6.9 直线的相交 课件（共36张PPT）

6.9 直线的相交
数学（浙教版）
七年级 上册
第6章 图形的初步认识
学习目标
1．理解并掌握邻补角和对顶角的概念及性质；
2．能灵活利用对顶角的性质解决问题；
3、理解垂线的性质并能灵活应用性质解决问题，掌握点到直线的距离；
　
温故知新
知识点1、什么叫做互为余角？
如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角．
互余的数学表达式：∠α ＋∠β ＝ 90 °．
如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角．
互补的数学表达式为: ∠α＋∠β ＝180 °．
知识点2、什么叫做互为补角？
　
导入新课
观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系.
　
导入新课
讲授新课
知识点一 邻补角与对顶角的相关概念
如果两条直线只有一个公共点,就说这两条直线相交.
A
B
C
D
O
该公共点叫做两直线的交点.
讲授新课
思考：两条相交直线形成的小于平角的角有几个?
A
B
C
D
O
相邻
相对
讲授新课
知识归纳
1
2
3
4
A
B
C
D
O
邻补角：如果两个角有一条公共边，它们的另一边互为_________，那么这两个角互为邻补角.图中∠1的邻补角有___________。
反向延长线
∠2、∠4
特征：
（1）有一个公共顶点；（2）有一条公共边。
1
2
1
2
讲授新课
1
2
3
4
A
B
C
D
O
对顶角：如果一个角的两边是另一个角的两边的_________，那么这两个角互为对顶角.图中∠1的对顶角是______.
反向延长线
∠3
特征：
（1）两个角是由两条直线相交而形成的（由两条直线相交保证了所形成的角有公共顶点）；
（2）两个角的两边无公共边.
知识归纳
对顶角的性质：对顶角相等.
讲授新课
典例精析
【例1】如图三条直线相交于点O，说出图中的6组对顶角．
解：∠AOF与∠BOE，
∠FOD与∠EOC，
∠DOB与∠COA，
∠AOD与∠BOC，
∠FOB与∠EOA，
∠DOE与∠COF．
讲授新课
练一练
1、如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，OG平分∠BOD，则图中对顶角(小于180°的角)有多少对？
解：对顶角(小于180°的角)有∠AOF和∠BOE，∠FOD和∠EOC，∠AOD和∠BOC，∠AOC和∠DOB，∠FOB和∠EOA，∠FOC和∠EOD共6对.
讲授新课
2、如图，已知直线AD与BE相交于点O，∠DOE与∠COE互余，∠COE=62°，求∠AOB的度数．
解：∵∠DOE与∠COE互余，（已知）
∴ ∠DOE+∠COE =90 ° ，(互余的定义）
∴ ∠DOE= 90 ° - ∠COE= 90 ° -62 ° =28 °．
又∵ ∠AOB与∠DOE是对顶角，（已知）
∴ ∠AOB=∠DOE ，（对顶角相等）
∴ ∠AOB=28 °．
讲授新课
知识点二 垂线的概念
在相交线的模型中,假设直线AB和直线CD的交点为O,固定直线AB,绕点O逆时针旋转直线CD,在旋转过程中,它们的夹角∠DOB如何变化？
）
锐角
直角
钝角
讲授新课
垂直的定义：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直.
其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直．
在式子中记作CD⊥AB
讲授新课
记作l⊥m,
垂足为点O.
记作AB⊥CD,
垂足为点O.
A
B
D
C
O
m
O
l
如图：
讲授新课
特别地，两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直.
A
B
C
D
线段AB与CD是否垂直就是看线段CD和线段AB所在的直线是否垂直.
讲授新课
归纳总结
两条直线互相垂直是两条直线相交的一种特殊情况
特殊性1：相交所成的四个角都等于90°
特殊性4：记作：AB⊥CD（或CD⊥AB），垂足为O； m⊥l（或l⊥m）;
读作：直线AB垂直于直线CD，垂足为O
特殊性2：交点有专有名字：垂足
特殊性3：画图表示方法独特
O
D
C
B
A
l
m
O
讲授新课
典例精析
【例3】如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB．已知∠BOD=45°，求∠ COE的度数．
解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°，
（垂直的定义）
∵∠AOC=∠BOD=45°，
∴∠COE=∠AOE+∠AOC=90°+45°=135°．
（对顶角相等）
讲授新课
练一练
1、如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM．若∠AOC=70°，则∠CON的度数为（　　）
解：∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∵OM平分∠AOC，∠AOC=70°，
∴∠CON=90°﹣35°=55°，
故选：B．
?
讲授新课
知识点三 点到直线的距离
如图，点P是直线l外的一点，PO⊥l,点O为垂足，点A、B、C在直线l上，比较PO、PA、PB、PC的长度，你发现了什么？

PO< PB< PC< PA
讲授新课
归纳总结
线段PO的长度叫做点P到直线l的距离.
