5.3一次函数-2023-2024学年浙教版八年级上 同步分层作业（含解析）

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5.3一次函数 同步分层作业
基础过关
1. 下列函数：①y＝x；②；③；④，其中一次函数的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 下列说法中，正确的是（　　）
A．y＝2x﹣1是一次函数，也是正比例函数
B．y＝2x﹣（2x﹣7）是一次函数，不是正比例函数
C．y＝x既是一次函数，也是正比例函数
D．y＝﹣2x是正比例函数，不是一次函数
3. 已知函数y＝（m﹣3）+4是关于x的一次函数，则m的值是（　　）
A．m＝±3 B．m≠3 C．m＝3 D．m＝﹣3
4. 下列选项中，y与x之间的关系为一次函数的有（　　）个．
①正方形的面积y（cm2）与它的边长x（cm）之间的关系；
②圆的周长y（cm）与半径x（cm）之间的关系；
③周长为18cm的长方形的长y（cm）与宽x（cm）之间的关系；
④面积为6cm2的三角形的底y（cm）与高x（cm）之间的关系．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5. 任意写出一个正比例函数：　　．
6. 已知函数y＝（k﹣3）x|k|﹣2+6是一次函数，则k＝　　．
7. 下列函数中，哪些是一次函数，哪些不是一次函数？在一次函数中，哪些又是正比例函数？
（1）y＝﹣x+4；
（2）y＝x；
（3）y＝﹣；
（4）y＝﹣6x2+7；
（5）y＝﹣3x；
（6）y＝．
8.已知关于x的函数y＝（m+1）x|m|+n﹣3
（1）m和n取何值时，该函数是关于x的一次函数？
（2）m和n取何值时，该函数是关于x的正比例函数？
9.写出下列各题中y关于x的函数关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数．
（1）长方形的面积为20，长方形的长y与宽x之间的关系；
（2）刚上市时西瓜每千克3.6元，买西瓜的总价y元与所买西瓜x千克之间的关系；
（3）仓库内有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，仓库内余下的粉笔盒数y与星期数x之间的关系；
（4）小林的爸爸为小林存了一份教育储蓄，首次存入10000元，以后每个月存入500元，存入总数y元与月数x之间的关系．
10.已知y与x成正比例，且x＝﹣2时，y＝6．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若点（a，﹣3）在这个函数的图象上，求a的值．
能力提升
11. 若y关于x的函数y＝（a﹣2）x+b是正比例函数，则a，b应满足的条件是（　　）
A．a≠2 B．b＝0 C．a＝2且b＝0 D．a≠2且b＝0
12. 若y＝（|k|﹣2）x2+（k﹣2）x是y关于x的正比例函数，则k的值为（　　）
A．±2 B．﹣2 C．2 D．3
13. 下列函数关系中，不是一次函数关系的是（　　）
A．汽车以80km/h的速度匀速行驶，行驶路程y（km）与时间t（h）之间的关系
B．食堂原有大米750kg，每天要用去25kg，x天后还剩下大米ykg
C．高为4cm的圆锥的体积y（cm3）与底面半径x（cm）之间的关系
D．一棵树现在高50cm，每月长高3cm，x个月后这棵树的高度y（cm）与生长月数x（月）之间的关系
14. 若3y﹣2与2x+3成正比例，则（　　）
A．y与x没有函数关系 B．y是x的函数，但不是一次函数
C．y是x的一次函数 D．y是x的正比例函数
15. 若y＝（a﹣1）x+a2﹣1是关于x的正比例函数，则a2023的值为 　　．
16. y﹣2与x+1成正比例，比例系数为﹣2，将y表示成x的函数 　　．
17. 已知y+3与x+2成正比例，且当x＝3时，y＝7．
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）当x＝﹣1时，求y的值；
（3）若y的取值范围为﹣1≤y≤，求x的取值范围．
18. 已知y﹣3与x成正比例，且当x＝﹣2时，y＝﹣1．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）当x＝4时，求y的值；
（3）当y＝7时，求x的值．
19.已知y与x﹣1成正比例，且x＝3时y＝4．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当y＞4时，求x的取值范围；
（3）当y的值取什么范围时x≥6？
培优拔尖
