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浙教版2023-2024学年数学九年级下册第1章解直角三角形（解析版）
1.3解直角三角形（3）
【知识重点】
图1 图2 图3
1、解直角三角形的实际应用-仰角俯角问题
如图1，视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角.
2、解直角三角形应用-方位角问题
（1）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图2中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°。
(2)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图3中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°。
【经典例题】
【例1】一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ）
A． 海里/时 B．30海里/时 C． 海里/时 D． 海里/时
【答案】D
【解析】∵∠CAB=10°+20°=30°，∠CBA=80°-20°=60°，
∴∠C=90°，
∵AB=20海里，
∴AC=ABcos30°=10 （海里），
∴救援船航行的速度为：10 ÷ =30 （海里/小时）.
故答案为：D.
【例2】如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角α为30°，看这栋楼底部C处的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离AD为90米，则这栋楼的高度BC为（ ）
A． 米 B．90 米 C．120 米 D．225米
【答案】C
【解析】如图，过点A作AD⊥BC于点D，则
在Rt△ABD中，由 ，
在Rt△ACD中，由
∴
故这栋楼的高度为 m．
故答案为：C．
【例3】综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，已知博雅楼高度为15米，则尚美楼高度为 米．（结果保留根号）
【答案】
【解析】过E作EM⊥过点B的水平线于点M，过F作FN⊥过点B的水平线于点N，
由题意可知CM=DN=AB=30，CE=15，
∴EM=CM-BC=15.
∵∠ECM=45°，
∴BM=EM=15.
∵A为CD的中点，
∴BN=AD=AC=BM=15.
∵tan∠FBN=，
∴，
∴FN=，
∴DF=30-.
故答案为：30-.
【例4】如图，某地标性大厦离小伟家60m，小伟从自家的窗中眺望大厦，并测得大厦顶部的仰角是45°，而大厦底部的俯角是37°，求该大厦DC的高度．（可选用数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】解：过点A作AE⊥CD于E，
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴四边形ABCE是矩形，
∵BC＝60米，
∴AE＝BC＝60米，
∴在Rt△AEC中，EC＝AE tan∠EAC＝60×tan37°≈45（米），
在Rt△ADE中，∵∠DAE＝45°，
∴DE＝AE＝60（米），
∴DC＝DE+CE＝60+45＝105（米）．
答：该大厦的高度约为105米．
【例5】为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时海里的速度向正东方航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上
（1）求的度数；
（2）已知在灯塔的周围海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
【答案】（1）解：由题意得，，，
，
（2）解：由可知，
海里，
过点作于点，在中，
海里，
，
海监船继续向正东方向航行是安全的．
【例6】今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力.如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，在A处测得C港在北偏东45°方向上，在B处测得C港在北偏西60°方向上，且 千米，以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域.
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？（结果保留整数，参考数据 ， ， ）
【答案】（1）解：过点C作 交AB于点H
设
在 中， ，
在 中， ，
∴
∴ ，∴
∵ ，海港C受台风影响
（2）解：设台风在P点，海港开始受到影响，Q点时停止受影响，
在 中， ，
∴
∴
则时间： （小时）
答：台风影响该海港持续的时间有45小时.
【基础训练】
1． 如图，某校教学楼与的水平间距，在教学楼的顶部点测得教学楼的顶部点的仰角为，测得教学楼的底部点的俯角为，则教学楼的高度是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】过点作，垂足为，
由题意得：
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
米，
故答案为：A.
2．如图，已知点 、点 是同一幢楼上的两个不同位置，从 点观测标志物 的俯角是65°，从 点观测标志物 的俯角是35°，则 的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．65°
【答案】B
【解析】如图，标注字母，由题意得：
故答案为：
3．某驱逐舰在海上执行任务后刚返回到港口A，接到上级指令，发现在其北偏东方向上有一艘可疑船只C，与此同时在港口A处北偏东方向上且距离处有另一艘驱逐舰B也收到了相关指令，驱逐舰B恰好在可疑船只C的南偏东的方向上，则可疑船只C距离港口A的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵在其北偏东方向上有一艘可疑船只C，与此同时在港口A处北偏东方向上且距离处有另一艘驱逐舰B也收到了相关指令，
∴∠CAB=60°-30°=30°，
∵驱逐舰B恰好在可疑船只C的南偏东的方向上，
∴∠ACB=30°+30°=60°，
∴∠ABC=180°-30°-60°=90°，
∵，AB=10km，∴，
故答案为：C.
