5.1常量和变量-2023-2024学年浙教版八年级上 同步分层作业（含解析）

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5.1常量和变量 同步分层作业
基础过关
1．圆面积公式S＝πr2，下列说法正确的是（　　）
A．S、π是变量，r是常量 B．S是变量，π、r是常量
C．r是变量，S、π是常量 D．S、r是变量，π是常量
2．一本笔记本5元，买x本共付y元，则5和x分别是（　　）
A．常量，变量 B．变量，变量 C．常量，常量 D．变量，常量
3．把20本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入a本，第二个抽层放入b本，则下列判断错误的是（　　）
A．20是变量 B．a是变量 C．b是变量 D．20是常量
4．已知某汽车耗油量为0.1L/km，油箱中现有汽油50L．如果不再加油，记此后汽车行驶的路程为xkm，油箱中的油量为yL．则此问题中的常量和变量是（　　）
A．常量50；变量x． B．常量0.1；变量y．
C．常量0.1，50；变量x，y． D．常量x，y；变量0.1，50．
5．某学校用100元钱买乒乓球，所购买球的个数w与单价n（元）之间的关系是，其中（　　）
A．100是常量，w，n是变量 B．100，w是常量，n是变量
C．100，n是常量，w是变量 D．无法确定哪个是常量，哪个是变量
6．某市居民用电价格是0.58元/（千瓦 时），居民应付电费为y元，用电量为x千瓦 时，其中常量是 　　，变量是 　　．
7．三角形的面积公式中S＝ah其中底边a保持不变，则常量是　　，变量是　　．
8．在公式s＝v0t+2t2（v0为已知数）中，常量是　　，变量是　　．
9．在关系式V＝30﹣2t中，V随着t的变化而变化，其中自变量是　　，因变量是　　，当t＝　　时，V＝0．
10．分析并指出下列关系中的变量与常量：
（1）球的表面积S cm2与球的半径R cm的关系式是S＝4πR2；
（2）以固定的速度v0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h米与小球运动的时间t秒之间的关系式是h＝v0t﹣4.9t2；
（3）一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m与它下落的时间t s的关系式是h＝gt2（其中g取9.8m/s2）；
（4）已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量W千克与所付款x元之间的关系式是x＝1.8W．
能力提升
11．某辆速度为v（km/h）的车从甲地开往相距s（km）的乙地，全程所用的时间为t（h），在这个变化过程中，（　　）
A．s是变量 B．t是常量 C．v是常量 D．s是常量
12．汽车以每小时100千米的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化，在这个变化过程中，自变量是（　　）
A．汽车 B．路程 C．速度 D．时间
13．快递小哥到加油站加油，加油机上的数据显示牌如图所示，则其中的常量是（　　）
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
14．下表是某报纸公布的世界人口数据情况：表中的变量（　　）
年份 1957 1974 1987 1999 2010
人口数 30亿 40亿 50亿 60亿 70亿
A．仅有一个，是时间（年份） B．仅有一个，是人口数
C．有两个，一个是人口数，另一个是时间（年份） D．一个也没有
15．有下列数量：①今年福彩小学六年级学生的人数；②某学生从7岁到10岁每年的身高；③你现在使用的数学教科书的质量；④汽车开出后离出发地的距离，其中是变量的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．汽车开始行驶时油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量Q（升）与行驶时间t（小时）的关系是 　　，其中的常量是 　　，变量是 　　．
17.如果用总长为60m的篱笆围成一个长方形场地，设长方形的面积为S（m2），周长为p（m），一边长为a（m），那么在S，p，a中是变量的是 　S和a　．
18.分别指出下列变化过程中的变量与常量：
（1）y＝﹣2πx+4；
（2）s＝v0t+at2（其中v0，a为定值）．
培优拔尖
19．在路程S，速度v，时间t的相关计算中，若行驶路程S不变，则下列说法正确的是（　　）
A．速度v是变量 B．速度v，时间t都是变量
C．时间t是变量 D．路程S，速度v，时间t都是常量
20．以下是关于常量和变量的说法：
（1）在一个变化过程中，允许出现多个变量和常量；
（2）变量就是变量，它不可以转化为常量；
（3）变量和常量是相对而言的，在一定条件下可以相互转化；
