1.1 锐角三角函数（第3课时） 教学课件 28张ppt-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课堂（浙教版）

1.1 锐角三角函数
第3课时 特殊角的三角函数值
数学（浙教版）
九年级 下册
第1章 解直角三角形
学习目标
1．运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数值；
2．熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用；
　
温故知新
A
B
C
∠A 的邻边
∠A
的
对
边
斜边
∠A的对边
斜边
sin A =
∠A的邻边
斜边
cos A =
∠A的对边
∠A的邻边
tan A =
在Rt△ABC中，∠A的三角函数值
互余的两角之间的三角函数关系：
若∠A+∠B=90°，则sinA cosB，cosA sinB，tanA · tanB = .
=
=
1
　
导入新课
观察一副三角尺:其中有几个锐角?它们分别是多少度?
45°
45°
60°
30°
思考：你能用所学知识，算出30°，45°，60°的三角函数值吗？
讲授新课
知识点一 30°、45°、60°角的三角函数值
问题(1)：sin30°等于多少?你是怎样得到的？与同伴进行交流.
┌
30°
(2)：cos30°等于多少?tan30°呢？
设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a.
另一条直角边长＝
a
2a
????????
?
讲授新课
（2）45°角的三角函数值分别是多少?你是怎样得到的？
┌
45°
45°
做一做：（1）60°角的三角函数值分别是多少?你是怎样得到的？
┌
30°
a
2a
????????
?
60°
设两条直角边长为a，则斜边长＝
a
a
????????
?
讲授新课
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a
三角
函数
30°
45°
60°
sin a
cos a
tan a
归纳总结
1
讲授新课
1.通过特殊角的三角函数值，进一步巩固锐角三角函数之间的关系.（互余关系、倒数关系、相除关系、平方关系）
2.观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性规律吗？
锐角三角函数的增减性：
当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 ；
余弦值随着角度的增大（或减小）而 .
增大（或减小）
减小（或增大）
两点反思：
讲授新课
典例精析
【例1】计算:
(1)sin30°+cos45°; (2) sin260°+cos260°-tan45°.
注意事项:
sin260°表示(sin60°)2,cos260°表示(cos60°)2
解: (1)sin30°+cos45°
(2)sin260°+cos260°-tan45°
讲授新课
练一练
1、求下列各式的值：
（1）解：cos260°+sin260°
(1) cos260°+sin260°；
(2)
（2）解：
讲授新课
知识点二 特殊三角函数值的应用
一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).
∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.
∴AC=2.5-2.165≈0.34(m).
∠AOD
解:如图,根据题意可知,
OD=2.5m,
讲授新课
利用特殊角的三角函数值解决实际问题一般步骤：
（1）把实际问题转化为数学问题；
（2）构造出含有特殊锐角的直角三角形；
（3）利用特殊角的三角函数值求解。
知识要点
讲授新课
典例精析
解：解方程x2+2x-3=0，得x1=1，x2=-3，
∵tanα＞0，∴tanα=1，∴α=45°.
∴2sin2α+cos2α- 3 tan（α+15°）
=2sin245°+cos245°- 3 tan60°
【例2】已知α为锐角，且tanα是方程x2+2x-3=0的一个根，求
2sin2α+cos2α-????tan（α+15°）的值．
?
讲授新课
练一练
1、升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为45°（如图所示），若小明双眼离地面1.6m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？
D
A
B
E
1.6m
20m
45°
C

=20+1.6=21.6（m）
答：旗杆AB的高度为21.6米.
讲授新课
知识点三 通过三角函数确定角度范围
解： 在图中，
A
B
C
【例3】如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = ， BC = ，求 ∠A 的度数；
∴ ∠A = 45°.
∵
讲授新课
1、30°＜∠A＜45°，那么sinA的范围是_____________．
【分析】
∵sinα随锐角α的增大而增大，且30°＜∠A＜45°，
∴????????＜sinA＜????????．
?
????????＜sinA＜????????
?