4．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面米的处，无人机测得操控者的俯角为30°，测得点处的俯角为45°．又经过人工测量操控者和教学楼之间的水平距离为80米，教学楼的高度 米．（注：点、、、都在同一平面上，参考数据：，结果保留整数）．
【答案】14
【解析】过点D作于点E，作于点F，
由题可得：
DE=， ，，
在Rt△ADE中，，
∴，
∴，
∵AB=80，
∴，
∵∠FEB=∠CBE=∠CFE=90°，
∵四边形BCEF是矩形，
∴，
在Rt△DCF中，，
∴，
∴，
∴米．
故答案为14米．
5．如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30o，底部C的俯角为60o，无人机与旗杆的水平距离AD为6m，则该校的旗杆高约为 m．（，结果精确到0.1）
【答案】13.8
【解析】∵∠BAD=30°，AD=6，
∴BD=AD·tan30°=6×=.
∵∠DAC=60°，AD=6，
∴CD=AD·tan60°=，∴BC=BD+CD=+=≈13.8.
故答案为：13.8.
6．一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是 海里．
【答案】
【解析】过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，如图所示：
由题意得，
设DC=a，则BD=a，，
∴，
解得a=，
∴渔船与灯塔C的最短距离是海里，
故答案为：
7．一艘在南北航线上的测量船，在点A处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达点C时，测得海岛B在点C的北偏东45°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是 （结果保留整数）．（参考数据：，）
【答案】11
【解析】画出示意图如下，过B作BD⊥AC，垂足为点D，
由题意可得：AC=30海里，∠CAB=30°，∠DCB=45°，
设BD=x海里，则AD==x海里，CD==x海里.
∵AD+CD=AC，
∴x+x=30，
解得x=-15，
∴BD=-15≈11（海里），
∴海岛B离此航线的最近距离是11海里.
故答案为：11.
8．小红同学在数学活动课中测量旗杆的高度，如图，已知测角仪的高度为1.58米，她在点观测旗杆顶端的仰角为，接着朝旗杆方向前进20米到达处，在点观测旗杆顶端的仰角为，则旗杆的高度为 米结果保留小数点后一位，参考数据：
【答案】18.9
【解析】延长AD交EF于点G，则四边形ABFG为矩形，∠EAD=30°，∠EDG=60°，
∴AB=CD=GF=1.58 米，AD=BC=20米，
∴∠AED=∠EDG-∠EAD=30°，
即得∠AED=∠EAD，
∴AD=DE=20米，
在Rt△EDG中，EG=ED·sin60°=米，
∴EF=EG+FG=+1.58≈18.9米；
故答案为：18.9.
9．在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部处测得办公楼底部处的俯角是，从综合楼底部处测得办公楼顶部处的仰角恰好是，综合楼高米请你帮小明求出办公楼的高度结果精确到，参考数据，，
【答案】解：由题意可知米，，
，．
，米．
故办公楼的高度约为米．
10．月份，长江重庆段开始进入枯水期，有些航道狭窄的水域通航压力开始慢慢增加．为及时掌握辖区通航环境实时情况，严防船舶搁浅、触礁等险情事故发生，沿江海事执法人员持续开展巡航检查，确保近七百公里的长江干线通航安全．如图，巡航船在一段自西向东的航道上的处发现，航标在处的北偏东方向米处，以航标为圆心，米长为半径的圆形区域内有浅滩，会使过往船舶有危险．
（1）由于水位下降，巡航船还发现在处北偏西方向米的处，露出一片礁石，求、两地的距离；精确到米
（2）为保证航道畅通，航道维护项目部会组织挖泥船对该条航道被浅滩影响的航段进行保航施工．请判断该条航道是否被这片浅滩区域影响？如果有被影响，请求出被影响的航道长度为多少米？如果没有被影响，请说明理由．
参考数据：，
【答案】（1）解：过点作于点，
由题意得，，米，米，
在中，，，
解得，，
米，
由勾股定理得，米．
、两地的距离约为米．
（2）解：该条航道会被这片浅滩区域影响，长度为米，理由如下：
过点作航道的垂线，
由题意得，米，，
在中，，
解得，
，
该条航道会被这片浅滩区域影响．
设米，
在中，米，
根据对称性可知，被影响的航道长度为米．