（4）在一个变化过程中，变量只有2个，常量可以没有，也可能有多个．
其中正确的说法有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
21．谚语“冰冻三尺非一日之寒”体现了冰的厚度随时间变化的一个变化过程，在该变化过程中因变量是 　　．
22.林老师骑摩托车到加油站加油，发现每个加油器上都有三个量，其中一个表示“元/升”其数值固定不变的，另外两个量分别表示“数量”、“金额”，数值一直在变化，在这三个量当中　　是常量，　　是变量．
23.你能确定下列变化过程中的变量吗？
（1）小敏长高了； （2）在汤中加水，汤变淡了； （3）小狗越来越可爱了．
24.阅读下面这段有关“龟兔赛跑”的寓言故事，并指出所涉及的量中，哪些是变量？
一次乌龟与兔子举行500m赛跑，比赛开始不久，兔子就遥遥领先，当兔子以50m/min的速度跑了4min时，往回一看，乌龟远远地落在后面呢！兔子心想：“我就是睡一觉，你乌龟也追不上我，我为何不在此美美地睡上一觉呢？”可是，当骄傲的兔子正做着胜利者的美梦时，勤勉的乌龟却从它身边悄悄爬过，并以10m/min的速度匀速爬向终点．46min后，兔子梦醒了，而此时乌龟刚好到达终点．兔子悔之晚矣！等它再以60m/min的速度跑向终点时，它比乌龟晚了5min．
25.如图，△ABC边BC的长为10cm，BC边上的高为AD，当点A沿AD所在直线向点D运动时，三角形的面积发生了变化．
（1）指出在这个变化过程中的常量和变量；
（2）当高AD从8cm变化到3cm时，求三角形的面积的变化范围；
（3）若三角形的高为x（cm），三角形的面积为y（cm2），写出y与x的关系式．
答案与解析
基础过关
1．圆面积公式S＝πr2，下列说法正确的是（　　）
A．S、π是变量，r是常量 B．S是变量，π、r是常量
C．r是变量，S、π是常量 D．S、r是变量，π是常量
【点拨】在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，由此即可判断．
【解析】解：A、π是常量，r是变量，不符合题意；
B、r是变量，不符合题意；
C、S是变量，不符合题意；
D、S、r是变量，π是常量，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查常量，变量，解题的关键是掌握常量，变量的定义．
2．一本笔记本5元，买x本共付y元，则5和x分别是（　　）
A．常量，变量 B．变量，变量 C．常量，常量 D．变量，常量
【点拨】根据常量、变量的意义进行判断即可．
【解析】解：一本笔记本的单价是5元不变的，因此5是常量，
而购买的本数x，是变化的量，因此x是变量，
故选：A．
【点睛】本题考查常量、变量，理解在某一变化过程中“常量”“变量”的意义是正确判断的前提．
3．把20本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入a本，第二个抽层放入b本，则下列判断错误的是（　　）
A．20是变量 B．a是变量 C．b是变量 D．20是常量
【点拨】一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量，据此判断即可．
【解析】解：把20本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入a本，第二个抽屉放入b本．则a和b分别是变量，20是常量．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了常量与变量问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．
4．已知某汽车耗油量为0.1L/km，油箱中现有汽油50L．如果不再加油，记此后汽车行驶的路程为xkm，油箱中的油量为yL．则此问题中的常量和变量是（　　）
A．常量50；变量x． B．常量0.1；变量y．
C．常量0.1，50；变量x，y． D．常量x，y；变量0.1，50．
【点拨】求出油箱中的油量为yL与汽车行驶的路程为xkm之间的函数关系式，进而得出常量变量即可．
【解析】解：由题意得，
y＝50﹣0.1x，其中常量有0.1，50；变量为x、y；
故选：C．
【点睛】本题考查常量与变量，理解常量、变量的定义，求出油箱中的油量为yL与汽车行驶的路程为xkm之间的函数关系式是正确解答的前提．
5．某学校用100元钱买乒乓球，所购买球的个数w与单价n（元）之间的关系是，其中（　　）
A．100是常量，w，n是变量 B．100，w是常量，n是变量
C．100，n是常量，w是变量 D．无法确定哪个是常量，哪个是变量
【点拨】根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量．
【解析】解：学校计划用100元钱买乒乓球，所购买球的个数W（个）与单价n（元）的关系式w＝，
