（第一次学期同步） 6.9直线的相交2023-2024学年浙教版七年级数学
一、选择题
1．（2023七上·江北期末）在下列图形中，线段的长表示点P到直线的距离的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023七上·鄞州期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．若AB=BC，则点B是线段AC的中点
C．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线
D．一个锐角的补角大于等于该锐角的余角
3．如图，利用工具测量角，则∠1的大小（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
4．下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放法正确的是（ ）
A．A B．B C．C D．D
5．下列生活实例中，应用到的数学原理解释错误的一项是（ ）
A．在两个村庄之间修一条最短的公路，原理是：两点之间线段最短
B．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．把一根木条固定到墙上需要两个钉子，原理是：两点确定一条直线
D．从一个货站向一条高速公路修一条最短的路，原理是：连结直线外一点与已知直线上各点的所有线段中，垂线段最短
6．如图，直线AB，CD相交于点O，∠2=3∠1，∠BOD=108°，则∠1=（ ）
A．27° B．36° C．81° D．72°
7．（2023七上·镇海区期末）如图，直线相交于点O，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，经过直线a外一点O的4条直线中，与直线a相交的直线至少有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
9．（2020七上·包河期末）若四条直线在平面内交点的个数为 ，则 的可能取值有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
10．（2018七上·南山期末）如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①AB⊥AC； ②AD与AC互相垂直； ③点C到AB的垂线段是线段AB；
④点A到BC的距离是线段AD的长度； ⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；
⑥AD+BD>AB．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
11．（2021七上·长兴期末）如图，口渴的牛儿在A点处想尽快地到达小河边喝水，它应该沿着线路AB奔跑，其中蕴含的数学依据是 .
12．（2023七上·安岳期末）如图，AO⊥BO，O为垂足，直线CD过点O，且∠BOD＝2∠AOC，则∠BOD＝ ．
13．（2019七上·德惠期末）如图是一种测量角的仪器，它依据的原理是 ．
14．（2023七上·南岗开学考）如图，直线AB和CD相交于O，OA平分∠COE，∠COE∶∠BOE＝2∶5，则∠EOD的度数为 ．
15．（2020七上·碑林期末）如图，在 的正方形网格中，点 都在格点上，连接 中任意两点得到的所有线段中，与线段 垂直的线段是 .
16．（2020七上·朝阳期末）如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2，的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（3，2）的点共有 个．
三、解答题
17．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥OE，且∠AOD=66°．求∠BOF的度数．
18．如图，AO⊥BO，CO⊥DO，O是垂足，∠BOC=50°．求∠AOD的度数．
19．（2020七上·洛宁期末）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，且∠BON=55°，求∠BOD的度数.
20．如图所示，A、B、C、D、E五个城市，它们之间原有道路相通，现在打算在C、E两城市之间沿直线再修建一条公路，这条公路与原公路的交叉处必须设立交桥，问怎样确定立交桥的位置？应架设几座立交桥？
21．平面内有任意一点P和∠1，按要求解答下列问题：
（1）当点P在∠1外部时，如图1，过点P作PA⊥OM，PB_⊥ON，垂足分别为A，B，量一量∠APB和∠1的度数，用数学式子表达它们之间的数量关系．
（2）当点P在∠1内部时，如图2，以点P为顶点作∠APB，使∠APB的两边分别和∠1的两边垂直，垂足分别为A，B，量一量∠APB和∠1的度数，用数学式子表达∠APB和∠1的数量关系．
（3）由上述情形，用文字语言叙述结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角
（4）若∠1=50°，∠P的两边和∠1的两边垂直，则∠P的度数为
22．（2020七上·郾城期末）如图（1），点 为直线 上一点，过点 作射线 ，将一直角的直角顶点放在点 处，即 反向延长射线 ，得到射线 .
（1）当 的位置如图（1）所示时，使 ，若 ，求 的度数.
