(共32张PPT)
数轴上的动点问题
初一上学期专题课
（一）
学习内容
1.能熟练求出数轴上任意两点之间的距离；
2.会分析数轴上一个动点或两个动点运动过程，并能用分类讨论和方程的思想解决实际问题.
1.已知数轴上A,B两点分别表示1和5，则AB=_____.
2.已知数轴上A,B两点分别表示－1和4，则AB=_____.
3.已知A,B两点表示a和b(a＞b)，则AB=
_______.
问题一:数轴上两点之间距离的表示方法
4
5
a－b
|a－b|
×
|a－b|
|b－a|
3.数轴上A,B两点表示的数为x和－3，则A,B之间的距离为______.
4.已知数轴上两点A,B对应的数为－2和4，则AB的中点P表示的数为_____.
5.已知数轴上两点之间的距离为|x+2|，则表示数____与数____之间的距离，若|x+2|=3，则x=____________.
1
学以致用
|x+3|
|－3－x|
x
－2
－5或1
例1.已知数轴上A,B两点对应的数分别为－2和4，P为数轴上一动点，对应数为x.
(1)若P为线段AB的三等分点，则x的值为________;
(2)若线段PA=3PB，则点P表示的数为_____________;
(3)若点P到A点,B点距离之和为10，点P表示的数为________.
问题二:数轴上一个动点的情况
例1.已知数轴上A,B两点对应的数分别为－2和4，P为数轴上一动点，对应数为x.
(1)若P为线段AB的三等分点，则x的值为________;
P1
P2
x1
x2
分类讨论思想
①PB=2PA
4－x=2[x－(－2)]
x=0
①PA=2PB
方程思想
x－(－2)=2(4－x)
x=2
0或2
等量关系
例1.已知数轴上A,B两点对应的数分别为－2和4，P为数轴上一动点，对应数为x.
(2)若线段PA=3PB，则点P表示的数为_____________;
P点在哪些地方可能会有此数量关系？
P
①不存在
P
②存在
x－(－2)=3(4－x)
x
x=2.5
P
③存在
x
x－(－2)=3(x－4)
x=7
2.5或7
PA＜PB
例1.已知数轴上A,B两点对应的数分别为－2和4，P为数轴上一动点，对应数为x.
(2)若线段PB=3PA，则点P表示的数为_____________;
P
变式1
①存在
x
4－x=3(－2－x)
x=－5
P
x
②存在
4－x=3[x－(－2)]
x=－0.5
③不存在
P
PB＜PA
－5或－0.5
例1.已知数轴上A,B两点对应的数分别为－2和4，P为数轴上一动点，对应数为x.
(2)若点P到A,B其中一点的距离是点P到另外一点距离的3倍，则点P表示的数为______________________;
包括两大类情况
PA=3PB或PB=3PA
2.5，7，
－5或－0.5
P
P
P
P
变式2
例1.已知数轴上A,B两点对应的数分别为－2和4，P为数轴上一动点，对应数为x.
(3)若点P到A点,B点距离之和为10，点P表示的数为________.
P点在哪些地方可能会有此数量关系？
P
x
①存在
(－2－x)+(4－x)=10
x=－4
P
②不存在
PA+PB=AB=4－(－2)=4+2=6
P
x
③存在
[x－(－2)]+(x－4)=10
x=6
－4或6
PA+PB=10
变式1
例1.已知数轴上A,B两点对应的数分别为－2和4，P为数轴上一动点，对应数为x.
(3)若点P满足PA－PB=3，点P表示的数为_____________.
P
①不存在
因为PA＜PB
P
②存在
[x－(－2)]－(4－x)=3
x
x=2.5
③不存在
PA－PB=AB=6
P
2.5
变式2
例1.已知数轴上A,B两点对应的数分别为－2和4，P为数轴上一动点，对应数为x.
(3)若点P满足PB－PA=3，点P表示的数为_____________.