11．小亮利用所学的知识对大厦的高度进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是，测得大厦顶部的仰角是，已知他家楼顶B处距地面的高度为40米（图中点A，B，C，D均在同一平面内）．
（1）求两楼之间的距离（结果保留根号）；
（2）求大厦的高度（结果取整数）．
（参考数据：，，，）
【答案】（1）解：如图，作于点E，则，
由题意知，，，
故，
即两楼之间的距离为米；
（2）解：由题意知，
四边形是矩形，
，，
中，，
，
，
即大厦的高度为92米．
12．年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为．
（1）求点离地面的高度；
（2）求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据：)
【答案】（1）解：在中，，，，
，
（2）解：在中，，，，
，
在中，，，
，
，
，
飞船从处到处的平均速度．
【培优训练】
13．3月中旬某中学校园内的樱花树正值盛花期，供全校师生驻足观赏. 如图，有一棵樱花树AB垂直于水平平台BC，通往平台有一斜坡CD，D，E在同一水平地面上，A，B，C，D，E均在同一平面内，已知BC＝3米，CD＝5米，DE＝1米，斜坡CD的坡度是 ，李同学在水平地面E处测得树冠顶端A的仰角为62°，则樱花树的高度AB约为（ ）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）
A． 9.16米 B．12.04米 C．13.16米 D．15.04米
【答案】B
【解析】过C作CG⊥DE交ED的延长线于G，延长AB交ED的延长线于H，如图所示：
则四边形BHGC为矩形，
∴BH＝CG，GH＝BC＝3米，
∵斜坡CD的坡度是 ，
∴设CG＝3x米，则DG＝4x，
由勾股定理得，CD2＝CG2+DG2，
即52＝（3x）2+（4x）2，
解得：x＝1，
∴BH＝CG＝3（米），DG＝4（米），
∴EH＝DE+DG+GH＝1+4+3＝8（米），
在Rt△AHE中，tan∠AEH＝ ＝tan62°≈1.88，
∴AH≈1.88EH＝1.88×8＝15.04（米），
∴AB＝AH﹣BH≈15.04﹣3＝12.04（米），
故答案为：B.
14．如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为海里.观测站B到AC的距离BP是（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】B
【解析】由题意得：∠BAC=90°-60°=30°，∠ABC=90°+15°=105°，
∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°，
∵BP⊥AC，
∴∠BPA=∠BPC=90°，
∵∠C=45°，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴BP=PC，
∵∠BAC=30°，
∴PA=BP，
∵PA+PC=AC，
∴BP+BP=+1，
解得：BP=1（海里），
故答案为：B.
15．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西方向的A处，若渔船沿北偏西方向以60海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东方向上，则B、C之间的距离为（ ）
A．15海里 B．30海里 C．海里 D．海里
【答案】C
【解析】由题意得：（海里）
如图所示：
，
，
，
，
在 中， ，
则可得： ，
解得： （海里）．
故答案为：C．
16．如图，为了测量某建筑物 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡行走100米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米到点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为59°，建筑物底端B的俯角为，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡的坡度 .根据以上数据，计算出建筑物BC的高度约为（结果精确到1.参考数据：，，）（ ）
A．158米 B．161米 C．159米 D．160米
【答案】D
【解析】如图：过点D作于点F，过点E作于点G，过点E作于点H
∵斜坡的坡度，
∴可设，
∵在中，，
∴
∵在中，
∵在中，
故答案为：D.