（2）当 的位置如图（2）所示时，使一边 在 的内部，且恰好平分 ，
问：射线 的反向延长线 是否平分 请说明理由：注意：不能用问题（1）中的条件
（3）当 的位置如图 所示时，射线 在 的内部，若 .试探究 与 之间的数量关系，不需要证明，写出结论.
23．（2021七上·长兴期末）已知∠AOB=160°，∠COE是直角，OF平分∠AOE.
（1）如图1，若∠COF=32°，则∠BOE= ；
（2）如图1，若∠COF=m°，则∠BOE= ；∠BOE与∠COF的数量关系为 .
（3）在已知条件不变的前提下，当∠COE绕点О逆时针转动到如图2的位置时，第（2）问中∠BOE与∠COF的数量关系是否仍然成立 请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：因为A选项中PQ垂直于MN，选项B、C、D中PQ都不垂直于MN，所以线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是A选项.
故答案为：A.
【分析】过直线外一点P，作已知直线MN的垂线，点P与垂足间的线段的长，就是点P到直线MN的距离，由此一一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；线段的中点；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故原说法错误，不符合题意；
B、当点B在线段AC上，且AB=BC时，点B才是线段AC的中点，故原说法错误，不符合题意；
C、在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，说法正确，故此选项符合题意；
D、一个锐角的补角一定大于该锐角的余角，故原说法错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据对顶角的性质可判断A选项；根据线段中点的定义可判断B选项；根据垂线的性质可判断C选项；根据和为90°的两个角互为余角，和为180°的两个角互为补角可判断D选项.
3．【答案】A
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由图可知，的对顶角是30°，
∴=30°.
故答案为：A.
【分析】根据对顶角相等即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】作图-垂线
【解析】【解答】解：A、CD与AB不垂直，故A不符合题意；
B、CD没有经过点P，故B不符合题意；
C、CD经过点P，且CD⊥AB， 故C符合题意；
D、CD与AB不垂直，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法是：让直角三角尺的一条直角边与已知直线重合，移动三角尺，让另一条直角边经过已知点，然后沿这条直角边画直线，该直线就与已知直线垂直，逐项进行判断，即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【解答】解：A、在两个村庄之间修一条最短的公路，原理是：两点之间线段最短，故A不符合题意；
B、从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，原理是：连结直线外一点与已知直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故B符合题意；
C、把一根木条固定到墙上需要两个钉子，原理是：两点确定一条直线，故C不符合题意；
D、从一个货站向一条高速公路修一条最短的路，原理是：连结直线外一点与已知直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据两点之间线段最短可判断A选项；根据垂线段最短可判断B、D选项；根据两点确定一条直线可判断C选项.
6．【答案】A
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠BOD=108° ，
∴∠AOC=108°，
∵∠2=3∠1，∠2+∠1=108°，
∴3∠1+∠1=108°，
∴∠1=27°.
故答案为：A.
【分析】根据对顶角的性质求出 ∠AOC度数，利用已知条件和角度计算即可求出∠1度数.
7．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】由垂直的概念可得∠EOC=90°，则∠AOC=90°-∠AOE，由对顶角的性质可得∠BOD=∠AOC，据此解答.
8．【答案】C
【知识点】直线、射线、线段；相交线
【解析】【解答】解：∵经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，
∴如果有和直线a平行的直线，只能是一条，
即与直线a相交的直线至少有3条，
故答案为：C.
【分析】根据经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，据此即可求解.
9．【答案】D
【知识点】相交线
【解析】【解答】解：图1：当四条直线平行时，无交点；
图2：当三条平行，另一条与这三条不平行时有3个交点；
图3：当两两直线平行时，有4个交点；
图4：当有两条直线平行，而另两条不平行时有5个交点；
图5：当四条直线同交于一点时，只有1个交点；
图6：当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点；
图7：当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点；
综上所述，共7种情况，6种交点个数，
故答案为：D．
【分析】根据直线与直线的位置关系，列出所有情况即可，四条直线的位置关系可能有互不平行，两条平行，三条平行，四条平行四种情况，注意不要漏掉
10．【答案】C
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】∵∠BAC=90°，∴AB⊥AC，故①正确；
∵∠DAC<∠BAC=90°，∴AD与AC不垂直，故②错误；
点C到AB的垂线段是线段AC，故③错误；
点A到BC的距离是线段AD的长度，故④正确；
线段AB的长度是点B到AC的距离，故⑤正确；
在ABD中，根据两边之和大于第三边，AD+BD>AB，故⑥正确，
∴正确的为：①④⑤⑥.