20. 若y与成正比例关系，z与x成正比例关系，则y与x成 　　关系．
21. 已知y+a与x﹣b成正比例（其中a、b都是常数）．
（1）试说明y是x的一次函数；
（2）如果x＝﹣1时，y＝﹣15；x＝7时，y＝1，求这个一次函数的解析式．
22. 已知y＝y1+y2，且y1与x2成正比例，y2与x﹣2成正比例，且当x＝1时，y＝1；当x＝﹣3时，y＝13．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x＝3时，求y的值．
答案与解析
基础过关
1. 下列函数：①y＝x；②；③；④，其中一次函数的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】根据形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数进行分析即可．
【解析】解：①y＝x；③是一次函数，共2个．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握一次函数形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数），一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
2. 下列说法中，正确的是（　　）
A．y＝2x﹣1是一次函数，也是正比例函数
B．y＝2x﹣（2x﹣7）是一次函数，不是正比例函数
C．y＝x既是一次函数，也是正比例函数
D．y＝﹣2x是正比例函数，不是一次函数
【点拨】根据函数y＝kx+b（k≠0）是一次函数，当b＝0时，是正比例函数判断即可．
【解析】解：A．y＝2x﹣1是一次函数，不是正比例函数，不合题意；
B．y＝2x﹣（2x﹣7）＝﹣7，既不是一次函数，也不是正比例函数，不合题意；
C．y＝x，是一次函数，也是正比例函数，符合题意；
D．y＝﹣2x，是正比例函数，也是一次函数，不合题意．
故选：C．
【点睛】本题侧重考查一次函数定义和表达式、正比例函数定义和表达式，一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
3. 已知函数y＝（m﹣3）+4是关于x的一次函数，则m的值是（　　）
A．m＝±3 B．m≠3 C．m＝3 D．m＝﹣3
【点拨】根据一次函数的定义得出m2﹣8＝1且m﹣3≠0，再求出m即可．
【解析】解：∵函数y＝（m﹣3）+4是关于x的一次函数，
∴m2﹣8＝1且m﹣3≠0，
解得：m＝﹣3．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，能根据一次函数的定义得出m2﹣8＝1且m+3≠0是解此题的关键，注意：形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫一次函数．
4. 下列选项中，y与x之间的关系为一次函数的有（　　）个．
①正方形的面积y（cm2）与它的边长x（cm）之间的关系；
②圆的周长y（cm）与半径x（cm）之间的关系；
③周长为18cm的长方形的长y（cm）与宽x（cm）之间的关系；
④面积为6cm2的三角形的底y（cm）与高x（cm）之间的关系．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【点拨】根据一次函数的定义：形如：y＝kx+b（k≠0）的函数为一次函数，列出题目中的函数关系，判断即可．
【解析】解：①正方形的面积y（cm2）与它的边长x（cm）之间的关系为：y＝x2，
故不是一次函数；
②圆的周长y（cm）与半径x（cm）之间的关系为y＝2πx，
故属于一次函数；
③周长为18cm的长方形的长y（cm）与宽x（cm）之间的关系为，
故属于一次函数；
④面积为6cm2的三角形的底y（cm）与高x（cm）之间的关系：，
故不属于一次函数；
属于一次函数的有②③共2个，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟记定义以及正确列出相关函数关系式是解本题的关键．
5. 任意写出一个正比例函数：　y＝3x　．
【点拨】写出形如y＝kx（k≠0）的函数即可．
【解析】解：根据正比例函数的定义，写出一个正比例函数为y＝3x．
故答案为y＝3x．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义：形如y＝kx（k≠0）的函数为正比例函数．
6. 已知函数y＝（k﹣3）x|k|﹣2+6是一次函数，则k＝　﹣3　．
【点拨】由函数y＝（k﹣3）x|k|﹣2+6是一次函数，可得|k|﹣2＝1且k﹣3≠0，从而可得答案．
