∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，根据垂直定义得∠AOD=90°，进而根据角的和差，由∠DOC=∠AOC-∠AOD，∠BOD=∠BOC+∠DOC，代入计算即可.
13．（2022七上·句容期末）如图， 的度数是 .
【答案】35
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由题可得，
∠AOC=70°，∠BOC=35°，
∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=35°.
故答案为：35.
【分析】由题意可得：∠AOC=70°，∠BOC=35°，然后根据∠AOB=∠AOC-∠BOC进行计算.
14．如图所示，圆中两条半径把圆分成面积比为4：5的两个扇形，则∠AOB= .
【答案】160°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵圆中两条半径把圆分成面积比为4：5的两个扇形，
∴设∠AOB的度数为4x，则另一个角的度数为5x，
∴4x+5x=360°，
解之：x=40°，
∴4x= 160°.
故答案为：160°
【分析】利用已知条件设∠AOB的度数为4x，则另一个角的度数为5x，根据两个扇形的圆心角之和为360°，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到∠AOB的度数.
15．（2022七上·句容期末）如图，将一副三角板摆放在直线AB上， ， ，设 ，则用x的代数式表示 的度数为 .
【答案】45°-x
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠FDG=90°，∠EDC=45°，∠EDF=x，
∴∠GDB=180°-∠CDE-∠EDF-∠FDG
=180°-45°-x-90°
=45°-x.
故答案为：45°-x.
【分析】根据平角的概念可得∠GDB=180°-∠CDE-∠EDF-∠FDG，据此计算.
16．（2021七上·洪山期末）如图，点C，D在线段BE上（C在D的左侧），点A在线段BE外，连接AB，AC，AD，AE，已知∠BAE ＝ 120°，∠CAD ＝ 60°，有下列说法：①直线CD上以B，C，D，E为端点的线段共有6条；②作∠BAM＝ ∠BAD，∠EAN＝ ∠EAC.则∠MAN＝30°；③以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为420°；④若BC＝2，CD＝DE＝3，点F是线段BE上任意一点，则点F到点B，C，D，E的距离之和最大值为17，最小值为11.其中说法正确的有 .（填上所有正确说法的序号）
【答案】①③④
【知识点】直线、射线、线段；角的运算
【解析】【解答】解：①以B、C、D、E为端点的线段BC、BD、BE、CE、CD、DE共6条，故①正确；
②如图所示，
当AM、AN在三角形外部时，
∠BAD+∠EAC=120°＋60°=180°，
∠BAM+∠EAN ＝ ∠BAD+ ∠EAC=90°，
∠MAN＝360°-120°-90°＝150°.
∠MAN≠30°；故②不正确；
③由∠BAE＝120°，∠DAC＝60°，根据图形则有∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE＝120°+120°+120°+60°＝420°，故③正确；
④当F在线段CD上，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小为FB+FE+FD+FC＝11，当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为FB+FE+FD+FC＝8+0+6+3＝17，故④正确.
故答案为：①③④.
【分析】根据线段的概念找出直线CD上线段的条数，据此判断①；当AM、AN在三角形外部时，易得∠BAD+∠EAC=120°＋60°=180°，则∠BAM+∠EAN=∠BAD+∠EAC=90°，结合周角的概念可得∠MAN＝150°，据此判断②；根据图形可得∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE＝420°，据此判断③；当F在线段CD上，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小为FB+FE+FD+FC，当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为FB+FE+FD+FC，据此判断④.
三、解答题
17．（2021七上·安宁期末）如图，点O是直线AB上一点， ， 平分 .求 的度数.
【答案】解：∵点O为直线AB上一点，
∴∠AOB=180°.
∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=60°.
∵OD平分∠AOC，
∴∠COD= ∠AOC.
∴∠COD=30°.
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】根据平角定义可得∠AOC的度数，根据 OD平分∠AOC可得∠COD= ∠AOC.
18．（2018七上·定安期末）如图，已知直线AB与CD交于点O，OM⊥CD，OA平分∠MOE，且∠BOD＝28°，求∠AOM，∠COE的度数．
【答案】解：由OM⊥CD可知：∠COM=90°，∠AOC=∠BOD=28°，所以∠AOM=90°﹣28°=62°，∠AOE=∠AOM=62°，∠COE=∠AOE﹣∠AOC=62°﹣28°=34°
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】根据OA平分∠MOE得∠AOE=∠AOM，∠COE=∠AOE﹣∠AOC。
19．如图，一副直角三角板叠放在一起，若∠CAD=4∠BAD，请计算∠CAE的度数．
【答案】解：∵
∴
∴
【知识点】角的运算
【解析】【分析】根据题干：求出的度数，最后根据角的和差即可计算出的度数.