讲授新课
2、角α，β满足0°＜α＜β＜45°，下列是关于角α，β的命题，其中错误的是（　　）
A．0＜sinα＜???????? B．0＜tanβ＜1
C．cosβ＜sinα D．sinβ＜cosα
?
【分析】0°＜α＜β＜45°，
A、0＜sinα＜????????，选项正确；
B、0＜tanβ＜1，选项正确；
C、∵????????＜cosβ＜1，∴cosβ＞sinα，选项错误；
D、∵0＜sinβ＜????????，????????＜cosα＜1，∴sinβ＜cosα，选项正确．
?
C
讲授新课
3、当A为锐角，且????????＜cos∠A＜????????时，∠A的范围是（　　）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜60° C．60°＜∠A＜90° D．30°＜∠A＜45°
?
【分析】
∵cos60°=????????，cos30°=????????，
∴30°＜∠A＜60°．
?
B
当堂检测
1. 下列运算：sin 30°＝ ， ＝2 ，π0＝π，2-2＝-4，其中运算结果正确的个数为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
D
2. 在△ABC中，若角A，B满足|cos A－ |＋(1－tan B)2＝0，则∠C的大小是(　　)
A．45° B．60°
C．75° D．105°
D
当堂检测
3、若锐角∠A满足sin20°＜cosA＜cos25°，则∠A的取值范围是______________．
【分析】
∵sin20°=cos70°，
∴cos70°＜cosA＜cos25°，
∴25°＜A＜70°．
25°＜A＜70°
当堂检测
4、若锐角α满足cosα＜????????且tanα＜????，则α的范围是（　　）
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
?
【分析】
∵α是锐角，∴cosα＞0，
∵cosα＜????????，∴0＜cosα＜????????，
又∵cos90°=0，cos45°=????????，
∴45°＜α＜90°；
?
∵α是锐角，∴tanα＞0，
∵tanα＜????，∴0＜tanα＜????，
又∵tan0°=0，tan60°=????，
∴0＜α＜60°；
故45°＜α＜60°．
?
B
当堂检测
5.求下列各式的值：
（1）1－2 sin30°cos30°
（2）3tan30°－tan45°+2sin60°
（3）
当堂检测
解：(1)1－2 sin30°cos30°
(2)3tan30°－tan45°+2sin60°
当堂检测
6. 若规定 sin (α-β) = sinαcosβ － cosαsinβ，求 sin15°的值.
解：由题意得
sin15°= sin (45°－30°)
= sin45°cos30°－ cos45°sin30°
当堂检测
7.已知 △ABC 中的 ∠A 与 ∠B 满足 (1－tanA)2 ＋|sinB－ |＝0，试判断 △ABC 的形状.
解：∵ (1－tanA)2 ＋ | sinB－ |＝0，
∴ tanA＝1，sinB＝
∴ ∠A＝45°，∠B＝60°，
∠C＝180°－45°－60°＝75°，
∴ △ABC 是锐角三角形。
当堂检测
8. 如图所示为某住宅区内的两幢楼,它们的高AB=CD=30 m,两楼间的距离AC=24 m,现需了解甲楼对乙楼采光的影响情况.当太阳光线与水平线的夹角为30°时,求甲楼的影子在乙楼上有多高.
解:如图所示,延长太阳光线交CD于点F,
过点F作FE⊥AB于点E.
∵太阳光线与水平线的夹角为30°,
∴∠BFE=30°.
∵EF=AC=24 m,
∴BE=EF·tan30°=24× = (m),
∴CF=CD-DF=CD-BE=(30- )m.
即甲楼的影子在乙楼上的高度为(30-8)m.
课堂小结
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
θ=0°（拓展）
θ=30°
θ=45°
θ=60°
θ=90°（拓展）
sinθ
0
1
cosθ
1
0
tanθ
0
1
【总结】根据上表可知：
（1）已知特殊角度，即可求出特殊角的三角函数值
（2）反之，已知特殊角度的三角函数值，即可求出对应的锐角
【注意点】
2cos45°表示cos45°的2倍，书写时应将2放在前面，同时省略2与cos45°之间的乘号，不要写成cos45°·2，以免误以为是cos90°
谢 谢~