17．如图，岸边堤坝和湖中分别伫立着甲、乙两座电线塔，甲塔底 和堤坝 段均与水平面 平行， 为 中点， 米， 米．某时刻甲塔顶 影子恰好落在斜坡底端 处，此时小章测得2米直立杆子的影长为1米．随后小章乘船行驶至湖面点 处，发现点 ， ， 三点共线，并在 处测得甲塔底 和乙塔顶 的仰角均为 ，则塔高 的长为 米；若小章继续向右行驶10米至点 ，且在 处测得甲、乙两塔顶 ， 的仰角均为 ．若点 ， ， ， 在同一水平线上， ，则甲、乙两塔顶 ， 的距离为 米．（参考数据： ， ， ， ）
【答案】17；
【解析】如图，延长AB交MN延长线于点G，延长FE交AG于点H，过点D作DR⊥FH于点R，交MN延长线于点I，
由题意得CB=BD=CD=6米，
∵四边形HGRI为矩形，
∴HR∥GI∥BD，HR=GI=BD=6米，
∴∠DFR=∠DPI=α=26.7°，
∴=tan26.7°=0.5，
∴设DR=x，则RF=2x，
又∵EF=2米，
∴RE=2x-2=2（x-1）米，
在Rt△DRE中，DE=5米，
∴x2+[2（x-1）]2=25，
整理，解得：x=-（舍去）或x=3，
∴DR=3米，RE=4米，
∴HE=HR+RE=6+4=10米
∵某时刻甲塔顶A的影子恰好落在斜坡底端E处，此时小章测得2米直立杆子的影长为1米 ，
∴2：1=AH：HE，
∴AH=20米，
∴塔高AB=AH-BG=AH-DR=20-3=17米；
连接AT，过点T作TK∥MN交AB于点K，
∵tanα=tan26.7°==0.5，
∴IP=6+2RI，
∵PQ=10米，
∴GQ=GI+IP+PQ=22+2RI，AG=AH+RI=20+RI，
在Rt△AGQ中，∠AQG=β =36.8°，
∴tan36.8°==0.75，即=，
解得：RI=7米，
∴GQ=22+2×7=36米，AG=20+7=27米，
在Rt△TNP中，∠TPN=α=26.7°
∴tan26.7°==0.5，
∴PN=2TN，
在Rt△TQN中，∠AQN=β =36.8°，
∴tan36.8°==0.75，
∴QN=TN，
∴PQ=10=PN-QN=2TN-TN，
解得：TN=15米，
∴QN=20米，
∴KT=GN=GQ+QN=36+20=56米，AK=AG-TN=27-15=12米，
∴在Rt△AKT中，由勾股定理得：AT=，
∴AT=4.
故答案为：17，4.
18．某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区 的坡度 为 ，顶端 离水平地面 的高度为 ，从顶棚的 处看 处的仰角 ，竖直的立杆上 、 两点间的距离为 ， 处到观众区底端 处的水平距离 为 ．则观众区的水平宽度 ；顶棚的 处离地面的高度 ．（ ， ，结果精确到 ）
【答案】20；21.6
【解析】过点D作 交EF于点G，
∵观众区 的坡度 为 ，
∴ ．
，
．
，
．
，
，
，
故答案为：20，21.6．
19．如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为，测得小区楼房顶端点C处的俯角为．已知操控者A和小区楼房之间的距离为45米，小区楼房的高度为米．
（1）求此时无人机的高度；
（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：，．计算结果保留根号）
【答案】（1）解：如图1，过D点作DH⊥AB，垂足为点H，过C点作CE⊥DH，垂足为点E，
可知四边形EHBC为矩形，
∴EH=CB，CE=HB，
∵无人机测得小区楼房顶端点C处的俯角为，测得操控者A的俯角为，DM∥AB，
∴∠ECD=45°，∠DAB=75°，
∴∠CDE=∠ECD=45°，
∴CE=DE，
设CE=DE=HB=x，
∴AH=45-x，DH=DE+EH=x+，
在Rt△DAH中，DH=tan75°×AH=，
即，
解得：x=30，
∴DH=
∴此时无人机的高度为米；
（2）解：如图2所示，当无人机飞行到图中F点处时，操控者开始看不见无人机，此时AF刚好经过点C，
过A点作AG⊥DF，垂足为点G，此时，由（1）知，AG=（米），
∴；
∵，
∴
∵DF∥AB，
∴∠DFA=∠CAB=30°，
∴，
∴，
因为无人机速度为5米/秒，
所以所需时间为（秒）；
所以经过秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．
20．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为，长为米．已知目高为米．
（1）求教学楼的高度．
（2）若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线．
【答案】（1）解：过点B作于点G，
根据题意可得：，米，，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴米，
∵，，
∴，
∴，
∴米，
∵长为米，
∴（米），
答：教学楼的高度为米．
（2）解：连接并延长，交于点H，
∵米，米，
∴米，
∵米， ，
∴，
∴，米，
∴（米），
∵无人机以米/秒的速度飞行，
∴离开视线的时间为：（秒），
答：无人机刚好离开视线的时间为12秒．
【直击中考】
21．某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．
（1）如图2，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示．
（2）如图3，为了测量广场上空气球离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点分别测得气球的仰角为，为，地面上点在同一水平直线上，，求气球离地面的高度．（参考数据：，）
【答案】（1）解：如图所示：
由题意知，
在中，，则，即，
；
（2）解：如图所示：
，
在中，，由等腰直角三角形性质得到，
在中，，
由，
即，
解得，
气球离地面的高度．
22．图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度，识别的最远水平距离。
（1）身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别。
（2）身高的小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明。
（精确到，参考数据）
【答案】（1）解：过点C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F．
在中，。
。
，
。
。
，，
小杜下蹲的最小距离．
（2）解：过点B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点P．
在中，。
，
，
。
，
。
小若垫起脚尖后头顶的高度为。