20．（2021七上·泗县期末）填空，完成下列说理过程．
如图，点、、在同一条直线上，，分别平分和，求的度数；
解：因为是的平分线，
所以，
因为 ▲ ，
所以
所以 ▲
▲ °
＝ ▲
【答案】解：因为是的平分线，
所以
因为是的平分线，
所以
所以
=
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】根据已知条件和角平分线的性质：一个角的平分线把这个角分成两个大小相同的角，据此逐项填空即可。
21．如图1，∠AOB=α，∠COD=β，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线．
（1）若∠AOB=50°，∠COD=30°，当∠COD绕着点O逆时针旋转至射线OB与OC重合时（如图2），则∠MON的大小为 ；
（2）在（1）的条件下，继续绕着点O逆时针旋转∠COD，当∠BOC=10°时（如图3），求∠MON的大小并说明理由；
（3）在∠COD绕点O逆时针旋转过程中，∠MON= ．（用含α，β的式子表示）．
【答案】（1）40°
（2）解：如图3，
∵∠BOD=∠BOC+∠COD=10°+30°=40°，ON平分∠BOD，
∴∠BON= ∠BOD= ×40°=20°．
∵∠AOC=∠BOC+∠AOB=10°+50°=60°，OM平分∠AOC，
∴∠COM= ∠AOC= ×60°=30°．
∴∠BOM=∠COM﹣∠BOC=30°﹣10°=20°．
∴∠MON=∠MOB+∠BON=20°+20°=40°
（3） 或180°﹣
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：⑴如图2，∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，
∴∠BOM= ∠AOB，∠BON= ∠BOD，
∴∠MON= （∠AOB+∠BOD）．
又∵∠AOB=50°，∠COD=30°，
∴∠MON= （∠AOB+∠BOD）= ×（50°+30°）=40°．
故答案是：40°；
⑶∵OM为∠AOD的平分线，ON为∠BOC的平分线，∠AOB=α，∠COD=β，
∴∠MON= α+ β= （α+β）；
同理，当∠AOB是钝角时，∠MON=180°- （α+β）；
故答案是： 或180°﹣ ．
【分析】（1）当OB与OC两边重合时，∠AOD=∠AOB+∠DOB，由OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线得∠MOC=∠AOC，∠NOB=∠BOD，∠MON=∠MOC+∠NOB=∠AOC+∠BOD=∠AOD.
（2）当∠COD继续逆时针旋转时，由OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线得∠MOB=∠AOC，∠NOC=∠BOD，由图可知∠AOC=∠AOB+∠BOC、∠BOD=∠COD+∠BOC，根据∠MON=∠MOC+∠NOB-∠BOC=∠AOC+∠BOD-∠BOC即可求得∠NOM的度数。
（3）此题为开放题，要分两种情况进行讨论，一种情况是：当∠COD的一边在∠AOB的内部时，∠MON的度数为∠AOB与∠COD度数和的一半；另一种情况是：当∠AOB为钝角且∠COD的两边都不在∠AOB内部时，∠MON的度数为180 减去∠AOB与∠COD度数和的一半。
22．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1∶2的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图①，若∠BOC＝2∠AOC，则OC是∠AOB的一条三分线．
（1）已知：如图①，OC是∠AOB的一条三分线，且∠BOC＞∠AOC，若∠AOB＝60°，求∠AOC的度数；
（2）已知：∠AOB＝90°，如图②，若OC，OD是∠AOB的两条三分线．
①求∠COD的度数；
②现以O为中心，将∠COD顺时针旋转n度得到∠C′OD′，当OA恰好是∠C′OD′的三分线时，求n的值．
【答案】（1）解：∵OC是∠AOB的一条三分线，且∠BOC＞∠AOC，∴∠AOC＝ ∠AOB＝ ×60°＝20°
（2）解：①∵∠AOB＝90°，OC，OD是∠AOB的两条三分线，
∴∠BOC＝∠AOD＝ ∠AOB＝ ×90°＝30°，
∴∠COD＝∠AOB－∠BOC－∠AOD＝90°－30°－30°＝30°.
②分两种情况：当OA是∠C′OD′的三分线，且∠AOD′＞∠AOC′时，如图①，
∠AOC′＝ ∠C′OD′＝10°，
∴∠DOC′＝∠AOD－∠AOC′＝30°－10°＝20°，
∴∠DOD′＝∠DOC′＋∠C′OD′＝20°＋30°＝50°；
当OA是∠C′OD′的三分线，且∠AOD′＜∠AOC′时，如图②，
∠AOC′＝20°，
∴∠DOC′＝∠AOD－∠AOC′＝30°－20°＝10°，
∴∠DOD′＝∠DOC′＋∠C′OD′＝10°＋30°＝40°.
综上所述，n＝40或50.
【知识点】角的运算
【解析】【分析】（1）根据OC是∠AOB的一条三分线，计算出∠AOC的度数。
（2）根据OC、OD是∠AOB的两条三分线，求出∠COD的度数；当OA是∠C′OD′的三分线，考虑∠AOD′＜∠AOC′和∠AOD′＞∠AOC′的情况。
23．（2023七上·玉林期末）已知O为直线上一点，射线位于直线上方，在的左侧，.
（1）如图1，，当平分时，求的度数.
（2）如图2，若，且，求的度数（用含的代数式表示）；
（3）若，点F在射线上，若射线绕点O顺时针旋转平分，当时，求n的值.
【答案】（1）解：∵平分，
∴，
，
，
；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：①在的内部时，如图所示：
令，则，
∴，解得：，则，
∴的值为168；
②在射线的两侧时，如图所示：
令，则，
∴，解得：，则，
综上所述得：旋转的角度为或者，即n的值为168或72.
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠AOD=∠COD=60°，则∠COE=∠DOE-∠COD=12°，由平角的概念∠EOB=180°-∠AOC-∠COE，据此计算；
（2）由题意可得∠DOC=80°，则∠COE=∠DOC-∠EOD=80°-α，然后根据∠EOB=∠EOC+∠COB进行计算；
（3）①当∠DOE在∠AOC的内部时，令∠AOD=x°，则∠AOF=2x°，∠EOC=30°-x°，∠EOH=(30°-x°)，表示出∠HOF，结合∠HOF=120°可得x的度数，据此求解；②当∠DOE在射线OC的两侧时，同理求解即可.
1 / 1
