第5章《一元一次方程》单元检测卷 含解析

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浙教版2023年七年级上册第5章《一元一次方程》单元检测卷
满分120分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列等式中是一元一次方程的是（　　）
A．2x﹣1＝0 B．x﹣y＝0 C． D．
2．下列方程中，解为x＝3的是（　　）
A．3（x﹣1）＝1 B．2x﹣5＝1 C． D．2x＝5x﹣5
3．下列说法错误的是（　　）
A．若a＝b，则a+c＝b+c B．若a＝b，则a﹣c＝b﹣c
C．若ac＝bc，则a＝b D．若，则a＝b
4．将方程5（x﹣3）﹣2（x﹣7）＝3去括号，正确的是（　　）
A．5x﹣15﹣2x﹣14＝3 B．5x﹣3﹣2x+7＝3
C．5x﹣15﹣2x+7＝3 D．5x﹣15﹣2x+14＝3
5．方程去分母后，正确的是（　　）
A．2（3x﹣1）＝1﹣（4x﹣1） B．2（3x﹣1）＝6﹣4x﹣1
C．2（3x﹣1）＝6﹣（4x﹣1） D．3x﹣1＝1﹣4x+1
6．将方程＝1+中分母化为整数，正确的是（　　）
A．＝10+ B．＝10+ C．＝1+ D．＝1+
7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（　　）
A．（x+4.5）＝x﹣1 B．（x+4.5）＝x+1
C．（x+1）＝x﹣4.5 D．（x﹣1）＝x+4.5
8．方程﹣3（★﹣9）＝5x﹣1，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是x＝5，那么★处的数字是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．观察月历，用形如的框架框住月历表中的五个数，对于框架框住的五个数字之和，小明的计算结果有45，55，60，75，小华说有结果是错误的．通过计算，可知小明的计算结果中错误的是（　　）
A．45 B．55 C．60 D．75
10．若关于x的一元一次方程kx＝x+3的解为正整数，则整数k的值为（　　）
A．2 B．4 C．0或2 D．2或4
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．若关于x的方程（a﹣2）x|a﹣1|﹣3＝6是一元一次方程，则a＝　 　．
12．由a＝b，得，那么c应该满足的条件是 　 　．
13．若与互为相反数，则a的值是 　 　．
14．《孙子算经》卷下第17题是一首诗：“妇人洗碗在河滨，路人问她客几人？答曰不知客数目，六十五碗自分明，二人共食一碗饭，三人共吃一碗羹，四人共肉无余数，请君细算客几人？”这首诗翻译成现代文就是：每两位客人合用1只饭碗，三位合用1只汤碗，四位合用一只肉碗，共用65只碗，设有x位客人，则可以列方程 　 　．
15．在甲处工作的有272人，在乙处工作的有196人，如果要使在乙处工作的人数是在甲处工作人数的，那么应从乙处调出 　 　人到甲处．
16．如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作[x]．例如，[3.2]＝3，[5]＝5，[﹣2.1]＝﹣3．那么，x＝[x]+a，其中0≤a＜1．例如，3.2＝[3.2]+0.2，5＝[5]+0，﹣2.1＝[﹣2，1]+0.9．现有3a＝[x]+1，则x的值为 　 　．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（8分）解方程：
（1）2x﹣6＝﹣3x+9； （2）．
18．（8分）解方程：
（1）3（x﹣1）﹣2（x+10）＝﹣6；
（2）．
19．（8分）某同学在解方程﹣1去分母时，方程右边的﹣1没有乘以6，因而求得方程的解为x＝2，求a的值和方程正确的解．
20．（10分）贵阳市人民广场某超市第一次用7850元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利＝售价﹣进价）
甲 乙
进价（元件） 22 30
售价（元件） 29 40
（1）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
（2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品．其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多230元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？
21．（10分）某工厂一车间有50名工人，某月接到加工两种轿车零件的生产任务．每个工人每天能加工甲种零件30个，或加工乙种零件20个．
（1）若一辆轿车只需要甲零件1个和乙零件1个使每天能配套生产轿车，问应安排多少工人加工甲种零件？
（2）若一辆轿车需要甲零件7个和乙零件2个使每天能配套生产轿车，若加工一件甲种零件加工费为10元，加工一件乙种零件加工费为12元，若50名工人正好使得每天加工零件能配套生产轿车，求一天这50名工人所得加工费一共多少元？
22．（10分）你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你原因和方法．
阅读下列解材料：
问题：利用一元一次方程将0.化成分数．
解：设0.＝x方程两边都乘10，可得10×0.＝10x
由0.＝0.444 ，可知10×0.＝4.444 ＝4+0.