故答案为：C.
【分析】根据点到直线的距离，垂直、垂线段的定义逐项判断即可.
11．【答案】点到直线的距离垂线段最短
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：口渴的牛儿在A点处想尽快地到达小河边喝水，它应该沿着线路AB奔跑，其中蕴含的数学依据是点到直线的距离垂线段最短.
故答案为： 点到直线的距离垂线段最短.
【分析】点到直线的距离垂线段最短.
12．【答案】60°
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：∵AO⊥BO，
∴∠AOB＝90°，
∵∠COD＝180°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，
∵∠BOD＝2∠AOC，
∴3∠AOC＝90°，
∴∠AOC=30°，
∴∠BOD＝60°．
故答案为：60°．
【分析】根据垂直的定义得∠AOB＝90°，可利用互余得∠AOC＋∠BOD＝90°，把 ∠BOD＝2∠AOC 代入可计算出∠BOD．
13．【答案】对顶角相等
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】测量角的仪器依据的原理是：对顶角相等．
故答案是：对顶角相等．
【分析】根据对顶角相等的性质解答．
14．【答案】120°
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠COE∶∠BOE＝2∶5，
∴设∠COE=2x，则∠BOE=5x，
∵OA平分∠COE，
∴∠AOE=∠COA=∠BOD=x，
∴∠DOE=4x，
∵∠COE+∠DOE=180°，
∴2x+4x=180°，
∴x=30°，
∴∠DOE=4x=120°.
故答案为：120°.
【分析】设∠COE=2x，∠BOE=5x，根据角平分线的定义和对顶角的性质求出∠AOE=∠BOD=x，从而用x表示出∠DOE，根据平角的定义即可求出x的度数，进而知道∠DOE度数.
15．【答案】DE
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；垂线
【解析】【解答】解：画出C、D、E、F中任意两点所在直线，如图所示，则与线段 垂直的线段是DE，
故答案为：DE.
【分析】分别画出C、D、E、F中任意两点所在直线，结合图形根据垂直的定义即可求解.
16．【答案】4
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】因为两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1，l2的距离分别是3，2的点，即距离坐标是（3，2）的点，因而共有4个，
故答案为4．
【分析】由于两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1，l2的距离分别是3，2的点，据此解答即可.
17．【答案】解：∵∠AOD=66°，
∴∠BOC=∠AOD=66°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=∠BOC=33°，
∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°，
∴∠BOF=90°-33°=57°.
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】由对顶角相等可得∠BOC=∠AOD，由角平分线定义可得∠BOE=∠BOC，然后由互为余角的定义可求解.
18．【答案】解：∵ AO⊥BO，CO⊥DO，
∴∠AOB=∠COD=90°，
∵∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°，且∠BOC=50°，
∴90°+50°+90°+∠AOD=360°，
解得：∠AOD=130°.
【知识点】垂线
【解析】【分析】由垂线的定义可得∠AOB=∠COD=90°，然后由角的构成可得关于∠AOD的方程，解方程可求解.
19．【答案】解：∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∵∠BON=55°，
∴∠AOM=180°-90°-55°=35°，
∵射线OM平分∠AOC，
∴∠AOC=2∠AOM=70°，
∴∠BOD=∠AOC=70°.
【知识点】角的运算；垂线；角平分线的定义
【解析】【分析】首先根据垂线的定义和已知条件求出∠AOM的度数，根据角平分线的定义求出∠AOC的度数，根据对顶角相等的性质即可得出所求.