100是常量，w，n是变量，
故选：A．
【点睛】主要考查了常量与变量，熟知函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量是解题的关键．
6．某市居民用电价格是0.58元/（千瓦 时），居民应付电费为y元，用电量为x千瓦 时，其中常量是 　0.58　，变量是 　x、y　．
【点拨】根据常量是用电价格0.58（元/千瓦时），变量是用电量x（千瓦 时）和应付电费y（元）即可得出结论．
【解析】解：由题意，可知：常量是0.58，变量是x，y．
故答案为：0.58；x，y．
【点睛】本题考查变量和常量，熟练掌握变量是变化的量，常量是固定不变的量，是解题的关键．
7．三角形的面积公式中S＝ah其中底边a保持不变，则常量是　，a　，变量是　h、S　．
【点拨】根据变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量，常量是指在程序的运行过程中数值保持不变的量，可得答案．
【解析】解：S＝ah其中底边a保持不变，则常量是 ，a，变量是h、S，
故答案为：，a；S，h．
【点睛】本题考查了常量与变量，变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量，常量是指在程序的运行过程中数值保持不变的量．
8．在公式s＝v0t+2t2（v0为已知数）中，常量是　v0，2　，变量是　s，t　．
【点拨】因为在公式s＝v0t+2t2（v0为已知数）中，再结合函数的概念即可作出判断．
【解析】解：因为在公式s＝v0t+2t2（v0为已知数），所以v0、2是常量，s、t是变量．
【点睛】解答此题的关键是熟知以下概念：
函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
常量与变量：在某一变化过程中始终保持不变的量叫常量；不断变化的量叫变量．
9．在关系式V＝30﹣2t中，V随着t的变化而变化，其中自变量是　t　，因变量是　V　，当t＝　15　时，V＝0．
【点拨】根据函数的定义：设x和y是两个变量，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，我们就说y是x的函数，其中x是自变量．
【解析】解：根据函数的定义，则自变量是t，因变量是V；
要使V＝0，则30﹣2t＝0，
解得t＝15．
故答案为t，V，15．
【点睛】此题考查了函数的定义，能够根据函数值，求得自变量的值．
10．分析并指出下列关系中的变量与常量：
（1）球的表面积S cm2与球的半径R cm的关系式是S＝4πR2；
（2）以固定的速度v0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h米与小球运动的时间t秒之间的关系式是h＝v0t﹣4.9t2；
（3）一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m与它下落的时间t s的关系式是h＝gt2（其中g取9.8m/s2）；
（4）已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量W千克与所付款x元之间的关系式是x＝1.8W．
【点拨】根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可直接得到答案．
【解析】解：（1）球的表面积S cm2与球的半径R cm的关系式是S＝4πR2，其中，常量是4π，变量是S，R；
（2）以固定的速度v0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h米与小球运动的时间t秒之间的关系式是h＝v0t﹣4.9t2，常量是v0，﹣4.9，变量是h，t；
（3）一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m与它下落的时间t s的关系式是h＝gt2（其中g取9.8m/s2）其中常量是g，变量是h，t；
（4）已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量W千克与所付款x元之间的关系式是x＝1.8W，常量是1.8，变量是x，w．
【点睛】本题考查了常量和变量的定义，常量就是在变化过程中不变的量，变量就是可以取到不同数值的量．
能力提升
11．某辆速度为v（km/h）的车从甲地开往相距s（km）的乙地，全程所用的时间为t（h），在这个变化过程中，（　　）
A．s是变量 B．t是常量 C．v是常量 D．s是常量
【点拨】根据常量、变量的定义结合具体问题情境进行判断即可．
【解析】解：某辆速度为v（km/h）的车从甲地开往相距s（km）的乙地，全程所用的时间为t（h），在这个变化过程中，
速度为v（km/h）与所用的时间为t（h）是变量，甲乙两地的距离s（km）是常量，