P
①不存在
PB－PA=AB=6
P
②存在
(4－x) －[x－(－2)] =3
x
x=－0.5
③不存在
PB＜PA
P
－0.5
例2. 如图，数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB＝14，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t＞0)秒．
(l)点B表示的数为______，点P表示的数为_______（用含t的式子表示）；
(2)动点H从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P,H同时出发，问点P运动多少秒时与H相遇
问题三:数轴上双动点的情况
例2. 如图，数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB＝14，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t＞0)秒．
(l)点B表示的数为______，点P表示的数为_______（用含t的式子表示）；
－6
8－5t
x
8－x=14
x=6
P
y
8－y=5t
y=8－5t
5t
例2. 如图，数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB＝14，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t＞0)秒．
(2)动点H从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P,H同时出发，问点P运动多少秒时与H相遇
P
H
等量关系是？
SP+SH=14
5t+3t=14
t=
找等量关系
列方程
5t
3t
14
例2. 如图，数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB＝14，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t＞0)秒．
(2)动点H从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P,H同时出发，问点P运动多少秒时与H相遇
解:设点P运动t秒后与H相遇，依题意有:
5t+3t=14
解得：t=
答：点P运动 秒时与H相遇.
例2. 如图，数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB＝14，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t＞0)秒．
(2)动点H从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P,H同时出发，问点P运动多少秒时追上点H
变式
P
H
等量关系是？
SP=SH+14
5t=3t+14
t=7
5t
3t
14
例2. 如图，数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB＝14，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t＞0)秒．
(2)动点H从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P,H同时出发，问点P运动多少秒时追上点H
变式
解:设点P运动t秒时能追上H，依题意有:
5t=3t+14
解得：t=7
答：点P运动7秒时能追上H.
1.如图，已知A,B分别为数轴上两点，A点对应的数为－20，B点对应的数为100.
(1)求AB中点M对应的数是______；
(2)现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数.
学以致用
40
(2)现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数.
学以致用
解:设t秒后P和Q相
遇，依题意有：
6t+4t=100－(－20)
解得：t=12
∴C点表示的数为：100－6×12=28
∴C点表示的数为28.
－20+4×12=28
2.已知M、N在数轴上，M对应的数是－3，点N在M的右边，且距M点4个单位长度。点P、Q是数轴上两个动点；
(1)直接写出点N所对应的数_____；
(2)当点P到点M、N的距离之和是5个单位时，点P所对应的数是____________;
(3)如果P、Q分别同时从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度；点Q每秒走3个单位长度。当P、Q两点相距2个单位长度时，点P、Q对应的数各是多少？
1
－3.5或1.5
(3)如果P、Q分别同时从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度；点Q每秒走3个单位长度。当P、Q两点相距2个单位长度时，点P、Q对应的数各是多少？
解:设t秒时P,Q相距2，有以下两种情况：
①当点Q未追上点P时，
3t+2=2t+4
解得：t=2
∴点Q表示的数为:1－3×2=－5
点P表示的数为:－5－2=－7
－3－2×2=－7
(3)如果P、Q分别同时从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度；点Q每秒走3个单位长度。当P、Q两点相距2个单位长度时，点P、Q对应的数各是多少？
②当点Q已经追上点P时，
3t=2t+4+2
解得：t=6
∴点Q表示的数为:1－3×6=－17
点P表示的数为:－17+2=－15
综上所述，点P,Q对应的数为－5，－7或－17，－15.
－3－2×6=－15
这节课我们学习了——
1.数轴上已知大小的两个数表示的点之间的距离为：大的数－小的数；
2.会建立数学模型，利用分类讨论和方程来解决数轴中的动点问题。
1.已知数轴上A,B两点表示的数分别为－8和20，点P,Q分别从A,B两点同时出发，P点运动速度为每秒3个单位长度，Q点运动速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒.
(1)点P向右运动，Q点向左运动，当t为何值时，P,Q两点之间距离为8？
(2)若P点和Q点都向右运动，多少秒后，P,Q两点之间距离为8.
课后巩固
1.已知数轴上A,B两点表示的数分别为－8和20，点P,Q分别从A,B两点同时出发，P点运动速度为每秒3个单位长度，Q点运动速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒.
(1)点P向右运动，Q点向左运动，当t为何值时，P,Q两点之间距离为8？
解:有以下两种情况：
①P,Q相遇之前相距8：
3t+t+8=20－(－8)
解得：t=5
②P,Q相遇之后 相距8：
3t+t－8=20－(－8)
解得：t=9
综上所述，当t为5或9时，P,Q相距8.
1.已知数轴上A,B两点表示的数分别为－8和20，点P,Q分别从A,B两点同时出发，P点运动速度为每秒3个单位长度，Q点运动速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒.
(2)若P点和Q点都向右运动，多少秒后，P,Q两点之间距离为8.