20．【答案】解：连接CE，与BD的交点处架立交桥；1座．
【知识点】相交线
【解析】【分析】连接CE时只与BD有一个交点，所以只有一座立交桥.
21．【答案】（1）∠APB=∠1
（2）∠APB+∠1=180°
（3）相等或互补
（4）50°或130°
【知识点】垂线；作图-垂线
【解析】【解答】解：（1）如图，∠APB=∠1，
故答案为：∠APB=∠1；
（2）如图，∠APB+∠1=180°，
故答案为：∠APB+∠1=180°；
（3） 结合（1）和（2）的结论得：
如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补，
故答案为：相等或互补；
（4）结合（3）的结论得： ∠P=∠1=50°或 ∠P=180°-∠1=130°，
故答案为：50°或130°.
【分析】（1）根据题意画出图形，量出∠APB和∠1的度数，即可得出答案；
（2）根据题意画出图形，量出∠APB和∠1的度数，即可得出答案；
（3）根据（1）和（2）的结论得出，如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补，即可得出答案；
（4）根据（3）的结论得出∠P=∠1或 ∠P=180°-∠1，即可得出答案.
22．【答案】（1）解：∵∠NOB=20°，∠BOC=120°
∠NOB+∠BOC+∠COD=180°
∴∠COD=180°-20°-120°=40°
（2）解：OD平分∠AOC
∵∠MON=∠MOD=90°
∴∠DOC+COM=∠MOB+∠BON
∵OM平分∠BOC
∴∠COM=∠MOB
∴∠DOC=∠BON
∵∠BON=∠AOD（对顶角相等）
∴∠AOD=∠DOC
∴OD平分∠AOC
（3）解：∵∠BOC=120°
∴∠AOC=180°-120°=60°
∵∠MON=90°
∴∠MON-∠AOC=30°
∴∠AOM+∠AON-∠AON-∠NOC=30°
∴∠AOM-∠NOC=30°
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）∠NOB+∠BOC+∠COD=180°，根据题目已知条件代入即可求解；（2）∠MON=∠MOD=90°，利用互余的性质可以得出∠DOC=∠BON，由对顶角的性质得出∠BON=∠AOD，即可得出结果；（3）根据∠BOC=120°，得出∠AOC=60°，再利用∠MON-∠AOC=30°即可得出结论.
23．【答案】（1）44°
（2）（2m-20）°；∠BOE=2∠COF-20°
（3）解：仍然成立，理由如下，
设∠COF=x°
∵∠COE=90°，∴∠EOF=（90-x）°
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE=2（90-x）°
∴∠BOE=160°-2（90-x）°=（2x-20）°
即∠BOE=2∠COF-20°仍然成立。
【知识点】角的运算；垂线；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵∠COE是直角 ， ∠COF=32°
∴∠EOF=∠COE-∠COF=90°-32°=58°
∵OF平分∠AOE
∴∠AOF=∠EOF=58°
∴∠AOE=2∠EOF=116°
∵∠ BOE= ∠AOB-∠AOE=160°-116°=44°
故答案为：44°
（2）①∵∠COE是直角 ， ∠COF=m°
∴∠EOF=∠COE-∠COF=90°-m°
∵OF平分∠AOE
∴∠AOF=∠EOF=90°-m°
∴∠AOE=2∠EOF=180°-2m°
②∵∠ BOE= ∠AOB-∠AOE=160°-(180°-2m°)= （2m-20）°
∵当 ∠COF=m° 时，∠ BOE=（2m-20）°
∴∠BOE=2∠COF-20°
故答案为：1、（2m-20）°；2、∠BOE=2∠COF-20°。
【分析】（1）利用直角求出∠EOF以及利用角平分线的定义求出∠AOE，结合图形，运用角的和差进行求解；
（2）这道题目在第一问的基础上，将∠COF的度数换成m°，结合上一问的步骤进行化简可求出∠BOE ；
（3）根据第（2）问，可设 ∠COF=x° ，并用 ∠COF表示出∠BOE ，从而得出 ∠BOE与∠COF的数量关系仍然成立 。
1 / 1（第一次学期同步） 6.9直线的相交2023-2024学年浙教版七年级数学
一、选择题
1．（2023七上·江北期末）在下列图形中，线段的长表示点P到直线的距离的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：因为A选项中PQ垂直于MN，选项B、C、D中PQ都不垂直于MN，所以线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是A选项.
