(共29张PPT)
1.1.1锐角三角函数
人教版八年级上册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教学目标
1. 理解正切的意义和与现实生活的联系；
2.能够用表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度（坡比）等；
3.能够根据直角三角形的边角关系，用正切进行简单的计算
新知导入
两个物体在倾斜角不同的斜面上向上运动相同的距离，它们上升的高度相同吗？
新知导入
从下图我们可以看到，在倾斜角（∠α ，∠ β）不同的两个斜面上，物体前进的距离都是l，而它在水平和铅垂两个方向上运动的距离却各不相同。物体在斜面上运动时，在斜面上所经过的距离和水平方向、铅垂方向经过的距离，与斜面的倾斜角之间有什么关系呢？
越陡—倾斜角＿＿＿
倾斜角越大—铅直高度与斜面的比＿＿
倾斜角越大—水平宽度与斜面的比＿＿＿
倾斜角越大—铅直高度与水平宽度
的比＿＿＿
越大
越大
越小
越大
新知讲解
1.作一个30°的∠A（图1-2），在角的边上任意取一点B，作BC⊥AC于点C.计算 的值，并将所得的结果与你的同伴所得的结果作比较.
A
C
B
B
B
C
AB=150米，BC=75米
AB=200米，BC=100米
AB=a米，BC=a米
C
归纳总结
结论：
在直角三角形中，当∠A=30°时，比值都是一个确定的值，与点B在角的边上的位置无关.
新知讲解
分数有意义的条件是分母不为0.
小组合作
2.作一个50°的∠A，在角的边上任意取一点B，作BC⊥AC于点C.量出AB，AC，BC的长（精确到1mm），计算 的值，并将所得的结果与你的同伴所得的结果作比较.
通过上面两个实践操作，你发现了什么？
归纳总结
结论：
在直角三角形中，当∠A=50°时，比值都是一个确定的值，与点B在角的边上的位置无关.
与∠A=30°比较发现
角度改变，比值改变 .
典例精析
3.如图，B，B1是∠α一边上的任意两点，作BC⊥AC与点C，B1C1⊥AC1于点C1.
判断比值是否相等，并说明理由。
归纳总结
一般地，对于每一个确定的锐角α，在角的一边上任取一点B，作BC⊥AC于点C，比值都是一个确定的值，与点B在角的边上的位置无关。
如下图，在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA， 即
∠A的对边
∠A的邻边
tan A =
A
B
C
邻边
对边
归纳总结
定义中的几点说明：
1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A是一个锐角.
2.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切.但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC.∠1的正切表示为:tan∠1.
3.tanA﹥0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比（注意顺序）.
4.tanA不表示“tan”乘以“A ”.
5.tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
新知讲解
对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应.
解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以大于1，甚至可逼近于无穷大.
A
B
C
┌
锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？
议一议
归纳总结
比值叫做∠α的余弦，记作cosα，即cos α=
注意：sinα，cosα，tanα都是一个完整的符号，单独的“sin”没有意义。
其中α前面的“∠"一般省略不写.
比值叫做∠α的正弦，记作sinα，即sinα=
新知讲解
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
α
=
=
=
新知讲解
锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数（trigonometric function）.当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化.
定义中应该注意的几个问题:
1.sinA,cosA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).
2.sinA,cosA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦 (习惯省去“∠”号).
3.sinA,cosA 是一个比值.注意比的顺序.且sinA,cosA均﹥0,无单位.
4.sinA,cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
新知讲解
锐角三角函数的值都是正实数，并且0如图所示,在 中, , , .
,
,即 .
同理 ,而 ,
故 , , .
典例精析
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5，BC=3.
求∠A的正弦、余弦和正切.
解：如图，在Rt△ABC中，AB=5，BC=3,
∴
∴，
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，tanB的值是（ ）
A．B．C．D．
2.一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大为原来的2倍，那么它的两个锐角的正切值( )
A．都没有变化 B．都扩大为原来的2倍
C．都缩小为原来的一半 D．不能确定是否发生变化
D
A
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则sinB=________．
4. 如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC 的值为 .
课堂练习
【综合拓展类作业】
5. 在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是中线,BC=8,CD=5.求sin ∠ACD,
cos ∠ACD和tan ∠ACD.
A
B
C
D
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90° ,CD是AB上的中线，
∴CD=AB,且AD=AB,
∴CD=AD=5 ,AB=2CD=10,
∴AC=,
∴∠ACD=∠A,
∴sin∠ACD=sinA=,
∴cos∠ACD=cosA=,
∴tan∠ACD=tanA=
课堂总结
正弦
余弦
正切
特别注意
在Rt△ABC中，
锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切；
锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦；
锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦；
锐角A的正弦、余弦和正切统称∠A的三角函数.
sinA 、cosA、tanA是一个比值；
sinA 、cosA、tanA没有单位.
sinA 、cosA、tanA不是一个角；
相关概念
板书设计
在Rt△ABC中，
锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切；
锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦；
锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦；
锐角A的正弦、余弦和正切统称∠A的三角函数.