即4+x＝10x（请你体会将方程两边都乘10起到的作用），
解得x＝，即0.＝
（1）填空：①将0.写成分数形式为 　 　；
②将0.写成分数形式为 　 　；
（2）请仿照上述方法将0.7化成分数（写出后续过程）．
解：设0.7＝x，方程两边都乘10，可得10×0.7＝10x．
23．（12分）如图，数轴上三点A、B、C对应的数分别为40、10、﹣30．动点P从点A出发，沿数轴负方向以每秒2个单位的速度匀速运动，动点Q从点C出发，沿数轴正方向以每秒3个单位的速度匀速运动．若P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒．
（1）当P、Q两点相遇时，求线段BQ的长；
（2）当P、Q两点在运动过程中到点B的距离相等时，求此时点P对应的数；
（3）若P、Q出发时，另一动点M同时从点B出发，沿数轴负方向以每秒5个单位的速度匀速运动，当M和Q相遇后，动点P和M立即掉头，均保持原速度，沿数轴正方向匀速运动．当P、Q、M中任意一点为其他两点构成线段的中点时，请直接写出此时t的值．
试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【分析】直接利用一元一次方程的定义分析得出答案．
【解答】解：A．2x﹣1＝0是一元一次方程，故本选项符合题意；
B．x﹣y＝0是二元一次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C．S＝ab，是函数关系式，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D．＝1是分式方程，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．【分析】将x＝3代入各选项的方程中，取方程左边＝方程右边的选项即可．
【解答】解：A．当x＝3时，方程左边＝3×（3﹣1）＝6，方程右边＝1，
∵6≠1，
∴方程左边≠方程右边，选项A不符合题意；
B．当x＝3时，方程左边＝2×3﹣5＝1，方程右边＝1，
∵﹣1＝1，
∴方程左边＝方程右边，选项B符合题意；
C．当x＝3时，方程左边＝1＝，方程右边＝0，
∵＝0，
∴方程左边≠方程右边，选项C不符合题意；
D．当x＝3时，方程左边＝2×3＝6，方程右边＝5×3﹣5＝10，
∵6≠10，
∴方程左边≠方程右边，选项D不符合题意．
故选：B．
3．【分析】根据等式的性质，可得答案．
【解答】解：A、两边都加c，结果不变，故A不符合题意；
B、两边都减C，结果不变，故C不符合题意；
C、c＝0时，则由ac＝bc，不能得到a＝b，故C符合题意；
D、两边都乘以c，结果不变，故D不符合题意；
故选：C．
4．【分析】方程去括号得到结果，即可作出判断．
【解答】解：将方程5（x﹣3）﹣2（x﹣7）＝3去括号得：5x﹣15﹣2x+14＝3，
故选：D．
5．【分析】根据等式的性质，把方程的两边同时乘6，判断出去分母后，正确的是哪个即可．
【解答】解：方程去分母后，正确的是：2（3x﹣1）＝6﹣（4x﹣1）．
故选：C．
6．【分析】方程各项分子分母扩大相应的倍数，使其小数化为整数得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程整理得：＝1+．
故选：C．
7．【分析】设木长x尺，根据题意列出方程解答即可．
【解答】解：设木长x尺，根据题意可得：
，
故选：A．
8．【分析】把x＝5代入已知方程，可以列出关于★的方程，通过解该方程可以求得★处的数字．
【解答】解：将x＝5代入方程，得：﹣3（★﹣9）＝25﹣1，
解得：★＝1，
即★处的数字是1，
故选：A．
9．【分析】设正中间的数为x，则另外四个数分别为x﹣8，x﹣6，x+6，x+8，可求得这五个数的和是5x，再假设这五个数的和分别为45，55，60，75，求出相应的x的值，再进行检验，即可得到问题的答案．
【解答】解：设正中间的数为x，则另外四个数分别为x﹣8，x﹣6，x+6，x+8，
∴这五个数的和是x﹣8+x﹣6+x+x+6+x+8＝5x，
由5x＝45得，x＝9，
这五个数分别为1，3，5，15，17，符合题意，
故A正确；
由5x＝55得，x＝11，
∵11在第一列，不能是正中间的数，
∴x＝11不符合题意，
故B错误；
由5x＝60得，x＝12，
这五个数分别为4，6，12，18，20，符合题意，
故C正确；
由5x＝75得，x＝15，
这五个数分别为7，9，15，21，23，符合题意，
故D正确，