小若头顶超出点N的高度。
小若垫起脚尖后能被识别。
23．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表 AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37° ，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．
（1）求∠BAD的度数．
（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ，tan84°≈ ）
【答案】（1）解：∵∠ADC＝84°，∠ABC＝37°，
∴∠BAD＝∠ADC－∠ABC，
∴∠BAD＝47°．
答：∠BAD的度数是47°．
（2）解：在Rt△ABC中， ，
∴ ．
同理，在Rt△ADC中，有 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ (米)．
答：表AC的长是3.3米．
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浙教版2023-2024学年数学九年级下册第1章解直角三角形
1.3解直角三角形（3）
【知识重点】
图1 图2 图3
1、解直角三角形的实际应用-仰角俯角问题
如图1，视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角.
2、解直角三角形应用-方位角问题
（1）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图2中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°。
(2)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图3中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°。
【经典例题】
【例1】一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ）
A． 海里/时 B．30海里/时
C． 海里/时 D． 海里/时
【例2】如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角α为30°，看这栋楼底部C处的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离AD为90米，则这栋楼的高度BC为（ ）
A． 米 B．90 米 C．120 米 D．225米
【例3】综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，已知博雅楼高度为15米，则尚美楼高度为 米．（结果保留根号）
【例4】如图，某地标性大厦离小伟家60m，小伟从自家的窗中眺望大厦，并测得大厦顶部的仰角是45°，而大厦底部的俯角是37°，求该大厦DC的高度．（可选用数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【例5】为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时海里的速度向正东方航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上
（1）求的度数；
（2）已知在灯塔的周围海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
【例6】今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力.如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，在A处测得C港在北偏东45°方向上，在B处测得C港在北偏西60°方向上，且 千米，以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域.
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？（结果保留整数，参考数据 ， ， ）
【基础训练】
1． 如图，某校教学楼与的水平间距，在教学楼的顶部点测得教学楼的顶部点的仰角为，测得教学楼的底部点的俯角为，则教学楼的高度是（ ）
A． B． C． D．
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
2．如图，已知点 、点 是同一幢楼上的两个不同位置，从 点观测标志物 的俯角是65°，从 点观测标志物 的俯角是35°，则 的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．65°
3．某驱逐舰在海上执行任务后刚返回到港口A，接到上级指令，发现在其北偏东方向上有一艘可疑船只C，与此同时在港口A处北偏东方向上且距离处有另一艘驱逐舰B也收到了相关指令，驱逐舰B恰好在可疑船只C的南偏东的方向上，则可疑船只C距离港口A的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面米的处，无人机测得操控者的俯角为30°，测得点处的俯角为45°．又经过人工测量操控者和教学楼之间的水平距离为80米，教学楼的高度 米．（注：点、、、都在同一平面上，参考数据：，结果保留整数）．
5．如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30o，底部C的俯角为60o，无人机与旗杆的水平距离AD为6m，则该校的旗杆高约为 m．（，结果精确到0.1）
6．一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是 海里．
（第6题） （第8题）
7．一艘在南北航线上的测量船，在点A处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达点C时，测得海岛B在点C的北偏东45°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是 （结果保留整数）．（参考数据：，）
8．小红同学在数学活动课中测量旗杆的高度，如图，已知测角仪的高度为1.58米，她在点观测旗杆顶端的仰角为，接着朝旗杆方向前进20米到达处，在点观测旗杆顶端的仰角为，则旗杆的高度为 米结果保留小数点后一位，参考数据：
9．在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部处测得办公楼底部处的俯角是，从综合楼底部处测得办公楼顶部处的仰角恰好是，综合楼高米请你帮小明求出办公楼的高度结果精确到，参考数据，，