故选：D．
【点睛】本题考查常量与变量，理解常量与变量的定义是正确判断的前提．
12．汽车以每小时100千米的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化，在这个变化过程中，自变量是（　　）
A．汽车 B．路程 C．速度 D．时间
【点拨】根据自变量的定义判断．
【解析】解：匀速行驶，速度不变，速度是常量，
时间是自变量，路程是因变量，
故选：D．
【点睛】本题考查了自变量，掌握主动发生变化的量是自变量是解题的关键．
13．快递小哥到加油站加油，加油机上的数据显示牌如图所示，则其中的常量是（　　）
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
【点拨】根据常量与变量的定义即可得出答案．
【解析】解：加油机上的数据显示牌中金额是随数量的变化而变化的，它们是变量；
单价是不变的量，它是常量；
故选：C．
【点睛】本题考查变量与常量的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．
14．下表是某报纸公布的世界人口数据情况：表中的变量（　　）
年份 1957 1974 1987 1999 2010
人口数 30亿 40亿 50亿 60亿 70亿
A．仅有一个，是时间（年份） B．仅有一个，是人口数
C．有两个，一个是人口数，另一个是时间（年份） D．一个也没有
【点拨】根据事物的变化过程中发生变化的量是变量，数值不变的量是常量，可得答案．
【解析】解；观察表格，得
时间在变，人口在变，故C正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了常量与变量，利用了常量与变量的定义．
15．有下列数量：①今年福彩小学六年级学生的人数；②某学生从7岁到10岁每年的身高；③你现在使用的数学教科书的质量；④汽车开出后离出发地的距离，其中是变量的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】根据常量和变量的概念，在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．判断即可．
【解析】解：①常量； ②变量； ③常量； ④变量．
故选：B．
【点睛】本题考查了常量和变量的概念，掌握常量和变量的概念是解题的关键．
16．汽车开始行驶时油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量Q（升）与行驶时间t（小时）的关系是 　Q＝40﹣5t　，其中的常量是 　40、﹣5　，变量是 　Q、t　．
【点拨】根据油箱内剩余油量＝油箱内总油量﹣消耗掉的油，进而得出关系式，再利用常量、变量的定义得出答案．
【解析】解：根据题意可得：
油箱内剩余油量Q（升）与行驶时间t（小时）的函数关系为：Q＝40﹣5t，
常量为：40、﹣5，
变量为：Q、t．
故答案为：Q＝40﹣5t；40、﹣5；Q、t．
【点睛】本题主要考查了函数关系式以及常量与变量，掌握题意正确得出函数关系式是解题关键．
17.如果用总长为60m的篱笆围成一个长方形场地，设长方形的面积为S（m2），周长为p（m），一边长为a（m），那么在S，p，a中是变量的是 　S和a　．
【点拨】根据篱笆的总长确定，即可得到周长、一边长及面积中的变量．
【解析】解：∵篱笆的总长为60米，
∴周长p是定值，而面积S和一边长a是变量，
故答案为：S和a．
【点睛】本题考查了常量与变量的知识，解题的关键是能够根据篱笆总长不变确定定值，然后确定变量．
18.分别指出下列变化过程中的变量与常量：
（1）y＝﹣2πx+4；
（2）s＝v0t+at2（其中v0，a为定值）．
【点拨】根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可直接得到答案．
【解析】解：（1）变量是：x和y，常量是：2π和4；
（2）变量是：v和t，常量是：v0和a．
【点睛】本题考查了常量和变量的定义，常量就是在变化过程中不变的量，变量就是可以取到不同数值的量．
培优拔尖
19．在路程S，速度v，时间t的相关计算中，若行驶路程S不变，则下列说法正确的是（　　）
A．速度v是变量 B．速度v，时间t都是变量
C．时间t是变量 D．路程S，速度v，时间t都是常量
【点拨】利用常量和变量定义解答即可．
【解析】解：在进行路程s、速度v和时间t的相关计算中，若保持行驶路程不变，则v、t是变量，s是常量．
故选B．
【点睛】本题考查了常量与变量，关键是掌握一个变化的过程中，数值发生变化的量叫变量；数值始终不变的量称为常量．
20．以下是关于常量和变量的说法：
（1）在一个变化过程中，允许出现多个变量和常量；
（2）变量就是变量，它不可以转化为常量；
（3）变量和常量是相对而言的，在一定条件下可以相互转化；
（4）在一个变化过程中，变量只有2个，常量可以没有，也可能有多个．