故选：B．
10．【分析】先求出方程的解，再根据关于x的一元一次方程kx＝x+3的解为正整数和k为整数得出k﹣1＝1或k﹣1＝3，再求出k即可．
【解答】解：解方程kx＝x+3得：x＝，
∵关于x的一元一次方程kx＝x+3的解为正整数，k为整数，
∴k﹣1＝1或k﹣1＝3，
∴k＝2或4．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．【分析】由一元一次方程的定义可知：|a﹣1|＝1，且a﹣2≠0，从而可解得a的值．
【解答】解：∵关于x的方程（a﹣2）x|a﹣1|+3＝0是一元一次方程，
∴|a﹣1|＝1，且a﹣2≠0，
解得：a＝0．
故答案为：0．
12．【分析】运用等式的性质2进行求解．
【解答】解：根据等式的性质2可得，
若a＝b，当c≠0时，，
故答案为：c≠0．
13．【分析】根据题意列出方程，求出方程的解得到a的值．
【解答】解：根据题意得：+＝0，
去分母得：3a+4a﹣18＝0，
移项合并得：7a＝18，
解得：a＝，
故答案为：
14．【分析】设共有x位客人，则共使用只饭碗，只汤碗，只肉碗，根据共用了65只碗，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设共有x位客人，则共使用只饭碗，只汤碗，只肉碗，
依题意得：，
故答案为：．
15．【分析】分别用含有x的式子表示出调动后甲处和乙处的人数，再根据甲处工作的人数等于乙处工作人数的，列出方程解答．
【解答】解：设从乙处调出x人到甲处．
（272+x）×＝196﹣x，
272+x＝588﹣3x，
4x＝316，
x＝79，
故答案为：79．
16．【分析】根据3a＝[x]+1，表示a，再根据a的范围建立不等式求x的值．
【解答】解：∵x＝[x]+a，其中0≤a＜1，
∴[x]＝x﹣a，
∵3a＝[x]+1，
∴a＝，
∵0≤a＜1，
∴0≤＜1，
∴﹣1≤[x]＜2，
∴[x]＝﹣1，0，1，
当[x]＝﹣1时，a＝0，x＝﹣1；
当[x]＝0时，a＝，x＝；
当[x]＝1时，a＝，x＝1；
∴x＝﹣1或或1．
故答案为：﹣1或或1．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．【分析】根据一元一次方程的解法，依次进行移项、合并同类项以及系数化为1进行计算即可．
【解答】解：（1）移项得，2x+3x＝9+6，
合并同类项得，5x＝15，
两边都除以5得，x＝3；
（2）移项得，x﹣x＝﹣1﹣1，
合并同类项得，x＝﹣2，
两边都乘以2得，x＝﹣4．
18．【分析】（1）根据解一元一次方程的方法：有分母先去分母，再去括号，移项合并同类项，系数化为1即可得到答案；
（2）根据解一元一次方程的方法：有分母先去分母，再去括号，移项合并同类项，系数化为1即可得到答案．
【解答】解：（1）去括号得，3x﹣3﹣2x﹣20＝﹣6，
移项得，3x﹣2x＝﹣6+3+20，
合并同类项得，x＝17；
（2）去分母得，4（2x﹣6）﹣3（x+18）＝12，
去括号得，8x﹣24﹣3x﹣54＝12，
移项得，8x﹣3x＝12+24+54，
合并同类项得，5x＝90，
系数化为1得，x＝18．
19．【分析】把x＝2代入看错的方程求出a的值，确定出所求方程，求出解即可．
【解答】解：把x＝2代入4x﹣2＝3x+3a﹣1得：a＝，
∴原方程为，
去分母得2（2x﹣1）＝3（x+）﹣6，
去括号得4x﹣2＝3x+1﹣6，
移项得4x﹣3x＝1+2﹣6，
合并同类项得x＝﹣3．
20．【分析】（1）设超市第一次购进甲种商品x件，根据“第一次用6000元购进甲、乙两种商品”可得22x+30（x+15）＝6000，即可解得超市第一次购进甲种商品150件，乙种商品90件，从而可求出该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得1950元利润；
（2）设第二次乙种商品是按原价打m折销售，根据“第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多230元”得：200×（29﹣22）+115×3×（40×﹣30）＝2550+230，即可解得答案．
【解答】解：（1）设超市第一次购进甲种商品x件，则乙种商品（x+15）件，
由题意得：22x+30（x+15）＝7850，
∴x＝200，
∴x+15＝×200+15＝115（件），
∴超市第一次购进甲种商品200件，乙种商品115件，