【解析】解：∵函数y＝（k﹣3）x|k|﹣2+6是一次函数，
∴|k|﹣2＝1且k﹣3≠0，
解得：k＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点睛】本题考查的是一次函数的定义，熟记一次函数的定义是解本题的关键．
7. 下列函数中，哪些是一次函数，哪些不是一次函数？在一次函数中，哪些又是正比例函数？
（1）y＝﹣x+4；
（2）y＝x；
（3）y＝﹣；
（4）y＝﹣6x2+7；
（5）y＝﹣3x；
（6）y＝．
【点拨】根据一次函数及正比例函数函数的定义进行解答即可．
【解析】解：（1）y＝﹣x+4是一次函数；
（2）y＝x是一次函数，又是正比例函数；
（3）y＝﹣是一次函数；
（4）y＝﹣6x2+7是二次函数；
（5）y＝﹣3x是一次函数；
（6）y＝不是一次函数．
【点睛】本题考查的是一次函数的定义，熟知一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数是解答此题的关键．
8.已知关于x的函数y＝（m+1）x|m|+n﹣3
（1）m和n取何值时，该函数是关于x的一次函数？
（2）m和n取何值时，该函数是关于x的正比例函数？
【点拨】（1）根据一次函数的定义可得，|m|＝1且m+1≠0，然后进行计算即可解答；
（2）根据正比例函数定义可得，|m|＝1且m+1≠0，n﹣3＝0，然后进行计算即可解答．
【解析】解：（1）由题意得：
|m|＝1且m+1≠0，
∴m＝±1且m≠﹣1，
∴m＝1，
∴当m＝1，n为任意实数时，该函数是关于x的一次函数；
（2）由题意得：
|m|＝1且m+1≠0，n﹣3＝0，
∴m＝±1且m≠﹣1，n＝3，
∴m＝1，n＝3，该函数是关于x的正比例函数．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，正比例函数定义，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
9.写出下列各题中y关于x的函数关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数．
（1）长方形的面积为20，长方形的长y与宽x之间的关系；
（2）刚上市时西瓜每千克3.6元，买西瓜的总价y元与所买西瓜x千克之间的关系；
（3）仓库内有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，仓库内余下的粉笔盒数y与星期数x之间的关系；
（4）小林的爸爸为小林存了一份教育储蓄，首次存入10000元，以后每个月存入500元，存入总数y元与月数x之间的关系．
【点拨】（1）根据长方形的面积公式列出函数关系式；
（2）根据“总价＝单价×数量”列出函数关系式；
（3）根据“剩余的数量＝总量﹣取出的数量”列出函数关系式；
（4）根据“总储蓄＝10 000+x月存入的金额”列出函数关系式．
【解析】解：（1）依题意得 xy＝20，则y＝，y是x的反比例函数；
（2）依题意得 y＝3.6x，y是x的正比例函数；
（3）依题意得 y＝400﹣36x，y是x的一次函数；
（4）依题意得 y＝10 000+500x，y是x的一次函数．
【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数的定义．一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
10.已知y与x成正比例，且x＝﹣2时，y＝6．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若点（a，﹣3）在这个函数的图象上，求a的值．
【点拨】（1）首先设y＝kx，再把x＝﹣2，y＝6代入，可得k的值，进而可得函数解析式；
（2）把点（a，﹣3）代入函数解析式可得答案．
【解析】解：（1）∵y与x的成正比例，
∴设y＝kx，
∵x＝﹣2时，y＝6，
∴6＝﹣2k，
解得：k＝﹣3，
∴y与x之间的函数表达式为：y＝﹣3x；
（2）∵点（a，﹣3）在这个函数的图象上，
∴﹣3＝﹣3a，
解得：a＝1．
【点睛】此题主要考查了正比例函数定义，关键是掌握待定系数法求函数解析式的步骤．
能力提升
11. 若y关于x的函数y＝（a﹣2）x+b是正比例函数，则a，b应满足的条件是（　　）
A．a≠2 B．b＝0 C．a＝2且b＝0 D．a≠2且b＝0
【点拨】直接利用正比例函数的定义分析求出答案．
【解析】解：∵y＝（a﹣2）x+b是y关于x的正比例函数，
∴b＝0，a﹣2≠0，