如图，平面直角坐标系中，若点 P 坐标为 (3，4)，则 tan ∠POQ=____.
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD＝____．
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为 D。 若 AD = 6，CD = 8。求 tanB 的值.
解: ∵ ∠ACB＝ ∠ADC =90°，
∴∠B+ ∠A=90°，
∠ACD+ ∠A =90°，
∴∠B = ∠ACD，
∴ tan∠B = tan∠ACD =
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4.在等腰△ABC中, AB=AC=13, BC=10,求tanB.
A
C
B
┌
D
解：如图，过点A作AD⊥BC交BC于点D，
∴在Rt△ABD中，
易知BD=5，AD=12.
∴tanB=
作业布置
【综合拓展类作业】
5.在 △ABC 中，∠C=90°，AC=24cm，sinA= ，求这个三角形的周长．
解：设BC=7x，则AB=25x，在 Rt△ABC中，由勾股定理得
AC=
即 24x = 24cm，解得 x = 1 cm.
故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm.
所以 △ABC 的周长为
AB+BC+AC = 7+24+25 = 56 (cm).
谢谢
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分课时教学设计
第一课时《1.1.1锐角三角函数》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节是“图形与几何”领域的重要内容.掌握锐角三角函数的概念是解直角三角形及其相关实际问题的重要基础.同时，锐角三角函数建立了锐角与比值之间的一一对应关系，通过学习可以使学生对函数的基本概念有更深刻的了解。
学习者分析 本课是九年级下第一章第一节《锐角三角函数》的第一课时，由于学生在前一阶段已经学习过有关直角三角形的知识，但对于直角三角形只能停留在边与边之间的关系（勾股定理）与角与角之间的关系（直角三角形两锐角互余），那么，直角三角形中边与角之间是否也存在着一定的关系呢？本节课首先通过实验的方法，让学生真正领会到直角三角形中边与角之间确实也存在着一定的关系。
教学目标 1. 理解正切的意义和与现实生活的联系； 2.能够用表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度（坡比）等； 3.能够根据直角三角形的边角关系，用正切进行简单的计算
教学重点 理解锐角三角函数的概念，并能将三角函数表示为两条线段的比
教学难点 直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系及求三角函数值
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 两个物体在倾斜角不同的斜面上向上运动相同的距离，它们上升的高度相同吗？ 从下图我们可以看到，在倾斜角（∠α ，∠ β）不同的两个斜面上，物体前进的距离都是l，而它在水平和铅垂两个方向上运动的距离却各不相同。物体在斜面上运动时，在斜面上所经过的距离和水平方向、铅垂方向经过的距离，与斜面的倾斜角之间有什么关系呢？ 越陡—倾斜角＿＿＿ 倾斜角越大—铅直高度与斜面的比＿＿ 倾斜角越大—水平宽度与斜面的比＿＿＿ 倾斜角越大—铅直高度与水平宽度的比＿＿＿ 学生活动1： 学生思考，回答问题活动意图说明：激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。环节二：新知探究教师活动2： 1.作一个30°的∠A，在角的边上任意取一点B，作BC⊥AC于点C. 计算的值，并将所得的结果与你的同伴所得的结果作比较. 结论： 在直角三角形中，当∠A=30°时，比值都是一个确定的值，与点B在角的边上的位置无关. 2.作一个50°的∠A，在角的边上任意取一点B，作BC⊥AC于点C. 量出AB，AC，BC的长（精确到1mm），计算 的值，并将所得的结果与你的同伴所得的结果作比较. 通过上面两个实践操作，你发现了什么？ 与∠A=30°比较发现角度改变，比值改变 . 3.如图，B，B1是∠α一边上的任意两点，作BC⊥AC与点C，B1C1⊥AC1于点C1 判断比值 是否相等，并说明理由。 一般地，对于每一个确定的锐角α，在角的一边上任取一点B，作BC⊥AC于点C，比值都是一个确定的值，与点B在角的边上的位置无关。 如下图，在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA， 即tan α= 锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？ 解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以大于1，甚至可逼近于无穷大. 对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应. 比值叫做∠α的正弦，记作sinα，即sin α= 比值叫做∠α的余弦，记作cosα，即cos α= 注意：sinα，cosα，tanα都是一个完整的符号，单独的“sin”没有意义。 其中α前面的“∠"一般省略不写. 如图： 锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数（trigonometric function）.当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化. 锐角三角函数的值都是正实数，并且0板书设计 在Rt△ABC中， 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切； 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦； 锐角A的正弦、余弦和正切统称∠A的三角函数.