解:有以下两种情况：
①P追上Q之前相距8：
3t+8=20－(－8)+t
解得：t=10
②P追上Q之后 相距8：
3t=20－(－8)+8+t
解得：t=18
综上所述，10s或18s后，P,Q相距8.
2.已知数轴上两点A、B对应的数分别为－1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。
⑴若点P到点A、点B的距离相等，则点P对应的数为______；
⑵数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值。若不存在，请说明理由？
1
1.已知数轴上两点A、B对应的数分别为－1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。
⑵数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值。若不存在，请说明理由？
解:存在，理由如下:
①当点P在点A左边时，PA+PB=5
∴－1－x+3－x=5
解得：x=－1.5
②当点P在点B右边时，PA+PB=5
∴x－(－1)+x－3=5
解得：x=3.5
综上所述，X的值为－1.5或3.5.
2.已知M、N在数轴上，M对应的数是－3，点N在M的右边，且距M点4个单位长度。点P、Q是数轴上两个动点；
(1)直接写出点N所对应的数_____；
(2)当点P到点M、N的距离之和是5个单位时，点P所对应的数是____________;
(3)如果P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，先出发5秒钟；点Q每秒走3个单位长度。当P、Q两点相距2个单位长度时，点P、Q对应的数各是多少？
1
－3.5或1.5
(3)如果P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，先出发5秒钟；点Q每秒走3个单位长度。当P、Q两点相距2个单位长度时，点P、Q对应的数各是多少？
解:设t秒P,Q相距2，有以下两种情况：
①当点Q未追上点P时，
3t+2=2(5+t)+4
解得：t=12
∴点Q表示的数为:1－3×12=－35
点P表示的数为:－35－2=－37
－3－2×(5+12)=－37
(3)如果P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，先出发5秒钟；点Q每秒走3个单位长度。当P、Q两点相距2个单位长度时，点P、Q对应的数各是多少？
②当点Q已经追上点P时，
3t=2(5+t)+4+2
解得：t=16
∴点Q表示的数为:1－3×16=－47
点P表示的数为:－47+2=－45
－3－2×(5+16)=－45
综上所述，点P,Q对应的数为－35，－37或－47，－45.(共10张PPT)
微专题
双 动 点
——之“瓜豆原理”
引例
1.(2020·江苏泰安)如图点A,B的坐标分别为A(2,0)，B(0,2)，点C为坐标平面内一点，BC=1，点M为线段AC的中点，连结OM，则OM的最大值为( )
A.+1 B. +
C.2+1 D.2－
1
问题1：C点的运动轨迹是什么？
问题2：那么M点的运动轨迹呢？
我们仿照画函数图象的方法，描出一些M点的位置，然后再来判断.
思考：这些点形成的图形大致是什么形状？
那么M点到底在小圆的什么地方，OM的值最大呢？
经过小圆圆心时，OM最长
一箭穿心
E
M1
M2
AM1=－
AM2=+
M1M2=AM2－AM1=+ －(－)=1，EM1=
AE=AM1+EM1=－+=
即:E为AB中点
OM=OE+EM=+
C2
C1
主动点
因为C点运动，M点被动跟随C点才运动的，因此M点称为“从动点”.
定点
1
这类题目有一些什么特点？
要点一：有主动点，从动点，定点；
要点二：①主动点到定点的距离与从动点到定点的距离比是一个定值，即AC:AM是个定值，这里AC:AM=2:1；
②主动点与定点连线，及从动点与定点连线所形成的夹角是一个定角，即:∠COM=0°
定比
定角
要点三：从动点的轨迹跟随主动点的轨迹，即主动点C的运动轨迹是圆，那么从动点M的轨迹也是圆.
主动点
瓜
从动点
豆
定点
根
“瓜豆原理”
豆随瓜
应用
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10，BC=8，点D是BC上一点，BC=3CD，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点M为的中点，连接AM，则AM的最小值为______.
A
P
C
D
B
M
2.如图1，在平面直角坐标系中，点D是□OABC的对角线OB的中点，OA=8，OC=4，∠COA=60°，点E是OC边上的任意一点，连结DE，将DE绕点D逆时针方向旋转90°到DF；
(1)点E是OC中点时，求点F的坐标；
(2)如图2，当点F恰好落在OA边上时，求AF的长;
(3)当点E从点O运动到点C的过程中，线段FA的最小值为______.(直接写出答案)
x
y
o
A
B
C
D
E
F
x
y
o
A
B
C
D
E
F
