中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2023-2024学年数学九年级下册第1章解直角三角形（解析版）
1.1 锐角三角函数（2）
【知识重点】
特殊角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：
锐角
30°
45° 1
60°
特别说明：
（1）通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．
（2）仔细研究表中数值的规律会发现：
、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：
①正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小）而增大（或减小）；
②余弦值随锐角度数的增大（或减小）而减小（或增大）．
锐角三角函数之间的关系
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)互余关系：，；
(2)平方关系：；
(3)倒数关系：或；
(4)商数关系：．
【经典例题】
【例1】
（1）完成下列表格，并回答下列问题，
锐角
（2）当锐角 逐渐增大时， 的值逐渐 ， 的值逐渐 ， 的值逐渐 ．
（3） ， ；
（4） ；
（5） ；
（6）若 ，则锐角 ．
【答案】（1）解：如表，
锐角
1
（2）增大；减少；增大
（3）；30°
（4）1
（5）30°
（6）45°
【解析】（2）由（1）表格可知，随着锐角α逐渐增大，sinα的值逐渐增发，cosα的值逐渐减少，tanα的值逐渐增大.
（3）由（1）表格可知，sin30°=cos60°.
（4）原式=
（5）∵左边=
tan30°=
∴
故答案为：30°
【例2】已知α是锐角，若sinα=
，则α的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】A
【解析】∵a是锐角，sina=
，
∴a=30°.
故答案为：A.
【例3】如图，已知：45°＜∠A＜90°，则下列各式成立的是（ ）
A．sinA=cosA B．sinA＞cosA C．sinA＞tanA D．sinA＜cosA
【答案】B
【解析】解: ∵45°＜A＜90°，
∴根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，
当∠A＞45°时，sinA＞cosA．
故答案为：B．
【例4】如果，那么锐角的度数为 °.
【答案】30
【解析】∵，
∴锐角A的度数为30°，
故答案为：30.
【例5】若 为锐角，且 ，则 °.
【答案】26
【解析】
，
，
，
为锐角，
，
故答案为：26.
【例6】计算：2sin30°+cos30° tan60°.
【答案】解：原式＝2× + ×
＝1+
＝
【例7】计算
【答案】解：
=
=
=
【例8】如图：
（1）已知sinα+cosα= ，求sinαcosα.
（2）已知α为锐角，tanα=2，求 的值.
【答案】（1）解：把已知式子两边同时平方，得(sin α+cos α)2= ，
sin 2α+2sin αcos α+cos 2α= ，∴2sin αcos α= -1= ，sin αcos α= .
（2）解： = =7.
【基础训练】
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= ，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解: ∵sin2A+cos2A=1，即（ ）2+cos2A=1，
∴cos2A= ，
∴cosA= 或﹣ （舍去），∴cosA= ．
故答案为：D．
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，下列各式中正确的是（ ）
A．sin A=sin B B．tan A=tan B C．sin A=cos B D．cos A=cos B
【答案】C
【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，
则∠A+∠B=90°，
即sin A=cos B。
故答案为：C。
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= ，则cosB的值等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】cosB=cos（90°﹣A）=sinA= ，
故选：C．
4．Rt△ABC中，∠C=90°，已知cosA= ，那么tanA等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在Rt△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边的长度分别为a、b、c。
∵cosA= 知，设b=3x，则c=5x，根据a2+b2=c2得a=4x．
∴tanA= = = ．
故选A．
5．在△ABC中，∠A和∠C都是锐角，且sinA= ，tanC= ，则∠ABC是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定
【答案】C
【解析】∵sinA= ，tanC=，∴∠A=60°，∠C=60°，∴∠B=∠A=∠C=60°，
∴△ABC是等边三角形.
故答案为：C.
6．已知是锐角，，则的值为（ ）
A．30° B．60° C．45° D．无法确定
【答案】B
【解析】是锐角，， .
故答案为：B.
7．如图，在 中， ， 于点 ．若 ， ，则 的长为（ ）
A．12 B．10 C．6 D．5
【答案】D
【解析】在 中， ， 于点 ，
∴BD= BC=12，
∵ ，∴AB=13，
故AD= = =5.