故答案为：A.
【分析】过直线外一点P，作已知直线MN的垂线，点P与垂足间的线段的长，就是点P到直线MN的距离，由此一一判断得出答案.
2．（2023七上·鄞州期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．若AB=BC，则点B是线段AC的中点
C．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线
D．一个锐角的补角大于等于该锐角的余角
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；线段的中点；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故原说法错误，不符合题意；
B、当点B在线段AC上，且AB=BC时，点B才是线段AC的中点，故原说法错误，不符合题意；
C、在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，说法正确，故此选项符合题意；
D、一个锐角的补角一定大于该锐角的余角，故原说法错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据对顶角的性质可判断A选项；根据线段中点的定义可判断B选项；根据垂线的性质可判断C选项；根据和为90°的两个角互为余角，和为180°的两个角互为补角可判断D选项.
3．如图，利用工具测量角，则∠1的大小（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】A
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由图可知，的对顶角是30°，
∴=30°.
故答案为：A.
【分析】根据对顶角相等即可求出答案.
4．下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放法正确的是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【答案】C
【知识点】作图-垂线
【解析】【解答】解：A、CD与AB不垂直，故A不符合题意；
B、CD没有经过点P，故B不符合题意；
C、CD经过点P，且CD⊥AB， 故C符合题意；
D、CD与AB不垂直，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法是：让直角三角尺的一条直角边与已知直线重合，移动三角尺，让另一条直角边经过已知点，然后沿这条直角边画直线，该直线就与已知直线垂直，逐项进行判断，即可得出答案.
5．下列生活实例中，应用到的数学原理解释错误的一项是（ ）
A．在两个村庄之间修一条最短的公路，原理是：两点之间线段最短
B．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．把一根木条固定到墙上需要两个钉子，原理是：两点确定一条直线
D．从一个货站向一条高速公路修一条最短的路，原理是：连结直线外一点与已知直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【答案】B
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【解答】解：A、在两个村庄之间修一条最短的公路，原理是：两点之间线段最短，故A不符合题意；
B、从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，原理是：连结直线外一点与已知直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故B符合题意；
C、把一根木条固定到墙上需要两个钉子，原理是：两点确定一条直线，故C不符合题意；
D、从一个货站向一条高速公路修一条最短的路，原理是：连结直线外一点与已知直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据两点之间线段最短可判断A选项；根据垂线段最短可判断B、D选项；根据两点确定一条直线可判断C选项.
6．如图，直线AB，CD相交于点O，∠2=3∠1，∠BOD=108°，则∠1=（ ）
A．27° B．36° C．81° D．72°
【答案】A
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠BOD=108° ，
∴∠AOC=108°，
∵∠2=3∠1，∠2+∠1=108°，
∴3∠1+∠1=108°，
∴∠1=27°.
故答案为：A.
【分析】根据对顶角的性质求出 ∠AOC度数，利用已知条件和角度计算即可求出∠1度数.
7．（2023七上·镇海区期末）如图，直线相交于点O，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】由垂直的概念可得∠EOC=90°，则∠AOC=90°-∠AOE，由对顶角的性质可得∠BOD=∠AOC，据此解答.
8．如图，经过直线a外一点O的4条直线中，与直线a相交的直线至少有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【知识点】直线、射线、线段；相交线
【解析】【解答】解：∵经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，
∴如果有和直线a平行的直线，只能是一条，
即与直线a相交的直线至少有3条，
故答案为：C.
【分析】根据经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，据此即可求解.