解得：b＝0，a≠2．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握正比例函数一般形式是解题关键
12. 若y＝（|k|﹣2）x2+（k﹣2）x是y关于x的正比例函数，则k的值为（　　）
A．±2 B．﹣2 C．2 D．3
【点拨】根据正比例函数的定义，可得：k﹣2≠0，|k|﹣2＝0，从而求出k值．
【解析】解：∵根据正比例函数的定义，可得：k﹣2≠0，|k|﹣2＝0，
∴k＝﹣2．
故选：B．
【点睛】本题考查正比例函数的定义，解题的关键是理解正比例函数的定义．正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
13. 下列函数关系中，不是一次函数关系的是（　　）
A．汽车以80km/h的速度匀速行驶，行驶路程y（km）与时间t（h）之间的关系
B．食堂原有大米750kg，每天要用去25kg，x天后还剩下大米ykg
C．高为4cm的圆锥的体积y（cm3）与底面半径x（cm）之间的关系
D．一棵树现在高50cm，每月长高3cm，x个月后这棵树的高度y（cm）与生长月数x（月）之间的关系
【点拨】根据题意得出各选项内的函数关系式，再由一次函数的定义即可得出结论．
【解析】解：A、汽车以80km/h的速度匀速行驶，行驶路程y（km）与时间t（h）之间的关系式为：y＝80t，y与t是一次函数关系，不符合题意；
B、食堂原有大米750kg，每天要用去25kg，x天后还剩下大米ykg，y＝750﹣25x，y与x是一次函数关系，不符合题意；
C、高为4cm的圆锥的体积y（cm3）与底面半径x（cm）之间的关系，y＝4πx2，y与x不是一次函数关系，符合题意；
D、一棵树现在高50cm，每月长高3cm，x个月后这棵树的高度y（cm）与生长月数x（月）之间的关系，y＝50+3x，y与x是一次函数关系，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是一次函数的定义，熟知一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数是解题的关键．
14. 若3y﹣2与2x+3成正比例，则（　　）
A．y与x没有函数关系 B．y是x的函数，但不是一次函数
C．y是x的一次函数 D．y是x的正比例函数
【点拨】根据已知设3y﹣2＝k（2x+3），整理得y＝kx+k+判断即可．
【解析】解：∵3y﹣2与2x+3成正比例，
∴设3y﹣2＝k（2x+3）（k≠0），
∴y＝kx+k+，
∴y是x的一次函数，
故选：C．
【点睛】本题考查了正比例函数的表达式和一次函数的表达式．解题的关键是设正比例系数列出y﹣1与2x+3成正比例函数关系式．
15. 若y＝（a﹣1）x+a2﹣1是关于x的正比例函数，则a2023的值为 　﹣1　．
【点拨】利用正比例函数的定义分析得出a，再代入计算即可求解．
【解析】解：∵y＝（a﹣1）x+a2﹣1是关于x的正比例函数，
∴a2﹣1＝0且a﹣1≠0，
解得：a＝﹣1，
∴a2023＝（﹣1）2023＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握定义是解题关键．
16. y﹣2与x+1成正比例，比例系数为﹣2，将y表示成x的函数 　y＝﹣2x　．
【点拨】根据正比例函数y＝kx的定义条件：k为常数且k≠0，自变量次数为1，列出表达式，化简即可得出答案．
【解析】解；由题意可得：y﹣2＝﹣2（x+1），
化简得：y＝﹣2x．
故答案为：y＝﹣2x．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，难度不大，注意基础概念的掌握．
17. 已知y+3与x+2成正比例，且当x＝3时，y＝7．
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）当x＝﹣1时，求y的值；
（3）若y的取值范围为﹣1≤y≤，求x的取值范围．
【点拨】（1）设y+3＝k（x+2），把x、y的值代入求出k的值，即可求得函数表达式；
（2）把x＝﹣1代入函数表达式，即可求得y的值；
（3）由题意得出关于x的不等式组，求解即可得到x的取值范围．
【解析】解：（1）设y+3＝k（x+2），把x＝3，y＝7代入得：
5k＝10，
解得：k＝2，
∴y+3＝2x+4，
∴y与x之间的函数表达式为：y＝2x+1；
（2）把x＝﹣1代入y＝2x+1得：y＝2×（﹣1）+1＝﹣1；
（3）根据题意得：﹣1≤2x+1≤，
解得：﹣1≤x≤，
∴x的取值范围为：﹣1≤x≤．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数表达式，理解题意代入x、y的值，得出关于k的方程是解决问题的关键．