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，tanB的值是（ ） A．B．C．D． 2.一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大为原来的2倍，那么它的两个锐角的正切值( ) A．都没有变化 B．都扩大为原来的2倍 C．都缩小为原来的一半 D．不能确定是否发生变化 选做题： 3、在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则sinB=________． 4. 如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC 的值为 . 【综合拓展类作业】 5. 在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是中线,BC=8,CD=5.求sin ∠ACD, cos ∠ACD和tan ∠ACD.
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，平面直角坐标系中，若点 P 坐标为 (3，4)，则 tan ∠POQ=____. 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD＝____． 选做题 3.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为 D。 若 AD = 6，CD = 8。求 tanB 的值. 4.在等腰△ABC中, AB=AC=13, BC=10,求tanB. 【综合拓展类作业】 5.在 △ABC 中，∠C=90°，AC=24cm，sinA= ，求这个三角形的周长．
教学反思 在本节课中，用几何画板进行演示探究活动虽然清晰直观，但替代了学生论证思考的过程，应该在以后的教学中多加注意。学生的思维在前，画板辅助在后。只有调动学生全面参与数学活动的兴趣，在尝试与体验中积极思考，才能在知识能力、数学思维、问题解决等方面真正得以发展，从而实现有效教学。
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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第一章
课标要求 1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin A,cosA，tanA),知道30°，45°， 60°角 的三角函数值。2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。3.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决-一些简单的实际问题。
内容分析 本章的主要内容是直角三角形的边角关系及其实际应用.教材先从测量入手，给学生创设学习情境, 接着研究直角三角形的边角关系——勾股定理及锐角三角函数，最后运用勾股定理及锐角三角函数等知识解决些简单的实际问题.
学情分析 学生目前已经上到九年级，进行九年级相关知识的学习，对于函数的内容，学生在七八年级时已经学习过一次函数，对函数的相关概念已经有了一定的认识，对于锐角三角函数,学生单从名词来说，并不是很容易理解，因此，在教学的过程中，学生对直角三角形中角和边的关系能够理解，但是涉及到角的变化和相应边之间比值的变化之间是函数关系并不是很容易的理解。
单元目标 教学目标1、利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角比，知道30°、 45°、 60°角的三角函数值;2、会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由己知三角函数值求它对应的锐角3、理解并掌握直角三角形边角之间的关系4、能综合应用直角三角形的边角关系解决简单的实际问题(二)教学重点、难点教学重点：锐角三角比的概念及解直角三角形的基本类型和方法。教学难点:正确理解锐角三角比的概念和灵活选择解直角三角形的方法。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1.1锐角三角函数21.2锐角三角函数的计算11.3解直角三角形3
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务1.1锐角三角函数1.理解锐角三角函数的概念，并能将三角函数表示为两条线段的比；2.知道30°、 45°、 60°角的三角函数值；3.了解直角三角形中的边与三角函数值的关系。学生能够理解锐角三角函数的概念，知道特殊角的三角函数值，知道直角三角形边角关系任务1.认识三角函数任务2.探究特殊角的三角函数值，理解直角三角形边角关系 任务3.出示例题1.2锐角三角函数的计算1.会使用科学计算器求锐角的三角函数值.2.掌握用科学计算器求锐角的三角函数值的步骤.3.熟练运用计算器解决锐角三角函数中的问题.会用计算器求锐角三角函数值任务1：认识计算器任务2.探究用计算器求锐角三角函数值的步骤任务3.出示例题1.3解直角三角形1、进一步巩固解直角三角形；2、会用常见添辅助线方法构造直角三角形解决问题；3、体验用数学知识解决实际问题；4、渗透、培养学生将计算器用于解决实际问题的能力。会解直角三角形；能将实际问题转化成数学问题用解直角三角形来解决。任务1.出示问题 任务2.利用锐角三角函数解决实际问题任务3.出示例题
活动1：通过现实生活中的问题引入课题
活动2：探究锐角三角函数的定义
解直角三角形
1.3.3解直角三角形
活动3：例题
活动2：探究方向角问题解决实际问题
活动1：复习引入本节课
1.3.2解直角三角形
活动3：例题
活动2：探究将实际问题转化成数学问题解直角三角形
活动1：引入课题
1.3.1解直角三角形
活动3：例题
活动2：通过探究解直角三角形
活动1：引入课题
1.2锐角三角函数的计算
活动3：例题
活动1：引入课题
活动2：会用计算器计算三角函数值
1.1.2锐角三角函数
活动3：例题
活动2：探究特殊角的三角函数值
活动1：引入课题
1.1.1锐角三角函数
活动3：例题
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