9．（2020七上·包河期末）若四条直线在平面内交点的个数为 ，则 的可能取值有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【知识点】相交线
【解析】【解答】解：图1：当四条直线平行时，无交点；
图2：当三条平行，另一条与这三条不平行时有3个交点；
图3：当两两直线平行时，有4个交点；
图4：当有两条直线平行，而另两条不平行时有5个交点；
图5：当四条直线同交于一点时，只有1个交点；
图6：当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点；
图7：当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点；
综上所述，共7种情况，6种交点个数，
故答案为：D．
【分析】根据直线与直线的位置关系，列出所有情况即可，四条直线的位置关系可能有互不平行，两条平行，三条平行，四条平行四种情况，注意不要漏掉
10．（2018七上·南山期末）如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①AB⊥AC； ②AD与AC互相垂直； ③点C到AB的垂线段是线段AB；
④点A到BC的距离是线段AD的长度； ⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；
⑥AD+BD>AB．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】∵∠BAC=90°，∴AB⊥AC，故①正确；
∵∠DAC<∠BAC=90°，∴AD与AC不垂直，故②错误；
点C到AB的垂线段是线段AC，故③错误；
点A到BC的距离是线段AD的长度，故④正确；
线段AB的长度是点B到AC的距离，故⑤正确；
在ABD中，根据两边之和大于第三边，AD+BD>AB，故⑥正确，
∴正确的为：①④⑤⑥.
故答案为：C.
【分析】根据点到直线的距离，垂直、垂线段的定义逐项判断即可.
二、填空题
11．（2021七上·长兴期末）如图，口渴的牛儿在A点处想尽快地到达小河边喝水，它应该沿着线路AB奔跑，其中蕴含的数学依据是 .
【答案】点到直线的距离垂线段最短
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：口渴的牛儿在A点处想尽快地到达小河边喝水，它应该沿着线路AB奔跑，其中蕴含的数学依据是点到直线的距离垂线段最短.
故答案为： 点到直线的距离垂线段最短.
【分析】点到直线的距离垂线段最短.
12．（2023七上·安岳期末）如图，AO⊥BO，O为垂足，直线CD过点O，且∠BOD＝2∠AOC，则∠BOD＝ ．
【答案】60°
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：∵AO⊥BO，
∴∠AOB＝90°，
∵∠COD＝180°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，
∵∠BOD＝2∠AOC，
∴3∠AOC＝90°，
∴∠AOC=30°，
∴∠BOD＝60°．
故答案为：60°．
【分析】根据垂直的定义得∠AOB＝90°，可利用互余得∠AOC＋∠BOD＝90°，把 ∠BOD＝2∠AOC 代入可计算出∠BOD．
13．（2019七上·德惠期末）如图是一种测量角的仪器，它依据的原理是 ．
【答案】对顶角相等
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】测量角的仪器依据的原理是：对顶角相等．
故答案是：对顶角相等．
【分析】根据对顶角相等的性质解答．
14．（2023七上·南岗开学考）如图，直线AB和CD相交于O，OA平分∠COE，∠COE∶∠BOE＝2∶5，则∠EOD的度数为 ．
【答案】120°
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠COE∶∠BOE＝2∶5，
∴设∠COE=2x，则∠BOE=5x，
∵OA平分∠COE，
∴∠AOE=∠COA=∠BOD=x，
∴∠DOE=4x，
∵∠COE+∠DOE=180°，
∴2x+4x=180°，
∴x=30°，
∴∠DOE=4x=120°.
故答案为：120°.
【分析】设∠COE=2x，∠BOE=5x，根据角平分线的定义和对顶角的性质求出∠AOE=∠BOD=x，从而用x表示出∠DOE，根据平角的定义即可求出x的度数，进而知道∠DOE度数.
15．（2020七上·碑林期末）如图，在 的正方形网格中，点 都在格点上，连接 中任意两点得到的所有线段中，与线段 垂直的线段是 .
【答案】DE
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；垂线
【解析】【解答】解：画出C、D、E、F中任意两点所在直线，如图所示，则与线段 垂直的线段是DE，
故答案为：DE.