18. 已知y﹣3与x成正比例，且当x＝﹣2时，y＝﹣1．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）当x＝4时，求y的值；
（3）当y＝7时，求x的值．
【点拨】（1）由题意可得y﹣3＝kx，然后再代入x＝﹣2时y＝﹣1即可得到k的值，进而可得函数解析式；
（2）把x＝4代入y＝2x+3可得y的值；
（3）把y＝7代入y＝2x+3可得x的值．
【解析】解：（1）y﹣3与x成正比例，即：y﹣3＝kx，
∵当x＝﹣2时y＝﹣1，
∴﹣1﹣3＝﹣2k，
解得：k＝2，
则y与x的函数关系式是：y＝2x+3；
（2）把x＝4代入y＝2x+3得：y＝11；
（3）把y＝7代入y＝2x+3得：7＝2x+3，
解得：x＝2．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握y﹣3与x成正比例，即设为y﹣3＝kx．
19.已知y与x﹣1成正比例，且x＝3时y＝4．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当y＞4时，求x的取值范围；
（3）当y的值取什么范围时x≥6？
【点拨】（1）首先根据题意设出关系式：y＝k（x﹣1），再利用待定系数法把x＝3，y＝4代入，可得到k的值，再把k的值代入所设的关系式中，可得到答案；
（2）当y＞4时，得出不等式2x﹣2＞4，解不等式即可；
（3）当x≥6，利用不等式的性质求出2x﹣2≥10，即可求解．
【解析】解：（1）∵y与x﹣1成正比例，
∴关系式设为：y＝k（x﹣1），
∵x＝3时，y＝4，
∴4＝k（3﹣1），
解得：k＝2，
∴y与x的函数关系式为：y＝2（x﹣1）＝2x﹣2．
故y与x之间的函数关系式为：y＝2x﹣2；
（2）当y＞4时，2x﹣2＞4，
解得x＞3，
即x的取值范围是x＞3；
（3）∵x≥6，
∴2x≥12，
∴2x﹣2≥10，
∵y＝2x﹣2，
∴当y≥10时x≥6．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，关键是设出关系式，代入x，y的值求k．
培优拔尖
20. 若y与成正比例关系，z与x成正比例关系，则y与x成 　反比例　关系．
【点拨】根据正比例函数与反比例函数的定义进行解答即可．
【解析】解：∵y与成正比例关系，
∴y＝；
∴y与x成 反比例关系，
故答案为：反比例．
【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的关系，熟练掌握函数的比例关系式解答本题的关键．
21. 已知y+a与x﹣b成正比例（其中a、b都是常数）．
（1）试说明y是x的一次函数；
（2）如果x＝﹣1时，y＝﹣15；x＝7时，y＝1，求这个一次函数的解析式．
【点拨】（1）因为y+a与x﹣b成正比例，设比例系数为k，列等式后变形进行说明；
（2）把“x＝﹣1时，y＝﹣15；x＝7时，y＝1”分别代入一次函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程求得它们的值即可．
【解析】解：（1）∵y+a与x﹣b成正比例，
设比例系数为k，则y+a＝k（x﹣b），
整理得：y＝kx﹣kb﹣a，
∴y是x的一次函数；
（2）把x＝﹣1时，y＝﹣15；x＝7时，y＝1分别代入y＝kx﹣kb﹣a，得
，
解得，
则该一次函数为：y＝2x﹣13．
【点睛】本题考查了一次函数解析式的一般形式，关键是根据y+a与x﹣b成正比例，设比例系数为k，列等式．
22. 已知y＝y1+y2，且y1与x2成正比例，y2与x﹣2成正比例，且当x＝1时，y＝1；当x＝﹣3时，y＝13．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x＝3时，求y的值．
【点拨】（1）设，则，根据题意列出二元一次方程组，求出m，n即可得出答案；
（2）将x＝3代入（1）中关系式即可．
【解析】解：（1）设，
∴，
∵当x＝1时，y＝1；当x＝﹣3时，y＝13，
∴，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝2x2+x﹣2；
（2）当x＝3时，y＝2×32+3﹣2＝19．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程，求函数值，熟悉正比例函数的定义，根据题意列出方程组是解本题的关键．
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