8．如图，△ABC内接于⊙O，若sin∠BAC= ，BC=2 ，则⊙O的半径为（ ）
A．3 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【解析】如图：连接OB，OC．作OD⊥BC于D
∵OB=OC，OD⊥BC
∴CD= BC，∠COD= ∠BOC
又∵∠BOC=∠A，BC=2
∴∠COD=∠A，CD=
∵sin∠BAC=
∴sin∠COD=
∴OC=3
故答案为：A．
9．△ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥BC于D，下列四个选项中，错误的是（ ）
A．sinα=cosα B．tanC=2 C．sinβ=cosβ D．tanα=1
【答案】C
【解析】解: 观察图象可知，△ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，AB=2 ，AD=2，CD=1，AC= ，
A、∴sinα=cosα= ，故A不符合题意，
B、tanC= =2，故B不符合题意，
D、tanα=1，故D不符合题意，
C、∵sinβ= = ，cosβ= ，
∴sinβ≠cosβ，故C符合题意．
故答案为：C．
10．若，则锐角 .
【答案】60°
【解析】∵，
∴，
故答案为.
11．若∠α是锐角，且cosα=sin53°，则∠α的度数是 ．
【答案】37°
【解析】∵sin53°=cos（90°﹣53°）=cos37°，
∴锐角α=37°．
故答案为37°
12．若tanα tan50°=1，则锐角α= 度．
【答案】40
【解析】如图，
∵在△ACB中∠C=90°，∠A=α，∠B=50°，
∵tanA= ，tanB= ，
∴tanA tanB= × =1，
∴∠A+∠B=90°，
∵tanα tan50°=1，
∴α=90°﹣50°=40°．
故答案为：40．
13．若tanα=1（0°≤α≤90°），则cos（90°﹣α）= ．
【答案】
【解析】∵tanα=1（0°≤α≤90°），
∴α=45°．
∴cos（90°﹣α）=cos45°= ．
14．求下列各式的值
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解： =×+4×=+2 =.
（2）解： .= -2×+×-=-1+2- =1.
15．如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC= ,点D为BC边上一点,且BD=2AD,∠ADC=60°,求△ABC的周长.(结果保留根号)
【答案】解:在Rt△ADC中,∵sin∠ADC= ,
∴AD= =2,
∴BD=2AD=4.∵tan∠ADC= ,∴DC= =1,∴BC=BD+DC=5.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB= =2 .
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=2 +5+ .
16．如图所示，A、B、C为三个村庄，AB、BC、AD为公路，CD为河宽，现在要从D处开始铺设通往村庄C的一条地下电缆，A、C、D三点共线，经测量得，BC=6 千米，AD=4千米，∠A=60°，∠BCA=45°，请求出河宽CD的长（结果保留根号）。
【答案】 解：过点B作BE⊥AC，垂足为E，
∵BC=6 ，∠BCA=45°
∴BE=EC=6
又∠A=60°
∴tan60°=
∴AE=2
∴AC=2 +6
又AD=4
∴CD=AC-AD=2 +6-4=2 +2（千米）
答：河宽CD的长是（2 +2）千米。
【培优训练】
17．如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为α，则夹角α的正弦值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】如图，设AB与CD交于点E，过点C作CF∥AB，连接DF，
∵CF∥AB，
∴ ，
设小正方形的边长为1，
根据勾股定理得： ，
，
，
∴ ，DF=CF，
∴△CDF为等腰直角三角形，
∴∠C=45°，
∴ ，
∴夹角α的正弦值为 .
故答案为：B.
18．已知A，B是两个锐角，且满足 ， ，则实数t所有可能值的和为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】根据已知，得
，即2= ，
∴3t2+5t﹣8=0，
∴解得t1=1，t2=﹣ ，
又∵ ＞0，即t＞0，
∴t2=﹣ 不符合题意舍去，
∴t所有可能值的和为1．
故答案为：C．
19．若tanα=2，则 = ．
【答案】
【解析】 = =（ ）2= ．
故答案为： ．
20．sin21°+sin22°…+sin288°+sin289°= ．
【答案】44
【解析】sin2l°+sin22°+…+sin288°+sin289°
=（sin2l°+sin289°）+（sin22°+sin288°）+…+（sin244°+sin246°）+sin245°=1+1+…+1+=44 ．
故答案为44 ．
21．（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：==
（2）解：===
（3）解：===
（4）解：===
22．已知tana= ，求 的值．
【答案】解：如图，∵tana= ，
∴设BC=x，则AC=4x，AB=5x，
∴原式= = =﹣7．
23．已知 ，且0°＜α＜45°，求sinα的值．
【答案】解：∵ ，
∴（sinα+cosα）2= ，即sin2α+cos2α+2sinα cosα= ，
而sin2α+cos2α=1，
∴2sinα cosα= ，
∴1﹣2sinα cosα= ，即sin2α+cos2α﹣2sinα cosα= ，
∴（sinα﹣cosα）2= ，
∵0°＜α＜45°，
∴sinα＜cosα，
∴sinα﹣cosα=﹣ ，
而 ，
∴2sinα= ，
∴sinα= ．
24．小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，
sin245°+sin245°=（ ）2+（ ）2=1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）=1．
（Ⅰ）当α=30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）=1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
【答案】解1：（Ⅰ）当α=30°时，
sin2α+sin2（90°﹣α）=sin230°+sin260°=（ ）2+（ ）2= + =1；
（Ⅱ）小明的猜想成立，证明如下：
如图，在△ABC中，∠C=90°，
设∠A=α，则∠B=90°﹣α，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）=（ ）2+（ ）2= = =1
【直击中考】
25．sin30°=
【答案】
【解析】根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30°= .