【分析】分别画出C、D、E、F中任意两点所在直线，结合图形根据垂直的定义即可求解.
16．（2020七上·朝阳期末）如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2，的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（3，2）的点共有 个．
【答案】4
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】因为两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1，l2的距离分别是3，2的点，即距离坐标是（3，2）的点，因而共有4个，
故答案为4．
【分析】由于两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1，l2的距离分别是3，2的点，据此解答即可.
三、解答题
17．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥OE，且∠AOD=66°．求∠BOF的度数．
【答案】解：∵∠AOD=66°，
∴∠BOC=∠AOD=66°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=∠BOC=33°，
∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°，
∴∠BOF=90°-33°=57°.
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】由对顶角相等可得∠BOC=∠AOD，由角平分线定义可得∠BOE=∠BOC，然后由互为余角的定义可求解.
18．如图，AO⊥BO，CO⊥DO，O是垂足，∠BOC=50°．求∠AOD的度数．
【答案】解：∵ AO⊥BO，CO⊥DO，
∴∠AOB=∠COD=90°，
∵∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°，且∠BOC=50°，
∴90°+50°+90°+∠AOD=360°，
解得：∠AOD=130°.
【知识点】垂线
【解析】【分析】由垂线的定义可得∠AOB=∠COD=90°，然后由角的构成可得关于∠AOD的方程，解方程可求解.
19．（2020七上·洛宁期末）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，且∠BON=55°，求∠BOD的度数.
【答案】解：∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∵∠BON=55°，
∴∠AOM=180°-90°-55°=35°，
∵射线OM平分∠AOC，
∴∠AOC=2∠AOM=70°，
∴∠BOD=∠AOC=70°.
【知识点】角的运算；垂线；角平分线的定义
【解析】【分析】首先根据垂线的定义和已知条件求出∠AOM的度数，根据角平分线的定义求出∠AOC的度数，根据对顶角相等的性质即可得出所求.
20．如图所示，A、B、C、D、E五个城市，它们之间原有道路相通，现在打算在C、E两城市之间沿直线再修建一条公路，这条公路与原公路的交叉处必须设立交桥，问怎样确定立交桥的位置？应架设几座立交桥？
【答案】解：连接CE，与BD的交点处架立交桥；1座．
【知识点】相交线
【解析】【分析】连接CE时只与BD有一个交点，所以只有一座立交桥.
21．平面内有任意一点P和∠1，按要求解答下列问题：
（1）当点P在∠1外部时，如图1，过点P作PA⊥OM，PB_⊥ON，垂足分别为A，B，量一量∠APB和∠1的度数，用数学式子表达它们之间的数量关系．
（2）当点P在∠1内部时，如图2，以点P为顶点作∠APB，使∠APB的两边分别和∠1的两边垂直，垂足分别为A，B，量一量∠APB和∠1的度数，用数学式子表达∠APB和∠1的数量关系．
（3）由上述情形，用文字语言叙述结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角
（4）若∠1=50°，∠P的两边和∠1的两边垂直，则∠P的度数为
【答案】（1）∠APB=∠1
（2）∠APB+∠1=180°
（3）相等或互补
（4）50°或130°
【知识点】垂线；作图-垂线
【解析】【解答】解：（1）如图，∠APB=∠1，
故答案为：∠APB=∠1；
（2）如图，∠APB+∠1=180°，
故答案为：∠APB+∠1=180°；
（3） 结合（1）和（2）的结论得：
如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补，
故答案为：相等或互补；
（4）结合（3）的结论得： ∠P=∠1=50°或 ∠P=180°-∠1=130°，
故答案为：50°或130°.
【分析】（1）根据题意画出图形，量出∠APB和∠1的度数，即可得出答案；
（2）根据题意画出图形，量出∠APB和∠1的度数，即可得出答案；
（3）根据（1）和（2）的结论得出，如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补，即可得出答案；
（4）根据（3）的结论得出∠P=∠1或 ∠P=180°-∠1，即可得出答案.