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
简单说成：垂线段最短．
讲授新课
思考：体育课上老师是怎样测量跳远成绩的？你能说说其中的道理吗？与同伴交流.
P
O
线段PO的长度即为所求.
讲授新课
典例精析
【例3】如图，计划把水从河中引到水池A中，先过点A作AB⊥CD，垂足为点B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是　 　．
解：先过点A作AB⊥CD，垂足为点B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是垂线段最短；
故答案为：垂线段最短．
讲授新课
练一练
1． 如图，AO⊥CO，直线BD经过点O，且∠1=20°，则∠COD的度数为（　　）
A． 70° B． 110°
C． 140° D． 160°
B
讲授新课
2． 如图，点P在直线AB上，点C，D在直线AB的上方，且PC⊥PD，∠APC=28°，则∠BPD的度数为（　　）
A． 28°
B． 60°
C． 62°
D． 152°
C
当堂检测
1．平面内三条直线的交点个数可能有（　　）
A．1个或3个 B．2个或3个
C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3个
解：如图所示，
分别有0个交点，1个交点，2个交点，3个交点，
∴交点个数可能有0个或1个或2个或3个．
故选D．
当堂检测
2．如图所示，直线AB、CD相交于点O，且∠AOD+∠BOC=100°，则∠AOC是（　　）
A．150° B．130° C．100° D．90°
解：∵∠AOD与∠BOC是对顶角，
∴∠AOD=∠BOC，又已知∠AOD+∠BOC=100°，
∴∠AOD=50°．
∵∠AOD与∠AOC互为邻补角，
∴∠AOC=180°﹣∠AOD=180°﹣50°=130°．故选B．
当堂检测
3.如图，已知直线AB、CD、EF相交于点O，∠1=95°，∠2=32°，则∠BOE=________.
解：∵∠2和∠COE为对顶角 ∴∠2=∠COE=32° ∵∠1+∠COE+∠BOE=180° 即95°+32°+∠BOE=180° ∴∠BOE=53° 故答案为：53°。
当堂检测
解：（1）∠COE的邻补角为∠COF和∠EOD；
（2）∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和∠AOF；
（3）∵∠BOF=90°，
∴AB⊥EF
∴∠AOF=90°，
又∵∠AOC=∠BOD=60°
∴∠FOC=∠AOF+∠AOC=90°+60°=150°．
4．如图，直线AB、CD、EF相交于点O．
（1）写出∠COE的邻补角；
（2）分别写出∠COE和∠BOE的对顶角；
（3）如果∠BOD=60°，∠BOF=90°，求∠AOF和∠FOC的度数．
当堂检测
5.如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠AOF，OE⊥CD于点O，∠1=50°，求∠BOC，∠BOF的度数．
解：因为OE⊥CD于点O，∠1=50°，
所以∠AOD=90°-∠1=40°.
因为∠BOC与∠AOD是对顶角，
所以∠BOC=∠AOD=40°．
因为OD平分∠AOF，所以∠DOF=∠AOD=40°.
所以∠BOF=180°-∠BOC-∠DOF=180°-40°-40°=100°．
当堂检测
6.如图，直线AB，CD相交于点O，作∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE.请判断OF与OD的位置关系；
解：因为OF平分∠AOE，
所以∠AOF＝∠EOF＝12∠AOE.
又因为∠DOE＝∠BOD，
所以∠FOD＝∠FOE＋∠EOD＝12∠AOE＋12∠EOB
＝12(∠AOE＋∠EOB)＝12∠AOB＝90°. 所以OF⊥OD.
?
当堂检测
7 .如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．
（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它到四个村庄的距离之和最小；
（2）计划把河水引入蓄水池H中，
怎样开渠最短？并说明根据．
当堂检测
解：（1）如答，因为两点之间线段最短，
所以连接AD，BC交于点H，则点H即为蓄水池位置，它到四个村庄的距离之和最小．
（2）如图，过点H作HG⊥EF，
垂足为点G，则沿HG开渠最短.
“过直线外一点与直线上各点的连线中，垂线
段最短”是把河水引入蓄水池H中开渠最短的根据．
课堂小结
角的
名称
特 征
性 质
相 同 点
不 同 点
对
顶
角
邻
补
角
②有公共顶点;
③没有公共边。
①两条直线相交形成的角；
①两条直线相交而成；
②有公共顶点;
③有一条公共边。
对顶
角相
等。
邻补
角互
补。
①都是两条直线相交而成的角；
③都是成对出现的。
②都有一个公共顶点；
②两直线相交时，对顶角只有两对邻补角有四对。
①有无公共边
课堂小结
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
1.垂线的定义
2.垂线的画法
3.垂线的性质
(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,
(2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
4.点到直线的距离
谢 谢~