【分析】利用特殊角的三角函数值可求出sin30°的值.
26．计算：.
【答案】解：原式.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2023-2024学年数学九年级下册第1章解直角三角形
1.1 锐角三角函数（2）
【知识重点】
特殊角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：
锐角
30°
45° 1
60°
特别说明：
（1）通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．
（2）仔细研究表中数值的规律会发现：
、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：
①正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小）而增大（或减小）；
②余弦值随锐角度数的增大（或减小）而减小（或增大）．
锐角三角函数之间的关系
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)互余关系：，；
(2)平方关系：；
(3)倒数关系：或；
(4)商数关系：．
【经典例题】
【例1】（1）完成下列表格，并回答下列问题，
锐角
（2）当锐角 逐渐增大时， 的值逐渐 ， 的值逐渐 ， 的值逐渐 ．
（3） ， ；
（4） ；
（5） ；
（6）若 ，则锐角 ．
【例2】已知α是锐角，若sinα=
，则α的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【例3】如图，已知：45°＜∠A＜90°，则下列各式成立的是（ ）
A．sinA=cosA B．sinA＞cosA C．sinA＞tanA D．sinA＜cosA
【例4】如果，那么锐角的度数为 °.
【例5】若 为锐角，且 ，则 °.
【例6】计算：2sin30°+cos30° tan60°.
【例7】计算
【例8】如图：
（1）已知sinα+cosα= ，求sinαcosα.
（2）已知α为锐角，tanα=2，求 的值.
【基础训练】
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= ，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，下列各式中正确的是（ ）
A．sin A=sin B B．tan A=tan B C．sin A=cos B D．cos A=cos B
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= ，则cosB的值等于（ ）
A． B． C． D．1
4．Rt△ABC中，∠C=90°，已知cosA= ，那么tanA等于（ ）
A． B． C． D．
5．在△ABC中，∠A和∠C都是锐角，且sinA= ，tanC= ，则∠ABC是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定
6．已知是锐角，，则的值为（ ）
A．30° B．60° C．45° D．无法确定
7．如图，在 中， ， 于点 ．若 ， ，则 的长为（ ）
A．12 B．10 C．6 D．5
8．如图，△ABC内接于⊙O，若sin∠BAC= ，BC=2 ，则⊙O的半径为（ ）
A．3 B．6 C．4 D．2
9．△ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥BC于D，下列四个选项中，错误的是（ ）
A．sinα=cosα B．tanC=2 C．sinβ=cosβ D．tanα=1
10．若，则锐角 .
11．若∠α是锐角，且cosα=sin53°，则∠α的度数是 ．
12．若tanα tan50°=1，则锐角α= 度．
13．若tanα=1（0°≤α≤90°），则cos（90°﹣α）= ．
14．求下列各式的值
（1） ； （2） .
15．如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC= ,点D为BC边上一点,且BD=2AD,∠ADC=60°,求△ABC的周长.(结果保留根号)
16．如图所示，A、B、C为三个村庄，AB、BC、AD为公路，CD为河宽，现在要从D处开始铺设通往村庄C的一条地下电缆，A、C、D三点共线，经测量得，BC=6 千米，AD=4千米，∠A=60°，∠BCA=45°，请求出河宽CD的长（结果保留根号）。
【培优训练】
17．如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为α，则夹角α的正弦值为（ ）
A． B． C． D．1
18．已知A，B是两个锐角，且满足 ， ，则实数t所有可能值的和为（ ）
A． B． C．1 D．
19．若tanα=2，则 = ．
20．sin21°+sin22°…+sin288°+sin289°= ．
21．（1） （2）
（3） （4）
22．已知tana= ，求 的值．
23．已知 ，且0°＜α＜45°，求sinα的值．
24．小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，
sin245°+sin245°=（ ）2+（ ）2=1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）=1．
（Ⅰ）当α=30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）=1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
【直击中考】
25．sin30°=
26．计算：.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1