其中正确的说法有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量．
【解析】解：（1）在一个变化过程中，允许出现多个变量和常量，对；
（2）错，变量在一定的条件下可以互相转化常量，如s＝vt中，s一定，v、t就是变量，v一定，s、t就是变量；
（3）变量和常量往往是相对的，在一定的条件下可以互相转化，正确；
（4）错误，在一个变化过程中，变量可以有多个，常量可以没有，也可以有多个．
正确的有2个，故选：B．
【点睛】本题考查了常量与变量，关键在于理解常量与变量的概念．
21．谚语“冰冻三尺非一日之寒”体现了冰的厚度随时间变化的一个变化过程，在该变化过程中因变量是 　冰的厚度　．
【点拨】根据变量与常量的定义进行判定即可得出答案．
【解析】解：谚语“冰冻三尺非一日之寒”体现了冰的厚度随时间变化的一个变化过程，在该变化过程中因变量是冰的厚度．
故答案为：冰的厚度．
【点睛】本题主要考查了变量与常量，熟练掌握变量与常量的定义进行求解是解决本题的关键．
22.林老师骑摩托车到加油站加油，发现每个加油器上都有三个量，其中一个表示“元/升”其数值固定不变的，另外两个量分别表示“数量”、“金额”，数值一直在变化，在这三个量当中　单价　是常量，　数量、金额　是变量．
【点拨】常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量．
【解析】解：在这三个量当中单价是常量，数量、金额是变量．
【点睛】本题主要考查了常量，变量的定义，是需要识记的内容．
23.你能确定下列变化过程中的变量吗？
（1）小敏长高了；
（2）在汤中加水，汤变淡了；
（3）小狗越来越可爱了．
【点拨】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．逐一判断即可得．
【解析】解：（1）小敏长高了，这个过程中的变量是小敏的身高；
（2）在汤中加水，汤变淡了，这个过程中变量是汤的咸度；
（3）小狗越来越可爱了，这个过程中变量是小狗相貌的可爱程度．
【点睛】本题主要考查常量与变量，在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
24.阅读下面这段有关“龟兔赛跑”的寓言故事，并指出所涉及的量中，哪些是变量？
一次乌龟与兔子举行500m赛跑，比赛开始不久，兔子就遥遥领先，当兔子以50m/min的速度跑了4min时，往回一看，乌龟远远地落在后面呢！兔子心想：“我就是睡一觉，你乌龟也追不上我，我为何不在此美美地睡上一觉呢？”可是，当骄傲的兔子正做着胜利者的美梦时，勤勉的乌龟却从它身边悄悄爬过，并以10m/min的速度匀速爬向终点．46min后，兔子梦醒了，而此时乌龟刚好到达终点．兔子悔之晚矣！等它再以60m/min的速度跑向终点时，它比乌龟晚了5min．
【点拨】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题．
【解析】解：500m、乌龟的速度10m/min等在整个变化过程中是常量，兔子的速度是变量．
【点睛】本题考查了常量与变量的知识，属于基础题，变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量．
25.如图，△ABC边BC的长为10cm，BC边上的高为AD，当点A沿AD所在直线向点D运动时，三角形的面积发生了变化．
（1）指出在这个变化过程中的常量和变量；
（2）当高AD从8cm变化到3cm时，求三角形的面积的变化范围；
（3）若三角形的高为x（cm），三角形的面积为y（cm2），写出y与x的关系式．
【点拨】（1）由题意根据常量和变量的定义，可得到再点A沿AD所在直线向点D运动时，三角形的面积和高AD发生了变化，底边BC没有发生变化，即可得到常量和变量；（2）由题意可知△ABC的面积＝把AD＝8cm和AD＝3cm分别代入面积公式，即可得到三角形的面积的变化范围；（3）利用三角形的面积公式即可得到关系式．
【解析】解：（1）由题意和图形知，
∵在变化过程中线段BC的长度不变，
∴根据常量的定义可知线段BC是常量，
∵点A沿AD所在直线向点D运动，
∴AD的长度在逐渐变短，
∴线段AD是变化的量，
∵高AD变化，所以面积也在变化，
故常量是线段BC，变量为线段AD，因变量是△ABC的面积；
（2）由题意可知
△ABC的面积＝，
把AD＝8cm代入，得△ABC的面积＝＝40cm2，
把AD＝3cm代入，得△ABC的面积＝＝15cm2，
所以三角形的面积的变化范围为：15cm2≤△ABC的面积≤40cm2；
（3）∵△ABC的面积＝，
∴y＝＝5x，
所以y与x的关系式为：y＝5x．
【点睛】本题主要考查了函数关系式，常量与变量，函数值及三角形的面积，解题的关键是能求出y与x的关系式．
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