10．月份，长江重庆段开始进入枯水期，有些航道狭窄的水域通航压力开始慢慢增加．为及时掌握辖区通航环境实时情况，严防船舶搁浅、触礁等险情事故发生，沿江海事执法人员持续开展巡航检查，确保近七百公里的长江干线通航安全．如图，巡航船在一段自西向东的航道上的处发现，航标在处的北偏东方向米处，以航标为圆心，米长为半径的圆形区域内有浅滩，会使过往船舶有危险．
（1）由于水位下降，巡航船还发现在处北偏西方向米的处，露出一片礁石，求、两地的距离；精确到米
（2）为保证航道畅通，航道维护项目部会组织挖泥船对该条航道被浅滩影响的航段进行保航施工．请判断该条航道是否被这片浅滩区域影响？如果有被影响，请求出被影响的航道长度为多少米？如果没有被影响，请说明理由．
参考数据：，
11．小亮利用所学的知识对大厦的高度进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是，测得大厦顶部的仰角是，已知他家楼顶B处距地面的高度为40米（图中点A，B，C，D均在同一平面内）．
（1）求两楼之间的距离（结果保留根号）；
（2）求大厦的高度（结果取整数）．
（参考数据：，，，）
12．年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为．
（1）求点离地面的高度；
（2）求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据：)
【培优训练】
13．3月中旬某中学校园内的樱花树正值盛花期，供全校师生驻足观赏. 如图，有一棵樱花树AB垂直于水平平台BC，通往平台有一斜坡CD，D，E在同一水平地面上，A，B，C，D，E均在同一平面内，已知BC＝3米，CD＝5米，DE＝1米，斜坡CD的坡度是 ，李同学在水平地面E处测得树冠顶端A的仰角为62°，则樱花树的高度AB约为（ ）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）
A． 9.16米 B．12.04米 C．13.16米 D．15.04米
14．如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为海里.观测站B到AC的距离BP是（ ）
A． B．1 C．2 D．
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西方向的A处，若渔船沿北偏西方向以60海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东方向上，则B、C之间的距离为（ ）
A．15海里 B．30海里 C．海里 D．海里
16．如图，为了测量某建筑物 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡行走100米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米到点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为59°，建筑物底端B的俯角为，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡的坡度 .根据以上数据，计算出建筑物BC的高度约为（结果精确到1.参考数据：，，）（ ）
A．158米 B．161米 C．159米 D．160米
17．如图，岸边堤坝和湖中分别伫立着甲、乙两座电线塔，甲塔底 和堤坝 段均与水平面 平行， 为 中点， 米， 米．某时刻甲塔顶 影子恰好落在斜坡底端 处，此时小章测得2米直立杆子的影长为1米．随后小章乘船行驶至湖面点 处，发现点 ， ， 三点共线，并在 处测得甲塔底 和乙塔顶 的仰角均为 ，则塔高 的长为 米；若小章继续向右行驶10米至点 ，且在 处测得甲、乙两塔顶 ， 的仰角均为 ．若点 ， ， ， 在同一水平线上， ，则甲、乙两塔顶 ， 的距离为 米．（参考数据： ， ， ， ）
18．某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区 的坡度 为 ，顶端 离水平地面 的高度为 ，从顶棚的 处看 处的仰角 ，竖直的立杆上 、 两点间的距离为 ， 处到观众区底端 处的水平距离 为 ．则观众区的水平宽度 ；顶棚的 处离地面的高度 ．（ ， ，结果精确到 ）
19．如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为，测得小区楼房顶端点C处的俯角为．已知操控者A和小区楼房之间的距离为45米，小区楼房的高度为米．
（1）求此时无人机的高度；
（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：，．计算结果保留根号）
20．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为，长为米．已知目高为米．
（1）求教学楼的高度．
（2）若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线．
【直击中考】
21．某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．
（1）如图2，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示．
（2）如图3，为了测量广场上空气球离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点分别测得气球的仰角为，为，地面上点在同一水平直线上，，求气球离地面的高度．（参考数据：，）
22．图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度，识别的最远水平距离。
（1）身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别。
（2）身高的小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明。
（精确到，参考数据）
23．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表 AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37° ，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．
（1）求∠BAD的度数．
（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ，tan84°≈ ）
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