22．（2020七上·郾城期末）如图（1），点 为直线 上一点，过点 作射线 ，将一直角的直角顶点放在点 处，即 反向延长射线 ，得到射线 .
（1）当 的位置如图（1）所示时，使 ，若 ，求 的度数.
（2）当 的位置如图（2）所示时，使一边 在 的内部，且恰好平分 ，
问：射线 的反向延长线 是否平分 请说明理由：注意：不能用问题（1）中的条件
（3）当 的位置如图 所示时，射线 在 的内部，若 .试探究 与 之间的数量关系，不需要证明，写出结论.
【答案】（1）解：∵∠NOB=20°，∠BOC=120°
∠NOB+∠BOC+∠COD=180°
∴∠COD=180°-20°-120°=40°
（2）解：OD平分∠AOC
∵∠MON=∠MOD=90°
∴∠DOC+COM=∠MOB+∠BON
∵OM平分∠BOC
∴∠COM=∠MOB
∴∠DOC=∠BON
∵∠BON=∠AOD（对顶角相等）
∴∠AOD=∠DOC
∴OD平分∠AOC
（3）解：∵∠BOC=120°
∴∠AOC=180°-120°=60°
∵∠MON=90°
∴∠MON-∠AOC=30°
∴∠AOM+∠AON-∠AON-∠NOC=30°
∴∠AOM-∠NOC=30°
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）∠NOB+∠BOC+∠COD=180°，根据题目已知条件代入即可求解；（2）∠MON=∠MOD=90°，利用互余的性质可以得出∠DOC=∠BON，由对顶角的性质得出∠BON=∠AOD，即可得出结果；（3）根据∠BOC=120°，得出∠AOC=60°，再利用∠MON-∠AOC=30°即可得出结论.
23．（2021七上·长兴期末）已知∠AOB=160°，∠COE是直角，OF平分∠AOE.
（1）如图1，若∠COF=32°，则∠BOE= ；
（2）如图1，若∠COF=m°，则∠BOE= ；∠BOE与∠COF的数量关系为 .
（3）在已知条件不变的前提下，当∠COE绕点О逆时针转动到如图2的位置时，第（2）问中∠BOE与∠COF的数量关系是否仍然成立 请说明理由.
【答案】（1）44°
（2）（2m-20）°；∠BOE=2∠COF-20°
（3）解：仍然成立，理由如下，
设∠COF=x°
∵∠COE=90°，∴∠EOF=（90-x）°
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE=2（90-x）°
∴∠BOE=160°-2（90-x）°=（2x-20）°
即∠BOE=2∠COF-20°仍然成立。
【知识点】角的运算；垂线；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵∠COE是直角 ， ∠COF=32°
∴∠EOF=∠COE-∠COF=90°-32°=58°
∵OF平分∠AOE
∴∠AOF=∠EOF=58°
∴∠AOE=2∠EOF=116°
∵∠ BOE= ∠AOB-∠AOE=160°-116°=44°
故答案为：44°
（2）①∵∠COE是直角 ， ∠COF=m°
∴∠EOF=∠COE-∠COF=90°-m°
∵OF平分∠AOE
∴∠AOF=∠EOF=90°-m°
∴∠AOE=2∠EOF=180°-2m°
②∵∠ BOE= ∠AOB-∠AOE=160°-(180°-2m°)= （2m-20）°
∵当 ∠COF=m° 时，∠ BOE=（2m-20）°
∴∠BOE=2∠COF-20°
故答案为：1、（2m-20）°；2、∠BOE=2∠COF-20°。
【分析】（1）利用直角求出∠EOF以及利用角平分线的定义求出∠AOE，结合图形，运用角的和差进行求解；
（2）这道题目在第一问的基础上，将∠COF的度数换成m°，结合上一问的步骤进行化简可求出∠BOE ；
（3）根据第（2）问，可设 ∠COF=x° ，并用 ∠COF表示出∠BOE ，从而得出 ∠BOE与∠COF的数量关系仍然成立 。
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