∵200×（29﹣22）+115×（40﹣30）＝2550（元），
∴该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得2550元利润；
（2）设第二次乙种商品是按原价打m折销售，
根据题意得：200×（29﹣22）+115×3×（40×﹣30）＝2550+230，
解得m＝8.5，
答：第二次乙种商品是按原价打八五折销售．
21．【分析】（1）本题主要考查一元一次方程解决生产配套问题，设有x个工人加工甲种零件，则有（50﹣x）个人加工乙种零件，根据配套数量列方程求解即可得到答案；
（2）本题主要考查一元一次方程解决生产配套问题，设有y个工人加工甲种零件，则有（50﹣y）个人加工乙种零件，根据配套数量列方程求解即可得到答案；
【解答】解：（1）设有x个工人加工甲种零件，则有（50﹣x）个人加工乙种零件，由题意可得，
30x＝20（50﹣x），
解得：x＝20，
答：应安排20个工人加工甲种零件；
（2）解：，设有y个工人加工甲种零件，则有（50﹣y）个人加工乙种零件，由题意可得，
2×30y＝7×20×（50﹣y），
解得：y＝35，
∴50﹣y＝15，
∴总费用为：30×35×10+20×15×12＝14100，
答：一天这50名工人所得加工费一共是14100元．
22．【分析】（1）①按照例题的方法和步骤解答即可；
②设0.＝y，将方程两边同时乘以100，再按照例题的方法和步骤解答即可；
（2）由10×0.7＝10x得7+0.＝10x，将0.的分数形式代入，求出x即可．
【解答】解：（1）①设0.＝x，
将方程两边同时乘以10，得6.＝10x，即6+0.＝10x，6+x＝10x，解得x＝，
∴0.＝．
故答案为：．
②设0.＝y，
将方程两边同时乘以100，得81.＝100y，即81+0.＝100y，81+y＝100y，解得y＝，
∴0.＝．
故答案为：．
（2）7.＝10x，即7+0.＝10x，将0.＝代入，
得7+＝10x，解得x＝，
∴0.7＝．
23．【分析】（1）P表示的数为40﹣2t，Q表示的数为﹣30+3t，故40﹣2t＝﹣30+3t，得t＝14，即知Q表示的数为﹣30+3t＝﹣30+3×14＝12，从而线段BQ的长为12﹣10＝2；
（2）P表示的数为40﹣2t，Q表示的数为﹣30+3t，B对应的数为10，根据P、Q两点在运动过程中到点B的距离相等，有|30﹣2t|＝|﹣40+3t|，解得t＝14或t＝10，可得点P对应的数为12或20；
（3）M和Q相遇所需时间为（10+30）÷（3+5）＝5（秒），相遇点表示的数为﹣30+3×5＝﹣15；此时P运动到表示40﹣2×5＝30的点处；可知掉头后M表示的数为﹣15+5（t﹣5）＝5t﹣40，P表示的数为30+2（t﹣5）＝2t+20，Q表示的数为﹣30+3t，当M为PQ中点时，2（5t﹣40）＝2t+20﹣30+3t，当P为MQ中点时，2（2t+20）＝5t﹣40﹣30+3t，当Q为PM中点时，2（﹣30+3t）＝5t﹣40+2t+20，分别解方程可得答案．
【解答】解：（1）P表示的数为40﹣2t，Q表示的数为﹣30+3t，
P、Q两点相遇时，40﹣2t＝﹣30+3t，
解得t＝14，
∴Q表示的数为﹣30+3t＝﹣30+3×14＝12，
∵B对应的数为10，
∴线段BQ的长为12﹣10＝2；
（2）∵P表示的数为40﹣2t，Q表示的数为﹣30+3t，B对应的数为10，
∴PB＝|40﹣2t﹣10|＝|30﹣2t|，QB＝|﹣30+3t﹣10|＝|﹣40+3t|，
∵P、Q两点在运动过程中到点B的距离相等，
∴|30﹣2t|＝|﹣40+3t|，
即30﹣2t＝﹣40+3t或30﹣2t＝40﹣3t，
解得t＝14或t＝10，
∴40﹣2t＝40﹣2×14＝12或40﹣2t＝40﹣2×10＝20，
即点P对应的数为12或20；
（3）M和Q相遇所需时间为（10+30）÷（3+5）＝5（秒），相遇点表示的数为﹣30+3×5＝﹣15；此时P运动到表示40﹣2×5＝30的点处；
∵M和Q相遇后，P和M立即掉头，均保持原速度，沿数轴正方向匀速运动，
∴掉头后M表示的数为﹣15+5（t﹣5）＝5t﹣40，P表示的数为30+2（t﹣5）＝2t+20，Q表示的数为﹣30+3t，
当M为PQ中点时，2（5t﹣40）＝2t+20﹣30+3t，
解得t＝14；
当P为MQ中点时，2（2t+20）＝5t﹣40﹣30+3t，
解得t＝27.5；
当Q为PM中点时，2（﹣30+3t）＝5t﹣40+2t+20，
解得t＝﹣40（舍去）；
∴t的值为14或27.5．